Fractais

Euclides330-260 a.C.

Há mais de dois mil anos, Euclides, segundo conta a tradição, enquanto caminhava pela praia, notou que a areia, vista como um todo, se assemelhava a uma superfície contínua e uniforme, embora fosse composta por pequenas partes visíveis.

Desde então, empenhou-se em tentar provar, matematicamente, que todas as formas da natureza podiam ser reduzidas a formas geométricas simples.

Para Euclides, os objetos da Natureza podiam ser representados como formas geométricas simples, como quadrados, circunferências, etc...

No entanto, a geometria euclidiana era insuficiente e atégrosseira para explicar e descrever estes fenômenos naturais.

Como surgiram os fractais?

Floco de Neve de Koch

Conjunto de Cantor

Conjunto de Julia

Como surgiram os fractais?

Benoit Mandelbrot

No ínicio dos anos 80, nomeou (ao invés de descobrir ou inventar) os fractais, para classificar certos objetos que

possuíam algumas características especiais.

� Nasceu a 20 de Novembro de 1924 na Polônia;� Formação Acadêmica realizada em França;� Grande gosto pela geometria, procurando resolver muitos problemas matemáticos com base na mesma;

O que são os fractais?

São conjuntos cuja forma é irregular ou fragmentada e que têm essencialmente a mesma estrutura em todas escalas.

Características de um Fractal

• Auto-semelhança

• Complexidade infinita

Auto-Semelhança� O conjunto total é constituído por pequenas réplicas desse

mesmo conjunto, ou seja, qualquer que seja a ampliação considerada, obteremos sucessivas cópias do objeto inicial.

Auto-semelhança

Exata Aproximada

Auto-Semelhança

“...E também o mundo,

Com tudo aquilo que contém,

Com tudo aquilo que nele se desdobra

E afinal é a mesma coisa variada em cópias iguais.”

Fernando Pessoa – Poesias de Álvaro de Campos

� Fernando Pessoa, através de um dos seus heterónimos, tinha esta visão dos objetos da Natureza, embora não tivesse conhecimento da

Geometria Fractal:

CONJUNTO DE CANTOR

FLOCO DE NEVE DE KOCH

TRIÂNGULO DE SIERPINSKI

CONJUNTO DE MANDELBROT

Alguns fractais são gerados a partir de

fórmulas matemáticas, muitas vezes

simples, mas que aplicadas de forma

interativa, produzem resultados

fascinantes.

Geometria Euclidiana e Geometria Fractal

"Porquê usar palavras?A geometria existia antes de nós. É eterna como o espírito de

Deus, é o próprio Deus. A geometria com suas esferas, cones, hexágonos e espirais deu a Deus um modelo para a criação e foiimplantada no Homem como imagem e semelhança de Deus.“

Kepler,1610

"Há alguma razão para a geometria não descrever o formato das nuvens, das montanhas, das árvores ou a sinuosidade dos rios? Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes nãosão círculos, um latido não é contínuo, e nem o raio viaja em linhareta...”

Mandelbrot,1983

Objetos Fractais

Fractal do Tetraedro

Fractal do Cubo

Aplicações da Geometria Fractal

� Indústria Cinematográfica� Economia� Biologia� Análise de imagens por satélite � Geologia

� Medicina� Arte� Linguística� Informática� Meteorologia

Aplicações da Geometria Fractal

Galeria de Fractais

Fractais na Natureza

Bola de Ar

Floco de neve

Coroa Solar

Fim!!!!!