v. adição de determinantes cofator teorema de laplace ... · teorema de laplace o determinante de...
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SÉRie ENSiNO
TC
PRÉ-UNIVERSITÁRIO
____/____/____
Rumo ao ITA – Nº 05
MARCELO MENDES
MATEMÁTICA
ALUNO(a)
TURMa TURNO DaTa
SeDe
Nº
PROFeSSOR(a)
OSG.: 60672/12
Determinantes I
Regras práticas•Determinantedeordem2
a11 a12
a21 a22a11 a22 a12 a21
+
=
•Determinantedeordem3(RegradeSarrus)
+ + +
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
=
=a11
a22
a33
+a12
a23
a31
+a13
a21
a32
–a13
a22
a31
–a11
a23
a32
–a12
a21
a33
CofatorSeA=(n
11)entãoA
11=1(cofatordeelementoa
11)
SeAématrizquadradadeordemn≥2entãoA
ij=(–1)i+j×D
ij,ondeD
ijéodeterminantequeseobtém
deMsuprimindoalinhaieacolunaj.
Teorema de LaplaceOdeterminantedeumamatrizquadradaéigualàsoma
dosprodutosdoselementosdeumafilaqualquerpelosrespectivoscofatores.
Propriedades
I. Determinante igual a zero
Odeterminantedeumamatrizquadradaéigualazeroseamatrizpossui:
a) umafilanula.b)duasfilasparalelasiguais.c) duasfilasparalelasproporcionais.d)umafilaqueécombinaçãolineardasoutrasfilasparalelas.
II. Determinante não se altera
Odeterminantedeumamatrizquadradanãosealterase:a) trocarmosordenadamentelinhasporcolunas(detM=detMt).b) somarmosaumafilaumacombinaçãolineardeoutrasfilas
paralelas(TeoremadeJacobi).
III. Alteração no determinante
Odeterminantedeumamatrizquadradadeordemnaltera-se:a) trocandodesinal,quandoduasfilasparalelas trocamde
lugarentresi.b)ficandomultiplicadopor α,quandooselementosdeuma
filasãomultiplicadosporα.c) ficandomultiplicadoporαnquandoamatrizémultiplicada
pora,ouseja:det(αA)=αndetA,ondenéaordemdamatriz.
Observação:
Entende-seporfilaqualquerlinhaoucolunadeumamatriz.
IV. Propriedades complementares
a) TeoremadeBinet SendoAeBmatrizesquadradasdemesmaordem,então: det(A×B)=detA×detBb)Quandotodososelementosacimae/ouabaixodadiagonal
principalforemzeros,odeterminanteseráoprodutodoselementosdadiagonalprincipal.
a 0 0 0x b 0 0y z c 0m n p d
= abcd
V. Adição de determinantes
SeMeM’sãomatrizes,deordemn,idênticasexcetona
i-ésimalinha,então
detM’’=detM+detM’,ondeM’’éumamatrizdeordem
nidênticaàsmatrizesMeM’,excetonasuai-ésimalinha,queé
obtidasomando-seasi-ésimaslinhasdeMeM’.
Exercícios
01. (UFSE)OdeterminantedamatrizA=(aij)3×3
,ondeay=2i–j,éiguala:A)–12 B) –8 C)0 D)4E) 6
02. Mostrequea a a aa b b ba b c ca b c d
a b a c b d c= − − −( )( )( ).
03. Provequea b ca b cbc ca ab
a ab bc c
2 2 2
2 3
2 3
2 3
111
= .
04. Verifiqueque1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
++
+
=xy
z
xyz.
05. Seja a matriz A = [aij] n × n
. A matriz B é obtida de A,multiplicando-se,nesta,cadaelementoa
ijporki–j,k∈R*.
DemonstrequedetB=detA.
Gabarito – Determinantes I
01 02 03 04 05
C – – – –
– Demonstração
OSG.: 60672/12
TC – MaTeMáTiCa
2
Sistemas Lineares
Matriz Inversa I
Defi niçãoM–1éainversadeMse,esomentese,M⋅M–1=M–1⋅M=I
n.
Propriedades
I. A–1éúnicaII. (A–1)–1=AIII. (A⋅B)–1=B–1⋅A–1
IV. (At)–1=(A–1)t
V. detdet
AA
− =1 1
Teorema de Cauchy
Asomadosprodutosdoselementosdeumafilaqualquer
deumamatrizM,ordenadamente,peloscofatoresdoselementos
deumafilaparalela,éigualazero.
Matriz Adjunta (A)
É definida como sendo a transposta da matriz N doscofatores,ouseja,A=Nt.
PropriedadeA·A=A·A(detA)·In.
Teorema
AA
A− = ⋅1 1
det.
Corolário:∃A–1⇔detA≠0.
Observação:
aA
A i jij ji− = ⋅ ∀1 1
det, ,
Exercícios
01. (ITA)Sendo A =−
−− −
1 2 10 3 23 1 2
, entãooelementodaterceira
linhaeprimeiracoluna,desuainversa,seráiguala:
A)5
8 B)
9
11
C) 6
11 D) −
2
13
E)1
13
02. (EN)Dadasasmatrizes: A e B=
=
−
4 32 1
1
41
1
42
, entãoa
somadamatrizinversadeAcomodobrodamatriztranspostadeBé:
A)0
7
21
22
B)
3
4
1
65
25
−
C)1
2
1
42 0
D) 0 13 2
03.A)Mostre que se uma matriz é inversível, então o seu
determinanteédiferentedezero.B)Calcu le o determinante da inversa da matr iz
P =−
−
2 1 1
2 1 1
0 2 2
.
04. (Mack)SedetA=5e Aa
− =−
1
4
51
5
2
5
entãoaéiguala:
A) −8
5 B) 0
C)1
5 D) −
3
5
E)2
5
05. (Mack)Seja A = −
1 00 1
. Então(A+A–1)3éiguala:
A)matriznuladeordem2.B)matrizidentidadedeordem2.
C)1
2A
D)27AE) 8A
06. (IME)DetermineumamatriznãosingularPquesatisfaçaàequaçãomatricial.
P A− = −
1 6 00 1
, onde A =
1 25 4
07. SendoA =
1 2 34 1 12 0 3
, obteroelementoa 231− damatrizinversa
deA.
08. (IME)Umamatrizquadradaédenominadaortogonalquandoasuatranspostaéigualasuainversa.Considereessadefinição,determineseamatriz [R],abaixo,éumamatrizortogonal,sabendo-sequen éuminteiroeαéumânguloqualquer.Justifiquesuaresposta.
[ ]cos( ) sen( )sen( ) cos( )R
n nn n=
−
α αα α
00
0 0 1
09. (UFC)SejamA,BeA+Bmatrizesn×n(n≥1)invertíveis.Encontreumaexpressãopara(A–1+B–1)–1emtermosdeA,(A+B)–1eB.
OSG.: 60672/12
TC – MaTeMáTiCa
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10. ( ITA) Julgue: Sejam A , B e C matr izes quadradasn× n tais queAeB são inversíveiseABCA=At,entãodetC=det(AB)–1.
11. (ITA) Julgue: Sejam m e n números reais com m ≠ n e as
matrizes:A B=
= −
2 13 5
1 10 1
, . SabendoqueamatrizmA
+nBnãoéinversível,entãomenpossuemsinaiscontrários.
Gabarito – Matriz Inversa I
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11
– – 0 – V * F * * * V
–Demonstração
* 06: 1 6 25 6 4
//
−−
Anotações
AN–18/08/12–Rev.:Tony
OSG.: 60672/12
TC – MaTeMáTiCa
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