questÕes sobre determinantes · 5 teorema de laplace o teorema de laplace é um método para...

MATEMÁTICARAPHAELL MARQUES

01 QUESTÕES SOBRE DETERMINANTES

16/06/2020

2

REGRA DE SARRUSPROPRIEDADES DE DETERMINANTES

REGRAS E TEOREMAS DE DETERMINANTES

3

QUESTÕES SOBRE DETERMINANTES

4

Vamos calcular o determinante da matriz abaixo.

𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

)

Exemplo

5

TEOREMA DE LAPLACEO Teorema de Laplace é um método para calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem n. Normalmente, é utilizado quando as matrizes são de ordem igual ou superior a 4.Esse método foi desenvolvido pelo matemático e físico Pierre-Simon Laplace (1749-1827).

6

Como Calcular?O teorema de Laplace pode ser aplicado a qualquer matriz quadrada. Entretanto, para as matrizes de ordem 2 e 3 é mais fácil utilizar outros métodos.Para calcular os determinantes, devemos seguir os seguintes passos:Selecionar uma fila (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior quantidade de elementos igual a zero, pois torna os cálculos mais simples;Somar os produtos dos números da fila selecionada pelos seus respectivos cofatores.

TEOREMA DE LAPLACE

7

CofatorO cofator de uma matriz de ordem n ≥ 2 é definido como:Aij = (-1) i + j. Dij

OndeAij: cofator de um elemento aiji: linha onde se encontra o elementoj: coluna onde se encontra o elementoDij: é o determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j.

TEOREMA DE LAPLACE

8

ExemploVamos calcular o determinante da matriz abaixo.

𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

)

9

ExemploVamos calcular o determinante da matriz abaixo.

𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

) det (𝐿)=(−2).𝐿11+0.𝐿21+3 .𝐿31+1.𝐿41

Precisamos encontrar os cofatores. Esses cofatores são Aij = (-1) i + j. Dij

Onde Dij é o determinantes da nova matriz eliminado a respectiva linha e coluna identificada no cofator.

10

Como Calcular?O teorema de Laplace pode ser aplicado a qualquer matriz quadrada. Entretanto, para as matrizes de ordem 2 e 3 é mais fácil utilizar outros métodos.Para calcular os determinantes, devemos seguir os seguintes passos:Selecionar uma fila (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior quantidade de elementos igual a zero, pois torna os cálculos mais simples;Somar os produtos dos números da fila selecionada pelos seus respectivos cofatores.

TEOREMA DE LAPLACE

11

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2).𝐿11+0.𝐿21+3 .𝐿31+1.𝐿41

𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

) Vamos calcular o

= Elimine a primeira linha e primeira coluna da matriz L

12


𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

) Vamos calcular o cofator


𝐿11=|−1 2 1−4 5 10 −2 −1| Vamos calcular o

det .

13

Exemplo𝐿11=|−1 2 1

−4 5 10 −2 −1| Vamos calcular o

det .

𝐿11=|−1 2 1−4 5 10 −2 −1| 𝐿11=|−1 2 1

−4 5 10 −2 −1|

−1 2−4 50 −2

det (𝐿11)=(−1) .5 .(−1)+2.1.0+1.(−4) .(−2)

−[1.5 .0+(−1).1 .(−2)+2.(−4) .(−1)]

14

Exemplodet (𝐿11)=(−1) .5 .(−1)+2.1.0+1.(−4) .(−2)−[1.5 .0+(−1).1 .(−2)+2.(−4) .(−1)]

15

Exemplo

16

LOST

18


𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1



𝐿11=|−1 2 1−4 5 10 −2 −1|

Vamos calcular o det .

=

=

19

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2).3+0.𝐿21+3 .𝐿31+1.𝐿41

𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1


= Elimine a segunda linha e primeira coluna da matriz L

20


𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1



𝐿21=| 3 1 7−4 5 10 −2 −1| Vamos calcular o

det .

21

EI!SE PERDE NÃO.

ATENÇÃO!

22


𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1



Vamos calcular o det.

23


𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1




det.

24


𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1


= Elimine a terceira linha e primeira coluna da matriz L

25


𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1




det.

26

Exemplo𝐿31=| 3 1 7

−1 2 10 −2 −1| Vamos calcular o

det .

𝐿31=| 3 1 7−1 2 10 −2 −1|

3 1−1 20 −2

−[7.2 .0+3.1. (−2)+1.(−1) .(−1)]

27

Exemplodet (𝐿31)=3.2 .(−1)+1.1 .0+7. (−1) . (−2)−[7.2 .0+3.1 .(−2)+1.(−1) .(−1)]

29


𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1



30


𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

)Vamos calcular o cofator


𝐿31=| 3 1 7−1 2 10 −2 −1|

Vamos calcular o det.𝐿𝐿𝐿(𝐿31)=13

= =

=

31

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐿)=(−2) .3+0.𝐿21+3.13+1.𝐿41

𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1


= Elimine a quarta linha e primeira coluna da matriz L

0

32


𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1



𝐿41=| 3 1 7−1 2 1−4 5 1| Vamos calcular o

det .

0

33

Exemplo𝐿41=| 3 1 7

−1 2 1−4 5 1| Vamos calcular o

det .

𝐿41=| 3 1 7−1 2 1−4 5 1|

3 1−1 2−4 5

det (𝐿41)=3.2 .1+1.1 .(−4)+7. (−1).5

−[7.2 .(−4 )+3.1.5+1.(−1) .1]

34

Exemplodet (𝐿41)=3.2 .1+1.1 .(−4)+7. (−1).5−[7.2 .(−4)+3.1 .5+1.(−1) .1]

35

ACABOU!!!

37


𝐿=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1



𝐿41=| 3 1 7−1 2 1−4 2 1|

Vamos calcular o det .

0

det (𝐿41)=9 =

=

38

det (𝐿)=(−2).3+0.𝐿21+3.13+1.(−9)

39

det (𝐿)=(−2).3+0.𝐿21+3.13+1.(−9)

40

QUESTÃO 01Qual o valor do determinante?

41

SOLUÇÃO

42

SOLUÇÃO

det (𝐿)=1.𝐿31+0.𝐿32+0.𝐿33+0.𝐿34

43

SOLUÇÃO

det (𝐿)=1.𝐿31+0.𝐿32+0.𝐿33+0.𝐿34

44

SOLUÇÃO

det (𝐿)=1.𝐿31+0.𝐿32+0.𝐿33+0.𝐿34

45

SOLUÇÃO

det (𝐿)=1.𝐿31+0.𝐿32+0.𝐿33+0.𝐿34

0

46

SOLUÇÃO

det (𝐿)=1.𝐿31+0.𝐿32+0.𝐿33+0.𝐿34

0

Vamos calcular o cofator


47

SOLUÇÃO

det (𝐿)=1.𝐿31+0.𝐿32+0.𝐿33+0.𝐿34

0



𝐿31=(1 1 −11 0 02 0 1 )

48

SOLUÇÃO𝐿31=(1 1 −1

1 0 02 0 1 )

𝐿31=(1 1 −11 0 02 0 1 )1 1

1 02 0

det (𝐿31)=1.0 .1+1.0 .2+(−1) .1.0−[(−1) .0 .2+1.0 .0+1.1 .1]

49

SOLUÇÃOdet (𝐿31)=1.0 .1+1.0 .2+(−1) .1.0 −[(−1) .0 .2+1.0 .0+1.1 .1]

50

SOLUÇÃO

det (𝐿)=1.𝐿31+0.𝐿32+0.𝐿33+0.𝐿34

0



𝐿31=(1 1 −11 0 02 0 1 ) =

= = =

51

SOLUÇÃO

det (𝐿)=1.𝐿31+0.𝐿32+0.𝐿33+0.𝐿34

53

EI!SE PERDE NÃO.

ATENÇÃO!

54

QUESTÃO 02O cofator do elemento da matriz

𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)

55

O cofator do elemento da matriz

𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)

SOLUÇÃO


= Elimine a segunda linha e segunda coluna da matriz

56


𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)

SOLUÇÃO



57


𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)

SOLUÇÃO



𝐿22=(1 31 0)

58

SOLUÇÃO𝐿22=(1 3

1 0) det (𝐿22)=1.0−(1.3)

59

SOLUÇÃO𝐿22=(1 3

1 0)

60


𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)

SOLUÇÃO



det (𝐿22)=−3 = =

61

QUESTÃO 03Determine cofator do elemento da matriz

𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)

62

SOLUÇÃO

63

QUESTÃO 04Determine cofator do elemento da matriz

𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)

64

SOLUÇÃO

𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)


= Elimine a terceira linha e segunda coluna da matriz

det (𝐿22)=−3

Determine cofator do elemento da matriz

65

SOLUÇÃO

𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)



det (𝐿32)=(1 33 2)


66

SOLUÇÃOdet (𝐿32)=(1 3

3 2)

67

SOLUÇÃO

𝐿=(1 2 33 1 21 −2 0)



det (𝐿32)=(1 33 2)


= = =

68

QUESTÃO 05Calcule o determinante da matriz B

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