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Sinais e SistemasAula 15

Professor: Rafael Antunes Nóbrega

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Continuação...• CAPÍTULO 1: Introdução:

– Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto;– Energia e Potência de um sinal– Transformações de variáveis independentes;– Sinais periódicos– Sinais senoidais e exponenciais;– Funções impulso unitário e degrau unitário;– Sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto;– Propriedades básicas de sistemas;

• CAPÍTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo:– Representações de sinais em termos de impulso;– Convolução.– Esquema de Interconexões– Propriedades de sistemas LIT– Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes– Funções de singularidade

• CAPÍTULO 3: Série de Fourier– Perspectiva histórica– Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas– Representação de sinais periódicos de tempo contínuo– Convergência da série de Fourier– Propriedades da série de Fourier de tempo contínuo– Representação de sinais periódicos de tempo discreto– Propriedades da série de Fourier de tempo discreto– Série de Fourier e sistemas LIT– Filtragem– Exemplos filtros contínuos– Exemplos filtros discretos

• CAPÍTULO 4: A transformada de Fourier de tempo contínuo– Representações de sinais aperiódicos (tempo contínuo)– TF para sinais periódicos– Propriedades da TF de tempo contínuo– A propriedade da convolução– A propriedade da multiplicação– Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

• CAPÍTULO 5: A transformada de Fourier de tempo discreto– Representações de sinais aperiódicos (tempo discreto)– TF para sinais periódicos– Propriedades da TF de tempo discreto– A propriedade da convolução– A propriedade da multiplicação– Dualidade– Sistemas caracterizados por eq. Diferenças lineares com coef.s constantes

• CAPÍTULO 9: A transformada de Laplace

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visto

• A TFTC oferece-nos uma representação dos sinais como combinação linear de exponenciais complexas na forma est com s = jw;

• Porém, a propriedade de autofunção e, muitas vezes, de suas consequências, também se aplicam para valores arbitrários de s (= α+jw);

• Isso leva a generalização da TFTC, conhecida como Transf. de Laplace (TL).

• No tempo discreto, essa generalização é conhecida como Transf. z (TZ).

• A TL e a TZ análise de muitos sistemas instáveis e desempenham papel importante na investigação de estabilidade ou instabilidade dos sistemas.

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A transformada de Laplace

Transformada de Laplace

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Notação:

autofunção

• Vimos que a resposta de um sistema LIT a uma entrada exponencial complexa da forma est é:

• Para s = jw a integral corresponde a Transf. de Fourier de h(t);

• Para valores genéricos, ela é chamada de Transf. de Laplace da resposta ao impulso h(t);

• A Transf. de Laplace de um sinal qualquer x(t) é:

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• Para s = jw, voltamos a Transf. de Fourier:

– Ou seja;

• A TL também possui relação direta com a TF quando s não é puramente imaginária, fazendo s = σ+jw temos:

• Temos a TF de x(t)e-σt;– TL = TF de x(t) após multiplicação por e-σt, que pode ser crescente ou decrescente com

o tempo dependendo do sinal de σ.

• Exemplo 9.1:

– Compare a TF de x(t) com a TL.

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)()( tuetx at

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• Notamos que assim com a TF não converge para todos os sinais, a TL pode convergir para alguns valores de Re{s} e não para outros;

• No exemplo passado vimos que a TL converge para Re{s} >-a;

• Se a for positivo, X(s) pode ser avaliado para σ=0 para se obter:

• Se a for negativo, a TL existe mas a TF não.

• Exemplo 9.2:

– Considere agora o sinal dado por:

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)()( tuetx at

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• Comparando os 2 últimos exemplos vemos que a expressão algébrica para a TL é idêntica porém a RDC é diferente;

– Ambas as informações são necessárias para se expressar totalmente a TL

• Note que a RDC consiste nos valores de s para os quais a TF de x(t)e-σt

converge;

• Um modo conveniente de exibir a TL é mostrado no próximo slide.

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• Exemplo 9.3:

– Considere agora o seguinte sinal:

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)(2)(3)( 2 tuetuetx tt

• Exemplo 9.4:

– Considere agora uma expressão que é a soma de uma exponencial real e de uma exponencial complexa:

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)()3cos()()( 2 tutetuetx tt

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GRÁFICO DE PÓLOS E ZEROS

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23

1)(

2

ss

ssX

EXEMPLO:

• Exemplo 9.5:

– Calcule a TL:

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)(3

1)(

3

4)()( 2 tuetuettx tt

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Note que a TF não existe neste caso, o que é consistente com o fato que x(t) = (1/3)e2tu(t) não tem TF.

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