teoria+ +transformada+de+laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Histórico: Pierre Simon de Laplace (1749-1827), matemático francês, desenvolveu os

Fundamentos da Teoria do Potencial e fez importantes contribuições à mecânica

celeste e à teoria das probabilidades. Em sua obra “Theórie Analitique”(1812)

apresenta a transformação que leva o seu nome, isto é, a Transformada de Laplace.

Objetivo: Resolver equações diferenciais lineares que surgem na matemática aplicada.

Aplicações: Circuitos elétricos; Condução de calor; Flexão de vigas; Problemas

econômicos.

ETAPAS DA RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA ATRAVÉS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Equação diferencial em t Solução da equação diferencial em t

Aplico a Transf. de Laplace Aplico a Transf. Inversa de Laplace

Equação algébrica em s Solução para f(s)

Vantagem de aplicar a Transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais

é que encontramos a solução particular, sem determinarmos a solução geral, pois as

condições iniciais são incorporadas inicialmente na resolução da equação.

Definição: Seja F(t) uma função real definida para todos valores positivos de t. Se a

integral ( ) ( )f s e F t dtst= −∞

∫ 0 existe, onde s x yj= + é uma variável complexa, a função

1

f(s) é chamada de “Transformada de Laplace da função F(t)” e é representada por

( )( )L F t . Exemplo: F(t) = 1 então ( )( )L F t =L(1) = 1s

.

Demonstração:

( )

( ) ]

( ) ]

( )

( )

( )s

L

ssL

esesL

esL

es

L

dteL

ss

st

st

st

11

11011

11111

111

11

11

0

0

0

0

=

⋅−−

⋅−=

⋅−−

⋅−=

⋅−=

−=

⋅=

⋅∞⋅

∞

∞−

∞ −∫

Propriedades:

1ª) ( )( ) ( )( )L aF t aL F t=

Exemplos: ( ) ( )tLtL 33 =

( ) ( )155 LL =

( ) ( )tt etLetL 5252 33 −− =

2ª) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )L F t G t L F t L G t+ = +

Exemplos: ( ) ( ) ( )L t e L t L et tcos cos+ = +3 3

( ) ( ) ( )tt teLtLtLtettL 3232 )(3sen()3sen( −+=−+

3ª) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )L aF t bG t aL F t bL G t+ = + Teorema da Linearidade

Exemplos: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )L e t t L e L t L t Lt t3 4 2 6 5 3 4 2 6 5 15 5− + − = − + −sen sen( )

( )( ) ( ) ( ) ( )14) 3sen(534 3sen53 22 LtLtLttL −−=−−

2

( )( ) ( )( ) ( ) ( )152 2cos452 2cos4 432432 LetLteLetteL tttt ++=++ −−

TRANSFORMADAS DE LAPLACEF(t) f(s)

1 0 0

3

2 1 s1

3t

21s

41−nt

nsn )!1( −

5ate

as −1

6atn et 1−

nasn

)()!1(

−−

7 )sen(at 22 asa+

8 )cos(at 22 ass+

9 )sen(atebt 22)( absa

+−

10 )cos(atebt 22)( absbs+−

−

11 )senh(at 22 asa−

12 )cosh(at 22 ass−

13 )senh(atebt 22)( absa

−−

14 )cosh(atebt 22)( absbs

−−−

CÁLCULO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ATRAVÉS DA UTILIZAÇÃO DA TABELA E DO TEOREMA DA LINEARIDADE.

Ex: 1: 5)(3)( += ttF ?) )( ( =tFL

4

5)(3t L ) (t) F ( +=L

Aplicando o Teorema da Linearidade, temos:

2

)1(53

3L(t)) (t) F (FL

FL +=

Assim: ss

sf 1.51.3)( 2 +=

sssf 53)( 2 +=

Ex. 2: tetttF 32 456)( +−=

)]45L[(6t ) F(t) ( 32 tetL +−=

Aplicando o teorema da Linearidade, temos:

F5

)3tL(e 43)( 5

4)2L(t 6 ) F(t) ( +−=

FtL

FL

)L(t )L(t 1-n2 = onde 3n 21 =⇒=−n

)L(e )L(e at3t = onde 3=a

Assim:

3-s

1 . 415- s2!.6)( 23 +⋅=

ssf

34512)( 23 −

+−=sss

sf

Ex. 3: (3t) cos 2 5)( 4 += − tettF

]) (3t) cos 25t L[( ) F(t) ( 4 += − teL


5

8

)3( (cos 26

)4t-eL(t 5 (F(t))F

tLF

L +=

). 1-n4 att- eL(t) L(t e = onde -4a e 2n 11 ==⇒=−n

(at)) L(t)) (L( cos3cos = onde 3=a

Assim:

232 3ss2.

))4((!1.5))((

++

−−=

stFL

92

)4(5)( 22 +

++

=s

ss

sf

↓

Não precisa desenvolver o quadro.

Ex. 4: t)3(sen 6 .)( 52 −= tettF

t))] ( . e L[( tL(F(t)) t 3sen652 −=


7

) 3( (sen 66

5 (F(t)) 2

FtL

F)t eL(t L −=

).e L(t) eL(t atn-t 152 = onde 5a e 3n 21 ==⇒=−n

(at)) L( t)) (L( sen3sen = onde 3=a

Assim:

( )2233

365

2))((+

−−

=s

. )(s

!tFL

3

36)5(

2)( 23 +−

−=

sssf

6

Ex. 5: ( ) 4 t5)( tsenhtF +=

( ) ]5senh 4 t t L[L(F(t)) +=


( ) 4

)( 11

) t5L( ) F(t) ( 4

FtL

FsenhL +=

( ) ) )(atL(senh ) t5L( =senh onde 5=a

5n 41 onde )()L(t 14 =⇒=−= − ntL n

Assim:

522 s! 4

)5(5))(( +

−=

stFL

52

245

5)(ss

sf +−

=

Ex. 6: tt etetF 32 6)4sen(.)( += −

] L[ ) F(t) tt eteL 32 6)4sen(.( += −


5

)(6 9

))4sen(.L( ) F(t) ( 32

FeL

FteL tt += −

) )(at.sen L(e )4(.L( bt2 =− tsene t onde 4 e 2 =−= ab

3a onde )()L(e 3t == ateL

Assim:

3-s16.

4))2((4)( 22 +

+−−=

ssF

7

36

16)2(4)( 2 −

+++

=ss

sf

Ex. 7: t)7cosh(5)2cos(.)( 4 −= tetF t

t)]7cosh(5)2cos(.L[ ) F(t) ( 4 −= teL t


12

)t)7(cosh( 5- 10

))2cos(.L( ) F(t) ( 4

FL

FteL t=

)cos(.()2cos(.4 )L( ateLte btt = onde 2 e 4 == ab

a onde t)7( L(cosh 7))(cos() == atL

Assim:

2222 7)(-s75.

)2()4(4))(( −

+−−=

sstFL

7

752)4(

4)( 22 −−

+−−=

ssssf

↓


Ex. 8: 25 9)3cosh(..10)( ttetF t += −

]9)3cosh(..10L[ ) F(t) ( 25 tteL t += −


4

)t( 9 14

))3cosh(.L( 10. ) F(t) ( 25

FL

FteL t += −

)cos(.())3cosh(.5 )L( ateLte btt =− onde 3 e 5 =−= ab

3n e 21-n onde )()L(t 12 === −ntL

8

Assim:

322 s!29.

3))5(()5(10))(( +−−−

−−=s

stFL

32

189)5(

5010)(ss

ssf +−+

+=

Ex. 9: )5senh(..4)8sen(5)( tettF t−−=

]L[ ) F(t) )5senh(..4)8sen(5( tetL t−−=


13

t))5.senh(( 4- 7

)8L(s 5 ) F(t) ( -t

FeL

FtenL =

)(sen()8( )L(s atLten = onde 8=a

5a e b onde L(e t- =−== 1))5sen(.())5senh(. teLt bt

Assim:

2222 )5((-1))-(s54.-

)8(8.5))((

−+=

stFL

5)1(

548

85)( 22 −+−

+=

sssf

↓


Ex. 10: )cosh(5)cos(264)( ttetF t −+−−= −

]L[ ) F(t) )cosh(5)cos(264( tteL t −+−−= −


9

12

))(cosh(58

))(cos(25

)t-( 6- 2)L(14 ) F(t) ( tL

FtL

FeL

FL −+−=

)() ateL=t-L(e onde 1−=a

1a onde ))(cos())(L(cos == atLt

1a onde ))(cos())(L(cos == atLt

Assim:

2222 115

12

11614

−−

++

−−−=

s.

ss.

)(s. -

s.L(F(t))

1

5

1

21

64)(22 −

−+

++

−−=ss

sss

sf

A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Se ( )L F t f s( ) ( )= então a inversa de f(s) é F(t). Representamos por ( )L f s F t− =1 ( ) ( ) .

Exemplo: ( )L es

t5 15

=−

logo Ls

e t−

−

=1 51

5

Propriedades:1ª) ( )L af s aL f s− −=1 1( ) ( ( ))2ª) L f s g s L f s L g s− − −+ = +1 1 1( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))3ª) L af s bg s aL f s bL g s− − −+ = +1 1 1( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) Teorema da Linearidade

TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACEf(s) F(t)

1 0 0

10

2 s1

1

3 21s t

4ns

1 para n = 1, 2, 3, ... ( )!1

1

−

−

nt n

0! = 1

5as −

1 ate6

nas )(1

− para n = 1, 2, 3, ... ( )!1

1

−

−

net atn

0! = 1

722

1as + a

at)sen(

822 as

s+ )cos(at

922)(

1abs +− a

atebt )sen(

1022)( abs

bs+−

− )cos(atebt

1122

1as − a

at)senh(

1222 as

s− )cosh(at

1322)(

1abs −− a

atebt )senh(

1422)( abs

bs−−

− )cosh(atebt

DETERMINAÇÃO DA INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

INVERSA IMEDIATA

EXEMPLO 1: ( )5

82

32 +

−+

=ss

sf ( ) ?=tF

Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:

11

( )( )

+−

+= −−−

58

23

2111

sL

sLsfL

( )( )

+−

+= −−−

518

21.3 2

111

sL

sLsfL

Podemos aplicar, respectivamente, as fórmulas:

ateas

L =

−− 11 onde no nosso exemplo →=− 2a 2−=a

e

( )a

atsenas

L =

+−

221 1

onde no nosso exemplo 552 = →= aa

Logo a função ( )tF procurada é:

( ) ( )5

583 2 tsenetF t −= −

EXEMPLO 2: ( ) ( )32 56

74

−+

+=

ssssf ( ) ?=tF


( )( ) ( )

−+

+= −−−

31

211

56

74

sL

ssLsfL

( )( ) ( )

−+

+= −−−

31

211

51.6

7.4

sL

ssLsfL


( )atas

sL cos221 =

+− onde no nosso exemplo 772 = →= aa

e

( ) ( )!11 1

1

−=

−

−−

net

asL

atn

n onde no nosso exemplo 55 = →−=− aa 3=n

12

Logo a Função ( )tF procurada é:

( ) ( ) ( ) .!13

.6 7cos.4513 tetttF

−+=

−

ou ( ) ( ) tetttF 52.3 7cos.4 +=

EXEMPLO 3: ( )2

35422 −

+−=sss

sf ( ) ?=tF


( )( ) +

−

= −−−

sL

sLsfL 54 1

211

−−

23

21

sL

( )( ) +

−

= −−−

sL

sLsfL 1.51.4 1

211

−−

21.3 2

1

sL


ts

L =

−

21 1

111 =

−

sL e

( )a

atsenhas

L =

−−

221 1

onde o nosso exemplo 222 aa →=


( ) ( )tttF 2senh.2

254 +−=

EXEMPLO 4: ( )96

42 +−

=ss

sf ( ) ?=tF

O denominador da ( )sf é um trinômio quadrado perfeito, portanto 962 +− ss ( ) 23−= s

Assim ( )sf( ) 23

4−

=s


13

( )( )( )

−

= −−2

11

34

sLsfL

( )( )( )

−

= −−2

11

31.4

sLsfL

Podemos aplicar a fórmula:

( ) ( )!11 1

1

−⋅=

−

−−

net

asL

atn

n onde no nosso exemplo 33 = →−=− aa 2=n


( )tF = ( )!124 312

−⋅− tet

ou ( ) ttetF 34=

EXEMPLO 5: ( )954

2 ++=

sssf ou ( )

95

94

22 ++

+=

ssssf ( ) ?=tF


( )( )

++

+= −−

95

94

2211

sssLsfL

Aplicando o Teorema da Linearidade, temos:

( )( )

+⋅+

+⋅= −−−

915

94 2

12

11

sL

ssLsfL


( )atas

sL cos221 =

+− onde no nosso exemplo 392 = →= aa

e

( )a

atsenas

L =

+−

221 1

onde no nosso exemplo 392 = →= aa

14


3)3sen(5)3cos(4)( tttF +=

ou

)3sen(35)3cos(4)( tttF +=

TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO E SUA REESCRITA

Sabemos que:

1.) ( ) 222 2 aassas ++=+ ⇒ ( ) 222 2 asaass +=++

15

2.) ( ) 222 2 aassas +−=− ⇒ ( ) 222 2 asaass −=+−

Exemplo 1:

( ) 963323 2222 ++=+⋅+=+ sssss ⇒ ( ) 22 396 +=++ sss , pois,

ss =2 , 39 = e ss 632 =⋅⋅

Exemplo 2:

( ) 963323 2222 +−=+⋅−=− sssss ⇒ ( ) 22 396 −=+− sss , pois,

ss =2 , 39 = e ss 632 =⋅⋅

Vejamos agora o seguinte:

Exemplo 1: ?1462 =++ ss

O termo s6 é resultado de ssa 62 =⋅⋅ logo 326 =÷ , Assim teremos:

kssss +++=++ 222 36146

Mas 1432 =+ k

Logo 914 −=k ⇒ 5=k

Assim 536146 222 +++=++ ssss

Ou podemos escrever ( ) 53146 22 ++=++ sss

Exemplo 2: ?862 =++ ss


kssss +++=++ 222 3686

Mas 832 =+ k

16

Logo 98 −=k ⇒ 1−=k

Assim 136146 222 −++=++ ssss

Ou podemos escrever ( ) 13146 22 −+=++ sss

Exemplo 3: ?852 =+− ss


kssss +

+−=+−

222

25585

Mas 825 2

=+

k

Logo 4258 −=k ⇒

42532 −=k ⇒

47=k

Assim 47

25585

222 +

+−=+− ssss

Ou podemos escrever 47

2585

22 +

−=+− sss


MÉTODO: COMPLEMENTAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

EXEMPLO 1: 2910

3)( 2 ++=

sssf ( )( ) ?1 =−

sfL

O denominador da )(sf pode ser escrito da seguinte forma, completando o trinômio

quadrado perfeito

17

sas 102 = ⇒ 5=a

kssss +++=++ 222 5102910 Mas 2925 =+ k ⇒ 4=k

Logo ( ) 452910 22 ++=++ sss

Portanto ( ) 453)( 2 ++

=s

sf

Mas ( )

++= −−

453)( 2

1)(

1

sLfL s

Então ( ) ( )

++⋅=

++−−

4513

453

21

21

sL

sL

A qual é possível aplicar a fórmula ( )

+− 221

abs cuja inversa é a função

aatetF

bt )sen()( ⋅=

No exemplo acima temos como 5=− b ⇒ 5−=b e 42 =a ⇒ 2=a

Assim ( )

++⋅= −−

4513)( 2

1)(

1

sLfL s onde a função procurada é :

2)2sen(3)(

5 tetFt ⋅⋅=

− ou )2sen(

23)( 5 tetF t ⋅⋅= −

EXEMPLO 2: 258

5)( 2 +−=

ssssf ( )( ) ?1 =−

sfL


quadrado perfeito

sas 82 = ⇒ 4=a

kssss ++−=+− 222 48258 Mas 2516 =+ k ⇒ 9=k

18

Logo ( ) 94258 22 +−=+− sss

Portanto ( ) 945)( 2 +−

=s

ssf

Mas ( )

+−= −−

945)( 2

1)(

1

ssLfL s

Então ( ) ( )

+−⋅=

+−−−

945

945

21

21

ssL

ssL

A qual parece ser possível aplicar a fórmula:

( )

+−−

22 absbs

cuja inversa é a função )cos()( atetF bt ⋅=

Porém para aplicarmos a referida fórmula, precisamos aplicar um artifício matemático

no numerador, isto é, acrescentar e tirar o valor corresponde a b . Neste caso

acrescentaremos 4 e diminuiremos 4.

Assim ( ) ( )

+−+−⋅=

+−−−

94445

945

21

21

ssL

ssL

( )( )

( )

+−+−⋅=

+−−−

94445

945

21

21

ssL

ssL

Separando em duas frações, temos:

( )( )

( ) ( )

+−+

+−−⋅=

+−−−−

944

9445

945

21

21

21

sL

ssL

ssL

ou ainda multiplicando por 5, temos:

( )( )

( ) ( )

+−⋅⋅+

+−−⋅=

+−−−−

94145

9445

945

21

21

21

sL

ssL

ssL

Agora poderemos aplicar as fórmulas:

19

( )

+−−

22 absbs


e

( )

+− 221

abs cuja inversa é a função cuja inversa é a função

aatetF

bt )sen()( ⋅=

No exemplo acima temos como 4−=− b ⇒ 4=b e 92 =a ⇒ 3=a

Assim ( )( )

( ) ( )

+−⋅+

+−−⋅=

+−−−−

94120

9445

945

21

21

21

sL

ssL

ssL

onde a função procurada é

3)3sen(20)3cos(5)(

44 tetetF

tt ⋅⋅+⋅⋅= ou )3sen(

320)3cos(5)( 44 tetetF tt ⋅⋅+⋅⋅=

EXEMPLO 3: 2012

7)( 2 ++=

sssf ( )( ) ?1 =−

sfL


quadrado perfeito

sas 122 = ⇒ 6=a

kssss +++=++ 222 6122012 Mas 2036 =+ k ⇒ 16−=k

Logo ( ) 1662012 22 −+=++ sss

Portanto ( ) 1667)( 2 −+

=s

sf

20

Mas ( )

−+= −−

1667)( 2

1)(

1

sLfL s

Então ( ) ( )

−+⋅=

−+−−

16617

1667

21

21

sL

sL

A qual é possível aplicar a fórmula ( )

−− 221

abs cuja inversa é a função

aatetF

bt )senh()( ⋅=

No exemplo acima temos como 6=− b ⇒ 6−=b e 162 =a ⇒ 4=a

Assim ( )

−+⋅= −−

16617)( 2

1)(

1

sLfL s onde a função procurada é :

4)4sen(7)(

6 tetFt ⋅⋅=

− ou )4sen(

47)( 6 tetF t ⋅⋅= −

EXEMPLO 4: 78

2)( 2 +−=

ssssf ( )( ) ?1 =−

sfL


quadrado perfeito

sas 82 = ⇒ 4=a

kssss ++−=+− 222 4878 Mas 716 =+ k ⇒ 9−=k

Logo ( ) 9478 22 −−=+− sss

Portanto ( ) 942)( 2 −−

=s

ssf

Mas ( )

−−= −−

942)( 2

1)(

1

ssLfL s

Então ( ) ( )

−−⋅=

−−−−

942

942

21

21

ssL

ssL

21

A qual parece ser possível aplicar a fórmula:

( )

−−−

22 absbs

cuja inversa é a função )cosh()( atetF bt ⋅=

Porém para aplicarmos a referida fórmula, precisamos aplicar um artifício matemático

no numerador, isto é, acrescentar e tirar o valor corresponde a b . Neste caso

acrescentaremos 4 e diminuiremos 4.

Assim ( ) ( )

−−+−⋅=

−−−−

94442

942

21

21

ssL

ssL

( )( )

( )

−−+−⋅=

−−−−

94442

942

21

21

ssL

ssL

Separando em duas frações, temos:

( )( )

( ) ( )

−−+

−−−⋅=

−−−−−

944

9442

942

21

21

21

sL

ssL

ssL

ou ainda multiplicando por 2, temos:

( )( )

( ) ( )

−−⋅⋅+

−−−⋅=

−−−−−

94142

9442

942

21

21

21

sL

ssL

ssL

Agora poderemos aplicar as fórmulas:

( )

−−−

22 absbs


e

( )

−− 221


aatetF

bt )senh()( ⋅=

22

No exemplo acima temos como 4−=− b ⇒ 4=b e 92 =a ⇒ 3=a

Assim ( )( )

( ) ( )

−−⋅+

−−−⋅=

−−−−−

9418

9442

942

21

21

21

sL

ssL

ssL

onde a função procurada é

3

)3senh(8)3cosh(2)(4

4 tetetFt

t ⋅⋅+⋅⋅=

ou

)3senh(38)3cosh(2)( 44 tetetF tt ⋅⋅+⋅⋅=

IMPORTANTÍSSIMO:

SEMPRE QUE USARMOS O ARTIFÍCIO MATEMÁTICO DE ACRESCENTAR E DIMINUIR O MESMO NÚMERO, SÉRÁ POSSÍVEL APLICAR AS FÓRMULAS:

23

( )

+−−

22 absbs


e

( )

+− 221


aatetF

bt )sen()( ⋅=

(Sempre ambas ao mesmo tempo)

OU AINDA :

( )

−−−

22 absbs


e

( )

−− 221


aatetF

bt )senh()( ⋅=

(Sempre ambas ao mesmo tempo)

FRAÇÕES PARCIAIS ALGÉBRICAS

Para representar uma fração algébrica sob forma de uma soma de frações

algébricas mais simples, deveremos considerar:

1º) a classificação das raízes do denominador, as quais podem ser:

• Reais e não repetidas;

Exemplos:

24

a) )2(1+ss Para que 0)2( =+ss , temos que as raízes do denominador são:

2 e 0 −== ss , as quais são reais e não repetidas.

b) ( )5)4(10

2 −− sss

Para que ( ) 05)4( 2 =−− ss , temos que as raízes do denominador

são: 5 e 2 ,2 =−== sss , as quais são reais e não repetidas.

• Reais e repetidas n vezes;

Exemplos:

a) 32 )2(1+ss Para que 0)2( 32 =+ss , temos que as raízes do denominador são:

2 e 0 −== ss , as quais são reais e repetidas duas e três vezes, respectivamente.

b) ( ) 422 5)4(10

−− sss

Para que ( ) 05)4( 422 =−− ss , temos que as raízes do denominador

são: 5 e 2 ,2 =−== sss , as quais são reais e repetidas duas, duas e quatro vezes,

respectivamente.

• Complexas e não repetidas;

a) ( ) )4(321

22 ++−

sss

Para que ( ) 0)4(3 22 =++ ss , temos que as raízes do denominador

são: isis 2 e 3 ±=±= , as quais são complexas e não repetidas.

b) ( ) )9(13

22

2

++ sss

Para que ( ) 0)9(1 22 =++ ss , temos que as raízes do denominador são:

isis 3 e ±=±= , as quais são complexas e não repetidas.

• Complexas e repetidas n vezes.

a) ( ) 3222 )4(321

++−

sss


são: isis 2 e 3 ±=±= , as quais são complexas e repetidas duas e três vezes.

25

b) ( ) 2242

2

)9(13

++ sss


são:

isis 3 e ±=±= , as quais são complexas e repetidas quatro e duas vezes.

2º) o número de frações parciais dependerá do tipo de raízes que possuir o

denominador, que poderemos escrever da seguinte forma:

• Raízes reais e não repetidas:

nsN

csC

bsB

asA

sgsf

−++

−+

−+

−= ...

)()(

(tantas frações quanto for o número de raízes)

Exemplo:

a) ( ) 220)2(1

++=

−−+

−=

+ sB

sA

sB

sA

ss

b) ( ) ( ) 5225225)4(10

2 −+

++

−=

−+

−−+

−=

−− sC

sB

sA

sC

sB

sA

sss

• Raízes reais e repetidas n vezes:

( ) ( ) ( ) nasN

asC

asB

asA

sgsf

−++

−+

−+

−= ...

)()(

32 (tantas frações quanto for o número de

vezes que a raiz se repete)

Exemplo:

a) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 32232 22200)2(1

−−+

−−+

−−+

−+

−=

+ sE

sD

sC

sB

sA

ss

b) ( ) ( ) ( ) 32232 222)2(1

++

++

+++=

+ sE

sD

sC

sB

sA

ss

• Complexas e não repetidas; kssg += 2)(

ksBsA

sgsf

++= 2)(

)( (o denominador da fração parcial será o termo que possui raízes

complexas)

Exemplo:

a) ( ) 43)4(321

2222 +++

++=

++−

sDsC

sBsA

sss

26

b) ( ) 91)9(13

2222

2

+++

++=

++ sDsC

sBsA

sss

• Complexas e repetidas n vezes.

( ) ( )nksNsM

ksDsC

ksBsA

sgsf

++++

+++

++=

2222 ...)()(

(o denominador da fração parcial será o termo

que possui raízes complexas e será repetido tantas vezes quanto indicar o seu

expoente)

Exemplo:

( ) ( ) ( ) ( )322222223222 44433)4(321

+++

+++

+++

+++

++=

++−

sJsI

sHsG

sFsE

sDsC

sBsA

sss

As constantes ,...,,, DCBA do numerador determinamos através da resolução de

um sistema de equações lineares.

EXEMPLOS COMPLETOS

Exemplo 1: A fração algébrica ( )41

2 +ss pode ser expressa numa soma de frações

parciais algébricas mais simples da seguinte forma:

• As raízes do denominador são 0=s , que é real e não repetida e o termo 42 +s

possui raízes complexas e também não repetidas. Desta forma, temos que:

( ) 4041

22 +++

−=

+ sCsB

sA

ss

( ) 4441

222 ++

++=

+ sCs

sB

sA

ss

• Reduzindo as frações ao mesmo denominador, temos que o ( )4M 2 += ssMC

( )( )

( )44

41

2

2

2 ++++=

+ ssCssBssA

ss

( ) ( )44

41

2

22

2 ++++=

+ ssCsBsAAs

ss

Como os denominadores são iguais trabalharemos somente com os numeradores, para

que possamos determinar os valores das constantes A, B e C.

27

• Agrupando os termos semelhantes, temos:

( ) ( ) ( )AsBsCA 41 2 +++=

• Para que tenhamos uma igualdade os coeficientes dos termos do 1º membro devem

ser iguais aos respectivos coeficientes dos termos do 2º membro. Assim teremos o

seguinte sistema de equações lineares:

=⇒==

−=⇒=+

41 14

041 0

AAB

CCA

• Retomando a fração inicial, temos:

( ) 4441

222 ++

++=

+ sCs

sB

sA

ss

( ) 441

404

1

41

222 ++

++

−=

+ s

s

ssss

Reescrevendo, temos a seguinte igualdade:

( ) 4411

41

41

22 +⋅+⋅−=

+ ss

sss

Exemplo 2: A fração algébrica ( )410

22 +sss

pode ser expressa numa soma de frações

parciais algébricas mais simples da seguinte forma:

• As raízes do denominador são 0=s , que é real e não repetida e o termo 42 +s

possui raízes complexas e também não repetidas. Desta forma, temos que:

( ) ( ) 400410

2222 +++

−+

−=

+ sDsC

sB

sA

sss

( ) 44410

22222 ++

+++=

+ sDs

sC

sB

sA

sss

• Reduzindo as frações ao mesmo denominador, temos que o ( )4M 22 += ssMC

( )( ) ( )

( )444

410

22

2222

22 ++++++=

+ ssDssCssBsAs

sss

28

( ) ( )444

410

22

3223

22 ++++++=

+ ssDsCsBBsAsAs

sss

Como os denominadores são iguais trabalharemos somente com os numeradores, para

que possamos determinar os valores das constantes A, B, C e D.

• Agrupando os termos semelhantes, temos:

( ) ( ) ( ) ( )BsAsCBsDAs 4410 23 +++++=

• Para que tenhamos uma igualdade os coeficientes dos termos do 1º membro devem

ser iguais aos respectivos coeficientes dos termos do 2º membro. Assim teremos o

seguinte sistema de equações lineares:

=⇒=

==⇒==⇒=+

−=⇒=+

0 0425

410 104

0 025 0

BB

AACCB

DDA

• Retomando a fração inicial, temos:

( ) 44410

22222 ++

+++=

+ sDs

sC

sB

sA

sss

( ) 425

4002

5

410

22222 +

−+

+++=

+ s

s

ssssss

Reescrevendo, temos a seguinte igualdade:

( ) 4251

25

410

222 +⋅−⋅=

+ ss

ssss

FORMULÁRIO INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Método para determinar L-1(f(s)):

29

Método das Frações Parciais Algébricas

1º caso: O denominador da f(s) possui n raízes reais e não repetidas:

nsN

csC

bsB

asA

sgshsf

−++

−+

−+

−== ...

)()()(

(tantas frações quanto for o número de raízes)

2º caso: O denominador da f(s) possui raízes reais e repetidas n vezes:

( ) ( ) ( ) nasN

asC

asB

asA

sgshsf

−++

−+

−+

−== ...

)()()( 32

(tantas frações quanto for o número de vezes que a raiz se repetir)

3º caso: O denominador da f(s) possui raízes complexas e não repetidas;

o denominador é do tipo kssg += 2)( ou kmsssg ++= 2)(

ksBsA

sgshsf

++== 2)(

)()( ou kmss

BsAsgshsf

+++== 2)(

)()(

(o denominador da fração parcial será o termo que possui raízes complexas)


)())((1 tFsfL =−

30

MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS ALGÉBRICAS.

EXEMPLO 1: ( )sf ( )53 2 +

=ss

( ) ?=tF

Precisamos escrever a função ( )sf acima sob forma de uma soma de frações mais

simples, cujas inversas sejam imediatas.

O número de frações dependerá do tipo de raízes e do número de vezes que ela

aparece no denominador da ( )sf .

As raízes do denominador da ( )sf são: ( ) 05.2 =+ss

Para o 1º fator temos, 0 02 =⇒= ss raiz real e repetida duas vezes.

Logo trata-se do 2º caso do nosso formulário:

( ) ( ) 22 00

−+

−⇒

−+

− sB

sA

asB

asA

Para o 2º fator temos, 5 05 −=⇒=+ ss raiz real e não repetida.

Logo trata-se do 1º caso do nosso formulário:

5)5(

+=

−−⇒

− sA

sA

asA

mas como já utilizamos A e B então ficará 5+s

C

Portanto

( ) ( ) 5053

22 ++

−+

−=

+ sC

osB

sA

ss ou

( ) 553

22 +++=

+ sC

sB

sA

ss

Para determinarmos os valores das constantes A, B e C deveremos efetuar a soma das

frações parciais, reduzindo-as inicialmente ao mesmo denominador, o qual deverá ser

sempre igual ao denominador da ( )sf dada inicialmente.

( ) ( )5.5 e ,m.m.c 22 +=+ sssss

Assim ( )( ) ( )

( )555

53

2

2

2 +++++=

+ ssCssBsAs

ss

31

Como os denominadores são iguais, trabalharemos somente com os numeradores.

Aplicando a propriedade distributiva, temos:22 553 CsBBsAsAs ++++=

Agrupando os termos semelhantes, temos:

( ) ( ) ( )BsBAsCA 553 2 ++++=

Igualmente os coeficientes do 1º membro com os do 2º membro, respectivamente,

temos:

==+

=+

3505

0

BBA

CA

Resolvendo o sistema, temos:

6,0 12,0 =−= BA 12,0=C

Sabemos que:

( ) 553

22 +++=

+ sC

sB

sA

ss

Substituindo as constantes A,B e C pelos valores encontrados, temos:

( ) 512,06,012,0

53

22 +++−=

+ sssss


( ) =

+

−

53

21

ssL

+⋅+

⋅+

⋅− −−−

5112,016,0112,0 1

211

sL

sL

sL

Aplicando as fórmulas F2, F3, F5, respectivamente, do nosso formulário temos que a

função ( )tF procurada é:

( ) tettF 512,06,0112,0 −⋅+⋅+⋅−= ou ( ) tettF 512,06,012,0 −⋅+⋅+−=

EXEMPLO 2: ( ) ( ) ( )945

2 +−=

ssssf ( ) ?=tF

32

Precisamos escrever a função ( )sf acima sob forma de uma soma de frações mais

simples, cujas inversas sejam imediatas.

O número de frações dependerá do tipo de raízes e do número de vezes que ela

aparece no denominador da função ( )sf .

As raízes do denominador da função ( )sf são: ( ) ( ) 09.4 2 =+− ss

Para o 1º fator temos 4 04 =⇒=− ss raiz real e não repetida.

Logo trata-se do 1º caso do nosso formulário: 4−

⇒− s

Aas

A

Para o 2º fator temos:

9 9 09 22 −±=⇒−=⇒=+ sss raízes complexas e não repetidas.

Logo trata-se do 3º caso do nosso formulário:9222 +

+⇒++

sBsA

asBsA

Mas como já utilizamos A então ficará .92 +

+s

CsB

Portanto

( ) ( ) 94945

22 +++

−=

+− sCsB

sA

sss

Ou

( ) ( ) 994945

222 ++

++

−=

+− sCs

sB

sA

sss

Para determinarmos os valores das constantes A, B e C deveremos efetuar a soma das

frações parciais, reduzindo-as inicialmente ao mesmo denominador, o qual deverá ser

sempre igual ao denominador da ( )sf dada inicialmente.

( ) ( ) ( )949 e 4m.m.c 22 +⋅−=+− ssss

Assim ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )94449

945

2

2

2 +⋅−−+−++=

+⋅− sssCssBsA

sss

Como os denominadores são iguais, trabalharemos somente com os numeradores.

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

CsCsBBsAAss 4495 22 −+−++=

Agrupando os termos semelhantes, temos:

33

( ) ( ) ( )BAsCBsCAs 4945 2 −+−++=

Igualmente os coeficientes do 1º membro com os do 2º membro, respectivamente,

temos:

=−=−

=+

04954

0

BACB

CA

Resolvendo o sistema, temos:

8,1 8,0 == BA 8,0−=C

Sabemos que:

( ) ( ) 994945

222 ++

++

−=

+− sCs

sB

sA

sss

Substituindo as constantes A, B e C pelos valores encontrados, temos:

( ) ( ) 98,0

98,1

48,0

945

222 +⋅−+

++

−=

+− ss

sssss


( ) ( ) =

+−−

945

21

sssL

+−

++

−−−−

9.8,0

91.8,1

41.8,0 2

12

11

ssL

sL

sL

Aplicando as fórmulas F5, F7 e F8, respectivamente, do nosso formulário temos que a

função ( )tF procurada :

( ) )3cos(8,03

)3sen(.8,1.8,0 4 ttetF t −+= ou

( ) )3cos(8,0)3sen(6,08,0 4 ttetF t ⋅−⋅+⋅=

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

34

1ª) Calcule a Transformada de Laplace ( )( )tFL , sendo:

a) ( ) ( ) 33 78sen52 ttetF t +−= −

b) ( ) ( )tetF t 4cos2 6−= + ( )te t 3sen4 5−

c) ( ) ( ) 104cos64 52 −+= tettF t

d) ( ) ( ) 46 26cos45 ttetF t −+=

e) ( ) ( ) 98sen43 65 +−= − tettF t

2ª) Calcule a inversa da Transformada de Laplace ( )( )sfL 1− , sendo:

a) ( )5

29

8623 −

++

−=sss

sf b) ( )( ) 32 6

581

43+

++

+=ss

ss

sf

c) ( ) ( )142

2 ++=

ssssf d) ( )

( )51013

2 ++−=

ssssf e) ( ) ( )1

232 +

−=ssssf

f) ( )9

449

382 −

−+

+=ss

ss

sf g) ( )( ) 36

77

32245 +

+−

−=sss

sf

h) ( )

+−−=

2562

2 ssssf i) ( )

++−=

100122

2 ssssf

J) ( )

++=

40122 ssssf k) ( )

+−=

2582 ssssf

3ª) Resolva as seguintes equações diferenciais, através de Laplace:

a) 06' =− yy onde ( ) 50 =y ; b) 08' =− yy onde ( ) 70 =y ;

c) 04'' =+ yy onde ( ) 40 =y e ( ) 40' =y ;

d) ( )tyy 3cos30' =− onde ( ) 00 =y ; e) ( )tyy 2cos15' =+ onde ( ) 00 =y ;

f) 09'' =+ yy onde ( ) 30 =y e ( ) 30' =y ;

g) teyy 3'' 5016 =+ onde ( ) 00 =y e ( ) 00' =y ;

h) tyyy 3632 ''' =−− onde ( ) 00 =y e ( ) 00' =y ;

i) ( )tyyy 2cos252 ''' =+− onde ( ) 00 =y e ( ) 00' =y .

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

35

1ª) a) f(s) = 442

6432

ss+

++ 2s40-

b) f(s) = ( ) ( ) 9+5+s12

+16+6+s

12+s222

c) f(s) = ( ) s10

-16+s

s6+

5-s8

23

d) f(s) = 52 s48

-36+s

s4+

6-s5

e) f(s) = ( ) s9

+64+s

32-

6+s360

26

2ª) a) F(t) = 3t2 - 38 sen(3t) + 2e5t b) F(t) = 3 + 4 cos(9t) +

25 t2e-6t

c) F(t) = 4 – 4 cos(t) +2 sen(t) d) F(t) = -3 +2t + 3 e-5t

e) F(t) = -2 +2 cos(t) +3 sen(t) f) F(t) = 8 + 3 cos(7t) –4e9t

g) F(t) = )t6sen(67

+et21

-12t t73

4 h) F(t) = )t4sen(e

41

+)t4cos(e t3t3

i) F(t) = e-6tcos(8t) – e-6tsen(8t) j) F(t) = e-6tcos(2t) – 3e-6tsen(2t)

k) F(t) = e4tcos(3t) + 34 e4tsen(3t)

3ª) a) y(t) = 5e6t b) y(t) = 7e8t c) y(t) = 4cos(2t) + 2sen(2t)

d) y(t) = -10cos(3t) + 30sen(3t) + 10et

e) y(t) = 3cos(2t) + 6sen(2t) – 3e-t f) y(t) = 3cos(3t) + sen(3t)

g) y(t) = 2e3t – 2cos(4t) - 23 sen(4t) h) y(t) = 8 – 12t + e3t – 9e-t

i) tt teet)(t)-(-y(t) 532sen42cos3 ++=

36

teoria+ +transformada+de+laplace

Documents