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TRANSFORMADA DE LAPLACETRANSFORMADA DE LAPLACE
■ Introdução■ Transformada de Laplace■ Propriedades da Transformada de Laplace■ Definição da Função de Transferência■ Conversão função de transferência para modelo de
estado
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IntroduçãoIntrodução
■ A partir do operador “p = d/dt” define-se a funçãode transferência operacional.
■ A FTO pode ser entendida como uma função p/ omódulo (ganho) e outra p/ a fase (fase).
■ Com a transformada de Laplace, este conceitopode ser generalizado.
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Definição da Transformada de Definição da Transformada de LaplaceLaplace
A transformada de Laplace de uma função causal édada por:
onde s=σ+jω é a variável livre que assume valoresno plano complexo. Observe que o limite inferiorinclui qualquer descontinuidade que ocorra noinstante t = 0.
[ ]F s L f t f t e dtst( ) ( ) ( )= = −∞
−∫0
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Existência da TLExistência da TL
Para a convergência da integral de Laplace de umafunção f(t), é necessário que exista um α > 0 talque
0)(lim =−
∞→tfe t
t
α
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Existência da TLExistência da TL
0)(lim =−
∞→tfe t
t
α
Maioria das funçõespossuem um valor de α
Funções exponenciaispositivas
Funções que crescem a umataxa menor que a exponencial
não possuium valor de α
2teaparecem raramente emproblemas de engenharia
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Exemplo 5.1: TL da exponencialExemplo 5.1: TL da exponencial
■ Calcular para[ ])(tfL jcbaetf at +== − )(
[ ] ∫∫∞
+−∞
−−− ===0
)(
0
)( dtedteeeLsF tasstatat
[ ]asas
eas
sF tas
+=−
+−=
+−=
∞+− 1
1011
)(0
)(
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ContinuaçãoContinuação
Para que exista atransformada
0>+ bα
)(lim)(lim)(lim )()( jcttb
t
tjcb
t
att
teeeee −+−
∞→
++−
∞→
−−
∞→== ααα
0)(lim =−
∞→tfe t
t
α
Para que este limiteconvirja a zero
(abcissa de convergência) b−>α
0)(lim )( =−+−
∞→
jcttb
tee α
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Exemplo 5.2: TL do degrau unitárioExemplo 5.2: TL do degrau unitário
■ Calcular para a função degrau[ ])(tuL
>≤
=
>≤
= − 0 se
0 se 0
0 se 1
0 se 0)( 0 te
t
t
ttu t
[ ]ss
eLsF t 1
0
1)( 0 =
+== −
ssF
1)( =
0>αPara que exista atransformada
Igual ao exemplo 1
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Propriedades da TL: LinearidadePropriedades da TL: Linearidade
P1: A transformada de Laplace é um operador linear
[ ] [ ] [ ])()()()( 22112211 tfLtfLtftfL αααα +=+
[ ] )()()()( 22112211 sFsFtftfL αααα +=+
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Exemplo 5.3: TL da Exemplo 5.3: TL da cossenóidecossenóide
■ Calcular para[ ])(tfL ttf ωcos)( =
[ ]tjtj eet ωωω −+=2
1cos
[ ])()(2
1)( tjtj eLeLsF ωω −+=
22)(
ω+=
s
ssF
+= − )(
2
1][cos tjtj eeLtL ωωω
++
−=
ωω jsjssF
11
2
1)(
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Continuação: TL da Continuação: TL da cossenóidecossenóide
Para que exista atransformada
0>α
0)]cos([lim =−
∞→te t
tωα
0)(lim =−
∞→tfe t
t
α
Para que exista o limite:
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Exemplo 5.4: TL do impulso unitárioExemplo 5.4: TL do impulso unitário
■ Calcular para a função impulso unitário[ ])(tL δ
>≤≤
<=
0
00
se 0
0 se 1
0 se 0
)(
tt
ttt
t
tf
01 t
)(tf
t
)(lim)(00
tftt →
=δ
[ ] dtetftfLtLsF st
tt
−∞
→→ ∫=
==
000
)(lim)(lim)()(00
δ
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ContinuaçãoContinuação
dtetfdtetfsF st
t
st
t
−∞
→−
∞
→ ∫∫ ==0
00
0)(lim)(lim)(
00
−=
−=−
→
−
→0
000
0
0
0
0
0
1lim
11lim
st
ee
st
st
t
tst
t
1lim1
lim0
0
0
0 00
0=⇒− −
→
−
→ s
se
st
e st
t
st
t
AplicandoL’Hôpital: [ ] 1)( =tL δ
Como0 ,0)( tttf >=
dtet
dtetf stt
t
st
t
−→
−∞
→ ∫∫ =0
00 0 000
0
1lim)(lim
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Propriedades da TL: Transformada da derivadaPropriedades da TL: Transformada da derivada
P2: Diferenciação real (com relação à variável t)
)0()()( −−=
fssF
dt
tdfL
generalizando
−=
=
−
=
−−∑0
1
0
1 )()(
)(
t
i
in
i
innn
n
dt
tfdssFs
dt
tfdL
quando todas ascondições iniciais
são nulas)(
)(sFs
dt
tfdL n
n
n
=
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Propriedades da TL: Transformada da integralPropriedades da TL: Transformada da integral
P3: Integração real
[ ]0
)(1
)(1
)(=
∫∫ −=t
dttfs
sFs
dttfL
quando todas ascondições iniciais
são nulas[ ]
s
sFdttfL
)()( =∫
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Propriedades da TL: Teorema do valor finalPropriedades da TL: Teorema do valor final
P4: Valor Final
[ ] )()( sFtfL =se
)(lim
)(lim
0sFs
tf
dt
dfL
s
t
→
∞→
e seexistem
)(lim)(lim0
sFstfst →∞→
=
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Propriedades da TL: Teorema do valor inicialPropriedades da TL: Teorema do valor inicial
P5: Valor Inicial
[ ] )()( sFtfL =se)(lim sFs
dt
dfL
s ∞→
e seexistem
)(lim)(lim0
sFstfst ∞→→
=+
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Propriedades da TL: Translação no tempoPropriedades da TL: Translação no tempo
P6: Translação Real (u(t) é o degrau unitário)
[ ] )()()( sFeTtuTtfL sT−=−−
t
)()( TtuTtf −−)(tf
T
Se existe a TL F(s) de uma função f(t)
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Propriedades da TL: Convolução no tempoPropriedades da TL: Convolução no tempo
■ Transformada da convolução no tempo
∫ =−t
sGsFdtgfL0
)()(])()([ τττ
[ ] )()( sFtfL =se
[ ] )()( sGtgL =
∫ −==t
dtgftgtfth0
)()()(*)()( τττ
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Propriedades da TL: Translação na freqüênciaPropriedades da TL: Translação na freqüência
P7: Translação complexa
[ ] )()( asFtfeL at +=−
Se existe a TL F(s) de uma função f(t)
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Propriedades da TL: Funções periódicasPropriedades da TL: Funções periódicas
P8: Funções Periódicas
)(tf
onde
[ ] )(1
1)( 1 sF
etfL
sT−−=
função periódica de período T
[ ])()( 11 tfLsF =
primeiro período de f(t))(1 tf
)(tf
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Propriedades da TL: Diferenciação na freqüênciaPropriedades da TL: Diferenciação na freqüência
P9: Diferenciação complexa
[ ] )()( sFds
dtftL −=
quando todas as condições iniciais são nulas
Se existe a TL F(s) de uma função f(t)
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Propriedades da TL: Integração na freqüênciaPropriedades da TL: Integração na freqüência
P10: Integração complexa
dssFt
tfL
s∫∞
=
)(
)(
Se existe a TL F(s) de uma função f(t) e dssFs∫∞
∃ )(
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Exemplo 5.5: TL da função dente de serraExemplo 5.5: TL da função dente de serra
)(1 tf
tT
A
T
)(tf
t
A
tT tT
A− −
)( tutT
A)( )( TtuTt
T
A −−)( TtuA −
)( )( )()( )(1 TtuATtuTtT
Atut
T
Atf −−−−−=
)(1 tf
Primeiroperíodo
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Continuação Exemplo 5.5 da TLContinuação Exemplo 5.5 da TL
[ ] [ ] [ ] [ ]{ })()()()()()( 11 TtuTLTtuTtLtutLT
AtfLsF −−−−−==
[ ])( )( )()( )(1 TtuTTtuTttutT
Atf −−−−−=
[ ]2
11)(
ssds
dtutL =
−=
[ ]2
1)]([)()(
settuLeTtuTtL sTsT −− ==−−
[ ]s
eTsUTeTtTuL
sTsT
−− ==− )()(
P9:
P6:
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Continuação Exemplo 5.5 da TLContinuação Exemplo 5.5 da TL
−−=
−−
s
eT
se
sT
AsF
sTsT
221
11)(
)(1
1)( 1 sF
esF
sT−−=
−−−= −
−
sT
sT
e
eTs
Ts
AsF
1
)1(1)(
2
P8:
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Definição da Função de TransferênciaDefinição da Função de Transferência
A partir da equação diferencial geral simplificada
aplicando a Transformada de Laplace (P2 c/ CIs nulas)
define-se a função de transferência como:
D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=
D s Y s N s U s( ) ( ) ( ) ( )=
)(
)(
)(
)()(
sD
sN
sU
sYsH ==
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Resposta ao impulso e FTResposta ao impulso e FT
■ Resposta ao Impulso
)}({)]}([{)( thLtLsH == δR
∫ −=t
dtuhty0
)()()( τττ
)}({)(1)( thLsHsU =⇒=
)()(])()([)(0
sUsHdtuhLsYt
=−= ∫ τττ
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Conversão modelo de estado p/ FTConversão modelo de estado p/ FT
Considerando o modelo de estado
aplicando a TL(com CIs nulas)
chega-se a
DuCxy
BuAxx
+=+=�
)()()(
)()()(
sDUsCXsY
sBUsAXssX
+=+=
)()()( 1 sBUAsIsX −−=
DBAsICsU
sYsH +−== −1)(
)(
)()(
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Exercício 5.1Exercício 5.1
Para um sistema MMA desenhar o DB e encontrar a respostaao degrau no SIMULINK. Usar os conectores de entrada esaída e transferir o modelo p/ o ambiente MATLAB. Achar aresposta ao degrau e comparar c/ a resposta anterior.Considerar m = 1 kg; c = 2 N-s/m; k = 10 N/m.Usar comando linmod p/ a transferência do modelo.Ex:
nome_do_modelo = test.mdl [A B C D] = linmod(‘test’);
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Modelo Modelo no no SimulinkSimulink
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Resposta Resposta do do Modelo Modelo no no SimulinkSimulink
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Modelo Modelo no no Simulink Simulink com com os conectores os conectores (p/ (p/ linmodlinmod))
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MatLabMatLab
■ m=1
■ c=2
■ k=10
■ np=1/m
■ dp=[1 c/m k/m]
■ step(np,dp)■ printsys(np,dp)
■ [A B C D] = linmod(’ex1a’);
■ sys=ss(A,B,C,D);■ step(sys)
■ [nps,dps]=ss2tf(A,B,C,D)
■ printsys(nps,dps)
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Exercício 5.2Exercício 5.2
Repetir a mesma seqüência anterior para o sistemacuja EDG é
udt
du
dt
udy
dt
dy
dt
yd
dt
yd8410127
2
2
2
2
3
3
++=+++
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Modelo Modelo no no SimulinkSimulink
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Resposta Resposta do do Modelo Modelo no no SimulinkSimulink
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MatLabMatLab
■ np=[1 4 8]
■ dp=[1 7 12 10]
■ step(np,dp)
■ printsys(np,dp)
■ [A B C D] = linmod(’ex2’);■ sys=ss(A,B,C,D);
■ step(sys)
■ [nps,dps]=ss2tf(A,B,C,D)
■ printsys(nps,dps)
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Exercício 5.3Exercício 5.3
Para o sistema cujo DB está abaixo
2
uy
5
∫
3
25
1
∫-
-
-■ Repetir a seqüência anterior■ Achar o ME a partir do DB■ Comparar os resultados
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Modelo Modelo no no Simulink Simulink com com os conectoresos conectores
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Equaçoes Equaçoes do do modelomodelo de de estado apartirestado apartir DBDB
1 1 2
2 1 2
1 2
3 5
5 2
2
x x x u
x x x u
y x x
= − + += − − +
= +
�
�
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MatLabMatLab
■ Ad=[-1 3;-1 -5]
■ Bd=[5;2]
■ Cd=[2 1]
■ Dd=0■ sys=ss(Ad,Bd,Cd,Dd);
■ step(sys)
■ [npd,dpd]=ss2tf(A,B,C,D)■ printsys(npd,dpd)
■ [A B C D] = linmod(’ex3’);
■ sys=ss(A,B,C,D);■ step(sys)
■ [np,dp]=ss2tf(A,B,C,D)
■ printsys(nps,dps)