2–1

2 Transformada de Laplace

En este capítulo se estudia el método de la transformada de Laplace para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Estas ecuaciones son las que aparecen en los modelos lineales e invariantes en el tiempo de sistemas dinámicos.

En el proceso de resolver una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes usando la transformada de Laplace, se definirá la función de transferencia. Ésta es una forma de modelado alternativa a la ecuación diferencial que permite analizar de forma cómoda y rápida las propiedades del sistema.

2.1 Introducción Considérese un modelo lineal e invariante en el tiempo (modelo LTI) representado mediante una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes:

andny(t)dtn

+ an−1dn−1y(t)dtn−1 ++ a1

dy(t)dt

+ a0y(t) =

= bmdmu(t)dtm

+ bm−1dm−1u(t)dtm−1 ++ b1

du(t)dt

+ b0u(t)

Normalmente mn ≥ . Escrito de forma compacta:

aidiy(t)dtii=1

n

∑ + a0y(t) = bidiu(t)dtii=1

m

∑ + b0u(t)

En el transcurso de este capítulo y posteriores, cuando no haya confusión, se usará también la siguiente notación para las derivadas:

y(t) = dy(t)dt

, y(t) = d2y(t)dt2

, …, y(n) (t) = dny(t)dtn

Hay varios métodos para resolver este tipo de ecuaciones, como puede conocer el lector si ha recibido ya un curso de ecuaciones diferenciales. Uno de ellos es la transformada de Laplace que se utilizará en este curso.

2.2 Definición de la transformada de Laplace La transformada de Laplace X(s) de una variable x(t) se define de la siguiente forma:

X(s) = L{x(t)} = x(t)e−st dt0−∞

∫

Se transforma la señal x(t) del dominio del tiempo t al dominio de la variable s de Laplace, que es una variable compleja. El límite inferior de la integral 0- indica el instante de tiempo justo antes del instante 0 (instante inicial) y permite el cálculo correcto de la transformada para señales especiales.

Aunque no todas las funciones matemáticas admiten transformada de Laplace, para las señales que se usarán en este curso sí está definida, por lo que no se abordará el problema de la existencia de transformada. Además, las señales que se utilizarán serán en su mayoría causales. Una señal es causal si vale 0 para t < 0.

2–2

2.3 Propiedades de la transformada de Laplace La transformada de Laplace tiene una serie de propiedades útiles para la resolución de ecuaciones diferenciales y el análisis de sistemas LTI. En esta sección sólo se citarán las propiedades básicas sin incluir las correspondientes demostraciones, salvo que sean obvias. Para una exposición detallada de todas las propiedades de la transformada de Laplace, incluyendo sus demostraciones, debe consultarse un libro específico sobre este tema.

Linealidad

La transformada es un operador lineal, al serlo la integral de una función:

L{Ax1(t)+Bx2 (t)} = A x1(t)e−st dt

0−

∞

∫ +B x2 (t)e−st dt

0−

∞

∫ = AX1(s)+BX2 (s) ,

donde A y Β son constantes.

Transformada de la derivada

La transformada de Laplace de la derivada temporal de una señal viene dada por:

L dx(t)dt

!"#

$%&= sX(s)− x(0− ) ,

donde )0( −x es la condición inicial. Nótese que se usan a veces señales con discontinuidades en el

origen, por lo que es preciso distinguir entre condición inicial )0( −x y valor inicial )0( +x .

Las transformadas sucesivas se determinan recursivamente a partir de la regla anterior:

L dnx(t)dtn

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭= snX(s)− sn−1x(0− )− sn−2 dx

dt(0− )−…− d

n−1xdtn−1

(0− )

Transformada de la integral

La transformada de la integral de una señal es:

L x(τ )dτ0−t∫{ }= X(s)s

La variable τ se ha usado como variable auxiliar de integración.

Transformada de una señal con retardo

Si )(tx es una señal causal, y sólo en este caso, la transformada de x(t − t0 ) , con t0 > 0, es:

L{x(t − t0 )} = e−t0sX(s)

Multiplicación por el tiempo

La trasformada del producto de una señal cualquiera por el tiempo se calcula de la siguiente forma:

L{tx(t)} = − dX(s)ds

Generalizando, se obtiene L{tnx(t)} = (−1)n dnX(s)dsn

.

Teorema del valor inicial

Si X(s) es la transformada de x(t), el valor inicial de la señal (en t = 0+) puede determinarse mediante el siguiente límite:

2–3

x(0+ ) = lims→∞{sX(s)}

Es necesario que la señal x(t) no contenga un impulso (véase más adelante la definición de impulso) ni derivadas de un impulso en t = 0.

Teorema del valor final

El teorema del valor final permite determinar el valor final de una señal calculando el siguiente límite:

x(∞) = lims→0

{sX(s)}

Es necesario que las raíces del denominador de sX(s) tengan la parte real estrictamente negativa.

La tabla 2.1 resume las propiedades básicas de la transformada de Laplace.

Tabla 2.1. Propiedades básicas de la transformada de Laplace Definición )(tx X(s) = L{x(t)} = x(t)e−st dt

0−∞

∫

Linealidad Ax1(t)+Bx2 (t) AX1(s)+BX2 (s) Derivación dx(t) dt

dnx(t)dtn

sX(s)− x(0− )

snX(s)− sn−1x(0− )−…− dn−1x(0−)dtn−1

Integración x(τ )dτ0−t∫ X(s)

s

Retardo x(t − t0 ) Si x(t) es causal

e−t0sX(s)

Multiplicación por el tiempo

tx(t)tnx(t)

−dX(s)ds

(−1)n dnX(s)dsn

Valor inicial x(0+ ) = lims→∞{sX(s)}

Valor final x(∞) = lims→0

{sX(s)}

Si las raíces del denominador de sX (s) tienen la parte real estrictamente negativa

2.4 Transformada de Laplace de señales básicas Hay un conjunto de señales básicas que aparecen continuamente en el estudio de sistemas dinámicos tanto en la entrada como en la respuesta del sistema. A continuación se presentan estas señales junto con sus transformadas de Laplace.

Escalón unitario

La señal escalón unitario (fig. 2.1) se define como:

γ (t) =0 t < 01 t ≥ 0

"#$

%$,

2–4

Figura 2.1. Función escalón unitario

Nótese que para convertir una señal que no es causal en causal, basta con multiplicarla por el escalón unitario. Además, la entrada del tipo escalón se utiliza frecuentemente como entrada estándar para evaluar la respuesta de un sistema y poder compararla con la de otros sistemas.

Su transformada es:

L{γ (t)} = γ (t)e−st dt0−∞

∫ = e−st dt0

∞

∫ =e−st

−s$

%&

'

()0

∞

=e−∞

−s−e0

−s=1s

Ejemplo 2.1 (Función pulso). La señal pulso (fig. 2.2):

pT (t) =0 t < 0 1 0 ≤ t < T0 t ≥ T

#

$%%

&%%

t

pT(t)1

T Figura 2.2. Función pulso.

Se puede interpretar como combinación de dos escalones, el segundo de ellos invertido y retardado en el tiempo pT (t) = γ (t)−γ (t −T ) . Usando la transformada de Laplace de la función escalón y la propiedad de la linealidad se puede calcular la transformada de Laplace del pulso como:

PT (s) =1s− 1se−Ts = 1− e

−Ts

s

Impulso

El impulso, o delta de Dirac, puede ser definida como una señal tal que su integral es un escalón unitario:

γ (t) = δ(τ )−∞

t

∫ dτ .

Por lo tanto, tiene que ser cero para t < 0 y t > 0, con valor infinito en t = 0. Puede definirse también como la derivada del escalón δ(t) = dγ (t) dt . Si en la integral anterior se hace tender t a infinito se tiene:

δ(t)−∞

∞

∫ dt =1 .

Por lo tanto el área de un impulso es uno. Esta rara función puede interpretarse intuitivamente como el límite de la función pulso δε (t) , que se muestra en la figura 2.3(a), cuando ε→ 0 . La figura 2.3(b) se utiliza habitualmente para representar una función impulso.

2–5

Aunque la función impulso es imposible de generar físicamente, hay varias señales prácticas que pueden aproximarse por esta función (señales de corta duración).

t

δ(t) (b)

Figura 2.3. (a) Pulso de ancho ε y altura 1/ε . (b) Representación de la función impulso δ(t).

Como la transformada de Laplace de la función escalón es L{γ (t)} =1 s , la transformada del impulso vale L{δ (t)} = L{dγ (t) dt} = s s −γ (0− ) =1 , aplicando la propiedad de la transformada de la derivada temporal de una señal.

Función rampa lineal

La función rampa lineal (fig. 2.4) es x(t) = tγ (t) (el producto de una señal por la función escalón hace que

ésta sea causal), su transformada de Laplace es X(s) =1 s2 . Es una consecuencia inmediata de la propiedad de la transformada de una señal multiplicada por el tiempo.

t

1

tγ(t)

1 Figura 2.4. Rampa lineal.

Función exponencial

La función exponencial (fig 2.5) es x(t) = e−atγ (t) , donde a es una constante. Para que la función exponencial tienda a 0 es necesario que a > 0. El caso a = 0 se corresponde con el escalón unitario.

Figura 2.5. Función e−at con a > 0.

Una característica muy importante de la función exponencial es la denominada constante de tiempo τ =1/a. La constante de tiempo se puede determinar gráficamente usando dos propiedades de la exponencial:

• Si se traza la pendiente de la función exponencial en el origen de tiempos, ésta corta al valor final de la exponencial, 0 en este caso, en un intervalo temporal igual a una constante de tiempo. Esta propiedad se puede generalizar a cualquier instante, no sólo el instante 0.

• La función exponencial recorre en una constante de tiempo aproximadamente un 63% del trayecto total que tiene que recorrer entre su valor inicial y final. En 3 constantes de tiempo recorre un 95% de ese trayecto y se puede considerar que prácticamente alcanza su valor final en 5 constantes de tiempo.

La transformada de la función exponencial es:

2–6

L{e−atγ (t)} = e−(s+a)t dt0−∞

∫ =e−(s+a)t

−(s+ a)$

%&

'

()0

∞

=e−∞

−(s+ a)−

e0

−(s+ a)=

1s+ a

Función exponencial multiplicada por el tiempo

La función matemática que define esta señal es x(t) = te−atγ (t) , donde a es una constante (fig 2.6). Esta señal aparece en la respuesta de ciertos sistemas dinámicos. Su transformada es:

X(s) = 1(s+ a)2

,

teniendo en cuenta la propiedad de la transformada de una señal multiplicada por el tiempo y que la

transformada de e−atγ (t) es 1

s+ a.

Figura 2.6. Función te−at , a > 0.

Funciones senoidales

La función senoidal x(t) = cos(ωt +ϕ )γ (t) , donde ω y ϕ son constantes, se puede expresar como una

suma de dos exponenciales complejas conjugadas x(t) = 12e j (ωt+ϕ ) + e− j (ωt+ϕ )( )γ (t) . Por lo tanto su

transformada de Laplace se puede calcular particularizando la transformada de Laplace de una exponencial y aplicando la propiedad de linealidad. El resultado es:

X(s) =

12e jϕ

s − jω+

12e− jϕ

s + jω

Aunque operando esta transformada se puede eliminar la dependencia de la unidad imaginaria j, será más cómodo manejarla con notación compleja. Para la función x(t) = sen(ωt +ϕ )γ (t) se puede aplicar el

mismo resultado teniendo que cuenta que también es igual a x(t) = cos(ωt +ϕ − π2)γ (t) .

Como casos particulares, a continuación se presentan las transformadas de Laplace de las funciones cos(ωt) y sen(ωt) si se elimina la unidad imaginaria j:

L{cos(ωt)} = ss2 +ω 2 , L{sen(ωt)} = ω

s2 +ω 2

Senoidales amortiguadas

La función x(t) = e−at cos(ωt +ϕ )γ (t) , donde a, ω y ϕ son constantes, es una función senoidal con amplitud que disminuye según una exponencial decreciente e−atγ (t) denominada envolvente (a > 0) (fig 2.7). La función x(t) puede expresarse también como la suma de dos exponenciales complejas

x(t) = 12e(−a+ jω )t+ jϕ + e(−a− jω )t− jϕ( )γ (t) . Por lo tanto, su transformada de Laplace resulta:

X(s) =

12e jϕ

s+ a− jω+

12e− jϕ

s+ a+ jω .

2–7

Figura 2.7. Función e−at cos(ωt) .

Es conveniente observar que para determinar la mayoría de las transformadas de las señales básicas apenas se ha utilizado la integral de definición de la transformada de Laplace, sino el conjunto de propiedades obtenidas en la sección 2.3. En la tabla 2.2 se resumen las transformadas de Laplace de las señales básicas. Se ha tenido en cuenta que si la señal x(t) está multiplicada por una constante A, su transformada de Laplace es L{Ax(t)} = AX s( ) , lo cual es consecuencia de la linealidad de la transformada.

Tabla 2.2. Transformada de Laplace de las señales básicas Se supone que todas las señales son causales

Señal x(t), t ≥ 0 X(s)

Impulso Aδ (t) A Escalón unitario Aγ (t)

sA

Rampa lineal At As2

Exponencial Ae−at As+ a

Exponencial por el tiempo Ate−at

A(s+ a)2

Senoidal Acos(ωt +ϕ ) A2e jϕ

s− jω+

A2e− jϕ

s+ jω

Senoidal amortiguada Ae−at cos(ωt +ϕ )

A2e jϕ

s+ a− jω+

A2e− jϕ

s+ a+ jω

2.5 Transformada inversa de Laplace La transformada inversa de Laplace o antitransformada de X(s) es la función x(t) cuya transformada de Laplace es X(s). La función X(s) es típicamente una función racional en s, es decir, un cociente de polinomios. El método más sencillo para calcular la antitransformada consiste en recurrir a una descomposición en fracciones parciales de la función X(s), de tal manera que X(s) se exprese como una suma de transformadas de Laplace básicas (tabla 2.2). Una vez realizada esta descomposición en fracciones parciales basta con aplicar la propiedad de linealidad para calcular la antitransformada.

Si X(s) puede expresarse como:

X(s) = N(s)D(s)

=Ri

s− pi∑ , entonces x(t) = Rie

pit∑ .

2–8

Es decir, la antitransformada es la suma de las antitransformadas de cada uno de los sumandos, que son inmediatas porque todas ellas aparecen en la tabla 2.2.

Las constantes Ri se denominan residuos, mientras que las raíces pi del polinomio denominador D(s) se denominan polos. Este método permite descomponer la señal x(t) en una serie de sumandos Rie

pit o modos. Este planteamiento es igualmente válido aunque los polos sean complejos ya que las exponenciales complejas pueden agruparse en funciones senoidales reales según el teorema de Euler. Sin embargo, la presencia de polos reales o complejos de multiplicidad mayor que uno, requiere de un plantamiento algo distinto. Los siguientes ejemplos ilustran el cálculo de la antitransformada para diferentes supuestos: polos reales simples, polos complejos y polos reales múltiples.

Ejemplo 1: polos reales simples

Para calcular los residuos, se multiplica X(s) por (s− pj ) :

X(s)(s− pj ) = Rii∑

s− pjs− pi

y se hace s = pj . De esta forma, el único término que no se anula es el del residuo j, luego:

Rj = [X(s)(s− pj )]s=pj

Como ejemplo se va a calcular la antitransformada de:

Y (s) = 2+ 5ss(1+ 5s)

=s+ 0, 4s(s+ 0,2)

Una vez determinados los polos (en s = 0 y s = −0,2), se puede escribir:

Y (s) = s+ 0, 4s(s+ 0, 2)

=R0

s + R1

s+ 0, 2

Utilizando la fórmula de los residuos:

R0 = {sY (s)} s=0 =s+ 0, 4s+ 0,2

!"#

$%& s=0

= 2

R1 = { s+ 0,2( )Y (s)} s=−0,2 =s+ 0, 4s

"#$

%&' s=−0,2

= −1

Basta ahora con aplicar la transformada inversa a cada uno de los sumandos para obtener la función temporal:

y(t) = 2− e−0,2t( )γ (t)

A partir de este resultado, se pueden comprobar los teoremas del valor inicial y del valor final. Este último teorema es aplicable porque el único polo de sY(s), que vale -0,2, tiene parte real estrictamente negativa.

y(0+ ) = lims→∞

sY (s) = lims→∞

2+ 5s1+ 5s

=1

y(∞) = lims→0

sY (s) = lims→∞

2+ 5s1+ 5s

= 2

Ejemplo 2: polos complejos

Se usará como ejemplo el cálculo de la antitransformada de:

Y (s) = 3s(s2 + 2s+ 5)

=3

s(s+1− 2 j)(s+1+ 2 j)

2–9

En este caso los polos son s = 0 y s = −1± 2 j . Nótese que en el caso de que haya polos complejos, estos siempre aparecen como parejas de polos conjugados. La descomposición en fracciones parciales resulta:

Y (s) = 3s(s+1− 2 j)(s+1+ 2 j)

=R0

s + R1

s+1− 2 j+

R2

s+1+ 2 j

Los residuos R1 y R2 también serán números complejos conjugados, por lo que sólo es necesario calcular uno de ellos. Utilizando la fórmula de los residuos:

R0 = {sY (s)} s=0 =3

s2 + 2s+ 5!"#

$%& s=0

=35

R1 = { s+1− 2 j( )Y (s)} s=−1+2 j =3

s(s+1+ 2 j)"#$

%&' s=−1+2 j

= 0,335e j2,68

Aplicando la antitransformada a todas las fracciones parciales, resulta:

y(t) = 35+ 0,67e−t cos 2t + 2,68( )

"

#$

%

&'γ (t)

Ejemplo 3: polos reales múltiples

Si un polo de X(s) tiene una multiplicidad q aparecerán los siguientes términos en la descomposición:

Ri1s− pi

+Ri2

(s− pi )2 ++

Riq(s− pi )

q

Se considerará exclusivamente el caso de q=2, y como ejemplo se calculará la antitransformada de:

Y (s) = 2+ 5ss(1+ 5s)2

=s+ 0, 4

5s(s+ 0,2)2

En este caso los polos son s = 0 y s = −0,2 doble, por lo que la descomposición en fracciones parciales resulta:

Y (s) = s+ 0, 45s(s+ 0, 2)2 =

R0

s + R1

s+ 0, 2+

R2

s+ 0, 2( )2

Utilizando la fórmula de los residuos, se pueden determinar R0 y R2:

R0 = {sY (s)} s=0 =s+ 0, 4

5 s+ 0,2( )2!"#

$#

%&#

'# s=0

= 2

R2 = { s+ 0, 2( )2Y (s)} s=−0,2 =s+ 0, 45s

"#$

%&' s=−0,2

= −0,2

Sin embargo, no es posible utilizar este procedimiento para calcular R1. Para obtener el valor de R1 se debe sustituir la variable s por un valor que no coincida con ningún polo y resolver la ecuación resultante donde la única incógnita será R1. Por ejemplo, si hacemos s=1, resulta la siguiente ecuación:

1, 45×1, 22 = 2 + R1

1, 2+−0, 21, 22 → R1 = −2

Una vez obtenidos todos los residuos, se puede aplicar la transformada inversa a cada uno de los sumandos, obteniéndose:

y(t) = 2− 2e−0,2t − 0,2te−0,2t( )γ (t)

El planteamiento cuando aparecen polos complejos múltiples es similar, salvo que aparecerán en la antitransformada senoidales amortiguadas multiplicadas por potencias del tiempo.

2–10

2.6 Relación entre polos y términos de la respuesta Se ha comprobado en la sección 2.5 que los polos pi de X(s) definen los términos de la respuesta o modos, mientras que los residuos Ri, que aparecen en la descomposición en fracciones parciales, afectan sólo a las amplitudes y fases (en el caso de polos complejos). Según sea el valor de la parte real o imaginaria de los polos se obtienen distintos tipos de respuesta (fig. 2.8).

Un polo real -a da lugar a una respuesta exponencial e−at . Si a es positivo la respuesta es decreciente hasta llegar a 0, y creciente sin límite si a es negativo. Si el polo es nulo, el término temporal asociado es constante. La rapidez de la respuesta, o velocidad de crecimiento o decrecimiento de la exponencial, es tanto mayor cuanto mayor sea la magnitud a del polo, o cuanto menor sea la constante de tiempo asociada al polo τ =1/ a .

Un par de polos imaginarios conjugados ± jω dan lugar a una respuesta senoidal cos(ωt) . La frecuencia de oscilación aumenta, y el período disminuye, al aumentar la magnitud de los polos.

Una par de polos complejos conjugados −a± jω dan lugar a una respuesta senoidal con amplitud exponencial e−at cos(ωt +ϕ ) . Si a es positivo la respuesta es amortiguada o decreciente, y creciente si a es negativo. La constante de tiempo de la envolvente exponencial la determina el inverso de la parte real de los polos, mientras que la pulsación de la oscilación la define la parte imaginaria. Para los polos complejos, se define el amortiguamiento ζ = a a2 +ω 2 como un parámetro adimensional entre 0 y 1 que está relacionado con el número de oscilaciones de la senoidal amortiguada antes de extinguirse. A medida que disminuye el valor de este parámetro más oscilaciones habrá antes de que la señal se anule.

Los polos múltiples dan lugar a los correspondientes modos multiplicados por potencias del tiempo. Un polo real k-múliple pi da lugar a modos e−at , te−at , … , t k−1e−at . Un polo complejo k-múliple −a± jω da lugar a e−at cos(ωt +ϕ ) , te−at cos(ωt +ϕ ) , … , t k−1e−at cos(ωt +ϕ ) .

Figura 2.8. Situación de los polos y formas de la respuesta.

2.7 Resolución de ecuaciones diferenciales En esta sección se ilustra mediante un ejemplo la resolución de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes usando la transformada de Laplace. Además se utilizará este ejemplo para introducir una serie de conceptos fundamentales que son incluso más relevantes desde el punto de vista práctico que la propia resolución de la ecuación diferencial.

2–11

Con esta técnica se siguen tres pasos:

1 Se aplica la transformación de Laplace a las dos partes de la ecuación diferencial. Las variables u(t) e y(t) pasan del dominio del tiempo al dominio de la variable s de Laplace: U(s) e Y(s).

2 El resultado es una ecuación algebraica de la que puede despejarse fácilmente la transformada de la salida Y(s). Como u(t) es conocida puede obtenerse y sustituirse ya U(s).

3 Obtener la transformada de Laplace inversa de Y(s). El resultado es y(t), la solución de la ecuación diferencial o respuesta del sistema.

Como ejemplo, se calculará la respuesta del circuito eléctrico RLC de la figura 2.9 cuando se aplica mediante el generador de entrada una tensión vi(t) en forma de pulso de 1 V durante 1 ms. Además se supondrá que inicialmente hay una tensión de un 1 V en el condensador y que la corriente de la bobina es 1 mA. Se considerará como variable de salida la tensión en el condensador vo(t). Se consideran como valores de los parámetros: R=1 kΩ, C=1 µF y L=1 H.

Figura 2.9. Circuito eléctrico RLC

El primer paso es obtener la ecuación diferencial del circuito. Para obtener esta ecuación basta con plantear la primera ley de Kirchoff para la única malla del circuito y usar las relaciones entre tensión y corriente en el condensador.

vi = Ri+ Ldidt+ vo i =C dvo

dt

Combinando ambas ecuaciones, resulta la ecuación diferencial del circuito:

LC d2vodt2

+ RC dvodt

+ vo = vi

A continuación se aplica la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial, resultando:

LC s2Vo(s)− svo(0− )− vo(0

− )( )+ RC sVo(s)− vo(0− )( )+Vo(s) =Vi (s)

En el siguiente paso despejamos la transformada de Laplace de la salida sustituyendo la transformada de

Laplace de la entrada por su valor Vi (s) =1− e−s

s:

Vo(s) =1

LCs2 + RCs+1

G(s) 1− e−s

s

Vi (s)

VoF (s)

+LC vo(0

− )s+ vo(0− )( )+ RCvo(0− )

LCs2 + RCs+1VoL (s)

La ecuación anterior muestra que la transformada de Laplace de la salida puede obtenerse como suma de dos funciones, VoF (s) y VoL (s) :

• La función VoF (s) se puede expresar como producto de la transformada de Laplace de la entrada Vi (s) y la función racional G(s) que puede obtenerse directamente a partir de la ecuación diferencial del circuito. El polinomio denominador de G(s) se obtiene sustituyendo en la parte de la ecuación diferencial asociada a la salida la derivada de orden n por sn. El polinomio numerador de G(s) se construye de manera análoga pero utilizando la parte de la ecuación

2–12

diferencial asociada a la entrada. A VoF (s) se la denomina transformada de Laplace de la respuesta forzada y a G(s) función de transferencia del circuito.

• La función VoL (s) se denomina transformada de Laplace de la respuesta libre. Su polinomio denominador coincide con el de la función de transferencia G(s) y su polinomio numerador depende de las condiciones iniciales del circuito.

Esta descomposición de la transformada de Laplace de la salida en dos términos asociados a la entrada y las condiciones iniciales se puede generalizar para el cálculo de la respuesta temporal de cualquier modelo LTI.

La función de transferencia G(s) juega un papel primordial en el análisis de sistemas dinámicos. Es equivalente a la ecuación diferencial (podemos pasar de una a otra de forma rápida y sencilla) por lo que se convierte en una forma de modelado alternativa a la ecuación diferencial, compacta y cómoda de manejar. En los siguientes capítulos se estudiará la forma de obtener información cualitativa y cuantitativa de un sistema, sin necesidad de resolver la ecuación diferencial y se explicará cómo obtener la función de transferencia directamente a partir del sistema sin pasar previamente por la ecuación diferencial.

Retomando la resolución de la ecuación diferencial, si se sustituyen los valores de los parámetros y de las condiciones iniciales resulta:

Vo(s) =1− e−s

s(s2 + s+1)

VoF (s)

+s+ 2

s2 + s+1

VoL (s)

,

donde se ha utilizado que vo(0− ) = i(0

− )C

. Para obtener la respuesta temporal de la tensión del

condensador se calcularán por separado las antitransformadas de la respuesta forzada y de la respuesta libre del sistema. Realizando la descomposición en fracciones parciales para la respuesta libre, resulta:

VoL (s) =s+ 2

s2 + s+1=

s+ 2

s+ 12−32j

"

#$

%

&' s+ 1

2+32j

"

#$

%

&'

=e−1,047 j

s+ 12−32j+

e1,047 j

s+ 12+32j

Siendo la antitransformada de la respuesta libre:

voL (t) = 2e−0,5t cos 3

2t −1,047

"

#$$

%

&''γ (t)

Para calcular la antitransformada de la respuesta forzada se descompone la función en dos términos que se restan:

VoF (s) =1− e−s

s(s2 + s+1)=

1s(s2 + s+1)

VoF1(s)

−e−s

s(s2 + s+1)

VoF 2 (s)

A continuación se calculan por separado las antitransformadas de cada término, teniendo en cuenta que, según la propiedad de transformada de Laplace de una señal retardada en el tiempo, se cumple:

voF (t) = voF1(t)− voF2 (t) = voF1(t)− voF1(t −1)

La descomposición en fracciones parciales del primer término resulta:

VoF1(s) =1

s(s2 + s+1)=

1

s s+ 12−32j

"

#$

%

&' s+ 1

2+32j

"

#$

%

&'

=

=1s+

33e2,618 j

s+ 12−32j+

33e−2,618 j

s+ 12+32j

2–13

Y calculando la antitransformada voF1(t) de VoF1(s) , se obtiene:

voF1(t) = 1+ 2 33

e−0,5t cos 32t + 2, 618

"

#$$

%

&''

"

#$$

%

&''γ (t)

La respuesta forzada total sería:

voF (t) = 1+ 2 33

e−0,5t cos 32t + 2,618

"

#$$

%

&''

"

#$$

%

&''γ (t)−

− 1+ 2 33

e−0,5(t−1) cos 32(t −1)+ 2, 618

"

#$$

%

&''

"

#$$

%

&''γ (t −1)

La respuesta total de la tensión del condensador es la suma de las respuestas libre y forzada calculadas previamente. En la figura 2.10 se representan la entrada y las respuestas libre, forzada y completa de la tensión del condensador. Téngase en cuenta que las respuestas representadas sólo son válidas a partir del instante inicial.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

t (ms)

vo (V

)

Figura 2.10. Respuestas forzada (rojo), libre (verde) y total (azul claro) de la tensión del condensador a un pulso (azul)

2.8 Tres formas de repartir la respuesta temporal La respuesta de un sistema dinámico se puede repartir atendiendo a diferentes criterios útiles y de frecuente uso.

En la sección 2.7 se dividió la respuesta temporal en forzada y libre; la primera es provocada por la entrada aplicada (para condiciones iniciales nulas), y la segunda se debe a las condiciones iniciales (para entrada nula):

y(t) = yF (t)+ yL (t)

Los términos de la respuesta temporal se pueden agrupar en términos del sistema y términos de la entrada. Los términos del sistema corresponden a los que resultan de realizar la antitransformada a las fracciones parciales asociadas a las raíces del polinomio característico (polinomio denominador de la función de transferencia o de la transformada de Laplace de la respuesta libre). Los términos de la entrada corresponden a los que resultan de aplicar la antitransformada a las fracciones parciales asociadas a polos de U(s):

y(t) = yS (t)+ yU (t)

Cuando coinciden polos del sistema con polos de la entrada pueden aparecer términos reforzados (polos múltiples) que hay que asignar tanto al sistema como a la entrada (el reparto es imperfecto en este caso).

2–14

En el ejemplo anterior:

yS (t) = voS (t) = 2e−0,5t cos 3

2t −1,047

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟γ (t)+ 2 3

3e−0,5t cos 3

2t + 2,618

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ γ (t)−

− 2 33

e−0,5(t−1) cos 32(t −1)+ 2,618

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ γ (t −1)

yU (t) = voU (t) = γ (t)−γ (t −1)

Por lo tanto, la respuesta libre está compuesta exclusivamente de términos del sistema, aunque los términos del sistema también aparecen en la respuesta forzada.

Una última clasificación, extremadamente importante, de la respuesta es en régimen transitorio y régimen permanente. El régimen transitorio es la parte de la respuesta que desaparece (tiende a cero) cuando el tiempo tiende a infinito (típicamente por exponenciales decrecientes o senoidales amortiguadas, aunque hay otros casos) y el régimen permanente es la parte que no desaparece (constantes, senoidales, funciones crecientes):

y(t) = yT (t)+ yP (t)

En el ejemplo anterior:

yT (t) = voT (t) = 2e−0,5t cos 3

2t −1,047

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟γ (t)+ 2 3

3e−0,5t cos 3

2t + 2,618

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ γ (t)−

− 2 33

e−0,5(t−1) cos 32(t −1)+ 2,618

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ γ (t −1)+ γ (t)−γ (t −1)

yP (t) = voP (t) = 0

En este ejemplo el régimen transitorio, al igual que la entrada, contiene dos términos que individualmente considerados serían permanentes, pero se cancelan entre sí a partir de cierto tiempo. Toda la respuesta temporal es transitoria.

Es importante recordar que el régimen permanente es en general una función del tiempo (constante, senoidal, creciente) aunque a veces sea solamente una constante o un valor final.

Algunos autores llaman “respuesta transitoria” a toda la respuesta temporal hasta que se considera que se ha llegado al régimen permanente; conviene saberlo, pero no es la definición que se usa aquí.