Transformada de laplace

4 de agosto de 2014Transformada de laplace

AO DE LA PROMOCIN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y DEL COMPROMISO CLIMTICOUNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURAFACULTAD DE CIENCIASESCUELA PROFESIONAL ELECTRNICA Y TELECOMUNICACIONES

CURSO:CALCULO III.

TEMA :TRANSFORMADA DE LAPLACE.

DOCENTE :LIC. RELLY PANTA PALACIOS.

ALUMNO:CORREA ESTRADA, JULIAN HUMBERTO.OBJETIVOS

GENERALES:

Conocer que es la transformada de Laplace, y como ejecutarla de manera practica en los ejercicios de ecuaciones diferenciales.

ESPECFICOS:

Conocer cmo se define una transformada de Laplace. Entender cules son sus propiedades bsicas. Conocer sus principales mtodos de solucin. Identificar cada una se la situaciones que se puedan presentar. Aprender a resolver una transformada mediante tabla.

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La Transformada de Laplace es una tcnica Matemtica usada normalmente para realizar un cambio, normalmente en una ecuacin diferencial, para poder hacer que esta sea una operacin ms fcil y practica de resolver.Esta transformada esta definida por medio de una integral impropia ycambia una funcin en una variable de entrada en otra funcin en otra variable, la funcin de entrada esta generalmente definida por t mientras que se tiene que dejar en una funcin de salida que este en parmetros de s. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algn tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes.

Sea una funcin tiene transformada de Laplace si existe un real tal que la integral converge para .

En este caso, la transformada de Laplace de la funcin se definira de la siguiente manera:

Nota: para diferenciar bien la operacin de transformada, se considera conveniente denotarlo como para poder diferenciarlo ms fcilmente y as evitar una confusin.La integral impropia que define la Transformada de Laplace no necesariamente converge.

Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de son que sea continua por tramos o seccionalmente continua para t > 0 y adems que sea de orden exponencial para t > T.Debido a que calcular una transformada de manera integral mediante la definicin puede resultar un poco engorrosa y complicada, se han diseado a travs de modelos matemticos, propiedades que nos garantizan llegar a una respuesta exacta, de manera mucho ms simple y de manera segura, ya que estas han sido previamente demostradas, ms adelante se se mostraran la lista de propiedades que se pueden utilizar para la resolucin de transformadas.PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Sean funciones continuas , y adems constantes numricas, entonces definimos las propiedades siguientes.

Propiedad de Linealidad:

Primer Propiedad de Traslacin:

Segunda Propiedad de Traslacin:

Propiedad de Cambio de escala:

Nota: las propiedades pueden ser aplicadas a toda transformada que cumpla las condiciones anteriormente mencionadas en la definicin.Tambin existen otras propiedades que nos facilitan el clculo de las transformadas para ciertas circunstancias que se expondrn a continuacin, todas estn demostradas.

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA MULTIPLICACIN DE

Sea una funcin continua a trozos y de orden exponencial, entonces podemos definir lo siguiente.

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA DIVISIN POR t

Sea una funcin continua a trozos y de orden exponencial, entonces podemos definir lo siguiente.

Donde es la transformada de Laplace de la funcin y cumple todos los requisitos anteriormente mencionados, adems la integral converge y se puede calcular.

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA DERIVADA

Sea una funcin continua a trozos y de orden exponencial y sea continua a trozos, entonces podemos definir lo siguiente.

Cabe recordar que f(0) es una condicin dada por el problema planteado, siempre es necesario que este establecido, en caso contrario te darn alguna otra condicin necesaria para poder hallarlo.Adems a partir del teorema planteado se puede hallar fcilmente la transformada para una funcin derivada a un orden superior, ya que solo es cuestin de reemplazar.Hallando la transformada de Laplace de una derivada de segundo orden:

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA INTEGRAL

Sea una funcin continua a trozos y de orden exponencial, entonces podemos definir lo siguiente.

Qu ocurrira si a = 0? Muy fcil, la situacin se simplifica de la siguiente manera:

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES

As como en derivadas e integrales, existen algunas transformadas que ya estn calculadas y son universales, estas nos simplifican muchos los clculos y nos permiten ser ms prcticos al momento de dar una respuesta, en todas se cumple que s > 0.

F(t)L{f(t)} = f(s)

k

ALGUNOS EJERCICIOS RESUELTOS

1. Hallar la siguiente transformada de Laplace:

2. Hallar la transformada de:

3. Hallar la transformada de Laplace de:

4. Resuelva la siguiente transformada:

5. Resolver la siguiente transformada:

6. Hallar la transformada de Laplace de:

7. Encontrar la transformada de Laplace de:

8. Resolver la siguiente transformada de Laplace:

9. Hallar la transformada de la funcin:

10. Resolver la transformada de Laplace de:

Bibliografa consultada:

Diccionario Nakal, segunda edicin. Anlisis Matemtico 4 de Eduardo Espinoza Ramos, segunda edicin. Anlisis Matemtico 3 de Eduardo Espinoza Ramos, sexta edicin. Gua de ciencias de Felix Aucallanchi, tercera edicin. Mi carpeta universitaria, curso Ecuaciones Diferenciales.

Linkografia consultada:

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm http://matematicas.univalle.edu.co/~jarango/Books/curso/cap07.pdf

Programas empleados en su realizacin:

Math Type. Wolfram Mathetmatica 9 Microsoft Word.Julin Humberto Correa EstradaPgina 13