teoria de la transformada de laplace

Captulo 10

La Transformada de Laplae

425

426 CAPTULO 10. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Departamento de Matemtia Apliada E.U.P. San Sebastin

10.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 427

10.1. Planteamiento del problema

A lo largo del urso venimos onstruyendo modelos matemtios para estudiar fenmenos

fsios en los que apareen tasas de ambio de diversas variables, por ejemplo veloidades y

aeleraiones de partulas y slidos. Estos modelos matemtios se han onstruido en mu-

has oasiones usando diversos tipos de euaiones difereniales ordinarias (EDO). Una vez

resuelta la EDO, tendremos una funin y(t) que nos permite alular de forma aproximadael modo en que evoluiona la variable y en funin de la variable t.

Figura 10.1: Muelle

Por ejemplo, en el Tema 9 (Euaiones Difereniales Ordinarias) fuimos apaes de re-

solver el problema del movimiento osilatorio de un uerpo. Si un uerpo de masa m uelgaen equilibrio de un muelle (Figura 10.1(a)), tiramos haia abajo del uerpo hasta alargar

el muelle ierta distania d (Figura 10.1(b)), lo soltamos y lo sometemos a partir de esemomento a ierta fuerza variable F (t), sabemos que la EDO

my + y + ky = F (t) (10.1)

nos sirve omo modelo on el que podemos estudiar la osilain de la masa a lo largo

del tiempo. En este modelo (10.1):

y(t) posiin del slido en el instante t

F (t) fuerza apliada al uerpo en ada instante t

m masa del slido

onstante de amortiguain que depende del medio fsio (gas, agua, aeite, et)

k onstante que depende de las araterstias de rigidez del muelle

E.U.P. San Sebastin Departamento de Matemtia Apliada


Reuerda tambin que la euain (10.1) pertenee a un tipo de euain diferenial que

aparee en mltiples apliaiones prtias de Cienias e Ingeniera, se trata de una EDO

lineal de oeientes onstantes y orden 2:

ay + by + cy = F (t) (10.2)

A lo largo del tema anterior desarrollamos un proedimiento que nos permite resolver en

algunos asos este tipo (10.2) de euain diferenial ordinaria. El proedimiento sistemtio

que enontramos onsiste en:

Primero: Calulamos la soluin general ygh(t) de la EDO homognea asoiada a (10.2),es deir, alulamos la soluin general de la EDO

ay + by + cy = 0 (10.3)

Sabemos que el problema de enontrar la soluin general de (10.3) se redue al senillo

problema de enontrar las dos raes m1 y m2 de la euain araterstia de (10.2):

am2 + bm+ c = 0

Segundo: Calulamos una soluin partiular ypc(t) ualquiera de (10.2). Este luloya no es tan senillo, pero para ello disponemos de dos mtodos, el mtodo de los oeientes

indeterminados y el mtodo de los operadores.

Terero: Una vez enontradas ygh(t) e ypc(t), es senillo obtener la soluin generalygc(t) de la euain ompleta (10.2): ygc(t) = ygh(t) + ypc(t)

El apartado rtio de este proedimiento es el segundo, el lulo de una soluin par-

tiular ypc(t) ualquiera de (10.2). Por qu es rtio? Pues porque slo podemos apliarloa una lase muy reduida de funiones F (t). Imagina que la funin F (t) es ualquiera delas que apareen representadas gramente en la Figura 10.2. Estos ejemplos de funiones

F (t) son de uso muy orriente en las apliaiones de las Cienias y la Ingeniera, porquepueden representar tensiones disontinuas apliadas a iruitos eltrios o fuerzas apliadas

a mviles. Sin embargo, a ninguna de estas funiones se le puede apliar el mtodo de los

oeientes indeterminados, y el mtodo de los operadores puede ser difil de apliar. En

resumen, el proedimiento que hemos desarrollado en el Tema 9 para la resoluin de la

EDO (10.2) slo es apropiado para una lase muy reduida de funiones, no ubre muhas

de las apliaiones reales importantes. El mtodo de resoluin de (10.2) que onoemos

exige demasiada regularidad a la funin F (t).As pues, busamos un proedimiento on el que resolver (10.2) pero que sea menos

exigente que el mtodo que onoemos en uanto a regularidad de F (t).

10.2. La transformain de Laplae de una funin y(t)

Y por dnde empezamos? Curiosamente, vamos a empezar retomando un mtodo que

tratamos de apliar al omienzo del Tema 9 y que result absolutamente intil: la integrain

direta de la EDO. Vamos a integrar todos los trminos de la euain (10.2):

ay + by + cy = F (t) a

y(t) dt + b

y(t) dt + c

y(t) dt =

F (t) dt


10.2. LA TRANSFORMACIN DE LAPLACE DE UNA FUNCIN Y (T ) 429

Figura 10.2: Funiones disontinuas

No podemos haer ms. No podemos alulary(t) dt

porque no onoemos y(t). Preisamente y(t) es la funin que debemos determinar. Por esoen aqul momento abandonamos este mtodo ingenuo de resoluin. Por supuesto, este

mtodo es vlido en euaiones de la forma y = F (t) a ondiin de que seamos apaes deintegrar dos vees F (t).

Ya s que las ideas que vamos a utilizar a ontinuain son muy elaboradas y que a

nadie se le ourriran en un milln de aos, pero realmente funionan. A ver si onsigues

entenderlas.

Primera idea genial: Antes de integrar los trminos de la EDO (10.2), multipliarla pre-

viamente por la funin exponenial h(t) = est, donde s es un nmero real ualquiera. Yde dnde viene esta idea? De reordar que las funiones exponeniales se integran muy

filmente.

Primero multipliamos:

ay + by + cy = F (t) aesty(t) + besty(t) + cesty(t) = estF (t)

Y luego integramos en un intervalo ualquiera [p, q]

a

qp

esty(t) dt + b

qp

esty(t) dt + c

qp

esty(t) dt =

qp

estF (t) dt (10.4)



Una vez que deidamos qu valores p y q utilizar, el trmino de la dereha se podren prinipio alular porque F (t) es una funin onoida. Pero los tres sumandos de laizquierda no pueden alularse porque y(t) es desonoida, se trata de la funin que hayque determinar. No paree que hayamos arreglado gran osa, empiezo a pensar que esta

primera idea no ha sido tan genial.

Segunda idea genial: En vez de abandonar este mtodo, reordamos lo fil que es in-

tegrar funiones exponeniales y apliamos el mtodo de integrain por partes. Vamos a

empezar por el segundo sumando de (10.4) ya que paree ms fil:

qp

esty(t) dt =

[u = est du = sest dtdv = y(t) dt v = y(t)

]= y(t)est

t=q

t=p

s

qp

esty(t) dt (10.5)

Pues no paree que estemos soluionando nada porque la expresin (10.5) nos obliga a

evaluar la funin desonoida y(t)est en los puntos t = p, t = q, y tambin nos obliga aintegrarla en el intervalo [p, q]. Paree que estas ideas geniales no lo son tanto.

Terera idea genial: Consiste en haer que (10.5) sea ms senilla eligiendo adeuada-

mente los valores p y q. La ele

in p = 0 es buena porque el valor de y(t)est en t = 0es igual a y(0), de modo que slo neesitamos onoer y(0), lo ual muhas vees es una

ondiin iniial onoida. Y qu valor de q podemos tomar?

La idea es haer que y(q)esq sea 0, eligiendo q = . Claro, tenemos que suponer omohiptesis que la funin y(t)est tiende haia 0 uando t, es deir:

lmt

y(t)est = 0 (10.6)

Por supuesto, esta hiptesis (10.6) nos limita el onjunto de funiones y(t) que podemosobtener, porque no siempre ser ierta. Por ejemplo, si fuera s < 0 e y(t) = t2, se veria lahiptesis porque

lmt

t2est = lmn

t2

est= 0

En ambio, aunque tomemos s < 0 para y(t) = et2

, no se veria la hiptesis (10.6)

porque

lmt

et2+st =

Sin embargo, tomando siempre s < 0 onseguimos que la hiptesis (10.6) sea ierta parauna lase muy amplia de funiones, porque el fator exponenial est tiende haia 0 muyrpidamente uando t . Esta hiptesis (10.6) no es demasiado restritiva porque lamayora de las funiones y(t) on las que trabajamos en Cienias e Ingeniera umplen esta

ondiin de reer ms lentamente que alguna funin exponenial.

Ejeriio 10.1 Estudia si se veria la hiptesis (10.6) en los siguientes ejemplos de fun-

iones y(t):

1. y(t) = ekt



2. y(t) = tt

3. y(t) es una funin polinmia

4. y(t) es una funin aotada en [0,)

Ya que nos interesa tomar s < 0 vamos a ambiar s por s y tomar s > 0. Segn lo quehemos obtenido, las expresiones (10.4) y (10.5) quedarn as:

a

0esty(t) dt + b

0esty(t) dt + c

0esty(t) dt =

0estF (t) dt (10.7)

0esty(t) dt = s

0esty(t) dt y(0) (s > 0) (10.8)

Con lo ual, sustituyendo (10.8) en (10.7):

a

0esty(t) dt+b

(s

0esty(t) dt y(0)

)+c

0esty(t) dt =

0estF (t) dt (10.9)

Observa que ya tenemos un patrn en (10.9): nos aparee repetido el trmino

0esty(t) dt (10.10)

Y el trmino de la dereha de (10.9) es muy pareido:

0estF (t) dt

porque se forma sustituyendo y(t) por F (t) en (10.10). Este trmino se puede evaluar, porquela funin F (t) es onoida. En el siguiente ejeriio vamos a evaluarlo para algunas funionesF (t).

Ejeriio 10.2 Calula el valor de (10.10) que resulta de la operain primero multipli-

amos por est y luego integramos en [0,), para las siguientes funiones F (t). Observaque el resultado es una funin H(s) del parmetro s > 0, porque integramos respeto a lavariable t. Dibuja la gra de las orrespondientes funiones H(s) siendo:

1. F (t) = k

2. F (t) = t

3. F (t) = t2

4. F (t) = eat



Si ahora integramos por partes el sumando que nos queda de (10.7), sera fantstio que de

nuevo nos apareiera (10.11). Veamos:

0esty(t) dt =

[u = est du = sest dtdv = y(t) dt v = y(t)

]=

= y(t)estt=t=0

+ s

0esty(t) dt = y(0) + s

(s

0esty(t) dt y(0)

)=

= s2

0esty(t) dt sy(0) y(0) (10.11)

Para obtener (10.11) hemos utilizado las mismas ideas que antes: suponer omo hiptesis

que el produto y(t)est tiende haia ero uando t. Ahora (10.7) quedar as:

a

(s2

0esty(t) dt sy(0) y(0)

)+ b

(s

0esty(t) dt y(0)

)+

+ c

0esty(t) dt =

0estF (t) dt (10.12)

Observa que de nuevo nos ha apareido el trmino que onsiste en primero multipliar

por est y luego integrar el resultado en [0,). La verdad, tener que llamar a esta operainprimero multipliar por est y luego integrar el resultado en [0,) no es nada modo.Vamos a darle un nombre.

Deniin 10.1 Dada una funin y(t) denida en [0,), llamamos transformainde Laplae de y(t) a la nueva funin de la variable s que denotaremos por L (y(t)) = Y (s),

alulada (en el aso de que exista) del siguiente modo:

L (y(t)) = Y (s) =

0estF (t) dt (s > 0)

Por ejemplo, segn el ejeriio 10.2:

1. y(t) = k L (y(t)) = Y (s) = L (k) = k/s, (s > 0)

2. y(t) = t L (y(t)) = Y (s) = L (t) = 1/s2, (s > 0)

3. y(t) = t2 L (y(t)) = Y (s) = L (t2) = 2/s3, (s > 0)

4. y(t) = eat L (y(t)) = Y (s) = L (eat) = 1/(s a), (s > a)

La Figura 10.3 muestra las gras de ada una de las parejas y(t) e Y (s). Observa que latransformada de Laplae puede entenderse omo una forma de denir funiones Y (s) a partirde otras funiones y(t). A partir de una funin y(t) denida en t [0,), onstruimos otrafunin distinta Y (s) denida en otro dominio D. Por ejemplo, Y (s) = L (t2) = 2/s3 estdenida para s > 0, mientras que Y (s) = L (e4t) = 1/(s 4) est denida para s > 4.

La transformain de Laplae apliada a la EDO (10.2), transforma esta EDO en una

euain en la que la funin ingnita es Y (s) = L (y(t)):

a(s2Y (s) sy(0) y(0)

)+ b (sY (s) y(0)) + c Y (s) = L (F (t)) (10.13)



Figura 10.3: Cuatro funiones y sus transformadas

Pero lo importante es que esta nueva euain (10.13) ya no es una euain diferenial,

porque ya no apareen funiones derivadas. El operador transformada de Laplae ha elimi-

nado las derivadas y(t) e y(t). Ahora la funin ingnita de (10.13) es Y (s). No obstante(10.13) india que es neesario onoer un par de datos de y(t), los valores de y(0) e y(0).

La Figura 10.4 muestra el proeso que se aplia a una funin ualquiera u(t) para darlugar a la transformada de Laplae U(s). Tambin se muestra ual es el resultado de apliarel operador transformada de Laplae a ada uno de los trminos de la EDO.

Cuarta idea genial: Nos damos uenta de que (10.13) es una euain algebraia de la

que es posible despejar filmente Y (s).

Ejeriio 10.3 Despeja Y (s) de la euain (10.13).

Apliquemos todo esto a un ejemplo. Supongamos que el problema on ondiiones ini-



Figura 10.4: Proedimiento de Laplae

iales es

y + y = t

y(0) = 0

y(0) = 0 (10.14)

Apliamos a (10.14) la transformada de Laplae y tenemos en uenta el ejeriio 10.2(b):

s2

0esty(t) dt + s

0esty(t) dt =

0estt dt =

1

s2

Con lo ual:

0esty(t) dt =

1

s3(s+ 1)(10.15)

As pues, la soluin y(t) de (10.14) es la funin y(t) que umple la euain (10.15).La euain (10.15) nos permite saber ual es la transformada de Laplae Y (s) de y(t).Pero lo que busamos es y(t), no su transformada. El problema ahora es: si onoemos latransformada Y (s) de una funin y(t), mo alularemos y(t)? Cmo despejamos y(t)de (10.15)?

En general, si apliamos todo este proedimiento al problema

ay + by + cy = F (t)

y(0) = y0

y(0) = m0 (10.16)



Obtendremos nalmente la transformada Y (s) de la funin busada y(t):

L (y) =

0esty(t) dt = Y (s) y(t) =? (10.17)

Y ahora la pregunta es, mo despejar y(t) de (10.17)? Se trata, por tanto, de realizarla operain inversa de la transformada de Laplae. Vamos a denir este nuevo onepto:

Deniin 10.2 Dada una funin Y (s), llamamos transformain inversa de Lapla-

e de la funin Y (s) a una funin de y(t) tal que L (y(t)) = Y (s). Se denota del siguientemodo:

L1(Y (s)) = y(t)

Segn lo que hemos obtenido hasta el momento, el proedimiento en tres pasos para resolver

el problema (10.16) aparee esquematizado en la Figura 10.5:

Figura 10.5: Tres pasos

Sin embargo, todava no sabemos mo apliar el terer paso de este proedimiento, es

deir, no sabemos mo alular y(t) a partir de Y (s).

Quinta idea genial:

La idea onsiste en manejar una tabla de posibles funiones y(t) junto a sus orrespon-dientes transformadas Y (s). Esa tabla nos dar la funin y(t) onoida su transformadaY (s). Por ejemplo, la Tabla 1 ha sido onfe

ionada a partir de los resultados del ejeriio10.2:

De este modo, es senillo demostrar que:

L1

(6

s

)= 6

L1

(4

s2

)= 4t

L1

(5

s3

)=

5

2t2

L1

(4

s 5

)= 4e5t



y(t) = L 1(F (s)) F (s) = L (y(t))

kk

s

t1

s2

t22

s3

eat1

s a

Cuadro 10.1: Tabla 10.1

Ejeriio 10.4 Calula la transformada inversa de Laplae de la funin

Y (s) =6

s

3

s2+

4

s3+

2

s 5

En la prtia, utilizaremos tablas ms ompletas que la Tabla 10.1, omo la Tabla 10.2.

Las tablas se utilizan en ambos sentidos, es deir, dada una funin y(t), la funin Y (s)que aparee es su transformada; y reproamente, dada una funin Y (s), la funin y(t)es su transformada inversa. Como ejeriio, demuestra ada una de las entradas.

La Tabla 10.2 nos permite alular transformadas y transformadas inversas de algunas

funiones que apareen en las apliaiones prtias. Adems, es muy senillo demostrar la

linealidad de ambos operadores. Para ualesquiera nmeros reales A y B:

L (Au(t) +Bv(t)) = AL (u(t)) +BL (v(t))

L1 (AU(s) +BV (s)) = AL 1 (U(s)) +BL 1 (V (s)) = Au(t) +Bv(t)

En onseuenia, podremos alular transformadas y transformadas inversas de ombi-

naiones lineales de funiones que apareen en la tabla, omo las que se proponen en el

siguiente ejeriio.

Ejeriio 10.5 Calula:

1. La transformada de y(t) = 3 sen(4t) 5e6t + 3t2 t+ 2


10.3. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS TRANSFORMADAS 437

y(t) Y(s)

u(t)1

s

tn n Nn!

sn+1

et1

s+

sen0t0

s2 + 20

cos0ts

s2 + 20

senht

s2 2

cosh ts

s2 2

Cuadro 10.2: Tabla 10.2: Transformadas de Laplae

2. La transformada inversa de F (s) =1

s4+

5

2s 3

6

2s2 + 3

Ejeriio 10.6 Termina de resolver problema (10.14), que dejamos pendiente en (refeq10.15):

L (y(t)) =1

s3(s+ 1) y(t) = L 1

(1

s3(s+ 1)

)

10.3. Existenia y uniidad de las transformadas

Hasta ahora hemos supuesto que las transformadas de Laplae Y (s) de la funiones onsi-deradas existen. Sin embargo, en matemtias debemos preouparnos tambin por estudiar

si realmente existe el objeto matemtio que estamos manejando. Por ejemplo, podemos



operar on las expresiones L (et2

) y L 1 (2s+ 1) y sin embargo ninguna de estas trans-formadas existe. As pues, tenemos que hablar de las ondiiones bajo las uales podemos

estar seguros de que existe la transformada Y (s) de ierta funin y(t) y de la transformadainversa de y(t) de ierta funin Y (s).

En el apartado anterior (ver terera idea) nos aparei la lave para mostrar qu on-

diiones son suientes para que transformada de Laplae de y(t) exista. Reuerda que allneesitbamos que el produto y(t)est tendiera haia 0 uando t tenda haia innito, para

ierto valor de s > 0, es deir:

lmt

y(t) est = lmt

y(t)

est= 0 (s > 0) (10.18)

Esta ondiin (10.19) viene a signiar: en el aso de que y(t) uando t, debehaerlo on un orden menor que alguna funin exponenial est (s > 0). Vamos a esribirformalmente esta idea en forma de teorema:

Teorema 10.1 (Existenia de la transformada de Laplae.) Supongamos que y(t) esuna funin ontinua a tramos en el intervalo [0,) y que existen onstantes no negativasa, M y T tales que:

|y(t)| M eat t T

Entones, existe la transformada de Laplae Y (s) de la funin y(t).

La demostrain de este teorema es senilla:

|L (y(t))| =

0esty(t) dt

0est |y(t)| dt M

0esteat dt =

= M

0e(as)t dt = M lm

A

A0

e(as)t dt = lmA

e(as)t

a s

t=A

t=0

s>a=

1

s aAotado

As pues, bajo las hiptesis del teorema 10.1, la integral impropia es onvergente para s > a.Observa que la nia ondiin que hemos impuesto a y(t) es que sea ontinua a tramosen [0,). Una funin ontinua a tramos en [0,) es una funin ontinua en todos lossubintervalos de la forma [0, b] salvo quiz en un nmero nito de puntos donde puede pre-sentar disontinuidades de salto nito. La Figura 10.2 muestra algunos ejemplos de funiones

ontinuas a tramos. La ondiin de ser ontinua a tramos no es demasiado restritiva, y

la umplen muhas de las funiones on las que se trabaja en Cienias e Ingeniera. Por

ejemplo, las funiones ontinuas son tambin ontinuas a tramos.

Ejeriio 10.7 En la demostrain del teorema 10.1, hemos obtenido que si F (s) es latransformada de una funin F (t), entones:

|F (s)| 1

s a(s > a)


10.4. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADAYDE LA TRANSFORMADA INVERSADE LAPLACE439

on lo ual

lms

F (s) = 0 (10.19)

Por tanto, para que una funin F (s) sea la transformada de Laplae de ierta funinf(t), es neesario (aunque no suiente) que umpla esta ondiin (10.19). Esta ondiin(10.19) NO sirve para demostrar que una funin F (s) admite transformada inversa, peropuede servir para demostrar que no admite transformada inversa . (Sabes undo podremos

haer esta armain?).

Al prinipio de este apartado 3 armamos que no existeL 1(2s + 1), puedes expliaahora por qu esa armain es ierta? Puedes dar otros ejemplos de funiones F (s) queno admiten transformada inversa de Laplae?

Ejeriio 10.8 Una funin y(t) que verique las ondiiones del teorema 10.1 se llamafunin de orden exponenial. Demuestra que las siguientes funiones y(t) son de ordenexponenial.

1. y(t) = kebt

2. y(t) = k sen(bt)

3. y(t) = k cos(bt)

Ejeriio 10.9 (Uniidad de las transformadas.) Es posible que dos funiones dife-

rentes u(t) y v(t) tengan la misma transformada de Laplae? Se puede demostrar que ambasfuniones u(t) y v(t) no puede ser distintas en todos los puntos de un intervalo de longitudpositiva. En partiular, diferentes funiones ontinuas tienen tambin diferentes transfor-

madas de Laplae. Sin embargo, dos funiones u(t) y v(t) pueden diferir en varios puntosaislados y tener igual transformada. Veria que esto es ierto para las funiones uya gra

aparee en la Figura 10.6.

El ejeriio anterior muestra que dos funiones ontinuas a tramos que sean diferentes

pero que tengan igual transformada de Laplae, pueden diferir solamente en puntos aislados.

As pues, la transformada inversa es esenialmente nia, porque tales diferenias no son

generalmente importantes en las apliaiones.

10.4. Propiedades de la transformada y de la transformada

inversa de Laplae

Hemos visto que la Tabla 10.2 y la propiedad de linealidad nos permite alular trans-

formadas y transformadas inversas de algunas funiones que apareen en las apliaiones

prtias. Sin embargo, an existen otras muhas funiones que no son ombinain lineal

de funiones de la Tabla 10.2 y que tambin son muy usuales en las apliaiones prti-

as. Por ejemplo, la Figura 10.7 muestra las gras de funiones que pueden representar

tensiones o fuerzas, y para las uales no tenemos la transformada.



Figura 10.6: Uniidad de la transformada

Figura 10.7: Funiones ontinuas a tramos

Del mismo modo, a vees tenemos una ierta funin u(t) y su transformada U(s), peroneesitamos onoer la transformada de nuevas funiones aluladas a partir de u(t).

Por ejemplo, si onoemos L (u(t)), ul ser la transformada de las nuevas funionesv(t) = eatu(t) y v(t) = tnu(t)? Observa la Figura 10.8, hemos representado la gra de

la funin u(t) = cos(2t) y su transformada U(s) =s

s2 + 4. Tambin hemos representado

las gras de las nuevas funiones v(t) = u(t)e0.2t y v(t) = u(t) t. Cules sern las



transformadas de estas dos funiones?

Figura 10.8: Ms funiones

Por supuesto, para alular la transformada de una nueva funin v(t), es posible apliarla deniin de transformada de Laplae:

L (v(t)) = V (s) =

0estv(t) dt

pero este lulo direto puede no ser senillo, porque hay una integral impropia que

evaluar. Por ejemplo, no es senillo alular la transformada de Laplae de la funin

v(t) = t3et sen(2t) apliando la deniin. Y todava tenemos ms diultad a la horade alular transformadas inversas, porque hasta ahora slo onoemos un mtodo para ha-

erlo: usar la Tabla 10.2 y la propiedad de linealidad. Por ejemplo, ul ser la transformada

inversa de la funin F (s) =e2s

s+ 1?

En muhos asos, la soluin a este problema de lulo de transformadas es utilizar,

adems de tablas de transformadas, una ole

in de propiedades de los operadores trans-

formada y transformada inversa de Laplae. Seguidamente enuniamos las propiedades ms

importantes.



Supongamos que las funiones U(s) y V (s) son respetivamente las transformadas deLaplae de las funiones u(t) y v(t).

Propiedad 10.1 (linealidad) Si A y B son onstantes reales ualesquiera:

L (Au(t) +Bv(t)) = AL (u(t)) +BL (v(t))

Anlogamente, para la transformada inversa:

L1 (AU(s) +BV (s)) = AL 1 (U(s)) +BL 1 (V (s)) = Au(t) +Bv(t)

Propiedad 10.2 (primera propiedad de traslain)

L(eatu(t)

)= U(s a) (s > a)


L1 (U(s a)) = eatu(t) (s > a)

Propiedad 10.3 (segunda propiedad de traslain)

Si h(t) =

{u(t a) t > a

0 t < aentones L (h(t)) = easU(s)


L1

(easU(s)

)=

{u(t a) t > a

0 t < a

Propiedad 10.4 (ambio de esala)

L (u(at)) =1

aU(sa

)(a > 0)


L1 (U(as)) =

1

au

(t

a

)

Propiedad 10.5 (derivada ensima)

L

(un)(t)

)= snU(s) sn1u(0) sn2u(0) . . . u(n1(0)

Propiedad 10.6 (funin integral)

L

( t0u(z) dz

)=U(s)

s


L1

(U(s)

s

)=

t0u(z) dz



Propiedad 10.7 (produto por tn)

L (tnu(t)) = (1)ndn

dsn(U(s))


L1

(dn

dsn(U(s))

)= (1)n tnu(t)

Propiedad 10.8 (funin peridia)

Si u(t) es una funin peridia de periodo T (es deir, si u(t+ T ) = u(t) para todo t):

L (u(t)) = U(s) =

T0 e

stu(t) dt

1 esT

Ejeriio 10.10 Demuestra la propiedad 10.2 e interprtala gramente.

Ejeriio 10.11 Interpreta gramente la propiedad 10.3.

Ejeriio 10.12 Demuestra la propiedad 10.5. Observa que esta propiedad nos puede per-

mitir resolver EDO lineales de oeientes onstantes y orden n > 2.

Ejeriio 10.13 Demuestra la propiedad 10.6.

AYUDA: Deriva la funin integral y luego alula la transformada de Laplae de la

derivada.

Ejeriio 10.14 Calula la transformada de Laplae de las funiones v(t) uyas grasapareen en la Figura 10.8.

Ejeriio 10.15 Calula la transformada de Laplae de las funiones uyas gras apare-

en en la Figura 10.9.

Figura 10.9: Funiones peridias

Ejeriio 10.16 Calula:



1. L(et cos t

)2. L

(t2e2t

)3. L

( t0 sen z dz

)

4. L 1

(e5s

(s 2)4

)

5. L 1

(4s+ 12

s2 + 8s+ 16

)

6. L 1

(6s 4

s2 4s+ 20

)

7. L 1

(1

s2(s+ 1)2

)

Ejeriio 10.17 Resuelve el problema

y + y = F (t)

y(0) = 0

y(0) = 0

siendo F (t) la funin uya gra aparee en la Figura 10.10.

Figura 10.10: Funin esaln (Ejeriio 10.17)

Ejeriio 10.18 El mtodo de la transformada de Laplae nos permite enontrar la soluin

del problema

ay + by + cy = F (t)

y(0) = y0

y(0) = m0

Sin embargo, hay oasiones en las que las ondiiones iniiales no se reeren al punto

t = 0, sino en otro punto t0 diferente: y(t0) = y0, y(t0) = m0. O bien pueden apareernos


10.5. LA PROPIEDAD DE CONVOLUCIN 445

ondiiones de ontorno: y(t0) = y0, y(t1) = y1. Tambin es posible que lo que se busque nosea una soluin partiular de la EDO ay + by + cy = F (t), sino su soluin general. Sinembargo, para alular la transformada de y(t) e y(t) neesitamos onoer los valores dey(0) e y(0). Piensa en un proedimiento que nos permita resolver este problema y aplaloa las siguientes situaiones:

1. Calula la soluin de y 3y + 2y = 4t 6, y(1) = y(1) = 2 + e

2. Calula la soluin general de y 3y + 2y = 4t 6

10.5. La propiedad de onvoluin

Hemos visto mo utilizando la tabla de transformadas y las propiedades, somos apaes

de alular la transformada inversa de Laplae de una lase amplia de funiones. Vamos a

tratar de alular la transformada inversa de la funin H(s) =s

(s2 + 1)2. Para ello tratamos

de desomponerla omo suma de fra

iones simples:

s

(s2 + 1)2=

As+B

s2 + 1+

Cs+D

(s2 + 1)2

Pero es fil veriar que obtenemos A = B = 0, C = 1, D = 0. Es deir, no obtenemosnada til. En muhas oasiones, la funin H(s) para la ual neesitamos alular la transfor-mada inversa h(t), se puede esribir omo un produto de dos funiones, H(s) = F (s) G(s).En nuestro aso, podemos tomar:

H(s) = s1

(s2 + 1)2; F (s) = s; G(s) =

1

(s2 + 1)2

pero no es una buena ele

in (sabes por qu?). Sin embargo, tomando

H(s) =s

s2 + 1

1

s2 + 1; F (s) =

s

s2 + 1; G(s) =

1

s2 + 1

se tiene:

f(t) = L 1(

s

s2 + 1

)= cos t

g(t) = L 1(

1

s2 + 1

)= sen t

Ahora sera muy modo que la transformada inversa del produto F (s) G(s) fuera igualal produto de las transformadas inversas, es deir:

L1 (F (s) G(s)) = L 1 (F (s)) L 1 (G(s)) = f(t) g(t) (10.20)

Si fuera ierta la relain (10.20), entones:

L1

(s

s2 + 1

)= cos t sen t



As pues, nos preguntamos: es ierta en general la relain (10.20)? Desgraiadamente,

no es as. De heho, en la mayora de los ejemplos de funiones F (s) y G(s) que tomemos,no ser ierta.

Ejeriio 10.19 Emplea las funiones F (s) = 1/s y G(s) = 1/s para demostrar que (10.20)no es ierta en general.

Con la transformada inversa de un produto ourre algo pareido a lo que ourre on la

integrain de funiones de una variable real: nos ahorraramos muhas uentas si la integral

de un produto de funiones fuera igual al produto de las integrales, pero esto no es ierto

en general.

As pues, la dire

in en la que vamos a avanzar es: busar un mtodo on el que alular

la transformada inversa de Laplae h(t) del produto H(s) = F (s) G(s) a partir de lastransformadas inversas de los fatores, f(t) = L 1 (F (s)) y g(t) = L 1 (G(s)).

Vamos empezar esribiendo F (s) G(s) empleando la deniin de transformada y expre-sando este produto mediante una integral doble (elegante relain entre ambos oneptos):

F (s)G(s) =

(

0esuf(u) du

)(

0esvg(v) dv

)=

0

(

0es(u+v)f(u)g(v) du

)dv

(10.21)

La expresin (10.21) onsiste en alular la integral doble de la funin

R(u, v) = es(u+v)f(u)g(v)

en el dominio D = {(u, v) |u [0,), v [0,)}. La Figura 10.11 muestra el dominiode integrain D.

Figura 10.11: Dominio D

Por ejemplo, si tomamos las funiones del ejemplo anterior:

F (s) =s

s2 + 1, G(s) =

1

s2 + 1, f(t) = cos t, g(t) = sen t



R(u, v) = es(u+v) cos(u) sen(v)

Ahora, para ada valor jo de s, el produto F (s) G(s) es igual a la integral de F (u, v)en D. Para este ejemplo, la Figura 10.12 muestra fragmentos de las superies z = R(u, v)obtenidas tomando algunos valores onstantes del parmetro s. El valor exato de F (s)G(s)ser igual a la integral doble de la funin R(u, v) = es(u+v) cos(u) sen(v) en todo el dominioD.

Figura 10.12: Integral doble en la onvoluin

Ahora vamos a apliar en (10.21) el ambio de variables:

v = v

u = t v

Es deir, la variable v no ambia y la variable u se sustituye por t v, donde t esuna nueva variable. Reuerda que para apliar un ambio de variable en una integral doble

neesitamos el Jaobiano del ambio.

Ejeriio 10.20 Demuestra que en este ambio de variable, |J | = 1.

Calulamos ahora los nuevos lmites de integrain:

Para la integral exterior, la variable v sigue reorriendo en intervalo [0,) Para la integralinterior, jamos un valor de v ualquiera:

Lmite inferior: u = 0 t = v



Lmite superior: u = t =

As pues, (10.21) queda:

F (s) G(s) =

0

(

v

estf(t v)g(v) dt

)dv (10.22)

La Figura 10.13 muestra el nuevo reinto de integrain D. Observa ual es el orden deintegrain en (10.22).

Figura 10.13: Nuevo dominio D

Ahora ambiamos en (10.22) el orden de integrain (se puede demostrar que esto es

posible si f y g son de orden exponenial):

F (s) G(s) =

0

( t0estf(t v)g(v) dv

)dt (10.23)

En (10.23) saamos fuera de la integral interior el fator est, porque no depende de v:

F (s) G(s) =

0est

( t0f(t v)g(v) dv

)dt (10.24)

Observa que la integral interior es una funin de t, porque se integra en el intervalo[0, t] la funin f(t v)g(v) respeto a v. El resultado de la integral interior es una funinh(t) denida as:

h(t) =

t0f(t v)g(v) dv

Entones (10.24) es preisamente la transformain de Laplae de h(t). Por tanto:

F (s) G(s) = L

( t0f(t v)g(v) dv

)(10.25)



O equivalentemente:

L1 (F (s) G(s)) =

t0f(t v)g(v) dv (10.26)

As pues, para alular la transformada inversa h(t) del produto F (s) G(s), lo nioque hay que haer es:

1. Calular las transformadas inversas f(t) y g(t) de F (s) y G(s).

2. La funin h(t) se obtendr as:

h(t) =

t0f(t v)g(v) dv (10.27)

Veamos si somos apaes de apliar todo este proedimiento a las funiones del ejemplo

anterior, F (s) =s

s2 + 1, G(s) =

1

s2 + 1, f(t) = cos t, g(t) = sen t. Teniendo en uenta

(10.26):

h(t) = L 1(

s

(s2 + 1)2

)=

t0cos(t v) sen(v) dv

Como

cosB senA =1

2(sen(A+B) + sen(AB))

se tiene

h(t) =1

2

t0

(sen(t) + sen(2v t)) dv =1

2

(v sen(t)

cos(2v t)

2

)v=t

v=0

=1

2t sen t

Este resultado es fil de omprobar, teniendo en uenta la Propiedad 10.7 (transformada

del produto por tn, para n = 1):

L1

(1

2t sen t

)=

(1)1

2

d

ds

(1

s2 + 1

)=

s

(s2 + 1)2

As pues, la lave para enontrar la transformada inversa del produto F (s) G(s) es laoperain (10.27), que se realiza entre las funiones f(t) y g(t). Creo que meree la pena darnombre a esta importante operain.

Deniin 10.3 Sean f(t) y g(t) dos funiones integrables. Se llama operain onvo-luin de ambas funiones, y se representa por f(t) g(t), a la nueva funin obtenida delsiguiente modo:

f(t) g(t) = (f g)(t) =

f(t v)g(v)dv

Que en el aso de las funiones de orden exponenial que estamos tratando quedar omo

f(t) g(t) = (f g)(t) =

t0f(t v)g(v)dv (10.28)



Es fil omprobar que la operain onvoluin (10.28) es onmutativa, es deir, f(t) g(t) = g(t) f(t).

As pues, segn esta nueva deniin:

L1 (F (s) G(s)) = f(t) g(t) = L 1 (F (s)) L 1 (G(s))

O equivalentemente:

F (s) G(s) = L (f(t)) L (g(t)) = L (f(t) g(t))

En resumen:

L (f(t) g(t)) = L (f(t)) L (g(t))

L1 (F (s)) L 1 (G(s)) = L 1 (F (s) G(s)) (10.29)

Vimos ms arriba un ejemplo que mostraba que, en general, no es ierto que la trans-

formada del produto sea igual al produto de transformadas. En otras palabras, no son

iertas en general las igualdades:

L (f(t) g(t)) = L (f(t)) L (g(t))

L1 (F (s)) L 1 (G(s)) = L 1 (F (s) G(s)) (10.30)

Ahora bien, las propiedades (10.29) vienen a signiar que si la operain produto entre

las funiones de los trminos izquierdos de (10.30) se sustituyen por nuestro nuevo modo de

entender el produto (la operain onvoluin), entones ya es ierta esta propiedad de la

transformada del produto es el produto de transformadas.

Ejeriio 10.21 Utiliza la onvoluin para alular la soluin general de la EDO ay +by + cy = F (t).

AYUDA: Aplia la transformada, despeja Y (s) y aplia la transformada inversa paraobtener y(t). Vers que neesitas estudiar las raes de la euain as2 + bs+ c = 0, que espreisamente la euain araterstia de la EDO.

10.6. Sistemas lineales de EDO

En el Tema 9 (Euaiones Difereniales Ordinarias), estudiamos diversos mtodos on

los que resolver euaiones en las que aparea una funin desonoida y(t) y sus suesivasderivadas.

Sin embargo, en muhas apliaiones apareen varias funiones ingnita que es neesario

determinar y que estn relaionadas mediante varias euaiones difereniales ordinarias. As

pues, se tratar de resolver un sistema de euaiones difereniales. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 10.1 (Depsitos de fermentain.) La Figura 10.14 muestra un sistema para

transformar el mosto en vino por fermentain. El sistema est formado por tres depsitos

de igual apaidad, entre los uales hay irulain de lquido on veloidad onstante (en


10.6. SISTEMAS LINEALES DE EDO 451

litros/da). A medida que el mosto fermenta, ambia la antidad de alohol (en Kg) que

hay en ada depsito. Mediante agitain, onseguimos que la onentrain de alohol en

ada depsito sea uniforme, pero esta onentrain podr ser diferente de un depsito a otro

porque las antidades de alohol que tienen pueden ser diferentes. Se trata de estudiar qu

antidad de alohol tendr ada depsito en ada instante de tiempo.

Figura 10.14: Ejemplo 10.1

Vamos a llamar x1(t), x2(t) y x3(t) a las antidades de alohol (en Kg) que se enuentranen ada uno de los depsitos en el instante t. Construiremos un modelo que nos permitadeterminar estas tres funiones.

Como x1(t) es la antidad de alohol (en Kg) en D1, si llamamos C a la apaidad (enlitros) de ada depsito, entones x3(t)/C ser igual a la onentrain de alohol en D3 enel instante t. Si v es la veloidad de irulain del lquido (en litros/da), entones vx3(t)/Cser igual a la veloidad (en Kg/da) on que entra alohol a D1. Si ahora restamos laveloidad on que sale alohol on destino a D2, tendremos la veloidad de ambio de x1(t)en Kg/da:

x1(t) = vx3C v

x1C

Repitiendo el razonamiento para los depsitos D2 y D3, llegamos nalmente al modelo:

x1(t) = vx3C v

x1C

x2(t) = vx1C v

x2C

x3(t) = vx2C v

x3C

x1(0) = C1

x2(0) = C2

x3(0) = C3 (10.31)

En este modelo los valores C1, C2 y C3 indian las antidades de alohol iniiales en

ada uno de los depsitos. La Figura 10.15 muestra las gras de la soluin obtenida

numriamente mediante Winplot on las ondiiones iniiales C1(0) = 6 gramos de alohol,C2(0) = 14 gramos, C3(0) = 20 gramos, para v = 5. 4 litros/da y C = 7. 3 litros. Comopuede verse, la antidad de alohol en ada depsito onverge haia un mismo valor, que es

aproximadamente igual a 13. 32 gramos al abo de t = 5. 7 das.



Figura 10.15: Soluin del ejemplo 10.1

Ejeriio 10.22 Desribe un proedimiento que nos permita resolver analtiamente el pro-

blema (10.31) empleando la transformada de Laplae.

Ejeriio 10.23 Supongamos que dos tanques de salmuera (agua on sal), on apaidades

de 100 y 200 litros respetivamente, estn onetados omo india la Figura 10.16. En elprimer depsito entra agua dule a razn de 30 litros/minuto, y a esta misma veloidad seevaa salmuera por el desage del segundo depsito. Construye un modelo que te permita

alular la antidad de sal (en Kg) que habr en ada depsito en ada instante t. Haiaqu valores onvergern las antidades de salmuera en ada depsito? Verifalo resolviendo

el sistema de euaiones.


Ejemplo 10.2 (Resortes vertiales aoplados) Observa la Figura 10.17. Representa un

sistema dinmio formado por dos muelles y dos masas unidas a ellos que se desplazan

vertialmente. Cada uno de los resortes tiene su propia onstante araterstia k1 y k2, yen un momento determinado ada masa m1 y m2 tendr un desplazamiento vertial x1(t) yx2(t).


10.6. SISTEMAS LINEALES DE EDO 453


Pues bien, se puede demostrar que un modelo que sirve para estudiar el movimiento de

este sistema aoplado es el siguiente sistema de euaiones difereniales:

m1x

1 = k1x1 + k2(x2 x1)

m2x

2 = k2(x2 x1)

x1(0) = d1

x1(0) = v1

x2(0) = d2

x2(0) = v2 (10.32)

Donde las ondiiones iniiales d1, d2 indian los desplazamientos iniiales de las masas,y v1, v2 sus veloidades iniiales.

Ejeriio 10.24 Se podr apliar tambin aqu el proedimiento que desribiste en el ejer-

iio 10.22 para enontrar su soluin?

Ejemplo 10.3 (Resortes horizontales aoplados) Con el mismo planteamiento que en

el ejemplo anterior, el movimiento del sistema aoplado de la Figura 10.18, formado por dos

masas y tres muelles puede modelizarse mediante es sistema de euaiones:

m1x

1 = (k1 + k2)x1 + k2x2

m2x

2 = k2x1 + (k2 + k3)x2

x1(0) = d1

x1(0) = v1

x2(0) = d2

x2(0) = v2 (10.33)




Ejeriio 10.25 El proedimiento que desribiste en el ejeriio anterior, se podr apliar

para resolver el sistema (10.33)?

Ejemplo 10.4 (Ciruitos eltrios) La Figura 10.19 muestra el esquema de un iruito

eltrio formado por una fuente de alimentain que proporiona una tensin variable E(t),una resistenia R, una indutania L y un ondensador C.


Nos interesa alular las intensidades de orriente i1(t), i2(t) e i3(t) que irula en adaparte del iruito en ada instante t. Si alulamos dos de estas intensidades, ya tendremosla terera porque i1(t) = i2(t)+ i3(t). Pues bien, un modelo que desribe mo ambian i1(t)e i2(t) a medida que transurre el tiempo es el siguiente:

Ldi1dt

+R i2 = E(t)

Rdi2dt

+1

C(i2 i1) = 0

i1(0) = v1

i2(0) = v2

Ejeriio 10.26 Observa que el modelo matemtio es un sistema formado por dos eua-

iones difereniales de orden 1. Se podr apliar tambin aqu el mismo proedimiento de

resoluin?


10.7. SISTEMAS NO LINEALES DE EDO 455

Reuerda que en el Tema 8 (Integral urvilnea) tambin nos apareieron algunos siste-

mas de euaiones difereniales. Algunos de aquellos sistemas eran lineales y de oeientes

onstantes, omo por ejemplo:

x = x 2y

y = y

x(0) = 2

y(0) = 1 (10.34)

All omprobamos que la soluin de (10.34) es x(t) = et+et, y(t) = et, pero en aquelmomento no tenamos ningn mtodo analtio para alular la soluin. Sin embargo, ahora

podemos emplear la transformain de Laplae.

Ejeriio 10.27 Resuelve el sistema (10.34) y omprueba que se obtiene omo soluin las

funiones x(t) = et + et, y(t) = et

10.7. Sistemas no lineales de EDO

Sin embargo, en el Tema 8 tambin nos apareieron sistemas no lineales, que pudi-

mos resolver mediante mtodos numrios empleando Winplot. Por ejemplo, a partir de

la funin de potenial F (x, y) = x2y podemos onstruir el ampo vetorial onservativoV = (Fx, Fy) = (2xy, x

2) y trazar las lneas de ampo, es deir, las urvas x(t), y(t) que sonsoluin del sistema de euaiones

x(t) = 2xy

y(t) = x2 (10.35)

Pero observa que el sistema (10.35) no es lineal. Si tratamos de emplear la transformain

de Laplae para resolverlo:

L (x) = 2L (xy) sX(s) x(0) = 2L (x(t)y(t))

L (y) = L (x2) sY (s) y(0) = L (x2(t))

Reuerda que la transformada de un produto de funiones NO es en general el pro-

duto de las transformadas. No podemos ontinuar porque no sabemos mo esribir la

transformada de Laplae de las funiones x(t)y(t) y x2(t) en funin de las transformadasX(s), Y (s) de x(t) e y(t).

En muhas oasiones la nia posibilidad de resoluin del sistema ser alular una

soluin numria. La Figura 10.20 muestra el ampo vetorial V y algunas lneas de ampo(soluiones de (10.35)) trazadas numriamente mediante Winplot.

Y por qu habra de interesarnos estudiar euaiones y sistemas de euaiones no li-

neales? La razn fundamental es que, en general, los sistemas fsios reales no son lineales.

Nuestros modelos lineales son aproximaiones que nos permiten estudiar los fenmenos fsi-

os mediante euaiones que podamos resolver analtiamente. Y en muhas oasiones un



Figura 10.20: Campo onservativo y lneas de ampo

modelo lineal puede ser suientemente preiso para estudiar el fenmeno real. No obstante,

Einstein lleg a sugerir que, puesto que las euaiones bsias de la Fsia no son lineales,

toda la Fsia matemtia debe rehaerse por ompleto.

Por ejemplo, onsidera un pndulo al que no se aplia fuerza para mantener su osilain.

Si x(t) es el ngulo de osilain en ada instante (ver gura 10.21), un modelo que permiteestudiar este sistema fsio es:

x +c

mx +

g

Lsenx = 0 (10.36)

donde g es la aelerain de la gravedad, c es una onstante que depende del medio fsioen el que osila, m es la masa del pndulo y L la longitud del hilo.

Observa que el trmino senx de (10.36) hae que este modelo sea no sea lineal, de modoque no podemos apliar ninguno de los mtodos que hemos visto para enontrar su soluin.

En la linealizain habitual, el trmino senx se sustituye por x, lo ual es una aproximainrazonable si x es pequeo, es deir, si las osilaiones del pndulo son pequeas (senx x).

x +c

mx +

g

Lx = 0 (10.37)

Sin embargo, este modelo lineal (10.37) produe una gran distorsin uando x es grande,es deir, no hae buenas predi

iones aera del movimiento real del pndulo. Observa la

Figura 10.22. Hemos alulado numriamente mediante Winplot las soluiones de ambas

euaiones ((10.36) en trazo grueso y (10.37) en trazo no), on los siguientes valores de los

parmetros: c = 4. 6, L = 2 y m = 2. 9. Las gras de la gura superior se alularon on


10.7. SISTEMAS NO LINEALES DE EDO 457

Figura 10.21: Pndulo

las ondiiones iniiales x(0) = 0. 9, x(0) = 0. Las gras de la gura inferior se alularontomando x(0) = 3, x(0) = 0, lo ual da lugar a osilaiones muho ms grandes de x(t).Como puede verse, las soluiones de ambos modelos (10.36) y (10.37) son razonablemente

pareidas en el primer aso (gra superior, pequeas osilaiones) pero muy diferentes en

el segundo (gra inferior, osilaiones grandes).

La euain (10.37) es lineal, homognea y de oeientes onstantes, y por tanto pode-

mos resolverla analtiamente mediante la transformada de Laplae o mediante el mtodo

que desarrollamos en el Tema 9.

Con los sistemas de euaiones difereniales ourre lo mismo. Reuerda por ejemplo el

modelo de ampo gravitatorio plano que onstruimos en el Tema 8. All tomamos omo

funin de potenial en ada punto (x, y)

F (x, y) =M

(x a)2 + (y b)2

donde M es la masa que produe el ampo y (a, b) es el punto donde est situada.Luego onstruimos el ampo vetorial V = F = (Fx, Fy), uyas lneas de ampo sern lassoluiones del sistema de euaiones difereniales

x(t) = Fx(x, y)

y(t) = Fy(x, y) (10.38)

Evidentemente, (10.38) tampoo es un sistema lineal.

Ejeriio 10.28 Sin embargo, el sistema (10.38) puede resolverse filmente si lo trans-

formamos en la EDO dy/dx = Fy(x, y)/Fx(x, y). Eres apaz de resolver esta euain?Puedes tambin alular las lneas de ampo del ampo U perpendiular a V ?

Ejeriio 10.29 Dada la EDO de orden 2

y = F (t, y(t), y(t)) (10.39)



Figura 10.22: Soluiones de las euaiones 10.36 y 10.37

demuestra que es posible enontrar un sistema de dos euaiones difereniales ordinarias

equivalente a la euain (10.39). Para ello, dene las funiones auxiliares u = y, v = y.Utiliza esta idea para esribir un sistema de EDO equivalente a la EDO no lineal (10.36) y

resulvelo numriamente empleando Winplot, tal y omo nosotros hemos heho para trazar

la Figura 10.22.


teoria de la transformada de laplace

Documents