TENSESE CORRENTES TRANSITRIAS E TRANSFORMADA DE LAPLACE 1PRINCIPAIS SINAIS NO SENOIDAIS Degrau de amplitude E - um sinal que vale 0 voltpara t < 0evale E volt, constante,parat >0. Ver fig. 1-a. tEEvR(a)(b)v00

Fig. 1 A fig. 1-b mostra um exemplo da gerao desse sinal.Com a chave aberta, a tenso em R igual a zero volt. Com a chave fechada tem-se, em R, a tenso E volt. Supondo que a chave fechou no instante t = 0, tem-se o sinal na forma de degrau mostrado na fig. 1.a. Degrau unitrio o degrau em que o valor parat > 0 1. Neste caso ele designado por( ) t u . Ver fig. 2.

t01( ) t u+000 Fig. 2 Uma dvida que se poderia ter seria sobreo valor da funo para t = 0, uma vez que, pela figura 2, vemos que o valor pode ser qualquer um entre zero e 1. Por conveno, emt = 0, a funo( ) t u descrita analiticamente pelas expresses: Para) 0 (= t( ) 0 = t u Para) 0 (+= t( ) 1 = t u O sinal degrau representado na fig. 1-a designado por: ( ) t u E v = 2Sinal impulso unitrio um sinal que zero para qualquer0 te infinito para0 = t .Entretanto sua rea igual a 1. Ver fig. 3.

0 t( ) t rea = 10 Fig. 3 Este sinal , tambm, chamado de funo Dirac e representado por( ) t . Uma das maneiras matemticas de descrev-lo se refere fig. 4. t1= h00 Fig. 4 Nessa figura temos um pulso( ) t fde durao e amplitude 1= h . Sua rea fica: 11= = APortanto, a rea igual a 1 independentemente do valor de . Neste caso poderamos dizer que

h lim = =0 1lim0 = ( ) ( ) t f t lim = 0 Portanto,tem-se para( ) t : 0 = h 1 = rea3A funo( ) t E representa um impulso com rea E. Rampa unitria tambm chamada de rampa de inclinao unitria. Ela definida como sendo a funo ( ) t fque obedece as seguintes caractersticas: Para 0 < t ( ) 0 = t f Para 0 t ( ) t t f = Matematicamente, designa-se este tipo de funo como sendo( ) t u1 A fig. 5-a mostra essa funo. A fig. 5-b mostra o sinal( ) t u a1 que vem a ser uma rampa com inclinao igual a a . 0 1( ) t u1 t100 1( ) t u a1 ta0(a)(b)

Fig. 5 4TRANSFORMADA DE LAPLACE Aplicao A transformada de Laplace um algoritmo matemtico que permite a resoluo de equaes diferenciais de uma maneira puramente algbrica. muito til para o clculo de tenses e correntes transitrias em circuitos eltricos. Definio Define-se como transformada de Laplace, de uma funo temporal( ) t f , a igualdade: ( ) [ ] ( ) dt e t f t fst }=0 Esta operao transforma uma funo da varivel tempo em outra funo que depende apenas da varivel s. Por isto, comum dizer: Funo( ) t f Transformada de Laplace dessa funo ( ) s F onde ( ) ( ) dt e t f s Fst }=0 (1) --------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 1 : Determinao da transformada de Laplace de um degrau unitrio( ) t u . Ver fig. 6. t01( ) t u0 Fig. 6 Neste caso () dt e s Fst} =01stes =10=( ) ( )s se es11 01 10= = = 5

( ) = s F( )st u1= (2)

----------------------------------------------------------------------------------------------- Teorema 1: A multiplicao de uma funo temporal,por uma constante,equivale a multiplicao, de sua transformada de Laplace, pela mesma constante Seja( ) ( ) dt e t f s Fst }=0 Neste caso,( ) dt e t f ast }0( ) dt e t f ast }=0( ) s F a = --------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 2 Determinao da transformada de Laplace de um degrau de amplitude E. Ver fig. 7.

t0E( ) t f

Fig. 7 Neste caso,( ) ( ) t u E t f = De acordo com o teorema 1, tem-se:

( ) = t u E E ( )sEsE t u = =1 ( )sEt u E = (3) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 3 - Determinao da transformada de Laplace da funo: ( )te t f = ( ) dt e e s Fst t }=0 =( )dt et s}+ 0 Portanto: 6 ( )t ses+ +10 +=((

+ =s s1 10( ) = s F -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo - 3 - Determinao da transformada de Laplace daderivada de uma funo:

( )((

dtt df Sabemos que ( )dtdUVdtdVU V Udtd + = Multiplicando, os dois lados da igualdade, por dt fica: ( ) dU V dV U V U d + = Integrando os dois lados da igualdade tem-se: } }+ = Vdu UdV V U ou } } = VdU UV UdV (4) Sabemos que ( ) ( ) s F dt e t fst=}0 (5) Vamos fazer( ) U t f =e dt e dVst =Neste caso, stesV =1 Vamos aplicar estas igualdades na equao(4)

( ) [ ] t f d esst}+01( ) ( )st ste t fsdt e t f =}100ou 7 ( )( ) ( )dt edtt dfs sfdt e t fst st +} } ((

+ =0 01 0ou

( )( )s sfs F1 0+ =+( )dtt dfou ( )( ) ( )+ = 0 f s sFdtt df(6)

-------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 4 Transformada de Laplace da integral de uma funo( ) t f . Supondo que( ) s F a transformada de Laplace de( ) t f demonstrvel que se ( ) ( )dt t f A t vt} =0 ento

( )( ) ( )svss FA t v++ =0(7) --------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 5 -Transformada de um impulso de rea A. , tambm, demonstrvel que: ( ) A t A = (8) --------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 6 Transformada de Laplace de uma rampa de inclinao C. ( ) 0 = t f para t < 0 ( ) Ct t f = para 0 t Resultado:( )2sCs F = ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 Exemplo 7 - Transformada de Laplace de uma senoide ( ) t A t f sen = Resultado: ( )2 2+=sA s F ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Exemplo 8 Transformada de Laplace de uma co-senoide ( ) t A t f cos = Resultado: ( )2 2 +=ssA s F--------------------------------------------------------------------------------------------------------- Anti-transformada de Laplace Sea transformada de Laplace de( ) t f( ) s F , entoa anti-transformada de Laplace de ( ) s F , ( ) t f , ou seja:

se( ) [ ] () s F t f =ento( ) [ ] ( ) t f s F =1 (9) costume designar a funo no tempocom letra minscula e a transformada com letra maiscula. Exemplo: i I Equivale a ( ) t i ( ) s I 9Aplicao da transformada de Laplace para a determinao de tenses e correntes em circuitos eltricos. Exerccio 1: - Determinar a corrente i no circuito da fig.8,aps o fechamento da chave. Suponha que o capacitor est descarregado.

EiRC Fig. 8 Soluo: Aps o fechamento da chave, tem-se um circuito fechado. Neste caso,pode-se aplicara segunda lei de ohm: 010= + + }tdt iCRi E (10) Vamos aplicara transformada de Laplace a todos os termos,lembrando que a fonte de alimentao excita o circuito na forma de degrau. Portanto sua transformada ( ) = s EsE Ver equao (3). A tenso no capacitor ( )} =tcdt iCt v01 Suatransformada: ( )( )sVCsIs Vcc++ =0Ver expresso(7) Como, em nosso caso,a tenso no capacitor, no instante inicial, zero, resulta: ( )CsIs Vc= Portanto, a transformada de Laplace da expresso (10) fica: 10 0 = + + CsIRIsE(11) Nesta expresso, I representa a transformada de Laplace da corrente ( ) t i . A seguir, determina-se, algebricamente, a expresso de I: sECsR I = |.|

\|+1 |.|

\|+=RCssEI1RsCE+=1ou RCsREI11+ =(12) Finalmente, faz-se a anti-transformada de I.Dessa maneira, obtm-se a expresso da corrente i em funo do tempo. Para a anti-transformao usa-se tabelamentos, das transformadas de Laplace, publicados em manuais ou em livros didticos que tratam do estudo de transitrios em circuitos eltricos. Nas ltimas pginas desta apostila temos reprodues parciais desse tabelamento. Para o caso deste exerccio precisamos anti-transformar a expresso RCs11+.A linha 1.102 da tabela mostra que

1 tes=+1 Por comparao conclumos que:

1 tRCeRCs111=+ Portanto,a corrente( ) t ifica representada pelaexpresso: ( )tRCeREt i1=(13) A fig. 4 mostra como varia essa corrente ao longo do tempo. 11

RE( ) t it 0 Fig. 9 ----------------------------------------------------------------------------------------------- Exerccio 2: - Determinar a corrente i e a tenso v,no circuito da fig. 10, logo aps o fechamento da chave.

E vRLi Fig. 10 Soluo: a)Determinao da corrente i. Aps o fechamento da chave, aplica-se a segunda lei de ohm: 0 = + + dtdiL Ri E(14) Aplica-se a transformada de Laplace a todos os termos,lembrando que a excitao um degrau de amplitude E.Portanto sua transformada dada pela igualdade(3). Para transformar o termo dtdi aplica-se a expresso (6), lembrando que a corrente no indutor, no instante inicial, zero. 0 = + + LsI RIsE (15) Nesta expresso, Irepresenta a transformada de Laplace da corrente( ) t i . A seguir, determina-se, algebricamente, a expresso de I: 12 ( )sELs R I = +

( ) R Ls sEI+=ou

|.|

\|+ =LRs sLEI1(16) Precisamos determinar a anti transformada da expresso |.|

\|+LRs s1 No tabelamento, fornecido, no encontramos nenhuma expresso semelhante a essa. Entretanto, a linha 1.105 informa que a anti-transformada de

( )( ) + + s s1 t te e Se fizermos0 = concluiremos que a anti-transformada de ( ) + s s1 te 1 Fazendo a identidade com o resultado do nosso problema, tem-se: ( )|.|

\|++LRs ss s1 1 Conclumos que LR Portanto, a anti-transformada da funo

|.|

\|+ =LRs sLEI1 resulta: ( )LReLEt itRL =1 13ou ( )||.|

\| = tLReREt i 1(17) A fig. 11 mostra esta corrente em funo do tempo. tRE( ) t i0 Fig. 11 a)Determinao da tenso no indutor Pela expresso (13)sabemos que a tenso no indutor dada pela expresso: ( )dtdiL t v = Pela expresso (6)sabemos que, quando a corrente inicial nula,a transformada de Laplace desta tenso : LsI s V = ) (Substituindo o valor de Ipelo valor fornecido pela expresso (16),tem-se: ( )|.|

\|+ =|.|

\|+ =LRsELRs sLELs s V1 1

( )|.|

\|+=LRsE s V1 A anti-transformada resulta: ( )tLREe t v= (18) A fig. 12 mostra a variao dessa tenso no indutor ao longo do tempo. 14

E( ) t vt 0 Fig. 12 Exerccio 3: - Determinar a corrente i,no circuito da fig. 13, logo aps o fechamento da chave. Supe-se que, tanto a corrente inicial da bobina quanto a tenso inicial no capacitor, so nulos.

R CLvEL Fig. 13 Equao diferencial: 010= + + + }dtdiL idtCRi Et Transformadas de Laplace: 0 = + + + LsICsIRIsE onde I representa a transformada de Laplace de( ) t i , ou seja,( ) s I I = Determinando, algebricamente, o valor de I, encontra-se: ( )LCsLRsLEs I112+ += 19 Precisamos achar a anti-transformada da expresso: 15

LCsLRs112+ + A tabela no fornece a anti-transformadada forma com que essa expresso se apresenta. Precisamos mudar sua forma para se enquadrar na tabela. Vamos fazer 2 =LR e201 =LC Portanto LCsLRs112+ +20221 + +=s s Vamos somar e subtrair, ao denominador, o termo 2 Resulta:

20221 + + s s2 202 221 + + +=s s=( ) ( )2 2021 + + s20 Caso a Se02 20 ento podemos usar a identidade ( ) ( )2 2021 + + s ( )2 21 + +s21

2 202 = Caso b Se02 20< ento podemos usar a identidade ( ) ( )2 2021 + + s ( )2 21 +s22 onde 2 202 = ou202 2 = Soluo para o caso a A linha 1.301 da tabela fornece: 16

( )t est sen1 12 2=+ +1 Neste caso ( ) teLEt itsen=23 Substituindo os valores: LR2= 2 20 =2241LRLC = chega-se ao resultado final ( ) tLRLCeRCLEt itLR||.|

\|=222241sen4 24 A fig. 14 mostra como varia essa corrente em funo do tempo. t()ti0 Fig. 14 Soluo para o caso b Seguindo procedimento semelhante chega-se ao resultado: 17 ( ) tLC LReCL REt itLR||.|

\|=14senh42222 25 onde senh significa seno hiperblico de . A fig. 15 mostra esta corrente versus variao do tempo. ( ) t i0t Fig. 15Maneira prtica de resoluo do circuito quando as condies iniciais so nulas. Desenha-se o circuito no domnio da transformada de Laplace com as seguintes relaes: Impedncia de resistor R Impedncia de indutor Ls Impedncia de capacitor Cs1 Exemplo: Circuito RLC srie. Ver fig. 16.

LsR) (s E( ) s ICs1 Fig. 16 Calculando a corrente,resulta 18 ( )( )CsLs Rs Es I1+ += Supondo excitao em degrau, tem-se: ( )CsLs RsEs I1+ += ou ( )LCsLRsLEs I112+ +=26 Comparando (26)com (19), vemos que so idnticas. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exerccio 4 - Determinar a tenso( ) t vL no indutor do circuito da fig. 13. Soluo: Supondo que a transformada de Laplace de( ) t vL ( ) s VL, utilizamos, para esse clculo, o circuito mostrado na fig. 17,cujos parmetros esto enquadradosno domnio das transformadas de Laplace.Considere 02 20 LsR) (s E( ) s ICs1( ) s VL Fig. 17 Pela lei de ohm tem-se: ( ) Ls s I s VL = ) ( Vimos que ( )LCsLRsLEs I112+ += Portanto: 19 () = s VLLCsLRssE12+ + Como 02 20 ento podemos usar a identidade LCsLRss12+ +( )2 2 + +ss onde LR2= e221|.|

\| =LRLC Determinao da Anti-transformada de ( )( )2 2 + +=sss F Na linha 1.303, se fizermos00 = a , teremos

( ) ( ) ( ) + + =t e t ftsen1212 2 onde =1tg Aps algumas operaes e simplificaes algbricas chega-se ao resultado da tenso no indutor: ( )||.|

\|+ = tLRLCeLC RE t vtLRL 222241sen411 20onde1421 =C RLtg Casos onde se tem valores iniciais no nulos Seja o caso de um indutor de valor L, com uma corrente inicial 0I . Ver fig. 18-a.

0VC0IL(a)(b) Fig. 18 Neste caso, quando a bobina percorrida por uma corrente I,a tenso equivalente nesse um indutorfica: ( )0LI LsI s VL =A segunda parcela corresponde a uma fonte de tenso cuja fora eletromotriz possuivalor 0LI . A representao, no circuito, est mostrada na fig.19-a.

( ) s VLLs0LI( ) s VCsV0Cs1(a)(b) Fig. 19 Seja o caso onde se tem uma tenso inicial, de valor 0V , no capacitor. Ver fig. 19-b. Quando este capacitor percorrido por uma corrente I, a tenso equivalenteneste componente fica: ( )sVCsIs VC0+ = 21A segunda parcela corresponde a uma fonte de tenso cuja fora eletromotriz possui o valor sV0. A representao no circuito est mostrada na fig. 19-b. ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Exerccio5 Dado o circuito da fig. 20, a)Determinar a corrente( ) t iaps o fechamento da chave.b)Determinar a teno( ) t vC aps o fechamento da chave. EiRC0VCv Fig. 20 Soluo: A fig. 21 mostra o circuitono domnio da transformada de Laplace: R( ) s VCsE( ) s ICs1sV0 Fig. 21 a) 00= + + + sVCsIIRsE RCsRV ECRsV ECsRsV EI111 10 00+=+=+= A linha 1.102, da tabela, nos fornece a anti transformanda.Resulta: ( )tRCeRV Et i10|.|

\| =22 b) ( )sVCsI s VC01+ = ou ( )sVRCs CsRV Es VC0 011+|.|

\|+=ou ( ) ( )sVRCs sRCV E s VC0011+|.|

\|+ = As linhas 1.101 fornece aanti-transformada da segunda parcela. A linha 1.105, quando se faz0 = , fornece a anti-transformada da primeira parcela. Resulta: ( ) ( )0101 V e V E t vtRCc+||.|

\| = ou ( )tRCtRCce V e E t v1011+||.|

\| =--------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exerccio 6 Dado o circuito da fig. 22, a) Determinar a corrente( ) t iaps a chave mudar do ponto A para o ponto B. b) Determinar a tenso( ) t vL aps a chave mudar do ponto A para o ponto B.

ABLvL0I2E2R1R1E Fig. 22 Soluo: Antes de mudar a chave de A para B: Corrente contnua atravs do indutor: 110REI = 23Aps a mudana de A para B: Corrente inicial no indutor: REI10 = a)A fig. 23 mostra o circuito equivalente no domnio da transformada de Laplace:

( ) s VLLssE22R) (s I0LI Fig. 23 Aplicando a segunda lei de Ohm, tem-se: 0 22LI LsI I RsE + + =0 LRsILRs sLEI20221 1++|.|

\|+ =Usando as anti-transformaes da linha 1.105 ( fazendo0 = ) e da linha 1.102, resulta: ( )tLRtLRe I eREt i2 20221 +||.|

\| = onde 110REI = b) ( )0LI LsI s VL = ou( ) L ILRssL ILRsE s VL 020221+++ = ou ( ) ( )LRsR I E s VL22 0 21+ = Anti transformando (linha 1.102 da tabela), resulta: 24 ( ) ( )tLRLe R I E s V22 0 2 = onde 110REI = Teoremas dos valores iniciais e finais. Sendo( ) s Fa transformada de Laplace de( ) t f , o teorema do valor inicial afirma: ( ) t f lim0 t() s sF lim = s Portanto, podemos calcular o valor inicial de uma funo temporal utilizando sua transformada de Laplace. Basta multiplicar( ) s Fpor s e calcular o valor de seu limite quando s tende para o infinito. Da mesma forma, o teorema do valor final afirma: ( ) t f lim t() s sF lim =0 s

Portanto, podemos calcular o valor final de uma funo temporal utilizando sua transformada de Laplace. Basta multiplicar( ) s Fpor s e calcular o valor de seu limite quando s tende a zero.

Vamos verificar as afirmaes utilizando o resultado do exerccios5. Vimos, no exerccio 5 que a corrente no circuito resultou ( )tRCeRV Et i10|.|

\| =Valor inicial Podemos ver que ( ) |.|

\| =RV Et i0lim0 t No domnio da transformada de Laplace tnhamos: ( )RCsRV Es I110+= Podemos ver que 25 () s sI lim s sRV ERCssRV E0 01=||||.|

\|+lim= Isto confirma a validade do teorema do valor inicial Valor final Voltando expresso de( ) t i ( )tRCeRV Et i10|.|

\| = Podemos ver que

( ) 0 lim = t i t No domnio da transformada de Laplace tnhamos: ( )RCsRV Es I110+= Podemos ver que () s sI lim010=||||.|

\|+RCssRV Elim=0 s 0 s Isto confirma a validade do teorema do valor final ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exerccio 7 Trabalhando apenas no domnio da transformada de Laplace , determinar os valores inicial e final da corrente no indutor do circuito do exerccio 6 Soluo: ( )LRsILRs sLEs I20221 1++|.|

\|+ = 26 ( )LRssILRsLEs sI20221++|.|

\|+ = Valor inicial 0 00 I I = + = s() lim lim = s sI||||.|

\|++|.|

\|+LRssILRsLE20221 s 0 t( )0lim I t i = Portanto(valor inicial) Valor final

22220RERE= + =() lim lim = s sI||||.|

\|++|.|

\|+LRssILRsLE202210 s 0 s

t( )22limREt i =Portanto(valor final) Por inspeo no circuito do exerccio 6, pode-se confirmar sem dificuldades os resultados deste exerccio 7. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Utilizao dos teoremas dos valores iniciais e finais. Muitas vezes , quando se trabalha com circuitos muito complicados, a obteno da anti-transformada de Laplace fica extremamente trabalhosa. Se estamos interessados, apenas, em conhecer os valores iniciais e finais das tenses e correntes, nos diversos pontos do circuito, no teremos a necessidade de calcular as anti-transformadas.