circuitos elétricos ii prof. humberto mendes mazzini departamento de engenharia elétrica aula 2:...
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Circuitos Elétricos II
Prof. Humberto Mendes Mazzini Departamento de Engenharia Elétrica
Aula 2: Transformada de Laplace (T.L.) - revisão
Objetivos:- Saber calcular a transformada de Laplace de uma função
usando sua definição, a tabela de transformadas de Laplace
e/ou uma tabela de transformadas operacionais.
- Saber calcular a transformada inversa de Laplace usando a
expansão por frações parciais e a tabela de transformadas de
Laplace.
- Entender e saber como usar o teorema do valor inicial e o
teorema do valor final.
Transformada de Laplace
Desenvolvida pelo matemático francês Pierre Simon Laplace (1749-1827)
T.L. - Introdução
A T. L. de certa maneira generaliza a Transformada
de Fourier, pois baseia-se na representação de sinais
no domínio da frequência em função de “s”, que é
um complexo s = σ + jω (em vez de apenas “jω”
na Transformada de Fourier).
T.L. - Vantagens
- As Transformadas de Laplace fornecem mais informação sobre aqueles sinais e sistemas que também podem ser analisados pela Transformada de Fourier,
- podem ser aplicadas em contextos em que aTransformada de Fourier não pode, como por exemplo na análise de Sistemas instáveis.
Definição da T.L. Considere um sinal contínuo x(t) : x(t) C {conjunto dos números complexos}∈
ou seja, o sinal x(t) pode ter valores complexos, i.e., valores com partereal e com parte imaginária.
A Transformada de Laplace deste sinal x(t), normalmente simbolizada por:
permite expressar o sinal x(t) como:
a equação acima é chamada de transformada unilateral pois é definida parax(t) em que x(t) para t<0
e é a definição de T.L. adotada aqui (maior aplicação em sistemas dinâmicos).
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Exemplos (1)
Determine a transformada de Laplace de cada uma das
funções a seguir:
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Exemplos (2)
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Exemplos (3)
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Exemplos (4)
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Exemplos (5)
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Exemplos (6)
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Exemplos (7)
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Generalização
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Propriedades da Transformada de Laplace (1)
)()()()( 22112211 sFasFatfatfaL
Linearidade:
Se F1(s) e F2(s) são, respectivamente, as trasformadas de Laplace of f1(t) e f2(t), então:
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Propriedades da Transformada de Laplace (2)
)(1
)(a
sFa
atfL
Mudança de escala:
Se F (s) for a transformada de Laplace de f (t), então:
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Propriedades da Transformada de Laplace (3)
)()()( sFeatuatfL as
Deslocamento no tempo:
Se F (s) for a transformada de Laplace de f (t), então:
18
Propriedades da Transformada de Laplace (4)
)()()( asFtutfeL at
Deslocamento na frequência:
se F (s) for a transformada de Laplace de f (t), então:
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Propriedades da Transformada de Laplace (5)
)0()()(
fssFtudt
dfL
Derivadas:
Se F (s) for the Transformada de Laplace de f (t), então a Transformada de Laplace de sua derivada é:
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Propriedades da Transformada de Laplace (6)
)(1
)(0
sFs
dttfLt
Integrais:
Se F (s) for a Transformada de Laplace de f (t), então a Transformada de Laplace de sua integral é:
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Propriedades da Transformada de Laplace (7)
Valores inicial e final
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Valores inicial e final - exemplo
FIM