notas laplace

Transformada de Lapla e

Fábio Azevedo, Esequia Sauter

1 de Abril de 2015

Li ença

Este material está li en iado por seus autores sob a li ença Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada

(CC BY-SA 3.0)

3

Conteúdo

1 Introdução 7

2 Transformada de Lapla e 9

2.1 Denição de transformada de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Condição de existên ia da transformada de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 A transformada inversa de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Propriedades do Valor Ini ial e Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 A propriedade de linearidade e a transformada da derivada 17

3.1 Linearidade da transformada de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 A transformada de Lapla e da derivada de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Apli ação da transformada de Lapla e para resolver problemas de valor ini ial . . . . . . . . . 20

4 As propriedades de translação e da transformada da integral 23

4.1 Propriedade de translação no eixo s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Apli ação: Os ilador Harmni o Livre ( aso amorte ido) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 A função de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4 Propriedade do deslo amento no eixo t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.5 A propriedade da transformada de Lapla e da integral de uma função . . . . . . . . . . . . . 31

4.6 Apli ação: ir uito RC a um pulso de amplitude V0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 A função Delta de Dira e a propriedade da onvolução 35

5.1 A função Delta de Dira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2 Apli ação: ir uito RLC a um pulso de amplitude V0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3 Apli ação: ál ulo da deexão em vigas sujeitas a argas on entradas . . . . . . . . . . . . . 40

5.4 Apli ação: metabolismo de uma medi ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.5 Propriedade da onvolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.6 Exer í ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6 Cál ulo de transformadas de Lapla e de algumas funções espe iais 47

6.1 Método das frações par iais para al ular transformadas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.2 Transformada de Lapla e de funções periódi as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.3 Cál ulo de transformadas de Lapla e envolvendo algumas funções espe iais . . . . . . . . . . 52

7 Equações om oe ientes variáveis e sistemas de equações lineares 55

7.1 A derivada da transformada de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.2 Equações diferen iais om oe ientes não onstantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.3 Propriedade da integral da transformada de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5

6 CONTEÚDO

8 Sistemas de equações diferen iais ordinárias 63

8.1 Transformada de Lapla e para resolver sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.2 Apli ação: ir uito de duas malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.3 Apli ação: duplo massa mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.4 Apli ação: reação quími a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

A Tabelas de Transformadas de Lapla e 71

Capítulo 1

Introdução

Nos problemas en ontrados na físi a, quími a e engenharias tais omo massa-mola,

md2x

dt2+ β

dx

dt+ kx = f(t)

ou ir uitos em série,

Ld2q

dt2+R

dq

dt+

1

Cq = E(t),

o termo do lado direito representa uma força externa hamada de termo fonte ou função forçante. Forças

externas des ontínuas não são in omuns nesses fenmenos. Um exemplo disso é uma função forçante do

tipo have liga/desliga, onde a função é zero o iní io do fenmeno, depois sobe instantaneamente a um valor

onstante durante algum tempo e, nalmente, zero novamente. Métodos analíti os para resolver equações

diferen iais, omo fator integrante, separação de variáveis, oe ientes a determinar e variação de parâmetros,

fun ionam bem quando as funções e envolvidas são ontínuas. O método que vamos introduzir aqui, hamado

de transformada de Lapla e, resolve esse tipo de problema. Essen ialmente, a transformada de Lapla e é

uma transformação similar a derivação ou integração, pois leva função em outra função. Alem disso, essa

transformação leva a derivada de uma função em produtos da função original. Isso signi a que se apli armos

essa transformação em uma equação diferen ial, a nova equação em termos da transformada é algébri a e

pode ser resolvida fa ilmente. Uma vez que a transformada de Lapla e é onhe ida, temos que al ular a

transformada inversa para obter a solução do problema ([2 and [1).

7

8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇO

Capítulo 2

Transformada de Lapla e

2.1 Denição de transformada de Lapla e

Denição 1. Seja f(t) uma função denida nos reais não negativos. Quando a integral

Lf(t) =

∫ ∞

0

f(s)e−stdt

for onvergente, ela será hamada de transforada de Lapla e da função f(t).

Observe que a transformada de Lapla e Lf(t) de uma função f(t) é uma função da variável s. A notação

usual neste ontexto é letra minús ula para a função e letra maiús ula para a transformada: Lf(t) = F (s),Lg(t) = G(s), Lh(t) = H(s).

Nos próximos exemplos, vamos apli ar a denição para al ular a transformadas de Lapla e de algumas

funções.

Exemplo 1. Vamos al ular a transformada de Lapla e da função f(t) = 1:

L1 =

∫ ∞

0

1 · e−stdt

= lima→∞

∫ a

0

e−stdt

= lima→∞

1− e−sa

s.

O limite lima→∞

1− e−sa

ssó existe se s > 0. Portanto,

L1 =1

s, s > 0.

Exemplo 2. A transformada de Lapla e da função f(t) = t é al ulada fazendo integração por partes:

Lt =

∫ ∞

0

te−stdt

= − te−st

s

∣

∣

∣

∣

∞

0

−∫ ∞

0

(

−e−st

s

)

dt.

= − te−st

s

∣

∣

∣

∣

∞

0

+1

s

∫ ∞

0

e−stdt.

9

10 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

onde a notação − te−st

s

∣

∣

∣

∣

∞

0

indi a lima→∞

(

− te−st

s

∣

∣

∣

∣

a

0

)

. Observe que, se s > 0, a primeira par ela do lado direito

é zero e a segunda é

1sL1, isto é,

Lt =1

sL1 =

1

s2, s > 0.

onde usamos o resultado do exemplo 1.

Exemplo 3. Para al ular a transformada de Lapla e da função f(t) = tn usamos a ideia introduzida no

exemplo 2 e es revemos-a em termos da transformada de tn−1. Observe primeiro a transformada de t2 e t3

Lt2 =

∫ ∞

0

t2e−stdt

= − t2e−st

s

∣

∣

∣

∣

∞

0

−∫ ∞

0

(

−2te−st

s

)

dt.

=2

s

∫ ∞

0

te−stdt =2

sLt =

2

s

1

s2=

2

s3, s > 0

Lt3 =

∫ ∞

0

t3e−stdt

= − t3e−st

s

∣

∣

∣

∣

∞

0

−∫ ∞

0

(

−3t2e−st

s

)

dt.

=3

s

∫ ∞

0

t2e−stdt =3

sLt2 =

3

s

2

s3=

3!

s4, s > 0

Agora já podemos induzir qual seria a expressão para a transformada de tn:

Ltn =n!

sn+1, s > 0.

Essa expressão pode ser formalmente demonstrada pelo método de indução matemáti a.

Exemplo 4. A transformada de Lapla e da função f(t) = e−atpode ser obtida por integração direta:

Le−at =

∫ ∞

0

e−ate−stdt

=

∫ ∞

0

e−(s+a)tdt

=e−(s+a)t

s+ a

∣

∣

∣

∣

∞

0

=1

s+ a, s+ a > 0

Exemplo 5. A transformada de Lapla e da função f(t) = sin(wt) pode ser obtida integrando por partes duas

vezes:

Lsin(wt) =

∫ ∞

0

sin(wt)e−stdt

= − sin(wt)e−st

s

∣

∣

∣

∣

∞

0

− 1

s

∫ ∞

0

(w cos(wt))(

−e−st)

dt

=w

s

∫ ∞

0

cos(wt)e−stdt

=w

s

(

−cos(wt)e−st

s

∣

∣

∣

∣

∞

0

− 1

s

∫ ∞

0

(−w sin(wt))(

−e−st)

dt

)

=w

s

(

1

s− w

s

∫ ∞

0

sin(wt)e−stdt

)

=w

s2− w2

s2Lsin(wt).

2.2. CONDIÇO DE EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 11

Observe que obtemos uma equação para Lsin(wt):

Lsin(wt) =w

s2− w2

s2Lsin(wt).

Resolvemos essa equação e obtemos

Lsin(wt)(

1 +w2

s2

)

=w

s2,

isto é,

Lsin(wt) =w

s2 + w2, s > 0.

Exemplo 6. Vamos agora al ular a transformada de Lapla e Lf(t) de uma função f(t) des ontínua

denida por partes:

f(t) =

0, 0 ≤ t ≤ 45, t > 4.

Aqui usamos a seguinte propriedade de integral:

∫ b

a f(t)dt =∫ x

a f(t)dt+∫ b

x f(t)dt. Portanto,

Lf(t) =

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

=

∫ 4

0

f(t)e−stdt+

∫ ∞

4

f(t)e−stdt

=

∫ 4

0

0 · e−stdt+

∫ ∞

4

5e−stdt

= −5e−st

s

∣

∣

∣

∣

∞

4

=5e−4s

s

Problema 1. Cal ule a transforma de Lapla e da função f(t) = cos(wt) usando a denição.

Problema 2. Cal ule a transforma de Lapla e da função f(t) denida por partes:

f(t) =

0, 0 ≤ t ≤ 31, 3 ≤ t ≤ 5,0, t > 5.

2.2 Condição de existên ia da transformada de Lapla e

A integral que dene a transformada de Lapla e nem sempre onverge e, nesse aso, dizemos que a função

não possui transformada de Lapla e. As funções f(t) = et2

e f(t) = 1t são alguns exemplo de funções que

não possui transformada de Lapla e. Nessa seção, vamos introduir uma família de funções que possuem

transformada de Lapla e. Neste ontexto vamos onsiderar as funções que são ontínuas por partes, ou seja,

aquelas que possui um número nito de des ontinuidade.

Denição 2. Dizemos que uma função f(t) é de ordem exponen ial c se existem onstantes c, M > 0 e

T > 0 tal que |f(t)| ≤ Mect para todo t > T .

Exemplo 7. As funções f(t) = t2, g(t) = sin(t), h(t) = e−tsão de ordem exponen ial, pois

|t2| ≤ et, t > 0,

|5 cos(t)| ≤ et, t > 2,

|e−t| ≤ et, t > 0.

A gura 2.1 ilustra o res imento de f , g e h


1

2

3

1

t

et

t21

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3

t

et

5 cos(t)

1

2

3

1

t

et

e−t

Figura 2.1:

Teorema 1. Se f(t) é ontínua por partes no intervalo [0,∞) e de ordem exponen ial c, então a transformada

de Lapla e de f(t) existe para s > c.

Demonstração. Observe que a transformada de Lapla e pode ser es rita omo uma soma

Lf(t) =

∫ ∞

0

f(t)e−stdt =

∫ T

0

f(t)e−stdt+

∫ ∞

T

f(t)e−stdt.

Observe que a primeira par ela do lado direito é uma integral denida de uma função ontínua por partes.

O fato da função ser de ordem exponen ial impli a que ela seja limitada no intervalo [0, T ]. Logo, a primeira

par ela onverge para qualquer valor real de T . Agora, se T for su ientemente grande, existem c e M > 0tal que |f(t)| ≤ Mect, t > T . Logo

∣

∣

∣

∣

∫ ∞

T

f(t)e−stdt

∣

∣

∣

∣

≤∫ ∞

T

|f(t)| e−stdt

≤∫ ∞

T

Mecte−stdt

= M

∫ ∞

T

e−(s−c)tdt

=M

c− se−(s−c)t

∣

∣

∣

∣

∞

T

=M

s− ce−(s−c)T , s > c.

Portanto a integral

∫∞0

f(t)e−stdt onverge para s > c, ou seja, a transformada de Lapla e existe.

2.3 A transformada inversa de Lapla e

Se F (s) = Lf(t) é a transformada de Lapla e de f(t), então dizemos que f(t) = L−1F (s) é a transfor-

mada inversa de Lapla e da função F (s). Essa denição só faz sentido se a transformação denida no onjunto

de funções que possuem transformada de Lapla e for "bijetora", ou seja, ada função f(t) está rela ionada a

uma úni a transformada F (s). É fá il observar que duas funções iguais a partir de t = 0 possuem a mesma

transformada de Lapla e. Porém, se duas transformadas são iguais para s > s0, por exemplo, F (s) = G(s),então

∫ ∞

0

f(t)e−stdt =

∫ ∞

0

g(t)e−stdt

2.3. A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 13

ou seja,

∫ ∞

0

(f(t)− g(t))e−stdt = 0

para ada s > s0. Mas, o fato dessa integral ser nula, não signi a que a função f(t) − g(t) é nula. Tome

omo exemplo a função

h(t) =

0, 0 ≤ t < 3,1, t = 3,0, t > 3,

que não é nula, mas a integral

∫ ∞

0

h(t)e−stdt = 0 ∀s > 0. (2.1)

No entanto, a função f(t)−g(t) não pode ser diferente de zero em muitos pontos. Basta tomar omo exemplo

uma função que não se anula em um intervalo pequeno:

h(t) =

1, 0 ≤ t < ǫ,0, t ≥ ǫ

para 0 < ǫ << 1. Por menor que seja ǫ, a integral (2.1) não se anula para s > 0. Mesmo para uma função

om integral zero, por exemplo,

h(t) =

1, 0 ≤ t < ǫ,−1, ǫ ≤ t < 2ǫ,0, t ≥ 2ǫ,

para 0 < ǫ << 1, a integral (2.1) a

∫ ∞

0

h(t)e−stdt =

∫ ǫ

0

e−stdt−∫ 2ǫ

ǫ

e−stdt

=e−st

−s

∣

∣

∣

∣

ǫ

0

− e−st

−s

∣

∣

∣

∣

2ǫ

ǫ

=1

s− e−sǫ

s− e−sǫ

s+

e−2sǫ

s6= 0, s > 0.

Existe um on eito que diz que duas funções h1(t) e h2(t) são iguais quase-sempre em [a, b] se∫ b

a

|h1(t)− h2(t)|dt = 0.

Usando esse on eito, se duas transformadas de Lapla e são iguais, a respe tivas inversas são iguais quase-

sempre. Nesse sentido, uma função que possui transformada de Lapla e está ontida numa lasse de funções

que possuem a mesma transformada de Lapla e. Se olharmos ada lasse de funções omo um elemento de

um onjunto, então a transformada de Lapla e é "bijetora". Isso signi a que a transformada inversa está

bem denida, mesmo que não es revemos uma forma integral fe hada para ela. Uma forma integral fe hada

para a transformada inversa de Lapla e apare erá naturalmente na teoria de transformada de Fourier.

Abaixo segue a pequena tabela 2.1 das transformadas de Lapla e que al ulamos na seção 2.1 e suas

respe tivas inversas. Observe que ada função da segunda oluna representa uma lasse de funções iguais

quase-sempre. As tabelas A.1 e A.2 do apêndi e A estão mais ompletas. As tabelas de transformadas são

úteis quando estamos resolvendo uma equação diferen ial, pois na práti a, onsultamos uma tabela para

al ular a inversa.

Exemplo 8. Para al ular a transformada inversa da função F (s) = 10100+s2 , xamos a = 10 na quarta linha

da tabela 2.1 e obtemos

L−1

10

100 + s2

= sin(10t)

Exemplo 9. Da mesma forma, para al ular a transformada inversa da função F (s) = 1s30 , xamos n = 30

na ter eira linha da tabela 2.1 e obtemos

L−1

1

s30

=t29

29!.


F (s) = Lf(t) f(t) = L−1F (s)

1

s1

1

s2t

1

sn, (n = 1, 2, 3, ...)

tn−1

(n− 1)!

F (s) = Lf(t) f(t) = L−1F (s)

a

a2 + s2sin(at)

1

s+ ae−at

Tabela 2.1:

2.4 Propriedades do Valor Ini ial e Final

Propriedade 1. (Propriedade do Valor Final) Se F (s) é a transformada de Lapla e de f(t) e

limt→∞

f(t) = L,

então

lims→0+

sF (s) = L.

Demonstração. Usamos a denição de transformada de Lapla e para es rever

sF (s) = s

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

= s

∫ a

0

f(t)e−stdt+ s

∫ ∞

a

f(t)e−stdt.

Observe que a primeira par ela do lado direito tende a zero independentemente do valor de a. Porém, para

a su ientemente grande, f(t) se aproxima de L, pois limt→∞ f(t) = L, ou seja,

s

∫ ∞

a

f(t)e−stdt ≈ s

∫ ∞

a

Le−stdt.

≈ sL

−s

[

e−st]∞

a= Le−as

Como e−as → 1 quando s → 0, então

lims→0+

sF (s) = L.

Propriedade 2. (Propriedade do Valor Ini ial) Se F (s) é a transformada de Lapla e de uma função f(t)de ordem exponen ial c e

limt→0+

f(t) = L,

então

lims→∞

sF (s) = L.

2.5. EXERCÍCIOS 15


sF (s) = s

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

= s

∫ a

0

f(t)e−stdt+ s

∫ b

a

f(t)e−stdt+ s

∫ ∞

b

f(t)e−stdt.

Observe que a segunda par ela do lado direito tende a zero quando s → ∞ independentemente do valor de ae b, pois o fato da função ser de ordem exponen ial e ontínua por partes impli a em f(t) limitada em [a, b],ou seja, |f(t)| < M e, portanto,

∣

∣

∣

∣

∣

s

∫ b

a

f(t)e−stdt

∣

∣

∣

∣

∣

≤ s

∫ b

a

|f(t)|e−stdt

≤ Ms

∫ b

a

e−stdt

≤ Ms1

−se−st

∣

∣

∣

∣

b

a

= M(e−sa − e−sb).

Também, a ter eira par ela tende a zero se b for su ientemente grande, pois existem c e M > 0 tal que

|f(t)| < Mect para t > b e, portanto,

∣

∣

∣

∣

s

∫ ∞

b

f(t)e−stdt

∣

∣

∣

∣

≤ s

∫ ∞

b

|f(t)|e−stdt

≤ s

∫ ∞

b

Me−(s−c)tdt

≤ Ms1

c− se−(s−c)t

∣

∣

∣

∣

∞

b

=Ms

s− c(e−(s−c)b).

Porém, para a su ientemente pequeno, f(t) se aproxima de L, pois limt→0 f(t) = L, ou seja,

s

∫ a

0

f(t)e−stdt ≈ s

∫ a

0

Le−stdt.

≈ sL

−s

[

e−st]a

0= L

(

1− e−as)

Como e−as → 0 quando s → ∞, então

lims→∞

sF (s) = L.

2.5 Exer í ios

Exer í io 1 Use a denição de transformada de Lapla e para al ular as transformadas das funções dadas

nos grá os da gura 2.2:

Resposta do exer í io 1:

a) F (s) = ks e

−sc

b) F (s) = ks (1− e−sc)

) F (s) = ks e

−sc(

1− e−sb)


t

f(t)

c

k

a)

t

f(t)

c

k

b)

t

f(t)

c c+ b

k

c)

t

f(t)

c

k

d)

t

f(t)

c 2c

k

e)

Figura 2.2:

d) F (s) = −kc

(

cse

−sc + 1s2 (e

−sc − 1))

e) F (s) = −kc

(

2cs e

−sc − 2cs e

−2sc + 1s2

(

2e−sc − e−2sc − 1))

+ 2ks

(

e−sc − e−2sc)

Exer í io 2 Use a denição de transformada de Lapla e para al ular as transformadas das funções

dadas a seguir:

a) f(t) = at

b) f(t) =

0, 0 ≤ t < 22, 2 ≤ t < 30, t > 3

) f(t) = at

d) f(t) = cos(wt)


a) F (s) = as2

b) F (s) = 2se

−2s (1− e−s)

) F (s) = 1s−ln(a)

d) F (s) = ss2+w2

Capítulo 3

A propriedade de linearidade e a

transformada da derivada

3.1 Linearidade da transformada de Lapla e

Propriedade 3. A transformada de Lapla e é uma transformação linear, isto é,

Lαf(t) + βg(t) = αLf(t)+ βLg(t) (3.1)

sempre que ada uma das transformadas existirem.

Demonstração. Isso vem direto da propriedade de linearidade da integral:

Lαf(t) + βg(t) =

∫ ∞

0

(αf(t) + βg(t)) e−stdt

=

∫ ∞

0

αf(t)e−stdt+

∫ ∞

0

βg(t)e−stdt

= α

∫ ∞

0

f(t)e−stdt+ β

∫ ∞

0

g(t)e−stdt

= αLf(t)+ βLg(t) .

Exemplo 10. A transformada de Lapla e da função f(t) = sin(wt) já foi al ulada no exemplo 5. Agora

vamos al ular novamente usando o resultado do exemplo 4 e a linearidade da transformada de Lapla e.

Primeiro re ordamos a fórmula de Euler para es rever exponen iais omplexas em termos de senos e ossenos:

eiwt = cos(wt) + i sin(wt)

ou

e−iwt = cos(wt) − i sin(wt).

As duas expressões podem ser resolvidas em termos do seno e do osseno para obter

sin(wt) =eiwt − e−iwt

2i(3.2)

cos(wt) =eiwt + e−iwt

2(3.3)

17

18 CAPÍTULO 3. A PROPRIEDADE DE LINEARIDADE E A TRANSFORMADA DA DERIVADA

Agora podemos al ular a transformada de Lapla e do seno usando a expressão (3.2).

Lsin(wt) = L

eiwt − e−iwt

2i

=1

2iL

eiwt

− 1

2iL

e−iwt

=1

2i

(

1

s− iw− 1

s+ iw

)

=1

2i

(

s+ iw − (s− iw)

(s− iw)(s+ iw)

)

=1

2i

(

2iw

s2 + w2

)

=w

s2 + w2

Problema 3. Cal ule a transformada de Lapla e da função f(t) = cos(wt) usando a propriedade de linea-

ridade 3.

Problema 4. Cal ule a transformada de Lapla e da função f(t) = eat − ebt usando a propriedade de linea-

ridade 3.

Exemplo 11. A transformada de Lapla e da função f(t) = sinh(wt) pode ser al ulada usando o resultado

do exemplo 4 e as expressões em termos de exponen iais:

sinh(at) =eat − e−at

2(3.4)

cosh(at) =eat + eat

2. (3.5)

Apli amos a propriedade 3 a expressão (3.4) e temos:

Lsinh(at) = L

eat − e−at

2

=1

2L

eat

− 1

2L

e−at

=1

2

(

1

s− a− 1

s+ a

)

=1

2

(

s+ a− (s− a)

(s− a)(s+ a)

)

=1

2

(

2a

s2 − a2

)

=a

s2 − a2

Exemplo 12. Vamos al ular a tranformada de Lapla e da função f(t) = wt− sin(wt) usando propriedade

de linearidade 3 e o exemplo 10:

Lwt− sin(wt) = wLt − Lsin(wt)=

w

s2− w

s2 + w2

=w(s2 + w2)− ws2

s2(s2 + w2)

=w(s2 + w2)− ws2

s2(s2 + w2)=

w3

s2(s2 + w2)

3.2. A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA DERIVADA DE UMA FUNÇO 19

Problema 5. Cal ule a transformada de Lapla e da função f(t) = cosh(at) usando a propriedade de linea-

ridade 3.

Problema 6. Cal ule a transformada de Lapla e da função f(t) = 1 − cos(wt) usando a propriedade de

linearidade 3.

Observação 1. A transformada inversa de Lapla e também é uma transformação linear, isto é,

L−1 αF (s) + βG(s) = αf(t) + βg(t). (3.6)

Esse resultado é onsequên ia da propriedade de linearidade 3:

L−1 αF (s) + βG(s) = L−1 αLf(t)+ βLg(t)= L−1 L αf(t) + βg(t)= αf(t) + βg(t).

Exemplo 13. Vamos al ular a tranformada inversa de Lapla e da função F (s) = 2s + 4

s2 − 1s−1 usando

propriedade de linearidade 3.6 e a tabela 2.1:

L−1

2

s+

4

s2− 1

s− 1

= 2L−1

1

s

+ 4L−1

1

s2

− L−1

− 1

s− 1

= 2 + 4t− et

3.2 A transformada de Lapla e da derivada de uma função

Propriedade 4. Se f(t) é ontínua e de ordem exponen ial e f ′(t) é ontínua por partes para t ≥ 0, então

Lf ′(t) = sLf(t) − f(0). (3.7)

Demonstração. Primeiro onsidere f(t) e f ′(t) ontínuas nos reais não negativos. Usando integração por

partes na denição de transformada de Lapla e, temos

Lf ′(t) =

∫ ∞

0

e−stf ′(t)dt

= e−stf(t)∣

∣

∞

0−∫ ∞

0

(−se−st)f(t)dt

= f(0) + s

∫ ∞

0

e−stf(t)dt

= f(0) + sLf(t)

Se f ′(t) for ontínua por partes, então separamos as integrais em somas de tal forma que f ′(t) seja ontínua

em ada par ela. Apli amos integração por partes em ada par ela e obtemos o resultado desejado.

Considere f(t) e f ′(t) ontínuas e f ′′(t) ontínua por partes. Então podemos apli ar a expressão 3.7 duas

vezes e obter:

Lf ′′(t) = sLf ′(t) − f ′(0)

= s (sLf(t) − f(0))− f ′(0)

= s2Lf(t) − sf(0)− f ′(0). (3.8)

Analogamente, se f(t), f ′(t), · · · , f (n−1)(t) são ontínuas e f (n)(t) é ontínua por partes, então

Lf (n)(t) = snLf(t) − sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− · · · − f (n−1)(0). (3.9)

Vamos usar a propriedade 4 da transformada da derivada para al ular transformadas de Lapla e.


Exemplo 14. Vamos al ular a transformada de f(t) = cos(t) usando a propriedade 4. Observe as derivadas:

f(t) = cos(t), f ′(t) = − sin(t) e f ′′(t) = − cos(t).

Logo,

f ′′(t) = −f(t).

Apli amos a transformada de Lapla e e usamos a propriedade 4:

s2F (s)− sf(0)− f ′(0) = −F (s).

Usamos o fato que f(0) = cos(0) = 1 e f ′(0) = − sin(0) = 0 e obtemos

s2F (s)− s = −F (s),

ou seja,

F (s) =s

s2 + 1,

que onfere om o item 14 da tabela A.1.

Exemplo 15. Agora, vamos al ular a transformada de g(t) = t cos(t) usando a propriedade 4 da transfor-

mada da derivada . Observe as derivadas:

g′(t) = −t sin(t) + cos(t)

e

g′′(t) = −t cos(t)− sin(t)− sin(t),

ou seja,

g′′(t) = −g(t)− 2 sin(t).

Apli amos a transformada de Lapla e e usamos a propriedade 4:

s2G(s)− sg(0)− g′(0) = −G(s)− 2Lsin(t).

Usamos o fato que g(0) = 0 · cos(0) = 0, g′(0) = −0 · sin(0) + cos(0) = 1 e Lsin(t) = 1s2+1 e obtemos

s2G(s) − 1 = −G(s)− 2

s2 + 1,

isto é,

G(s) =s2 − 1

(s2 + 1)2,

3.3 Apli ação da transformada de Lapla e para resolver problemas

de valor ini ial

A propriedade da transformada da derivada 4, juntamente om a propriedade da linearidade 3, são importan-

tes para resolver problemas de valor ini ial. A ideia é apli ar a transformada de Lapla e à equação diferen ial

e, usando as ondições ini iais es revemos uma equação algébri a para transformada de Lapla e da solução,

que é hamada de equação subsidiária. Em seguida, resolvemos a equação algébri a e al ulamos a trans-

formada inversa para obter a solução do problema. Por exemplo, onsidere o problema de valor ini ial de

segunda ordem

y′′(t) + ay′(t) + by(t) = f(t)

y(0) = y0

y′(0) = y′0

3.3. APLICAÇODA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR INICIAL21

om a, b, y0 e y′0 onstantes. A apli ação da transformada de Lapla e nos dá

Ly′′(t)+ aLy′(t) + bLy(t) = Lf(t).

Usando a propriedade 4, obtemos a seguinte equação subsidiária

s2Ly(t) − sy(0)− y′(0) + asLy(t) − ay(0) + bLy(t) = Lf(t)

ou seja,

Y (s) =F (s) + sy0 + y′0 + ay0

(s2 + as+ b)

onde Ly(t) = Y (s) e Lf(t) = F (s). A solução do problema de valor ini ial é y(t) = L−1Y (s).Exemplo 16. Vamos resolver o problema de valor ini ial

y′′(t) + y(t) = 2t

y(0) = 2

y′(0) = 1

Primeiro apli amos a transformada de Lapla e na equação diferen ial:

Fy′′(t)+ Fy(t) = F2t

Em seguida, usamos a equação 3.8 para obter

s2Ly(t) − sy(0)− y′(0) + Fy(t) = 2Ft.

Agora, usamos a notação Ly(t) = Y (s) e o fato que Ft = 1s2 para es rever

s2Y (s)− sy(0)− y′(0) + Y (s) =2

s2.

Obtemos a equação subsidiária quando substituímos y(0) = 2 e y′(0) = 1:

s2Y (s)− 2s− 1 + Y (s) =2

s2.

O próximo passo é resolver a equação algébri a para Y (s)

Y (s)(

s2 + 1)

=2

s2+ 2s+ 1,

isto é,

Y (s) =2

s2 (s2 + 1)+

2s

(s2 + 1)+

1

(s2 + 1).

A solução do problema de valor ini ial pode ser es rita omo

y(t) = L−1

2

s2 (s2 + 1)

+ L−1

2s

(s2 + 1)

+ L−1

1

(s2 + 1)

.

As transformadas inversas nós obtemos olhando a tabela A.1 do apêndi e A, itens 20, 14 e 13:

L−1

1

s2 (s2 + 1)

= t− sin(t), w = 1 no item 20 da tabela A.1,

L−1

s

(s2 + 1)

= cos(t), w = 1 no item 14 da tabela A.1

e

L−1

1

s2 (s2 + 1)

= sin(t), w = 1 no item 13 da tabela A.1

Combinando a propriedade da linearidade 3, temos:

y(t) = 2t− 2 sin(t) + 2 cos(t) + sin(t) = 2t+ 2 cos(t)− sin(t)


Problema 7. Resolva o seguinte problema de valor ini ial

y′′(t) + 2y′(t) + y(t) = e−t

y(0) = −1

y′(0) = 1

Capítulo 4

As propriedades de translação e da

transformada da integral

4.1 Propriedade de translação no eixo s

Nessa seção vamos al ular a transformada inversa do des amento F (s− a) sabendo a transformada inversa

de F (s). O grá o da gura 4.1 mostra um exemplo de função om deslo amentos à direita e à esqueda.

s

F (s) F (s− a)F (s+ a)

Figura 4.1:

Propriedade 5. Se F (s) é a transformada de Lapla e de f(t), então eatf(t) é a transformada inversa de

F (s− a), isto é

L

eatf(t)

= F (s− a), s > a (4.1)

ou

L−1 F (s− a) = eatf(t), s > a. (4.2)

23

24 CAPÍTULO 4. AS PROPRIEDADES DE TRANSLAÇO E DA TRANSFORMADA DA INTEGRAL

Demonstração. É direto da apli ação da denição da transformada de Lapla e F (s− a):

F (s− a) =

∫ ∞

0

f(t)e−(s−a)tdt

=

∫ ∞

0

f(t)eate−stdt

= L

eatf(t)

Agora vamos al ular algumas transformadas de Lapla e usando a propriedade 5.

Exemplo 17. Para al ular a transformada de Lapla e de f(t) = teat, que é o item 8 da tabela A.1, usamos

o item 2 da mesma tabela,

Lt =1

s2= F (s),

e a propriedade de translação 5 om f(t) = t:

L

eatt

= F (s− a) =1

(s− a)2, s > a

Exemplo 18. Vamos provar o item 25 da tabela A.2,

L

1

4a3(sin(at) cosh(at)− cos(at) sinh(at))

=1

s4 + 4a4,

usando os itens 13 e 14 da tabela A.1:

L

1

asin(at)

=1

s2 + a2,

e

Lcos(at) =s

s2 + a2.

De fato,

L

1


= L

1

4a3

(

sin(at)eat + e−at

2− cos(at)

eat − e−at

2

)

= L

1

8a3

(

eat (sin(at)− cos(at)) + e

−at (sin(at) + cos(at)))

=1

8a3

[

L(

eat (sin(at)− cos(at))

+ L

e−at (sin(at) + cos(at))

)]

=1

8a3

[

a

(s− a)2 + a2− s− a

(s− a)2 + a2

+a

(s+ a)2 + a2+

s+ a

(s+ a)2 + a2

]

=1

8a3

[

8a3

((s− a)2 + a2) ((s+ a)2 + a2)

]

=

[

1

s4 + 4a4

]

Problema 8. Use a propriedade 5 e as tabelas A.1 e A.2 para al ular as seguintes transformadas de Lapla e

a) L

1

(n− 1)!tn−1eat

(usando o item 3 da tabela)

b) L

1

wsin(wt)eat

(usando o item 13 da tabela)

4.2. APLICAÇO: OSCILADOR HARMÔNICO LIVRE (CASO AMORTECIDO) 25

Exemplo 19. Vamos al ular a transformada de Lapla e de f(t) = e−t cosh(2t) usando a propriedade 5 e a

tabela A.1. Primeiro observe o item 16 da tabela om a = 2:

Lcosh(2t) =s

s2 − 4= F (s).

Agora use a propriedade da translação no eixo s

L

e−tcosh(2t)

= F (s+ 1) =s+ 1

(s+ 1)2 − 4, s > −1 (4.3)

Problema 9. Use a propriedade 5 e as tabelas A.1 e A.2 para al ular as seguintes transformadas de Lapla e

a) Lsinh(2t) cos(t)

b) L

(4 + t2)et

Exemplo 20.

a) Agora vamos usar a propriedade 5 e o item 16 da tabela A.1 para al ular a transformadas inversa de

Lapla e da função F (s) = 1s2−2s−3 . Primeiro es revemos F (s) numa forma onveniente:

F (s) =1

s2 − 2s− 3=

1

(s− 1)2 − 1− 3=

1

(s− 1)2 − 4.

Observe no item 16 da tabela que Lcosh(2t) = ss2−4 = G(s) e, também, pela propriedade da translação no

eixo s dada na equação (4.2)

L−1F (s) = L−1G(s− 1) = et cosh(2t).

Problema 10. En ontre f(t) dado que F (s) usando as tabelas e as propriedades

a) F (s) = s(s+1)2+1

b) F (s) = s−1(s2−2s+5)(s2−2s+10)

4.2 Apli ação: Os ilador Harmni o Livre ( aso amorte ido)

Uma mola elásti a de onstante k om sua extremidade superior xada prende um orpo de massa m na sua

extremidade inferior. Seja y(t) o deslo amento do orpo da sua posição de equilíbrio estáti o em função do

tempo t. Conside que o orpo esteja sujeito a uma força de atrito propor ional a velo idade om onstante

de amorte imento γ. Também, onsidere que y0 e y′0 são sua posição e velo idade ini ial, respe tivamente.

A equação do movimento é obtida a partir da segunda lei de Newton:

ma =∑

i

Fi,

onde a = y′′(t) é a a eleração e

∑

i~Fi representa a soma de todas as forças. No aso tratado aqui, existem

apenas duas forças, a saber:

i) a força da mola, que é propor ional ao des o amento (lei de Hooke), om onstante de propor ionalidade

k, F1 = −ky(t), e

ii) a força de atrito, que é propor ional a velo idade, om onstante de amorte imento γ, F2 = −γy′(t).

Logo,

my′′(t) = F1 + F2 = −ky(t)− γy′(t),

ou seja, a equação para o deslo amento y(t) é dada por

my′′(t) + γy′(t) + ky(t) = 0. (4.4)


Agora, vamos usar o método da transformada de Lapla e para resolver a equação. Apli amos a transformada

de Lapla e na equação (4.4) e obtemos:

mLy′′(t)+ γLy′(t)+ kLy(t) = 0.

Apli amos a propriedade 4 e obtemos

ms2Ly(t) −msy(0)−my′(0) + γsLy(t) − γy(0) + kLy(t) = 0.

Usamos a ondição ini ial e a notação F (s) = Ly(t) para obter a seguinte equação subsidiária:

ms2Y (s)−msy0 −my′0 + γsY (s)− γy0 + kY (s) = 0.

Resolvemos a equação para Y (s):

Y (s) =msy0 +my′0 + γy0

ms2 + γs+ k.

Tomemos um aso subamorte ido, onde γ2 < 4mk, por exemplo, γ = 2, m = 1 e k = 5, sujeitos às ondiçõesini iais y0 = 1 e y′0 = −2. A função Y (s) toma a forma:

Y (s) =s

s2 + 2s+ 5.

A transformada inversa nos leva a solução do problema:

y(t) = L−1

s

s2 + 2s+ 5

.

Para al ular a inversa olhamos os itens 13 e 14 da tabela A.1 e es revemos

ss2+2s+5 numa forma onveniente

s

s2 + 2s+ 5=

s

(s+ 1)2 + 4=

s+ 1

(s+ 1)2 + 4− 1

(s+ 1)2 + 4.

Usamos a propriedade 3 para on luir o resultado

y(t) = L−1

s+ 1

(s+ 1)2 + 22

− 1

2L−1

2

(s+ 1)2 + 22

= e−t cos(2t)− 1

2e−t sin(2t).

Para identi ar a amplitude e a fase, es revemos a expressão em termos de exponen ial vezes osseno:

e−t

(

cos(2t)− 1

2sin(2t)

)

= Ae−t cos(2t+ δ) = Ae−t (cos(2t) cos(δ)− sin(2t) sin(δ)) .

Isso é verdade se

A cos(δ) = 1

A sin(δ) =1

2

ou seja,

A =

√

1 +1

4=

√5

2

e δ é uma fase no primeiro quadrante onde

cos(δ) =2√5=

2√5

5,

o que impli a em δ ≈ 0, 463648 rad ≈ 26, 570. Portanto,

y(t) =

√5

2e−t cos(2t+ 0, 463648).

A gura 4.2 ilustra o grá o de y(t).

4.3. A FUNÇO DE HEAVISIDE 27

t

y(t)

√52 e−t

−√52 e−t

Figura 4.2:

4.3 A função de Heaviside

A função de Heaviside ou função degrau unitário é nula para argumento negativo e vale 1 para argu-

mento positivo. Quando o argumento é zero a função não pre isa estar denida (ou pode-se denir qualquer

valor, dependendo do ontexto, por exemplo 1/2). Observe que está é uma função ontínua por partes:

u(t) =

0, t < 01, t > 0.

(4.5)

A função de Heaviside om des ontinuidade em t = a é da forma

u(t− a) =

0, t < a1, t > a.

(4.6)

A gura 4.3 apresenta os grá os de u(t) e u(t− a) para a > 0.

1

t

u(t)

1

t

u(t− a)

a

Figura 4.3:

Observe que a representação grá a em t = a não está om o rigor matemáti o para funções, pois

deveria estar esboçado bolinhas abertas indi ando que em t = a a função não está denida. Esse tipo de


representação grá o é usado no ontexto de transformada de Lapla e. Quando realmente for ne essário

denir um transição em t = 0, toma-se uma aproximação linear e ontínua para a função de Heaviside,

hamada de função rampa:

gǫ(t) =

0, t < −ǫ12ǫ t+

12 , −ǫ ≤ t ≤ ǫ

1, t > ǫ,

para ǫ << 1. A gura 4.4 ilustra o grá o de gǫ(t) para ǫ = 1/2.

1

t

u(t)

Figura 4.4:

A função de Heaviside é o limite de gǫ(t) se t 6= 0:

limǫ→0

gǫ(t) = u(t), t 6= 0.

Uma função importante em apli ações é a função pulso, denida por:

fp(t) =

0, t < a1, a < t < b0, t > b.,

(4.7)

om a < b A gura 4.5 apresenta uma representação grá a para a função pulso. A função pulso normalmente

1

t

a b

u(t)

Figura 4.5:

é representada em termos da diferença de duas função de Heaviside:

fp(t) = u(t− a)− u(t− b), a < b.

A função pulso geralmente indi a uma have liga-desliga. Por exemplo, o produto fp(t)f(t) signi a quef estava desligada para t < a, f foi ligada em t = a e desligada em t = b. Analogamente, o produto

u(t− a)f(t) indi a que a função foi ligada em t = a. Observe o grá o de u(t− 1) sin(t) na gura 4.6.

Exemplo 21. Representar algebri amente em termos da função de Heaviside a função dada no grá o da

gura 4.7. Observe que podemos representar f(t) da seguinte forma:

f(t) =

0, t < 12, 1 < t < 3−3, 3 < t < 50, t > 5.

(4.8)

4.4. PROPRIEDADE DO DESLOCAMENTO NO EIXO T 29

1

1 2 3 4 5 6 7

t

u(t− 1) sin(t)

Figura 4.6: Grá o da função u(t− 1) sin(t).

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7

t

f(t)

Figura 4.7:

Para representar em termos da função de Heaviside, olhe para o grá o pensando em dois pulsos: 2(u(t −1)− u(t− 3)) e −3(u(t− 3)− u(t− 5)). A soma deles é a função desejada:

f(t) = 2(u(t− 1)− u(t− 3))− 3(u(t− 3)− u(t− 5)).

Problema 11. Esbo e o grá o da função f(t) = (u(t)− u(2π)) sin(t).

A transformada de Lapla e da função de Heaviside é direto da denição. Primeiro onsidere a ≥ 0:

Lu(t− a) =

∫ ∞

0

u(t− a)e−stdt

=

∫ ∞

a

e−stdt

=1

−se−st

∣

∣

∣

∣

∞

a

=e−as

s. (4.9)

Se a < 0, então

Lu(t− a) = L1 =1

s.

4.4 Propriedade do deslo amento no eixo t

Propriedade 6. Se F (s) é a transformada de f(t), então f(t − a)u(t − a) é a transformada inversa de

e−atF (s), isto é

Lu(t− a)f(t− a) = e−asF (s), a > 0 (4.10)


ou

L−1

e−asF (s)

= u(t− a)f(t− a), a > 0. (4.11)

Demonstração. Apli amos a denição da transformada de Lapla e e obtemos:

Lu(t− a)f(t− a) =

∫ ∞

0

u(t− a)f(t− a)e−stdt

=

∫ a

0

u(t− a)f(t− a)e−stdt+

∫ ∞

a

u(t− a)f(t− a)e−stdt

=

∫ ∞

a

f(t− a)e−stdt,

pois u(t−a) é zero no intervalo [0, a) e um no intervalo (a,∞). Depois usamos a mudança de variável v = t−ana última integral:

∫ ∞

a

f(t− a)e−stdt =

∫ ∞

0

f(v)e−s(v+a)dv = e−as

∫ ∞

0

f(v)e−svdv.

Logo,

Lu(t− a)f(t− a) = e−asLf(t) = e−asF (s).

Observe que tomando f(t) = 1 na propriedade 6, temos:

Lu(t− a) =e−as

s, a > 0 (4.12)

que oin ide om a fórmula al ulada na equação (4.9). Quando a = 0 na equação (4.12), re aímos no item

1 da tabela A.1.

Exemplo 22. Apli ando diretamente a propriedade 6 e usando que Lt2 = 2s3 , al ulamos a transformada

inversa de Lapla e de e−3s 2s3 :

L−1

e−3s 2

s3

= u(t− 3)(t− 3)2.

Problema 12. Use a propriedade 6, al ule a transformada inversa de Lapla e e esbo e um grá o para ada

item:

a) G(s) = e−2s ss2+4

b) G(s) = e−s 1s2 − 3e−3s 1

s2

Exemplo 23. Vamos al ular a transformada inversa de Lapla e da função

F (s) = e−s 1

(s+ 1)2 − 1.

Primeiro al ulamos a transformada de

1(s+1)2−1 usando a propriedade 5

L−1

1

(s+ 1)2 − 1

= e−t sinh(t).

Depois usamos a propriedade 6 para on luir

L−1

e−s 1

(s+ 1)2 − 1

= u(t− 1)L−1

1

(s+ 1)2 − 1

= u(t− 1)e−(t−1) sinh(t− 1).

Problema 13. Use a propriedade 5 e propriedade 6 para al ular a transformada inversa de Lapla e

F (s) =e−2s(s− 1)

s2 − 2s+ 5.

4.5. A PROPRIEDADE DA TRANSFORMADA DE LAPLACE DA INTEGRAL DE UMA FUNÇO 31

4.5 A propriedade da transformada de Lapla e da integral de uma

função

Propriedade 7. Se F (s) é a transformada de Lapla e de uma função ontínua por partes f(t), então

∫ t

0f(τ)dτ é a transformada inversa de

1sF (s), isto é

L∫ t

0

f(τ)dτ

=1

sF (s), (4.13)

ou

L−1

1

sF (s)

=

∫ t

0

f(τ)dτ. (4.14)

Demonstração. Seja g(t) =∫ t

0 f(τ)dτ . Então g′(t) = f(t). Apli amos a propriedade da transformada da

derivada 4 e temos:

Lg′(t) = sLg(t) − g(0).

Usando o fato que g(0) = 0, temos

L∫ t

0

f(τ)dτ

= Lg(t)

=1

sLg′(t)

=1

sLf(t)

=1

sF (s).

Essa propriedade será útil na apli ação de um ir uito RC dis utido na seção 4.6.

4.6 Apli ação: ir uito RC a um pulso de amplitude V0.

Considere o ir uito Resistor/Capa itor representado na gura 4.8 om uma tensão V (t) apli ada do tipo

pulso,

V (t) = V0 (u(t− a)− u(t− b)) .

ou seja, o ir uito estava em repouso até t = a e foi apli ada a tensão V0 entre t = a e t = b.O modelo para a orrente i(t) obede e a lei de Kir ho:

Ri(t) +1

Cq(t) = V (t), (4.15)

onde q(t) é a arga no apa itor,

1C q(t) é a tensão no apa itor de apa itân ia C e Ri(t) é a tensão no

resistor de resistên ia R. Usando o fato que q(t) =∫ t

0i(τ)dτ , obtemos uma equação integral para i(t):

Ri(t) +1

C

∫ t

0

i(τ)dτ = V0 (u(t− a)− u(t− b)) .

Para resolver esse problema de valor in ial, apli amos a transformada de Lapla e na equação a ima e usamos

a propriedade 7:

Li(t)+ 1

sRCLi(t) =

V0

s

(

e−as − e−bs)

,

ou seja, obtemos a seguinte equação subsidiária:

sI(s) +1

RCI(s) =

V0

R

(

e−as − e−bs)

,


CR

V

Figura 4.8:

onde I(s) = Li(t). Logo,

I(s) =V0C

RCs+ 1

(

e−as − e−bs)

=V0

R

1

s+ 1RC

(

e−as − e−bs)

.

O item 7 da tabela de transformadas A.1 nos dá L−1

1s−d

= edt. Tome d = − 1RC e obtemos

L−1

1

s+ 1RC

= e−t

RC .

Agora usamos a propriedade 6 do deslo amento no eixo t para al ular a função orrente:

i(t) = L

V0

R

1

s+ 1RC

(

e−as − e−bs)

=V0

R

[

L

1

s+ 1RC

e−as

− L

1

s+ 1RC

e−bs

]

=V0

R

[

u(t− a)e−(t−a)RC − u(t− b)e−

(t−b)RC

]

=V0

R

[

u(t− a)ea

RC − u(t− b)eb

RC

]

e−t

RC .

Olhando numa notação de função denida por partes, podemos es re er

i(t) =

0, t < a

Ae−t

RC , a < t < b,

(A−B) e−t

RC , t > b,

onde

A =V0

Re

a

RCe B =

V0

Re

b

RC .

Observe que A > 0, B > 0 e A < B, ou seja, para t > b a orrente é negativa e se aproxima exponen ialmente

de zero. Essa é a hamada orrente de des arga. A gura 4.9 apresenta um grá o da orrente quando

a = 0.5, b = 2, R = 1Ω, C = 1F e V0 = 3V .

Agora, vamos obter o modelo para a arga q(t). Voltamos a equação (4.15) e usamos i(t) = dq(t)dt

Rq′(t) +1

Cq(t) = V0 (u(t− a)− u(t− b)) .

4.6. APLICAÇO: CIRCUITO RC A UM PULSO DE AMPLITUDE V0. 33

1

2

3

−1

1 2 3 4 5−1

t

i(t)

Figura 4.9:

Obtemos a equação subsidiária apli ando a transformada de Lapla e:

R (sQ(s)− q(0)) +1

CQ(s) =

V0

s

(

e−as − e−bs)

.

onde Q(s) = Lq(t). Como o fenmeno estava em repouso no iní io, q(0) = 0. A solução da equação

subsidiária é

Q(s) =C

RCs+ 1

V0

s

(

e−as − e−bs)

=V0

R

1

s(

s+ 1CR

)

(

e−as − e−bs)

.

O item 11 da tabela A.1 nos dá

L−1

1

(s− d1)(s− d2)

=1

d1 − d2

(

ed1t − ed2t)

.

Colo amos d1 = 0, d2 = − 1CR

L−1

1

s(

s+ 1CR

)

= CR(

1− e−t

CR

)

.

Agora usamos a propriedade 6 da translação no eixo t e obtemos:

q(t) = CV0

(

u(t− a)(

1− e−t−a

CR

)

− u(t− b)(

1− e−t−b

CR

))

.

Olhando numa notação de função denida por partes, podemos es re er

q(t) =

0, t < a

CV0

(

1− e−t−a

CR

)

, a < t < b,

CV0

(

e−t−b

CR − e−t−a

CR

)

, t > b,

A gura 4.10 apresenta um grá o da arga quando a = 0.5, b = 2, R = 1, C = 1F e V0 = 3V . Observe a

onsitên ia om o grá o da gura 4.9.


1

2

3

−1

1 2 3 4 5−1

t

q(t)

Figura 4.10:

Capítulo 5

A função Delta de Dira e a propriedade

da onvolução

5.1 A função Delta de Dira

Muitos fenmenos físi os exigem a representação de uma força muito grande em um intervalo de tempo muito

pequeno, por exemplo:

• um ir uito elétri o re ebe uma força eletromotriz grande em um urto intervalo de tempo.

• um sistema massa-mola é atingido por uma martelo.

• uma bola de futebol parada re ebe um hute, ou seja, uma força quase instantânea, que a olo a em

movimento.

• um avião é atingido por uma raio.

Para representar essa força, vamos tomar a função pulso unitário em um urto intervalo de tempo [ǫ, ǫ] emtorno da origem, isto é, um pulso om integral unitária:

δǫ(t) =1

2ǫ(u(t+ ǫ)− u(t− ǫ)) =

0, t < −ǫ12ǫ , −ǫ < t < ǫ0, t > ǫ.

Um pulso unitário em torno de t = a é representado por

δǫ(t− a) =1

2ǫ(u(t− (a− ǫ))− u(t− (a+ ǫ))) =

0, t < a− ǫ12ǫ , a− ǫ < t < a+ ǫ0, t > a+ ǫ.

(5.1)

Observe que

∫∞−∞ δǫ(t− a) = 1 para qualquer ǫ > 0. A gura 5.1 apresenta o grá o de δǫ(t− a) para a > 0

e ǫ = 1, ǫ = 12 , ǫ =

14 , ǫ =

18 e ǫ = 1

12 .

A função que representa uma grande força instantânea é hamada de função impulso ou função Delta

de Dira e pode ser denida pelo limite das funções pulsos:

δ(t− a) = limǫ→0

δǫ(t− a).

A gura 5.1 apresenta o grá o de δǫ(t− a) quando ǫ diminui e uma representação grá a para δ(t− a).

Observação 2. A função delta de Dira pode ser denida omo limite de outras sequên ias de funções om

propriedades análogas a sequên ia de pulsos. Por exemplo, podemos denir δ(t) omo limite das funções

fǫ(t) =1

ǫ√πe−

t2

ǫ2

35

36 CAPÍTULO 5. A FUNÇO DELTA DE DIRAC E A PROPRIEDADE DA CONVOLUÇO

t

δǫ(t− a), a = 1 e ǫ = 1

a

t

δǫ(t− a), a = 1 e ǫ = 12

a

t

δǫ(t− a), a = 1 e ǫ = 14

a

t

δǫ(t− a), a = 1 e ǫ = 18

a

t

δǫ(t− a), a = 1 e ǫ = 112

a

t

δ(t− a), a = 1

a

Figura 5.1:

A função Impulso é zero em todo ponto, ex eto em t = a:

δ(t− a) =

0, t 6= a∞, t = a

e

∫ ∞

−∞δ(t− a)dt = 1

A função Delta de Dira prossui um propriedade interessante hamada de propriedade da ltragem:

Se f(t) for um função ontínua em torno de t = a, então

∫ ∞

−∞δ(t− a)f(t)dt = f(a). (5.2)

5.2. APLICAÇO: CIRCUITO RLC A UM PULSO DE AMPLITUDE V0. 37

De fato, supondo que em um intervalo bem pequeno em torno de t = a, [a−ǫ, a+ǫ], f(t) seja aproximadamente

f(a), então∫ ∞

−∞δ(t− a)f(t)dt =

∫ ǫ

−ǫ

δ(t− a)f(t)dt

≈∫ ǫ

−ǫ

δ(t− a)f(a)dt

= f(a)

∫ ǫ

−ǫ

δ(t− a)dt

= f(a).

Na equação (5.1) denimos a função Delta de Dira omo

δ(t− a) = limǫ→0

1

2ǫ(u(t− (a− ǫ))− u(t− (a+ ǫ))) .

Por outro lado, usamos a denição de derivada para es rever

limǫ→0

1

2ǫ(u((t− a) + ǫ))− u((t− a)− ǫ))) =

d

dtu(t− a)

ou seja,

δ(t− a) =d

dtu(t− a).

Observe que as funções de Heaviside e de Dira não são funções no sentido do ál ulo diferen ial e integral.

Naturalmente, a derivada a ima também vale somente num sentido generalizado, mas é oerente quando

olhamos a função de Heaviside omo limite de funções rampas (ver gura 4.4), pois na origem a derivada

tende ao innito.

A transformada de Lapla e de função Delta de Dira é obtido pela propriedade da ltragem dada na

equação (5.2):

Lδ(t− a) =

∫ ∞

0

δ(t− a)e−stdt = e−at. (5.3)

5.2 Apli ação: ir uito RLC a um pulso de amplitude V0.

Considere o ir uito Resistor/Capa itor/Indutor representado na gura 5.2 om uma tensão V (t) apli adado tipo pulso,

V (t) = V0 (u(t− a)− u(t− b)) .

O modelo para a orrente i(t) obede e a lei de Kir ho:

Li′(t) +Ri(t) +1

Cq(t) = V0 (u(t− a)− u(t− b)) , (5.4)

onde q(t) é a arga no apa itor, 1C q(t) é a tensão no apa itor de apa itân ia C, Ri(t) é a tensão no resistor

de resistên ia R e Li′(t) é a tensão no indutor de indutân ia L. Considere as ondições ini iais i(0) = 0 e

q(0) = 0.

Dado que

dq(t)dt = i(t), derivamos a equação (5.4) para obter a seguinte equação diferen ial:

Li′′(t) +Ri′(t) +1

Ci(t) = V0 (δ(t− a)− δ(t− b)) , (5.5)

onde usamos que a derivada da função de Heaviside é a função delta de Dira . As ondições ini iais para a

equação (5.5) são i′(0) = 0 e i(0) = 0. Com o objetivo de resolver a problema de valor ini ial, apli amos a

transformada de Lapla e para obter a equação subsidiária

Ls2I(s) +RsI(s) +1

CI(s) = V0

(

e−as − e−bs)

,


L

CR

V

Figura 5.2:

que tem solução

I(s) =V0

(

e−as − e−bs)

Ls2 +Rs+ 1C

=1

L

V0

(

e−as − e−bs)

(

s+ R2L

)2 −(

R2L

)2+ 1

LC

=V0

L

[

e−as

(

s+ R2L

)2+ η

− e−bs

(

s+ R2L

)2+ η

]

onde

η =1

LC−(

R

2L

)2

.

Vamos exempli ar os asos subamorte ido, superamorte ido e riti amente amorte ido tomando V0 = 10V ,

a = 1 e b = 5:

• Caso subamorte ido (η > 0): es olhemos o aso onde L = 1H, C = 110 F e R = 2Ω. Nesse aso

I(s) = 10

[

e−s

(s+ 1)2+ 9

− e−5s

(s+ 1)2+ 9

]

.

Logo,

i(t) =10

3

(

u(t− 1)e−(t−1) sin (3(t− 1))− u(t− 5)e−(t−5) sin (3(t− 5)))

.

O grá o da orrente é apresentado na gura 5.3.

• Caso superamorte ido (η < 0): es olhemos o aso onde L = 1H, C = 1F e R = 4Ω. Nesse aso

I(s) = 10

[

e−s

(s+ 2)2 − 3− e−5s

(s+ 2)2 − 3

]

.

Logo,

i(t) = 10

(

u(t− 1)e−2(t−1)

√3

sinh(√

3(t− 1))

− u(t− 5)e−2(t−5)

√3

sinh(√

3(t− 5))

)

=5√3u(t− 1)

(

e(√3−2)(t−1) − e−(

√3+2)(t−1)

)

+

+5√3u(t− 5)

(

e(√3−2)(t−5) − e−(

√3+2)(t−5)

)

5.2. APLICAÇO: CIRCUITO RLC A UM PULSO DE AMPLITUDE V0. 39

1

2

3

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8−1

t

i(t)

Figura 5.3:


1

2

3

4

5

−1

1 2 3 4 5 6 7 8−1

t

i(t)

Figura 5.4:

• Caso riti amente amorte ido (η = 0): es olhemos o aso onde L = 1H, C = 1F e R = 2Ω. Nesse aso

I(s) = 10

[

e−s

(s+ 1)2 − e−5s

(s+ 1)2

]

.

Logo,

i(t) = 10(

u(t− 1)e−(t−1)(t− 1)− u(t− 5)e−(t−5)(t− 5))

.



1 2 3 4 5 6 7 8−1

t

i(t)

Figura 5.5:

5.3 Apli ação: ál ulo da deexão em vigas sujeitas a argas on-

entradas

A equação de Euler-Bernoulli, que modela pequenas deformações em uma viga elásti a horizontal sob a ação

de forças verti ais é dada por:

d4

dx4y(x) =

1

EIW (x) (5.6)

onde y(x) é a deexão transversal ao eixo x, E é o módulo de Young e I é o momento de inér ia da viga.

Consideraremos uma viga engastada de omprimento L, ou seja:

y(0) = y′(0) = y(L) = y′(L) = 0.

A arga está on entrada na posição x = L3 e tem intensidade P0, sendo modelada pela seguinte expressão:

W (x) = P0δ

(

x− L

3

)

.

Apli ando a transformada de Lapla e em (5.6) e usando o fato que L(

δ(

x− L3

))

= e−L

3 s, obtemos

s4Y (s)− s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0) =P0

EIe−

L

3 s

Substituimos y(0) = y′(0) = 0, y′′(0) = C1 e y′′′(0) = C2 onde C1 e C2 são onstantes a determinar:

s4Y (s)− sC1 − C2 =P0

EIe−

L

3 s

nalmente:

Y (s) =C1

s3+

C2

s4+

P0

EI

e−L

3 s

s4

e re uperamos a solução do domínio x através da transformada inversa de Lapla e:

y(x) =C1

2!x2 +

C2

3!x3 +

P0

EI

(x − L/3)3

3!u(x− L/3).

A expressão para y(x) pode ser es rita omo função denida por partes na forma:

y(x) =

C1

2! x2 + C2

3! x3, 0 ≤ x < L

3C1

2! x2 + C2

3! x3 + P0

EI(x−L/3)3

3! , L3 < x ≤ L.

5.4. APLICAÇO: METABOLISMO DE UMA MEDICAÇO 41

Para al ular o valor das onstantes C1 e C2 al ulamos y(L) e y′(L) usando a segunda parte da função y(x):

0 = y(L) =C1

2L2 +

C2

6L3 +

4

81

P0

EIL3

0 = y′(L) = C1L+C2

2L2 +

2

9

P0

EIL2

Colo ando na forma matri ial:

[

L2

2L3

6

L L2

2

]

[

C1

C2

]

=

[

− 481

P0

EIL3

− 29P0

EIL2 .

]

Invertemos a matriz do sistema para obter as onstantes C1 e C2:

[

C1

C2

]

=12

L4

[

L2

2 −L3

6

−L L2

2

]

[

− 481

P0

EIL3

− 29

P0

EIL2

]

,

o que resulta em C1 = 4P0L27EI e C2 = − 20P0

27EI . A gura 5.6 apresenta o grá o da função y(x) quando L = 5 e

P0

EI = 1.

1

2

−1 1 2 3 4 5 x

y(x)

Figura 5.6:

5.4 Apli ação: metabolismo de uma medi ação

Durante um período de onsumo de uma medi ação, a on entração da substân ia ingerida na orrente

sanguinea evolui segundo um modelo simples da seguinte forma:

• No aso de ausên ia de dosagens, a variação da on entração é propor ional a on entração.

• O organismo metaboliza o medi amento om uma taxa τ .

• As doses de medi amento são liberadas e entra na orrente sanguinea instantaneamente e homogenea-

mente.

O modelo que des reve esse fenmeno é

c′(t) +1

τc(t) = x(t), t > 0

onde c(t) é a on entração e x(t) representa a dosagem ao longo do tempo t. Em geral, as dosagens não são

úni as e são tomadas periodi amente. Seja c0 a on entração administrada instantaneamente a ada período

T , entãox(t) = c0 (δ(t) + δ(t− T ) + δ(t− 2T ) + δ(t− 3T ) + · · · )

Supondo que c(0) = 0, ou seja, ini ialmente não havia substân ia no organismo, vamos al ular c(t).Começamos apli ando a transformada de Lapla e:

sC(s) +1

τC(s) = c0

(

1 + e−sT + e−2sT + e−3sT + · · ·)

= c0

∞∑

n=0

(

e−sT)n

.


Usando a soma de série geométri a, temos:

C(s)

(

τs + 1

τ

)

= c0

∞∑

n=0

(

e−sT)n

ou seja,

C(s) =

(

c0

s+ 1τ

) ∞∑

n=0

(

e−sT)n

.

Cal ulamos a transformada inversa usando a propriedade do deslo amento no eixo s.

c(t) = c0

(

e−t

τ + e−t−T

τ u(t− T ) + e−t−2T

τ u(t− 2T ) + e−t−3T

τ u(t− 3T ) + · · ·)

= c0e− t

τ

(

1 + eT

τ u(t− T ) + e2Tτ u(t− 2T ) + e

3Tτ u(t− 3T ) + · · ·

)

O grá o da on entração é apresentado na gura 5.7, usando c0 = 1, τ = 1 e T = 1. O salto em ada

1

2

3

1 2 3 4 5

t

i(t)

Figura 5.7:

des ontinuidade é exatamente c0, pois os limites laterais são

limt→nT−

c(t) = limt→nT−

(

c0e− t

τ

(

1 + eT

τ + e2Tτ + · · ·+ e

(n−1)Tτ

))

=(

c0e−nT

τ

(

1 + eT

τ + e2Tτ + · · ·+ e

(n−1)Tτ

))

=(

c0

(

e−nT

τ + e−(n−1)T

τ + e−(n−2)T

τ + · · ·+ e−T

τ

))

e

limt→nT+

c(t) = limt→nT+

(

c0e− t

τ

(

1 + eT

τ + e2Tτ + · · ·+ e

(n−1)Tτ + e

nT

τ

))

=(

c0e−nT

τ

(

1 + eT

τ + e2Tτ + · · ·+ e

(n−1)Tτ + e

nT

τ

))

=(

c0

(

e−nT

τ + e−(n−1)T

τ + e−(n−2)T

τ + · · ·+ e−T

τ + 1))

,

que possuem diferença igual a c0.Observe que em t = 0, c(0) = c0, valor diferente da ondição ini ial dada, que é c(0) = 0. Apesar de

pare er estranho, não está errado. Para entender melhor esse fenmeno, vamos onsiderar um problema um

pou o mais simples, dado pelo seguinte problema de valor ini ial:

y′(t) + y(t) = δ(t)y(0) = 0

5.4. APLICAÇO: METABOLISMO DE UMA MEDICAÇO 43

Tomando a Transformada de Lapla e, temos:

sY (s)− y(0) + Y (s) = 1

ou seja, Y (s) = 1s+1 , o que impli a

y(t) = e−t.

Observamos que y(0) = 1 6= 0, ou seja, a ondição ini ial não é satisfeita.

Para entendermos o que está a onte endo, devemos lembrar que a Transformada de Lapla e só produz a

solução para t > 0 e interpretar y(t) omo

y(t) = u(t)e−t.

Desta forma y(0) simplesmente não está denido. De fato, para ompreender esse omportamento, vamos

denir um problema auxiliar onde no lugar da função delta de Dira uma função rampa:

y′(t) + y(t) = u(t)−u(t−ε)ε

y(0) = 0

onde ε é uma onstante positiva muito pequena. Sabemos que o termo

u(t)− u(t− ε)

ε

onverge para δ(t) quando ε → 0+. Apli ando a Transformada de Lapla e e resolvendo para Y (s), temos:

Y (s) =1

s(s+ 1)

1− e−εs

ε=

(

1

s− 1

s+ 1

)

1− e−εs

ε,

ou seja,

y(t) =1− e−t

εu(t)− u(t− ε)

1− e−(t−ε)

ε.

Esta solução pode ser es rita omo uma função ontínua:

y(t) =

0, t ≤ 0,

1−e−t

ε , 0 < t ≤ ε,

eε−1ε e−t, t ≥ ε.

Para entender melhor o omportamento desta solução quando 0 < ε << 1, usamos a seguinte aproximação:

et = 1 + t+t2

2+

t3

3!+ . . . ≈ 1 + t

Assim, temos:

y(t) ≈

0, t ≤ 0,

tε , 0 < t ≤ ε,

e−t, t ≥ ε.

Ou seja, existe uma pequena região de transição entre 0 e ε onde a solução y(t) sobe rapidamente. O

grá o apresentado na gura 5.8 mostra o omportamento de y(t) para ε = 0.2, ε = 0.1 e ε = 0.05 em azul,

vermelho e verde, respe tivamente, assim omo a solução limite e−tu(t) em preto.


1

0 1 2

Figura 5.8:

5.5 Propriedade da onvolução

Dada duas funções ontínuas por partes em [0,∞], a onvolução de f e g denotada por f ∗ g é denida pela

integral

(f ∗ g)(t) =∫ t

0

f(τ)g(t − τ)dτ. (5.7)

Exemplo 24. Dadas f(t) = et e g(t) = cos(t), vamos al ular f ∗ g:

(f ∗ g)(t) =

∫ t

0

eτ cos(t− τ)dτ

=1

2eτ (cos(t− τ) − sin(t− τ))

∣

∣

∣

∣

t

0

=1

2

(

et − cos(t) + sin(t))

.

onde usamos que

∫

eτ cos(t− τ)dτ = 12e

τ (cos(t− τ) − sin(t− τ)) + onstante.

Problema 14. Mostre que f ∗ g = g ∗ f .

Proposição 1. Se F (s) = Lf(t) e G(s) = Lg(t), então

L(f ∗ g)(t) = F (s)G(s). (5.8)

ou

L−1F (s)G(s) = (f ∗ g)(t). (5.9)

Demonstração. Partimos da denição das transformadas:

F (s) = Lf(t) =

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

e

G(s) = Lg(τ) =

∫ ∞

0

g(τ)e−sτdτ.

Logo,

F (s)G(s) =

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

∫ ∞

0

g(τ)e−sτdτ

=

∫ ∞

0

f(t)

∫ ∞

0

g(τ)e−s(t+τ)dτdt

5.5. PROPRIEDADE DA CONVOLUÇO 45

Mantemos t xo e fazemos a mudança de variável v = t+ τ para obter:

F (s)G(s) =

∫ ∞

0

f(t)

∫ ∞

t

g(v − t)e−svdvdt

Agora, vamos mudar a ordem de integração na região que é a metade inferior do primeiro quadrante: em vez

de variar v em [t,∞] depois t em [0,∞], primeiro vamos variar t em [0, v], depois v em [0,∞], ou seja,

F (s)G(s) =

∫ ∞

0

∫ v

0

f(t)g(v − t)e−svdtdv

=

∫ ∞

0

(∫ v

0

f(t)g(v − t)dt

)

e−svdv

=

∫ ∞

0

(f ∗ g)e−svdv

= Lf ∗ g

Exemplo 25. Vamos al ular a transformada inversa de

s(s−1)(s2+1) . Primeiro observamos que a expressão

pode ser es rita omo um produto de duas funções tabelas:

s

(s− 1)(s2 + 1)=

1

s− 1

s

s2 + 1,

onde L−1

1s−1

= et e L−1

ss2+1

= cos(t). Usando a propriedade 1 da onvolução, temos

L−1

1

s− 1

s

s2 + 1

=

∫ t

0

eτ cos(t− τ)dτ.

A onvolução a ima foi al ulada no exemplo 24, logo

L−1

1

s− 1

s

s2 + 1

=1

2

(

et − cos(t) + sin(t))

.

A propriedade 1 da onvolução pode ser útil para resolver equações integrais, omo veremos no próximo

exemplo.

Exemplo 26. Vamos resolver a seguinte equação integral:

y(t) = 4 + 9

∫ t

0

y(τ)(t − τ)dτ.

Apli amos a transformada de Lapla e e usamos a propriedade 1 da onvolução om f(t) = y(t) e g(t) = tpara obter:

Ly(t) =4

s+ 9Ly(t)Lt

ou seja,

Y (s) =4

s+ 9Y (s)

1

s2.

Logo,

Y (s) =s2

s2 − 9

4

s=

4s

s2 − 9.

Portanto,

y(t) = 4 cosh(3t)

Problema 15. Resolva a seguinte equação integral:

y(t) = t+

∫ t

0

y(τ) sin(t− τ)dτ


5.6 Exer í ios

Exer í io 3 A temperatura em um forno industrial evolui no tempo onforme o seguinte modelo simpli-

ado:

du(t)

dt= −λ(u(t)− uamb) + q(t)

onde u(t) representa a temperatura medida no forno, uamb é temperatura ambiente, onsiderada onstante,

q(t) é a potên ia de aque imento e λ é uma onstante rela ionada às tro as de alor. Considere u(0) = 50,uamb = 50 e λ = 4. Usando a té ni as das transformadas de Lapla e, faça o que se pede:

a) Cal ule a temperatura u(t) quando q(t) = 100δ(t− 1). Esbo e o grá o de u(t).

b) Suponha, agora, que a temperatura é regulada por um sistema de ontrole automáti o que aumenta a

potên ia q(t) sempre que a temperatura está abaixo da temperatura de ajuste e reduz a potên ia sempre

que a temperatura se en ontra a ima da temperatura de ajuste. O sistema de ontrole automáti o reage

onforme a seguinte equação:

dq(t)

dt= η(ua − u(t)).

onde ua é a temperatura de ajuste e η é uma onstante positiva. Cal ule o valor de η para que o sistema

resultante do a oplamente entre o modelo do forno e o sistema de ontrole automáti o seja riti amente

amorte ido.

) Resolva o problema a oplado usando a onstante η al ulada no item b.


Capítulo 6

Cál ulo de transformadas de Lapla e de

algumas funções espe iais

6.1 Método das frações par iais para al ular transformadas inver-

sas

Suponha que P (x) e Q(x) são polinmios tais que o grau de P é menor que o grau de Q. O polinmio Q(x)pode ser fatorado em polinmios de graus um e dois:

Q(x) = (a1x+ b1)l1 · · · (anx+ bn)

ln(c1x2 + d1x+ e1)

p1 · · · (cmx2 + dmx+ em)pm .

Com isso, podemos en ontrar onstantes A1,1, . . . , An,l1···ln , B1,1, . . . , Bm,p1···pne C1,1, . . . , Cm,p1···pn

tais que:

P (x)

Q(x)=

l1−1∑

k=0

A1,k

(a1x+ b1)l1−k+ · · ·+

ln−1∑

k=0

An,k

(anx+ bn)ln−k

+

p1−1∑

k=0

B1,kx+ C1,k

(c1x2 + d1x+ e1)p1−k+ · · ·+

pm−1∑

k=0

Bm,kx+ Cm,k

(cmx2 + dmx+ em)pm−k.

Esse método é usado para al ular integrais de funções ra ionais e transformadas inversas de Lapla e.

Exemplo 27. Para al ular a transformda inversa de Lapla e da função ra ional F (s) = 1(s−1)(s2−2s−5)

usamos o método de frações par iais, ou seja, en ontramos A, B e C que satisfazem

F (s) =1

(s− 1)(s2 − 2s− 5)=

A

s− 1+

B + Cs

s2 − 2s− 5

=A(s2 − 2s− 5) + (B + Cs)(s − 1)

(s− 1)(s2 − 2s− 5)

=s2(A+ C) + s(−2A+B − C)− 5A−B

(s− 1)(s2 − 2s− 5).

Obtemos o sistema

A+ C = 0

−2A+B − C = 0

−5A−B = 1

que tem solução A = B = − 16 e C = 1

6 . Logo,

F (s) =1

6

(

− 1

s− 1+

−1 + s

s2 − 2s− 5

)

.

47

48CAPÍTULO 6. CÁLCULODE TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES ESPECIAIS

Es revendo em uma forma onveniente, temos

F (s) =1

6

(

− 1

s− 1+

s− 1

(s− 1)2 − 6

)

.

A transformada inversa é

f(t) =1

6

(

−et + et cosh(√6t))

.

Problema 16. Cal ule a transformada inversa de Lapla e da função

F (s) =3s2 − 2s− 1

(s− 3)(s2 + 1).

6.2 Transformada de Lapla e de funções periódi as

Nesta seção apresentaremos uma propriedade da transformada de Lapla e de funções periódi as e al ulare-

mos algumas delas.

Proposição 2. Seja f(t) uma função ontínua por partes e periódi a de período T . Então sua transformada

de Lapla e é da forma

Lf(t) =1

1− e−sT

∫ T

0

f(t)e−stdt.

Demonstração. Apli amos a denição e separamos a integral nos períodos da função f(t) para obter:

Lf(t) =

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

=

∫ T

0

f(t)e−stdt+

∫ 2T

T

f(t)e−stdt+

∫ 4T

3T

f(t)e−stdt+ · · ·

=

∞∑

n=0

∫ (n+1)T

nT

f(t)e−stdt.

Fazemos a mudança de variável τ = t− nT e obtemos

Lf(t) =

∞∑

n=0

∫ T

0

f(τ + nT )e−s(τ+nT )dτ

=

∞∑

n=0

e−snT

∫ T

0

f(τ + nT )e−sτdτ.

Usando o fato que a função é periódi a, ou seja, f(τ) = f(τ + nT ), temos:

Lf(t) =∞∑

n=0

e−snT

∫ T

0

f(τ)e−sτdτ

=

∫ T

0

f(τ)e−sτdτ

[

∞∑

n=0

(

e−sT)n

]

=

∫ T

0

f(τ)e−sτdτ

[

1

1− e−sT

]

=1

1− e−sT

∫ T

0

f(τ)e−sτdτ,

onde usamos a soma de uma série geométri a de razão e−sT.

6.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNÇÕES PERIÓDICAS 49

Exemplo 28. Observe o ál ulo da transformada da função f(t) = cos(wt) sabendo que

∫

cos(wt)e−stdt =e−st (w sin(wt)− s cos(wt))

s2 + w2+ Constante

e usando a propriedade 2:

Lcos(wt) =1

1− e−s 2πw

∫ 2πw

0

cos(wt)e−stdt

=1

1− e−s 2πw

[

e−st (w sin(wt)− s cos(wt))

s2 + w2

]2πw

0

=1

1− e−s 2πw

s− se−s 2πw

s2 + w2

=s

s2 + w2.

Exemplo 29. A função f(t) apresentada no grá o da gura 6.1 é hamada de onda quadrada de perído

2a.

0

1

−1

t

f(t)

a 2a 3a 4a 5a 6a

Figura 6.1:

Cal ulamos a transformada de Lapla e usando a propriedade 2 olo ando T = 2a

Lf(t) =1

1− e−2sa

∫ 2a

0

f(t)e−stdt

=1

1− e−2sa

(∫ a

0

e−stdt−∫ 2a

a

e−stdt

)

=1

1− e−2sa

(

1− 2e−as + e−2as

s

)

=1

(1− e−sa)(1 + e−sa)

(

(1− e−as)2

s

)

=1

s

1− e−as

1 + e−sa.

Multipli ando por eas

2, podemos es rever a expressão em termos de funções hiperbóli as:

Lf(t) =1

s

eas

2 − e−as

2

eas

2 + e−as

2 )

=1

s

sinh(

as2

)

cosh(

as2

)

=1

stanh

(as

2

)

.


0

1

t

g(t)

2a 4a 6a

Figura 6.2:

Exemplo 30. A função g(t) apresentada no grá oda gura 6.2 é hamada de onda triangular de perído

2a.

Para al ular a transformada de Lapla e, observe que:

a) A derivada da função g(t) representada na gura 6.2 tem omo derivada uma onda quadrada. De

fato, no intervalo [0, a], a derivada é

1a e no intervalo [a, 2a] a derivada é − 1

a . Esse padrão se repete

periodi amente. Logo, a derivada da onda triangular é a onda quadrada multipli ada por

1a .

b) A propriedade 4 nos dá

Lg(t) =1

sLg′(t)+ 1

sg(0).

Logo,

Londa triangular =1

asLonda quadrada+ 1

s(onda triangular na origem),

e, portanto, usando o fato que a onda triangular vale zero na origem e o resultado do exemplo 29, temos

Lg(t) =1

as

1

stanh

(as

2

)

=1

as2tanh

(as

2

)

.

Exemplo 31. A função h(t) dada por

h(t) =

sin(wt), 0 < t < πw

0, πw < t < 2π

w ,,

h(

t+ 2πw

)

= h(t), é hamada de reti ador de meia onda de período

2πw . A gura 6.3 apresenta o grá o

da função h(t).

0

1

t

h(t)

πw

2πw

3πw

4πw

5πw

6πw

Figura 6.3:

6.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNÇÕES PERIÓDICAS 51

Cal ulamos a transformada de Lapla e usando a propriedade 2 om T = 2πw

Lf(t) =1

1− e−s 2πw

∫ 2πw

0

f(t)e−stdt

=1

1− e−s 2πw

∫ π

w

0

sin(wt)e−stdt

=1

1− e−s 2πw

[

−e−st (sin(wt) + w cos(wt))

s2 + w2

]π

w

0

=1

(1 − e−sπ

w )(1 + e−sπ

w )

w(1 + e−sπ

w )

s2 + w2

=1

1− e−sπ

w

w

s2 + w2

Exemplo 32. A função p(t) dada por

p(t) = | sin(wt)|

é hamada de reti ador de onda ompleta de período

πw . A gura 6.4 apresenta o grá o da função

p(t).

0

1

t

p(t)

πw

2πw

3πw

4πw

5πw

6πw

Figura 6.4:

Cal ulamos a transformada de Lapla e usando a propriedade 2 om T = πw

Lp(t) =1

1− e−s π

w

∫ π

w

0

sin(wt)e−stdt

=1

1− e−s π

w

[

−e−st (sin(wt) + w cos(wt))

s2 + w2

]π

w

0

=1

1− e−sπ

w

w(1 + e−sπ

w )

s2 + w2

=w

s2 + w2

esπ

2w + e−sπ

2w

esπ

2w − e−sπ

2w

=w

s2 + w2coth

( πs

2w

)

Exemplo 33. A função q(t) dada por

q(t) = ta , 0 ≤ t < a

q (t+ a) = q(t),

é hamada de onda dente de serra de período T = a. A gura 6.5 apresenta o grá o da função q(t).


0

1

t

q(t)

a 2a 3a 4a 5a 6a

Figura 6.5:

Cal ulamos a transformada de Lapla e usando a propriedade 2 om T = a:

Lq(t) =1

1− e−sa

∫ a

0

t

ae−stdt

=1

1− e−sa

1

a

[

−e−st(1 + st)

s2

]a

0

=1

1− e−sa

1− e−sa(1 + as)

s2a

=1

1− e−sa

(

1− e−sa − e−saas)

s2a

)

=1

as2− e−sa

s (1− e−sa).

6.3 Cál ulo de transformadas de Lapla e envolvendo algumas fun-

ções espe iais

Nesta seção vamos al ular a transformada de Lapla e envolvendo algumas funções espe iais, omo a função

Gamma e a função de Bessel. Uma das estratégias para ál ulo de transformadas inversas será a série de

potên ias das funções.

Exemplo 34. Vamos demonstrar o item (6) da tabela A.1:

Ltk−1 =Γ(k)

sk, k > 0,

onde

Γ(k) =

∫ ∞

0

e−xxk−1dx.

Da denição de transformada de Lapla e temos:

Ltk−1 =

∫ ∞

0

tk−1e−stdt.

Fazemos a mudança de variável x = st para obter:

Ltk−1 =

∫ ∞

0

xk−1

sk−1e−x dx

s

=1

sk

∫ ∞

0

xk−1e−xdx

=Γ(k)

sk.

Os asos parti ulares k = 12 e k = 3

2 estão tabelados nos itens (4) e (5) da tabela A.1 onde usou-se

Γ(

12

)

=√π e Γ

(

32

)

=√π2 . O item (3) da tabela também pode ser visto omo um aso parti ular, pois

Γ(n) = (n− 1)!, n ∈ N∗.

6.3. CÁLCULODE TRANSFORMADAS DE LAPLACE ENVOLVENDO ALGUMAS FUNÇÕES ESPECIAIS53

Problema 17. Demonstre o item (32) da tabela usando os itens (4) e (5) e a propriedade 5 do deslo amento

no eixo s.

Exemplo 35. Vamos al ular LJ0(at) (item 31 da tabela A.2), onde J0(at) é a função de Bessel de ordem

zero dada por

J0(at) = 1−(

at

2

)2

+1

(2!)2

(

at

2

)4

− 1

(3!)2

(

at

2

)6

+ · · · .

Apli ando o item 3 da tabela A.1, temos:

LJ0(at) = L1 −(a

2

)2

L

t2

+1

(2!)2

(a

2

)4

L

t4

− 1

(3!)2

(a

2

)6

L

t6

+ · · ·

=1

s−(a

2

)2 2!

s3+

1

(2!)2

(a

2

)4 4!

s5− 1

(3!)2

(a

2

)6 6!

s7+ · · ·

=1

s

[

1− 1

2

(a

s

)2

+1

2· 32· 1

2!

(a

s

)4

− 1

2· 32· 52· 1

3!

(a

s

)6

+ · · ·]

A série a ima está apresentada no item 10 da tabela A.3, onde usamos m = − 12 e x =

(

as

)2. Logo,

LJ0(at) =1

s

(

1 +(a

s

)2)− 1

2

Exemplo 36. Novamente usamos séries de potên ias para al ular LJ0(2√kt), k > 0 (item 34 da tabela

A.2). Apli ando o item 3 da tabela A.1, temos:

L

J0(2√kt)

= L

1−(

2√kt

2

)2

+1

(2!)2

(

2√kt

2

)4

− 1

(3!)2

(

2√kt

2

)6

+ · · ·

= L1 − kLt+ k2

(2!)2L

t2

− k3

(3!)2L

t3

+ · · ·

=1

s− k

s2+

k2

(2!)22!

s3− k3

(3!)23!

s4+ · · ·

=1

s

[

1−(

k

s

)1

+1

2!

(

k

s

)2

− 1

3!

(

k

s

)3

+ · · ·]

=1

s

[

1 +

(

−k

s

)1

+1

2!

(

−k

s

)2

+1

3!

(

−k

s

)3

+ · · ·]

A série a ima está apresentada no item 3 da tabela A.3, onde usamos x = −ks . Logo,

L

J0(2√kt)

=1

se−

k

s

Capítulo 7

Equações om oe ientes variáveis e

sistemas de equações lineares

7.1 A derivada da transformada de Lapla e

Propriedade 8. Se F (s) = Lf(t), então

d

dsF (s) = −Ltf(t). (7.1)

Demonstração. Usando a denição de transformada de Lapla e, temos

d

dsF (s) =

d

ds

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

=

∫ ∞

0

f(t)d

ds

(

e−st)

dt

=

∫ ∞

0

f(t)(−t)e−stdt

= −∫ ∞

0

tf(t)e−stdt

= −Ltf(t).

Exemplo 37. Para al ular Lt cos(wt), usamos a propriedade 8:

Lt cos(wt) = − d

dsLcos(wt)

= − d

ds

(

s

s2 + w2

)

= − −s2 + w2

(s2 + w2)2

=s2 − w2

(s2 + w2)2

Problema 18. Cal ule Lt2 sin(wt) usando a propriedade 8.

55

56CAPÍTULO 7. EQUAÇÕES COMCOEFICIENTES VARIÁVEIS E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

7.2 Equações diferen iais om oe ientes não onstantes

A propriedade 8 da derivada da transformada de Lapla e tem uma apli ação importante na solução de

equações diferen iais om oe ientes variáveis.

Exemplo 38. Vamos resolver o seguinte problema de valor ini ial

ty′′(t) + y′(t) + 9ty(t) = 0

y(0) = 5

y′(0) = 0.

Começamos apli ando a transformada de Lapla e na equação diferen ial

Lty′′(t) + Ly′(t)+ 9Lty(t) = 0.

Depois apli amos a propriedade 8:

− d

dsLy′′(t)+ Ly′(t) − 9

d

dsLy(t) = 0.

Em seguida apli amos a propriedade 4 para obter a seguinte equação subsidiária

− d

ds

(

s2Y (s)− 5s)

+ sY (s)− 5− 9d

dsY (s) = 0,

onde usamos que y(0) = 5, y′(0) = 0 e Y (s) = Ly(t). Agora resolvemos as derivadas e obtemos uma

equação diferen ial mais simples para Y (s):

−s2Y ′(s)− 2sY (s) + sY (s)− 9Y ′(s) = 0,

ou seja,

Y ′(s)

Y (s)= − s

s2 + 9.

Logo,

ln(Y (s)) = −1

2ln(s2 + 9) + C,

onde C é uma onstante de integração. Então

Y (s) = K(s2 + 9)−12 =

K√s2 + 9

,

onde K = ln(C). Pelo item 31 da tabela A.1, temos

y(t) = KJ0(3t).

Como J0(0) = 1, usamos que y(0) = 5 para obter K = 5. Portanto,

y(t) = 5J0(3t).

Observe que a solução satisfaz y′(0) = 0, porém essa ondição não é ne essária. De fato, existe uma solução

linearmente independente dessa, que não possui transformada de Lapla e, pode ser en ontrada pelo método

das séries de potên ia.

Exemplo 39. Vamos resolver a equação de Laguerre dada por

ty′′(t) + (1 − t)y′(t) + 2y(t) = 0,

om as ondições ini iais y(0) = 1 e y′(0) = −2. Primeiro apli amos a transformada de Lapla e nessa

equação:

Lty′′(t)+ Ly′(t) − Lty′(t) + 2Ly(t) = 0.

7.2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM COEFICIENTES NO CONSTANTES 57

Depois usamos a propriedade 8:

− d

dsLy′′(t) + Ly′(t) + d

dsLy′(t)+ 2Ly(t) = 0.

Continuamos usando a propriedade 4 para obter:

− d

ds

(

s2Y (s)− sy(0)− y′(0))

+ sY (s)− y(0) +d

ds(sY (s)− y(0)) + 2Y (s) = 0,

onde Y (s) = Ly(t). Apli ando as derivadas hegamos na seguinte equação diferen ial para Y (s):

−s2Y ′(s)− 2sY (s) + y(0) + sY ′(s) + Y (s) + sY (s)− y(0) + 2Y (s) = 0.

ou seja,

Y ′(s)(

−s2 + s)

+ Y (s) (−s+ 3) = 0.

Logo,

Y ′(s)

Y (s)= − 3− s

s(1− s).

Usamos o método de separação de variáveis para resolver a equação diferen ial, temos:

ln(Y (s)) = −∫

3− s

s(1− s)ds+ C

onde C é uma onstante de integração. A antiderivada do lado direito pode ser obtida pelo método de frações

par iais:

−3 + s

s(1− s)= −3

s− 2

1− s.

Isso nos dá

ln(Y (s)) = −3 ln(s) + 2 ln |1− s|+ C = ln

(

(1− s)2

s3

)

+ C

ou

Y (s) = K(1− s)2

s3=

K

s3− 2K

s2+

K

s

onde K = eC . A transformada inversa forne e uma expressão para y(t):

y(t) = K

(

t2

2− 2t+ 1

)

.

Usando o fato que y(0) = 1, temos K = 1 e

y(t) =t2

2− 2t+ 1.

Observe que, apesar da ondição para a derivada ser satisfeita, isto é,

y′(0) = 0− 2 = −2,

não usamos-a para al ular a solução. De fato, o problema possui um singularidade na origem que não é per-

ebida pela transformada de Lapla e. A solução linearmente independente dessa, que não possui transformada

de Lapla e, pode ser en ontrada pelo método das séries de potên ia.


7.3 Propriedade da integral da transformada de Lapla e

Propriedade 9. Se F (s) é a transformada de Lapla e de f(t), e o limite

limt→0+

f(t)

t

existe, então

∫ ∞

s

F (v)dv = L

f(t)

t

. (7.2)


∫ ∞

s

F (v)dv =

∫ ∞

s

(∫ ∞

0

f(t)e−vtdt

)

dv

=

∫ ∞

0

f(t)

(∫ ∞

s

e−vtdv

)

dt

=

∫ ∞

0

f(t)

[

e−vt

−t

]∞

s

dt

=

∫ ∞

0

f(t)

te−stdt

= L

f(t)

t

.

Observe que a última igualdade é válida pois, o fato de o limite limt→0+f(t)t existir, garante que

f(t)t é

integrável perto da origem e, portanto, a transformada de Lapla e existe.

Exemplo 40. Vamos mostrar o item 29 da tabela A.2:

L

1

2√πt3

(

ebt − eat)

=√s− a−

√s− b.

Para isso vamos usar o item 4, a saber,

L

1√πt

=1√s. (7.3)

Apli amos a propriedade 5 da translação no eixo s na equação (7.3) para obter:

L

1√πt

eat

=1√s− a

.

Finalmente, usando a propriedade 9 da integral da transformada, obtemos:

L

1

2√πt3

(

ebt − eat)

=1

2L

1

t

1√πt

ebt

− 1

2L

1

t

1

2√πt

eat

=1

2

∫ ∞

s

1√v − b

dv − 1

2

∫ ∞

s

1√v − a

dv

=1

2

∫ ∞

s

(

(v − b)−12 dv − (v − a)−

12

)

dv

= − (v − b)12 + (v − a)

12

∣

∣

∣

∞

s

=√s− a−

√s− b.

7.3. PROPRIEDADE DA INTEGRAL DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 59

Observe que aqui usamos o seguinte limite no innito

limv→∞

(√v − b −

√v − a

)

= limv→∞

(√v − b−

√v − a

) (√v − b+

√v − a

)

(√v − b+

√v − a

)

= limv→∞

((v − b)− (v − a))(√

v − b+√v − a

)

= limv→∞

(a− b))(√

v − b+√v − a

)

= 0.


L

1

t

(

ebt − eat)

= ln

(

s− a

s− b

)

.

Para isso vamos usar o item 7, a saber,

L

eat

=1

s− a.

Usando a propriedade 9 da integral da transformada, obtemos:

L

1

t

(

ebt − eat)

=

∫ ∞

s

(

1

v − b− 1

v − a

)

dv

= (ln(v − b)− ln(v − a))|∞s= (ln(v − a)− ln(v − b))

= ln

(

s− a

s− b

)

Na penúltima igualdade usamos o seguinte limite no innito:

limv→∞

(ln(v − b)− ln(v − a)) = limv→∞

ln

(

s− b

s− a

)

= ln

(

limv→∞

(

s− b

s− a

))

= ln (1)

= 0.

Observe que a tro a do limite om o logarítmo é possível visto que ln(x) é ontínua para x > 0.


L

2

t(1− cos(wt))

= ln

(

s2 + w2

s2

)

.

Para isso vamos usamos o fato que

L (1− cos(wt)) =1

s− s

s2 + w2.



L

2

t(1− cos(wt))

= 2

∫ ∞

s

(

1

v− v

v2 + w2

)

dv

= 2

(

ln(v)− 1

2ln(v2 + w2)

)∣

∣

∣

∣

∞

s

= (2 ln(v)− ln(v − b))|∞s

= ln

(

v2

v2 + w2

)∣

∣

∣

∣

∞

s

= − ln

(

s2

s2 + w2

)

= ln

(

s2 + w2

s2

)

Na penúltima igualdade usamos o seguinte limite no innito:

limv→∞

ln

(

v2

v2 + w2

)

= ln

(

limv→∞

(

v2

v2 + w2

))

= ln (1)

= 0.

Observe que a tro a do limite om o logarítmo é possível visto que ln(x) é ontínua para x > 0.

Problema 19. Demonstre o item 41 da tabela usando os itens 1 e 16 juntamente om a propriedade 9.

Exemplo 43. Vamos demonstrar o item 42 da tabela A.2:

L

1

tsin(wt)

= arctan(w

s

)

.

Para isso vamos usamos o fato que

L sin(wt) =w

s2 + w2.


L

1

tsin(wt)

=

∫ ∞

s

(

w

v2 + w2

)

dv

= arctan( v

w

)∣

∣

∣

∞

s

= limv→∞

arctan( v

w

)

− arctan( s

w

)

=π

2− arctan

( s

w

)

Usando o fato que tan (π − θ) = cot(θ), temos que

L

1

tsin(wt)

= cot−1( s

w

)

.

Também, se γ = cot−1(

sw

)

, então cotγ = sw . Logo,

1tan γ = s

w e, portanto, tan γ = ws . Assim, podemos

es rever a transformada de Lapla e da seguinte forma:

L

1

tsin(wt)

= arctan(w

s

)

7.3. PROPRIEDADE DA INTEGRAL DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 61

Exemplo 44. Vamos agora mostrar o item 43 da tabela A.2:

LSi (t) =1

scot−1(s),

onde Si (t) é função integral seno dada por:

Si (t) =

∫ t

0

sin(x)

xdx.

Primeiro apli amos a propriedade 7 para obter

LSi (t) = L∫ t

0

sin(x)

xdx

=1

sL

sin(t)

t

.

Em seguida usamos o resultado do exemplo 43 (ou item 42 da tabela A.2) e temos:

LSi (t) =1

sarctan

(

1

s

)

=1

scot−1 (s) .

Capítulo 8

Sistemas de equações diferen iais

ordinárias

8.1 Transformada de Lapla e para resolver sistemas

O método de transformada de Lapla e pode ser apli ado para resolver sistemas de equações diferen iais.

Para isso, apli a-se a transformada de Lapla e a todas equações envolvidas, levando o sistema de equações

diferen iais em um sistema de equações algébri as. Depois de resolver o sistema de equações algébri as no

espaço de transformadas, al ula-se as transformadas inversas para obter a solução.

Exemplo 45. Vamos resolver o seguinte problema de valor ini ial:

y′ = x

x′ = y

x(0) = 0

y(0) = 1.

Apli amos a transformada de Lapla e em ada uma das equações:

sY (s)− y(0) = X(s)

sX(s)− x(0) = Y (s),

onde usamos a propriedade 4 e a notação X(s) = Lx(t) e Y (s) = Ly(t). Substituímos as ondições

ini iais para obter o seguinte sistema de equações algébri as

−X(s) + sY (s) = 1 (8.1)

sX(s)− Y (s) = 0. (8.2)

Multipli amos a equação (8.1) por s, −sX(s) + s2Y (s) = s, e somamos om a equação (8.2) para obter

(s2 − 1)Y (s) = s.

Logo

Y (s) =s

s2 − 1.

Resolvemos X(s) usando a equação (8.2):

X(s) =Y (s)

s=

1

s2 − 1.

As transformadas inversas de X(s) e Y (s) estão tabeladas:

x(t) = sinh(t)

y(t) = cosh(t).

63

64 CAPÍTULO 8. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Exemplo 46. Considere o seguinte problema de valor ini ial:

2d2x

dt2+

d2y

dt2= t2

d2x

dt2− d2y

dt2= 4t

x(0) = 2

x′(0) = 0

y(0) = −1

y′(0) = 10.

Apli amos a transformada de Lapla e em ada uma das equações:

2s2X(s)− 2sx(0)− 2x′(0) + s2Y (s)− sy(0)− y′(0) =2

s3

s2X(s)− sx(0)− x′(0)− s2Y (s) + sy(0) + y′(0) =4

s2,

onde usamos a propriedade 4 e a notação X(s) = Lx(t) e Y (s) = Ly(t). Substituímos as ondições

ini iais para obter o seguinte sistema de equações algébri as

2s2X(s)− 4s+ 0 + s2Y (s) + s− 10 =2

s3

s2X(s)− 2s+ 0− s2Y (s)− s+ 10 =4

s2.

ou seja,

2s2X(s) + s2Y (s) =2

s3+ 10 + 3s (8.3)

s2X(s)− s2Y (s) =4

s2− 10 + 3s. (8.4)

A soma das equações (8.3) e (8.4) resulta em

3s2X(s) =2

s3+

4

s2+ 6s.

Logo,

X(s) =2

3s5+

4

3s4+

2

s.

Agora, usamos (8.4) para resolver Y (s):

s2(

2

3s5+

4

3s4+

2

s

)

− s2Y (s) =4

s2− 10 + 3s.

Assim,

Y (s) =2

3s5− 8

3s4+

10

s2− 1

s.

As transformadas inversas estão tabeladas:

x(t) =t4

36+

2t3

9+ 2

y(t) =t4

36− 4t3

9+ 10t− 1.

8.2. APLICAÇO: CIRCUITO DE DUAS MALHAS 65

40Ωi

110 V

5Ωi1

1H

10Ωi2

2H

Figura 8.1:

8.2 Apli ação: ir uito de duas malhas

Considere o ir uito da gura 8.1, onstituído de duas malhas om orrentes i1 e i2, respe tivamente. Vamos

modelar i1 e i2 onsiderando i1(0) = i2(0) = 0. Usamos a lei de Kir ho para obter

di1(t)

dt+ 5i1(t) + 40i(t) = 110

2di2(t)

dt+ 10i2(t) + 40i(t) = 110.

Usando i(t) = i1(t) + i2(t), temos

di1(t)

dt+ 45i1(t) + 40i2(t) = 110

2di2(t)

dt+ 40i1(t) + 50i2(t) = 110,

ou simplesmente

di1(t)

dt+ 45i1(t) + 40i2(t) = 110

di2(t)

dt+ 20i1(t) + 25i2(t) = 55.

Apli amos a transformada de Lapla e e obtemos:

sI1(s)− i1(0) + 45I1(s) + 40I2(s) =110

s

sI2(s)− i2(0) + 20I1(s) + 25I2(s) =55

s.

ou seja,

(s+ 45) I1(s) + 40I2(s) =110

s

20I1(s) + (s+ 25) I2(s) =55

s.


ou, ainda,

[

(s+ 45) 4020 (s+ 25)

]

=

[

I1(s)I2(s)

]

=

110s

55s

A solução desse sistema é dada por

[

I1(s)I2(s)

]

=1

(s+ 25)(s+ 45)− 800

[

(s+ 25) −40−20 (s+ 45)

]

110s

55s

Portanto,

I1(s) =1

s2 + 70s+ 325

(

110

s(s+ 25)− 2200

s

)

=1

(s+ 5)(s+ 65)

(

110 +550

s

)

e

I2(s) =1

s2 + 70s+ 325

(

−2200

s+

55

s(s+ 45)

)

=1

(s+ 5)(s+ 65)

(

55 +275

s

)

.

Aqui per ebemos que I1(s) = 2I2(s) e, assim, vamos al ular apenas I2(s). Usamos frações par iais para

es rever

I2(s) =55

60

(

1

s+ 5− 1

s+ 65

)(

s+ 5

s

)

=55

60

(

1

s− s+ 5

s(s+ 65)

)

=11

12

(

1

s− 1

s+ 65− 5

s(s+ 65)

)

.

Logo,

i2(t) =11

12

(

1− e−65t − 5

65

(

1− e−65t)

)

=11

13

(

1− e−65t)

.

Como i1(t) = 2i2(t), temos:

i1(t) =22

13

(

1− e−65t)

.

8.3 Apli ação: duplo massa mola

Considere o duplo sistema massa-mola, onde as molas possuem onstantes k1 e k2 e as massas envolvidas são

m1 e m2. Des onsiderando o amorte imento, temos o seguinte sistema:

m1x1(t) = −k1x1(t) + k2 [x2(t)− x1(t)] + f1(t)

m2x2(t) = −k2 [x2(t)− x1(t)] + f2(t),

onde x1 e x2 representam o deslo amento de ada uma das massas e f1 e f2 são as forças externas apli adas.

Tomando transformada de Lapla e, obtemos:

m1(s2X1(s)− x1(0)− sx1(0)) = −(k1 + k2)X1(s) + k2X2(s) + F1(s)

m2(s2X2(s)− x2(0)− sx2(0)) = −k2X2(s) + k2X1(s) + F2(s)

isto é:

(

m1s2 + k1 + k2

)

X1(s)− k2X2(s) = F1(s) +m1x1(0) + sm1x1(0)

−k2X1(s) +(

m2s2 + k2

)

X2(s) = F2(s) +m2x2(0) + sm2x2(0)

A representação matri ial do sistema é:

[

m1s2 + k1 + k2 −k2−k2 m2s

2 + k2

] [

X1(s)X2(s)

]

=

[

F1(s) +m1x1(0) + sm1x1(0)F2(s) +m2x2(0) + sm2x2(0)

]

e sua solução pode ser es rita omo:

[

X1(s)X2(s)

]

=1

P (s)

[

m2s2 + k2 k2k2 m1s

2 + k1 + k2

] [

F1(s) +m1x1(0) + sm1x1(0)F2(s) +m2x2(0) + sm2x2(0)

]

, (8.5)

8.3. APLICAÇO: DUPLO MASSA MOLA 67

onde P (s) = m1m2s4+(m1k2+m2k1+m2k2)s

2+k1k2. Vamos resolver um aso parti ular ondem1 = m2 = 1,f1 = f2 = 0, k1 = 6 e k2 = 4, temos o seguinte sistema massa-mola:

x1(t) = −6x1(t) + 4 [x2(t)− x1(t)]

x2(t) = −4 [x2(t)− x1(t)] ,

Usando (8.5), temos:

[

X1(s)X2(s)

]

=1

s4 + 14s2 + 24

[

s2 + 4 44 s2 + 10

] [

x1(0) + sx1(0)x2(0) + sx2(0)

]

.

Para ompletar o sistema, impondo as seguintes ondições ini iais: x1(0) = x2(0) = 0, x1(0) = 1 e x2(0) = −1:

[

X1(s)X2(s)

]

=1

s4 + 14s2 + 24

[

s2 + 4 44 s2 + 10

] [

1−1

]

.

Logo,

X(s) =1

s4 + 14s2 + 24

(

s2 + 4− 4)

=s2

s4 + 14s2 + 24e

X(s) =1

s4 + 14s2 + 24

(

4− s2 − 10)

=−s2 − 6

s4 + 14s2 + 24.

Usamos frações par iais para es rever

s2

s4 + 14s2 + 24=

s2

(s2 + 2)(s2 + 12)=

A

s2 + 2+

B

s2 + 12

=A(s2 + 12) +B(s2 + 2)

(s2 + 2)(s2 + 12)

=(A+B)s2 + 12A+ 2B

(s2 + 2)(s2 + 12),

ou seja, A+B = 1 e 12A+ 2B = 0. Logo, B = −6A e A− 6A = 1, ou seja, A = − 15 e B = 6

5 . Portanto,

X(s) =1

5

(

6

s2 + 12− 1

s2 + 2

)

=6

5√12

√12

s2 +√12

2 − 1

5√2

√2

s2 +√22 ,

e, al ulando a transformada inversa, temos:

x(t) =6

5√12

sin(√12t)− 1

5√2sin(

√2t)

=

√3

5sin(2

√3t)−

√2

10sin(

√2t).

Da mesma forma,

Y (s) = −3

5

(

1

s2 + 12− 2

5

1

s2 + 2

)

= − 3

5√12

√12

s2 +√12

2 − 2

5√2

√2

s2 +√22 ,

e

y(t) = − 3

5√12

sin(√12t)− 2

5√2sin(

√2t)

= −√3

10sin(2

√3t)−

√2

5sin(

√2t).

A gura 8.2 apresenta os grá os de x(t) e y(t):


t

x(t)

t

y(t)

Figura 8.2:

8.4 Apli ação: reação quími a

Considere o me anismo simpli ado de reação quími a apresentado a seguir:

R −→ S −→ T

onde a on entração de R, S e T são dadas em mol/l por x(t), y(t) e z(t), respe tivamente e são regidas pelo

seguinte sistema de equações diferen iais ordinárias:

x′(t) = −αx(t)

y′(t) = αx(t)− γy(t)

z′(t) = γy(t),

onde α e γ são onstantes positivas. Sabendo que as on entrações ini iais são dadas por:

x(0) = 1, y(0) = z(0) = 0.

Usando a teoria das Transformadas de Lapla e, vamos obter a solução dada pelas funções x(t), y(t) e z(t)quando α = 1, e γ = 2. Cal ulamos a Transformada de Lapla e do sistema usando a propriedade da

linearidade 3 e da derivada 4:

sX(s)− x(0) = −αX(s)

sY (s)− y(0) = αX(s)− γY (s)

sZ(s)− z(0) = γY (s).

Da primeira equação, temos:

X(s) =x(0)

s+ α=

1

s+ 1. (8.6)

8.4. APLICAÇO: REAÇO QUÍMICA 69

Da segunda equação, temos:

Y (s) =αX(s)

s− γ=

αx(0)

(s− γ)(s+ α)=

1

(s+ 1)(s− 2).

Da ter eira equação temos:

Z(s) =γY (s)

s=

2

s(s+ 1)(s− 2).

Agora, podemos obter as funções x(t), y(t) e z(t) através da Transformada Inversa de Lapla e:

x(t) = L−1 X(s) = e−t

onde usamos item 7 da tabela A.1;

y(t) = L−1 Y (s) =e2t − e−t

3,

onde usamos item 11 da tabela A.1 om a = 2 e b = −1;

z(t) = L−1 Z(s) = 2L−1

Y (s)

s

= 2

∫ t

0

y(τ)dτ

=2

3

∫ t

0

(

e2τ − e−τ)

dτ

=2

3

(

e−2t − 1

2− e−t − 1

−1

)

=2e−t + e2t − 3

3,

onde usamos a propriedade da onvolução 1 na passagem da primeira para a segunda linha. A gura 8.3

apresenta o grá o de das funções x(t), y(t) e z(t).


t

x(t) y(t)

z(t)

Figura 8.3:

Apêndi e A

Tabelas de Transformadas de Lapla e

As prin ipais transformadas de Lapla e e suas inversas estão tabelas nas tabelas A.1 e A.2. Algumas ons-

tantes e funções espe iais que são usadas nas tabelas são as seguintes:

a) Função Gamma

Γ(k) =

∫ ∞

0

e−xxk−1dx, (k > 0)

b) Função de Bessel modi ada de ordem ν

Iν(x) =

∞∑

m=0

(−1)m

m!Γ(m+ ν + 1)

(x

2

)2m+ν

) Função de Bessel de ordem 0

J0(x) = 1− x2

22(1!)2+

x4

24(2!)2− x6

26(3!)2+ · · ·

d) Integral seno

Si (t) =

∫ t

0

sin(x)

xdx

e) Constante de Euler - Mas heroni

γ = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992...

71

72 APÊNDICE A. TABELAS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

F (s) = Lf(t) f(t) = L−1F (s)

1.

1

s1

2.

1

s2t

3.

1

sn, (n = 1, 2, 3, ...)

tn−1

(n− 1)!

4.

1√s,

1√πt

5.

1

s32

, 2

√

t

π

6.

1

sk, (k > 0)

tk−1

Γ(k)

7.

1

s− aeat

8.

1

(s− a)2te

at

9.

1

(s− a)n, (n = 1, 2, 3...)

1

(n− 1)!tn−1

eat

10.

1

(s− a)k, (k > 0)

1

Γ(k)tk−1

eat

11.

1

(s− a)(s− b), (a 6= b)

1

a− b

(

eat − e

bt

)

12.

s

(s− a)(s− b), (a 6= b)

1

a− b

(

aeat − be

bt

)

13.

1

s2 + w2

1

wsin(wt)

14.

s

s2 + w2cos(wt)

15.

1

s2 − a2

1

asinh(at)

16.

s

s2 − a2cosh(at)

17.

a

(s− a)2 + w2

1

weat sin(wt)

18.

s− a

(s− a)2 + w2eat cos(wt)

19.

1

s(s2 + w2)

1

w2(1− cos(wt))

20.

1

s2(s2 + w2)

1

w3(wt− sin(wt))

21.

1

(s2 + w2)21

2w3(sin(wt)− wt cos(wt))

22.

s

(s2 + w2)21

2wsin(wt)

Tabela A.1: Tabela de transformadas de Lapla e - parte 1

73

F (s) = Lf(t) f(t) = L−1F (s)

23.

s2

(s2 + w2)21

2w(sin(wt) +wt cos(wt))

24.

s

(s2 + a2)(s2 + b2), (a2 6= b

2)1

b2 − a2(cos(at)− cos(bt))

25.

1

(s4 + 4a4)

1


26.

s

(s4 + 4a4)

1

2a2sin(at) sinh(at))

27.

1

(s4 − a2)

1

2a3(sinh(at)− sin(at))

28.

s

(s4 − a4)

1

2a2(cosh(at)− cos(at))

29.

√s− a−

√s− b

1

2√πt3

(ebt − eat)

30.

1√s+ a

√s+ b

e−(a+b)t

2 I0

(

a− b

2t

)

31.

1√s2 + a2

J0(at)

32.

s

(s− a)32

1√πt

eat(1 + 2at)

33.

1

(s2 − a2)k, (k > 0)

√π

Γ(k)

(

t

2a

)k− 12

Ik− 1

2(at)

34.

1

se− k

s , (k > 0) J0(2√kt)

35.

1√se−k

s1√πt

cos(2√πt)

36.

1

s32

ek

s1√πt

sinh(2√πt)

37. e−k

√s, (k > 0)

k

2√πt3

e− k

2

4t

38.

1

sln(s) − ln(t)− γ, (γ ≈ 0, 5772)

39. ln

(

s− a

s− b

)

1

t

(

ebt − e

at

)

40. ln

(

s2 + w2

s2

)

2

t(1− cos(wt))

41. ln

(

s2 − a2

s2

)

2

t(1− cosh(at))

42. tan−1(w

s

) 1

ssin(wt)

43.

1

scot−1(s) Si (t)

Tabela A.2: Tabela de transformadas de Lapla e - parte 2

74 APÊNDICE A. TABELAS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Série Intervalo de onvergên ia

1.

1

1− x=

∞∑

n=0

xn = 1 + x+ x

2 + x3 + · · · , −1 < x < 1

2.

x

(1− x)2=

∞∑

n=1

nxn = x+ 2x2 + 3x3 + 4x4 + · · · , −1 < x < 1

3. ex =

∞∑

n=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+

x3

3!+ · · · , −∞ < x < ∞

4. ln(1 + x) =

∞∑

n=0

(−1)nxn+1

n+ 1= x− x2

2+

x3

3− x4

4+ · · · , −1 < x < 1

5. arctan(x) =

∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

2n+ 1= x− x3

3+

x5

5− x7

7+ · · · , −1 < x < 1

6. sin(x) =∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!= x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ · · · , −∞ < x < ∞

7. cos(x) =∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!= 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+ · · · , −∞ < x < ∞

8. sinh(x) =

∞∑

n=0

x2n+1

(2n+ 1)!= x+

x3

3!+

x5

5!+

x7

7!+ · · · , −∞ < x < ∞

9. cosh(x) =

∞∑

n=0

x2n

(2n)!= 1 +

x2

2!+

x4

4!+

x6

6!+ · · · , −∞ < x < ∞

10. (1 + x)m = 1 +∞∑

n=1

m(m− 1) · · · (m− n+ 1)

n!xn −1 < x < 1, m 6= 0, 1, 2, ...

Tabela A.3: Tabela de séries de potên ias

Bibliograa

[1 Strau h, I. Transformada de Lapla e em 9 aulas. Notas de aula, Porto Alegre, 2006.

[2 Zill, D. G. Equações Diferen iais. CENGAGE Learning, S¿o Paulo, 2012.

75

notas laplace

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