aula 6 equação de laplace aplicada a análise da condução bidimensional de calor
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Transferência de Calor e Massa
2013 2 Professor Adelson
Aula 6
Aplicação da Equação de Laplace na
análise matemática da condução
bidimensional de calor
09 de setembro de 2013
Introdução
Para analisar uma situação de condução
estacionária bidimensional de calor (sem
envolver geração de caloR, a Equação de
Laplace é aplicável
A equação de Laplace na sua forma usual em
coordenadas cartesianas:
A solução para a Equação (1) vai dar
a temperatura de um corpo
bidimensionalcomo uma função de
duas coordenadas espaciais
independentes x e y.
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Em seguida, o fluxo de calor nas
direções x e y pode ser calculado a
partir das equações de Fourier:
Considerar a placa rectangular
mostrado na Figura 1.
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y
x
T = T1
T = T1
T = T1
T = f (x)
(W,0)
(0, H)
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As curvas representam isotermas
Três lados da placa sãomantido a uma
temperatura constante T1, e o lado superior
apresenta uma distribuição de temperatura.
Esta distribuição pode ser simplesmente um
temperatura constante ou algo mais
complexo, como, por exemplo, uma
distribuição representada por uma onda
sinusoidal.
Devemos considerar ambos os
casos.
Para resolver a equação (1), vamos
aplicar o método de separação de
variáveis ou também conhecido como
Método de Fourier
O ponto essencial deste método é que a
solução da equação toma a forma de
um produto.
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Primeiro vamos denominar os lados da placa
como fronteiras, e estudar o caso em que uma
distribuição de temperatura representada por uma
onda sinusoidal emerge da fronteira superior da
placa.
Observa-se que
T = T1 para y = 0
T = T1 para x = 0 (5)
T = T1 para x = W
para y = H
Onde Tm é a amplitude da onda sinusoidal.
Substituindo (4) em (1) temos
O truque algébrico usado para
separar as variáveis é o seguinte:
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ou
Observe-se que cada um dos lados da
Equação (6) é independente do outro
porque x e y são variáveis
independentes.
Isto requer que cada um dos lados seja
igual a uma constante e poderemos,
assim, obter duas equações diferenciais
ordinárias em termos desta constante,
Onde é denominada constante de
separação.
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O seu valor tem de ser determinado
pela condições de contorno (ou
condições de fronteira) .
Note-se que a forma da solução para
as equações (7) e ( 8) vai depender
do sinal de λ2; uma forma diferente
resultaria também se λ2 fosse zero.
A única maneira capaz de determinar a
forma correta da equação é através da
aplicação das condições de contorno
do problema.
Então, vamos primeiro anotar todos as
possíveis soluções e, em seguida, ver qual se
encaixa no problema em consideração.
1. Para λ2 = 0:
Implica em
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Esta função não pode caber a condição de
contorno função seno, então a λ2 = 0 solução
podem ser excluídas.
2. Para λ2 < 0
Mais uma vez, a condição de contorno
da função seno não pode ser satisfeita,
pelo que esta solução é excluídos
também.
3. Para λ2 > 0
Agora, é possível satisfazer a condição
de contorno da função seno.
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Vamos agora tentar satisfazer as outras
condições.
Fazendo uma substriuição de variável
(θ = T - T1)
Observe que a equação diferencial e a
solução mantem a mesma forma com a
nova variável θ, e precisamos apenas
transformar as condições de contorno.
Assim:
em
em
em
em
Aplicando essas condições nos
teremos:
em
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em
em
em
Consecutivamente, de [a] e [b], temos
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De [c], temos
O que impõe que
Onde pode ser expresso como
Onde n é um número inteiro.
A solução da equação diferencial pode a
ser escritacomo uma soma de soluções
para cada valor de n. Esta é uma soma
infinita, de modo que a solução final é a
série infinita
(15)
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onde as constantes foram
recombinadas e os termos
exponenciais convertidos em função
hiperbólica.
A condição final de fronteira pode
agora ser aplicada:
Essa equação impõe que:
para qualquer que seja
E a solução final é
(16)
O campo de temperatura para este
problema é mostrado na Figura 1.
Note-se que aslinhas de fluxo de