universidade federal do rio de janeiro circuitos elétricos ... · igualmente, pela linearidade da...

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Circuitos Elétricos I – EEL 420

Módulo 11

Laplace Bode Fourier

http://en.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace

http://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier

http://en.wikipedia.org/wiki/Hendrik_Wade_Bode

Conteúdo

11 - Transformada de Laplace.....................................................................................................1

11.1 - Propriedades básicas da transformada de Laplace.......................................................1

11.2 - Tabela de Transformadas.............................................................................................2

11.3 - Propriedades de redes lineares invariantes...................................................................3

11.4 - Impedância...................................................................................................................4

11.5 - Frações parciais............................................................................................................6

11.5.1 - Exemplo 1: Polos simples....................................................................................7

11.5.2 - Exemplo 2: Um polo duplo..................................................................................8

11.5.3 - Exemplo 3: Polos duplos e triplos........................................................................9

11.5.4 - Exemplo 4: Polos complexos conjugados..........................................................10

11.5.5 - Exemplo 5: Polos complexos conjugados..........................................................10

11.6 - Aplicação da trasnformada de Laplace na solução de circuitos.................................11

11.7 - Exercícios...................................................................................................................12

11.8 - Soluções.....................................................................................................................16

Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 2

11 Transformada de Laplace

A importância da transformada de Laplace é que ela reduz a solução de equações

diferenciais à solução de equações algébricas. Para isso a transformada associa a uma função

no domínio do tempo (definida para t>0) outra função em no domínio da frequência.

Adicionalmente a transformada de Laplace trata do conceito de função de rede. Como estas

funções de rede podem ser obtidas experimentalmente utilizando-se medidas em regime

permanente senoidal a transformada de Laplace costuma ser mais intuitivo do que respostas

ao impulso.

Matematicamente a transformada de Laplace pode ser obtida como

F s=∫0

∞

f t ⋅e−s⋅t⋅dt

tfL=sF

11.1 Propriedades básicas da transformada de Laplace

Unicidade:

Uma função no tempo fica univocamente determinada por sua transformada de

Laplace

Linearidade:

L [c1⋅ f 1t c2⋅f 2t ]=c1⋅L[ f 1t ]c2⋅L[ f 2t ]

Regra da derivada:

L [ f t ]=s⋅L[ f t ]− f 0

L [ f t ]=s2⋅L [ f t ]−s⋅ f 0− f 0

Regra da integral


L[∫0

t

f t ' ⋅dt ' ]=1s⋅L [ f t ]

Deslocamento no tempo

L [ut−⋅ f t−]=e−s⋅⋅F s

Convolução

L[∫0

t1

ht−⋅e ⋅d ]=H s⋅E s

11.2 Tabela de Transformadas

O cálculo da transformada de Laplace pode ser trabalhoso mas, por sorte, o uso de

algumas poucas funções resolve a maior parte dos problemas encontrados. Estas funções estão

tabeladas a seguir e conhecer estas funções, portanto, é essencial para resolver problemas

usando a transformada de maneira simples.

f(t) F(s) Frequência Natural

t 1

nt sn

u t 1s

s1=0

t n

n!

1

sn1 s1,2 ,... , n=0

e−a⋅t 1sa

s1=−a

t n

n !⋅e−a⋅t 1

sa n1 s1,2 ,... , n=−a


f(t) F(s) Frequência Natural

cos ⋅t s

s2

2 s1,2=± j

sen ⋅t

s2

2 s1,2=± j

e−⋅t⋅cos ⋅t s

s22 s1,2=−± j

e−⋅t⋅sen ⋅t

s22 s1,2=−± j

2⋅∣K∣⋅e−⋅t⋅cos ⋅t∢K K

s− j

K*

s j s1,2=−± j

a⋅e−⋅t⋅cos ⋅t b−a⋅

⋅e−⋅t⋅sen ⋅t a⋅sb

s22 s1,2=−± j

11.3 Propriedades de redes lineares invariantes

Para qualquer rede linear invariante a resposta completa é a soma da resposta ao estado

zero com a resposta à excitação zero. Igualmente, pela linearidade da transformada de

Laplace, o mesmo é válido para as correspondentes funções no domínio da frequência.

A função de rede é, por definição, a função de s que, quando multiplicada pela

transformada de Laplace da excitação, dá a transformada de Laplace da resposta ao estado

zero. A função de rede também pode ser chamada de função de transferência. Para qualquer

rede concentrada linear invariante, qualquer de suas funções de rede é uma função com

coeficientes reais.

Para qualquer rede linear invariante, as condições iniciais exigidas para obter o valor

de qualquer variável de rede são completamente especificadas pelas tensões iniciais nos

capacitores e correntes iniciais nos indutores.


Para qualquer rede linear invariante a função de rede é a transformada de Laplace da

correspondente resposta ao impulso.

Para qualquer rede linear invariante a derivada da resposta ao degrau é a resposta ao

impulso.

11.4 Impedância

Observe que o mesmo resultado poderia ter sido encontrado se a transformada de

Laplace tivesse sido aplicada aos elementos do circuito, individualmente, antes de qualquer

cálculo. Assim, capacitor e indutor apresentariam impedâncias semelhantes as estudas em

regime permanente senoidal. As condições iniciais, por outro lado, seriam substituídas por

fontes de tensão em degrau (no capacitor) ou corrente em degrau (no indutor).

v L=L⋅didt

após a transformada de Laplace corresponde a V L s = L⋅s⋅I s

vC=1C⋅∫ i⋅dt após a transformada de Laplace corresponde a V C s = 1

C⋅s ⋅I s

v R=R⋅i após a transformada de Laplace corresponde a V R s=R⋅I s

Observe que as parcelas L⋅s , 1

C⋅s e R , correspondem as impedâncias do indutor,

capacitor e resistor respectivamente.

Exemplo: Calcular a resposta completa (corrente) para o circuito RLC série alimentado

com fonte de tensão E(t). Considerar VC(0)=1V, IL(0)=5A, L=1H, R=6W e C=0,04F.


L⋅didt+R⋅i+

1C⋅∫

0–

t

i(t ´ )⋅dt ´+vc(0–)=e (t) , para t≥0

Tomando a transformada de Laplace da equação acima

s⋅L⋅I (s)−L⋅iL (0–)+R⋅I (s)+I (s)s⋅C

+vC(0–)

s=E (s)

Ls⋅(s2

+RL⋅s+

1L⋅C )⋅I (s)=E (s)+L⋅iL(0–)−

vC (0–)

s

Observe que esta é a mesma equação que teríamos encontrado se tivéssemos aplicado

a transformada diretamente sobre o circuito. Isto pode ser melhor visto se o circuito for

redesenhado como abaixo. No primeiro circuito são apresentadas as condições inicias, a fonte

e as impedâncias (as mesmas impedâncias obtidas para regime permanente senoidal porém

trocando jw por s). No segundo desenho o modelo do indutor carregado foi transformado de

Norton para Thèvenin, de onde pode ser obtida uma equação de malha idêntica as equações

acima.

Resposta ao estado zero:

Considerando que H s=I s E s

então

I s =H s⋅E s


A resposta ao estado zero corresponde a

I 0 s=s

s3242⋅E s

Supondo e t =12⋅sen 5⋅t

então

E s=60

s252

Assim a resposta ao estado zero é

I 0 s=60⋅s

[s3242 ]⋅s252

Resposta a excitação zero: A resposta natural ou resposta à excitação zero, é obtida

fazendo e t=0 ou seja E s=0 , assim

I i s=5⋅s−1

s3242

A resposta completa é

I s =60⋅s

[s3242 ]⋅s252

5⋅s−1

s3242

Observe que em ambos os casos a antitransformada pode ser obtida por frações

parciais.

11.5 Frações parciais

A antitransformada de Laplace corresponde a operação inversa a da transformada e

deve ser realizada para converter as funções do domínio frequência (s) para o domínio tempo

(t). Como as funções de transferência e as respostas dos sistemas correspondem a grandes

frações de polinômios, como as indicadas no exemplo anterior, podemos separar estas grandes


frações em outras menores, chamadas de frações parciais, e pela tabela, obter a resposta do

sistema no domínio tempo.

F s=P sQ s

=b0⋅s

mb1⋅s

m−1...bm−1⋅sbm

a0⋅sna1⋅s

n−1...an−1⋅san

F s=K⋅∏i=1

m

s−z i

∏j=1

n

s− p j

onde os z i são chamados zeros da função racional e p j são chamados polos da

função.

Quando não há restrições as frações que podem ser obtidas, uma alternativa para obter

um conjunto de frações parciais que satisfaça o problema é:

Primeiro colocamos a função na forma própria

F s=P sQ s

= P sR s Q s

Se existirem apenas polos reais não múltiplos então separamos as frações com um polo

em cada fração na forma

F s=∑K n

s−pn

Se existirem polos reais múltiplos então adicionamos frações do tipo ∑n=2

n K m

s− pmn

Se existirem polos complexos conjugados podemos utilizar a mesma estratégia dos

polos simples (cada polo um número complexo) ou separar em frações com coeficientes reais

que podem gerar um seno ou um cosseno amortecido ou ambos.

11.5.1 Exemplo 1: Polos simples


F s=s23⋅s5

s1⋅s2⋅ s3

s23⋅s5

s1⋅ s2⋅ s3=

K1

s1

K 2

s2

K 3

s3

Método 1: Somar as três frações parciais e igualar o resultado a F(s).

s23⋅s5=K 1⋅ s2⋅ s3K 2⋅ s1⋅ s3K 3⋅s1⋅ s2

Método 2: Substituir s por um valor qualquer ou por um conjunto de valores e resolver

a equação ou as equações resultantes. Se o valor de s corresponde a um polo então as contas

podem ser simplificadas de forma que cada constante K pode ser calculada separadamente.

Este método é chamado de método dos resíduos.

K1=s23⋅s5

s2⋅ s3∣s=−1

=32=1,5

K 2=s23⋅s5

s1⋅s3∣s=−2

=3−1=−3

K 3=s23⋅s5

s1⋅ s2∣s=−3

=52=2,5

f t =1,5⋅e−t – 3⋅e−2⋅t2,5⋅e−3⋅t

11.5.2 Exemplo 2: Um polo duplo

F s =s23⋅s5

s12⋅ s2

s23⋅s5

s12⋅ s2=

K1

s12

K 2

s1

K 3

s2

s23⋅s5=K 1⋅ s2K 2⋅ s1⋅ s2K 3⋅ s12


K1=s23⋅s5 s2 ∣s=−1

=31=3

K 3=s23⋅s5

s12 ∣s=−2

=31=3

{ s23⋅s5

s12⋅ s2=

K 1

s12

K2

s1

K 3

s2}∣s=0

5=2⋅K 12⋅K 2K 3=92⋅K 2

K 2=−2

f t =3⋅t⋅e−t – 2⋅e−t3⋅e−2⋅t

11.5.3 Exemplo 3: Polos duplos e triplos

F s=1

s13⋅s2

1

s13⋅s2=

K 1

s1

K 2

s12

K 3

s13

K 4

s

K5

s2

K 3=1

s2∣s=−1

=1

K 2=11!⋅

dds 1

s2 ∣s=−1

=−2

s3 ∣s=−1

=2

K1=12!⋅

d 2

ds2 1

s2 ∣s=−1

=12⋅

6

s4∣s=−1

=3

K5=1

s13∣s=0

=1


K6=1

1 !⋅

dds [ 1

s13 ]∣s=0

=−3

f t =3⋅e−t2⋅t⋅e−t

12⋅t 2⋅e−t

−3 t

11.5.4 Exemplo 4: Polos complexos conjugados

F s=s23⋅s7

[ s224 ]⋅s1

s23⋅s7

[ s224]⋅ s1=

K1

s2− j2

K 1*

s2 j2

K 2

s1

K1=s23⋅s7

s2 j2 ⋅ s1∣s=−2 j2

K 1=−2 j223⋅−2 j27−2 j22 j2⋅−2 j21

=j4=

14∢900

K 2=s23⋅s7

s224∣s=−1

=1

f t =−12⋅e−2⋅t

⋅sen 2⋅t e−t

11.5.5 Exemplo 5: Polos complexos conjugados

I s =60⋅s

[s3242 ]⋅s252

5⋅s−1

s3242

I s=10

s252−

10

s32425⋅s3

s3242 –164⋅

4

s3242

I s=2⋅5

s252−

104⋅

4

s32425⋅s3

s3242 –164⋅

4

s3242


i t =2⋅sen 5⋅t −264⋅e−3⋅t

⋅sen 4⋅t 5⋅e−3⋅t⋅cos 4⋅t

11.6 Aplicação da trasnformada de Laplace na solução de circuitos

Calcular vC . Considere vC(0)=5V , exp a função exponencial e d a função impulso.

aplicando a transformada diretamente sobre o circuito e as condições iniciais temos

A condição inicial do capacitor por ser representada pelo equivalente Thèvenin ou

Norton. Neste caso a tensão no capacitor é obtida por uma fonte de corrente em paralelo com

o capacitor.

I0C(s )=V C(0)

s⋅C⋅s=C⋅V C(0)=0,5

Aplicando análise nodal

V C−V 1

R1

– 2– 0,5+V C

R2

+V C⋅C⋅s=0

V C−10s+1

10– 2 – 0,5+

V C

10+V C⋅0,1⋅s=0


V C⋅(s+2)=10

s+1+25

V C(s )=25⋅s+35

(s+1)⋅(s+2)=

10s+1

+15

s+2

vC( t)=(10⋅e−t+15⋅e−2⋅t )⋅u(t )

11.7 Exercícios

1) Determinar as tensões de nós no domínio do tempo. Considere que o circuito está

em regime permanente.

2) Mostre que o circuito abaixo tem função de transferência de filtro passa faixas com

frequências f0=500 Hz e largura de faixa de 100 Hz.

H s=K⋅0

Q⋅s

s20

Q⋅s0

2

3) No circuito abaixo os capacitores valem 0,5mF e estão carregados com 5V. Os

resistores são de 1kW. a) Determine a função de transferência H(s)=Vo(s)/V2(s); b) Qual o

valor de K para que o circuito seja um oscilador; c) Determine h(t); d) escreva um conjunto de

equações de estado para este circuito.


4) Calcular a função de rede que relaciona a entrada Vo(s) com VR2(s). Determinar

VR2(s) sabendo que vC(0)=–2V e iL(0)=1A. Calcular VR2(t) para t³0. Escrever a resposta como

soma da resposta ao estado zero e a excitação zero.

5) Determine os valores de R2 e R3 sabendo que a função de transferência, definida por

H(w)=V2(w)/V1(w), tem uma amplitude máxima igual a 3. Faça C=1F e R1=1W. Considere o

amplificador operacional com ganho A=106

6) Um amplificador transistorizado tem o modelo de pequenos sinais apresentado

abaixo. a) Calcular a função de rede que relaciona vo(s) com vi(s). b) Por inspeção, qual a


ordem da função de rede? Justifique. c) Determinar os pólos e zeros da função de rede. d)

Calcular vo(t), em regime permanente senoidal, quando vi(t) é , cos (0⋅t ) , cos (15⋅106⋅t ) e

cos (∞⋅t ) .

7) Determinar Z1 e n para a máxima transferência de energia a R6. Considere

Vs=20·cos(100·t)V.

8) Encontre a expressão para Vo(s). Considere o circuito em regime permanente.

9) Determine a corrente io(s) e io(t) sabendo que M=1H e as condições iniciais são

iL20-=2A e iL30

-=3A .


10) Para o circuito abaixo, em regime permanente senoidal, determine a potência

média fornecida pela fonte Vin. Z2 é um resistor cuja potência média é igual a 43,9W quando

alimentado com uma tensão 311,13cos(100t). Considere Vin=848,53cos(t+45o).

11) Determine V2(t) para regime permanente senoidal. I1 é uma fonte com amplitude de

0,707ARMS e frequência de 0,159 Hz.

12) A rede linear invariante abaixo estava em regime permanente para t<0s. Em t=2s,

a chave S1 troca de posição. Calcular vo(t) para t>0.


11.8 Soluções

1) Determinar as tensões de nós no domínio do tempo. Considere que o circuito está

em regime permanente.

[1+1

4⋅s0

012+

12⋅s]⋅[V 1(s)

V 2(s)]=[−I 1(s)

I 1(s ) ]

como I 1(s)=1s

[V 1(s )V 2(s)]=[

1

1+1

4⋅s

0

01

12+

12⋅s]⋅[−1

s1s]


[V 1(s )V 2(s)]=[

−1

s+14

2s+1]

v1(t)=−e−14⋅t

⋅u( t)

v2(t )=2⋅e−t⋅u(t )

2) Mostre que o circuito abaixo tem função de transferência de filtro passa faixas com

frequências f0=500 Hz e largura de faixa de 100 Hz.

H s=K⋅0

Q⋅s

s20

Q⋅s0

2

Para os nós A (entre R1, R5, C1 e C2) e B (entre C2, R2 e o amp. op.)

v A⋅Y R1Y C1Y C2Y R5−vB⋅Y C2−vo⋅Y R5=0

−v A⋅Y C2 v B⋅Y R2Y C2=0

v B=vo⋅R3

R3R4

, H s=vo s

v i s

0=2⋅⋅ f 0=3141,59 rad/s

02=9869604 rad/s2


0

Q=2⋅⋅100=628,318 rad/s

3) No circuito abaixo os capacitores valem 0,5mF e estão carregados com 5V. Os

resistores são de 1kW. a) Determine a função de transferência H(s)=Vo(s)/V2(s); b) Qual o

valor de K para que o circuito seja um oscilador; c) Determine h(t); d) escreva um conjunto de

equações de estado para este circuito.

Equacionando pelas tensões de nós:

V X – V 2

R+

V X – V

R+V X−K⋅V⋅C⋅s=0

V⋅C⋅s+V−V X

R=0

substituindo V X=V⋅(R⋅C⋅s+1) na primeira equação temos

V X

R–

V 2

R+

V X

R–

VR+V X⋅C⋅s – K⋅V⋅C⋅s=0

V⋅(2⋅R⋅C⋅s+2+R2⋅C2⋅s2+R⋅C⋅s−1 – K⋅R⋅C⋅s )=V 2

V o=K⋅V 2

R2⋅C2⋅s2+(3⋅R⋅C – K⋅R⋅C )⋅s+1

Para oscilar: 3⋅R⋅C – K⋅R⋅C=0


4) Calcular a função de rede que relaciona a entrada Vo(s) com VR2(s). Determinar

VR2(s) sabendo que vC(0)=–2V e iL(0)=1A. Calcular VR2(t) para t³0. Escrever a resposta como

soma da resposta ao estado zero e a excitação zero.

5) Determine os valores de R2 e R3 sabendo que a função de transferência, definida por

H(w)=V2(w)/V1(w), tem uma amplitude máxima igual a 3. Faça C=1F e R1=1W. Considere o

amplificador operacional com ganho A=106

v+=

V 1⋅1

C⋅s

R+1

C⋅s

=V 1

R⋅C⋅s+1

v-=

V 2⋅R3

R2+R3

V 2=A⋅( V 1

R⋅C⋅s+1–

V 2⋅R3

R2+R3)


V 2⋅(1+ A⋅R2

R2+R3)=V 1

R⋅C⋅s+1

V 2

V 2

=A

R⋅C⋅s+1⋅

R2+R3

R2+R3+R3⋅A

6) Um amplificador transistorizado tem o modelo de pequenos sinais apresentado

abaixo. a) Calcular a função de rede que relaciona vo(s) com vi(s). b) Por inspeção, qual a

ordem da função de rede? Justifique. c) Determinar os pólos e zeros da função de rede. d)

Calcular vo(t), em regime permanente senoidal, quando vi(t) é , cos (0⋅t ) , cos (15⋅106⋅t ) e

cos (∞⋅t ) .

Transformando a fonte vi e o resistor Rs em um equivalente Norton.

0=vS⋅(GB+GX +GS)−v i⋅GS−v pi⋅G X

0=v pi⋅(GX+G pi+s⋅C pi+s⋅C mi)−vS⋅GX−vO⋅s⋅C mi

0=gm⋅v pi+vO⋅(GL+s⋅C mi)−v pi⋅s⋅Cmi

onde gm=74 .

Av (s )=−GX⋅GS

(G X+GS+GB)⋅Cmi⋅C pi

⋅gm−s⋅C mi

s2+b⋅s+c

onde


b=1

RL⋅Cmi

+1+gm⋅[RL // R pi // (RX+RS // RB) ]

C pi⋅[RL // Rpi // (RX+RS // RB )]

c=1

RL⋅C mi⋅C pi⋅[Rpi // (RX+RS // RB )].

7) Determinar Z1 e n para a máxima transferência de energia a R6. Considere

Vs=20·cos(100·t)V.

Calculando um Thèvenin do primário do transformador para à esquerda do circuito

I 1=

V S−V 2

10R4

10⋅I 1=10⋅V sV 2

R4

Supondo o nó A na conexão entre L1, R5, C3 e F

V A

L⋅s

V a

R5

=10I1I 2 (1)

Supondo o nó B na entrada do Thèvenin

C3⋅s⋅V 2 – V A=I 2

V A=V 2 –I 2

C3⋅s(2)


Substituindo a equação 2 na equação 1

V 2

L⋅s–

I 2

L⋅C3⋅s2

V 2

R5

–I 2

R5⋅C32⋅s=10⋅I 1I 2

V 2⋅ 1L⋅s

1R5 – I 2⋅ 1

L⋅C3⋅s2

1R5⋅C3⋅s =

10⋅V S

R4

−V 2

R4

I 2

V 2⋅ 1L⋅s

1R4

1R5 =

10⋅V S

R4

I 2⋅ 1L⋅C3⋅s

21

R5⋅C3⋅s1

V TH=10⋅V S

R4

÷ 1L⋅s

1R4

1R5

ZTH=I 2⋅ 1

L⋅C3⋅s2

1R5⋅C 3⋅s

1÷ 1L⋅s

1R4

1R5

A impedância do secundário pode ser refletida para o primário

Z1 '=Z 1

n2

R6 '=R6

n2

Para máxima transferência de energia na frequência da fonte basta fazer

s= j⋅100

V S=20∢00

ℜZ TH =ℜZ1 'R6 '

ℑZTH =ℑZ 1 ' *

8) Encontre a expressão para Vo(s). Considere o circuito em regime permanente.


O circuito pode ser resolvido por malhas. Supondo as correntes I1 e I2 as correntes de

malha, circulando em sentido horário, na malha da esquerda e da direita respectivamente

Para a malha 1

I 1⋅R6⋅L6⋅sL7⋅s2⋅M⋅s– I 2⋅L7⋅sM⋅s −V 2=0

Para a malha 2

−I 1⋅ L7⋅sM⋅sI 2⋅L7⋅sR9=0

V O s=I 2 s⋅R9

Da malha 2

I 1=I 2⋅L7⋅sR9

L7⋅sM⋅s

Substituindo na equação da malha 1

I 2⋅L7⋅sR9

L7⋅sM⋅s⋅R6L6⋅sL7⋅s2⋅M⋅s – I 2⋅L7⋅sM⋅s=V 2

I 2⋅ L7⋅sR9⋅[R6s⋅L6L72⋅M ] – I 2⋅s2⋅L7M

2=V 2⋅s⋅L7M

I 2⋅{L7⋅sR9⋅[R6s⋅L6L72⋅M ] – s2⋅L7M

2}=V 2⋅s⋅L7M

I 2=V 2⋅s⋅L7M

s2⋅[L7⋅L6L72⋅M – L7M

2]s⋅[R9⋅L6L72⋅M L7⋅R6]R9⋅R6


V O=V 2⋅s⋅ L7M ⋅R9

s2⋅[L7⋅L6L72⋅M – L7M

2]s⋅[R9⋅L6L72⋅M L7⋅R6]R9⋅R6

9) Determine a corrente io(s) e io(t) sabendo que M=1H e as condições iniciais são

iL20-=2A e iL30

-=3A .

10) Para o circuito abaixo, em regime permanente senoidal, determine a potência

média fornecida pela fonte Vin. Z2 é um resistor cuja potência média é igual a 43,9W quando

alimentado com uma tensão 311,13cos(100t). Considere Vin=848,53cos(t+45o).

Solução:

Este problema foi resolvido em sala de aula utilizando fasores.

Z2=∣V Z2∣

2

2⋅P=

V Z2MÁX2

2⋅P=

311,132

2⋅43,9≈1100

A impedância no secundário do segundo transformador é

Z EQ1=Z2X C2=110011,26

S


Esta impedância refletida para o primário é

Z EQ2= n1

n2

2

⋅Z EQ1= 21

2

⋅110011,26

S =440045S

A impedância do secundário do primeiro transformador, refletida para o seu primário é

Z EQ3= n1

n2

2

⋅45⋅S45Z EQ2= 13

2

⋅45⋅S440045S45=5⋅S2

490⋅S5S

Fazendo o paralelo desta impedância com X_L2 obtemos

Z EQ4=495⋅S // Z EQ3=

495⋅S5⋅S2490⋅S5

S

495⋅S5⋅S2

490⋅S5S

=2475⋅S 2

242550⋅S2475⋅S

500⋅S 2490⋅S5

Assim, a impedância total nos terminais da fonte corresponde a

Z EQ5=47,5⋅S15⋅S1Z EQ4=2475⋅S2242550⋅S2475⋅S

500⋅S 2490⋅S5

52,5⋅S1

Como a fonte é senoidal, a potência média fornecida por ela pode ser calculada como

P=∣V IN∣

2

2⋅∣Z EQ5∣⋅cos(∢Z EQ5)∣S= j

onde ∣V IN∣=848,53V

11) Determine V2(t) para regime permanente senoidal. I1 é uma fonte com amplitude de

0,707ARMS e frequência de 0,159 Hz.


12) A rede linear invariante abaixo estava em regime permanente para t<0s. Em t=2s,

a chave S1 troca de posição. Calcular vo(t) para t>0.

Para 0t2 C6 e C4 não tem influência sobre vo, então é possível transformar o

circuito Thèvenin V4-R8 em um circuito Norton equivalente. Com isto as resistências R7 e

R8 ficam em paralelo e as fontes Norton e I1 também.

I N=V 4

R8

RN=R8

I TOT=I NI 1=V 4

R8

I 1

onde I 1 s =90s

e V 4 s=30s

RTOT=R7 // R8


V O s=I TOT

GTOTBC5

=I TOT

1RTOT

C 5⋅s=

I TOT⋅RTOT

1RTOT⋅C5⋅s

V O t = I TOT⋅RTOT⋅1 – e−t

R TOT⋅C5 ⋅u t

Para analisar o circuito a partir de t=2s é necessário calcular as condições iniciais

dos dois capacitores.

V O 2=V C52= I TOT⋅RTOT⋅1 – e−2

RTOT⋅C5 ⋅u t

V C4 s= I 1 s⋅X C4

V C4 t =1C5

⋅90⋅t 2

V C4 2=1C5

⋅90⋅22 com polaridade positiva a esquerda.

Observe que, com o fechamento da chave S1, há uma redistribuição de cargas entre C4

e C5.

I C4C5 s =1s⋅

V C4V C5

1s⋅

C4C5

C4⋅C5

=C 4⋅C5⋅V C4V C5

C4C5

Observe que a corrente que passa pelos capacitores é impulsiva. Esta corrente

recarrega cada capacitor com

V C4final 2=I C4C5

C4

−V C4 2

V C5final 2=V C52−I C4C5

C5

e V C4final=V C5final


Os capacitores carregados podem ser representados pelos seus equivalentes Thèvenin

ou Norton. Neste caso, por simplicidade, é mais fácil utilizar os equivalentes Norton sendo

que cada fonte de corrente impulsiva vale

I NC4 s =

V C4final

s1

C4⋅s

=V C4final

C4

I NC5 s =

V C5final

s1

C5⋅s

=V C5final

C5

Assim o circuito continua um RC paralelo em paralelo com fontes de corrente

I TOT2= I NC4I NC5V 4

R8

REQ=R7 // R8

XCEQ=XC 4 // XC5=1

1C 4⋅s

1

C5⋅s


universidade federal do rio de janeiro circuitos elétricos ... · igualmente, pela linearidade da...

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