aplicação da transformada de laplace na determinação de tensões e correntes em circuitos...

8/19/2019 Aplicação da Transformada de Laplace na Determinação de Tensões e Correntes em Circuitos Elétricos

1/27

Aplicação daTransformada de Laplace

na Determinação de

Tensões e Correntesem Circuitos Elétricos


2/27

1

PRINCIPAIS SINAIS NÃO SENOIDAIS

Degrau de amplitude E - É um sinal que vale 0 volt para t < 0 e vale E volt,constante, para t >0. Ver fig. 1-a.

t

E

E v R

(a) (b)

v

00

Fig. 1

A fig. 1-b mostra um exemplo da geração desse sinal. Com a chave aberta, a tensão em R é igual a zero volt. Com a chave fechada tem-se, em R, a tensão E volt. Supondo quea chave fechou no instante t = 0, tem-se o sinal na forma de degrau mostrado na fig. 1.a.

Degrau unitário – É o degrau em que o valor para t > 0 é 1. Neste caso ele édesignado por ( )t u . Ver fig. 2.

t 0

1

( )t u

+0−00

Fig. 2

Uma dúvida que se poderia ter seria sobre o valor da função para t = 0, uma vez que,pela figura 2, vemos que o valor pode ser qualquer um entre zero e 1.Por convenção, em t = 0, a função ( )t u é descrita analiticamente pelas expressões:

Para )0( −=t ( ) 0=t u

Para )0( +=t ( ) 1=t u

O sinal degrau representado na fig. 1-a é designado por:

( )t u E v ×=


3/27

2

Sinal impulso unitário

É um sinal que é zero para qualquer 0≠t e é infinito para 0=t . Entretanto sua área éigual a 1. Ver fig. 3.

0 t

∞

( )t δ

Área = 1

0

Fig. 3

Este sinal é, também, chamado de função Dirac e é representado por ( )t δ .Uma das maneiras matemáticas de descrevê-lo se refere à fig. 4.

t

τ

1=h

τ 0

0

Fig. 4

Nessa figura temos um pulso ( )t f de duração τ e amplitudeτ

1=h .

Sua área fica: 11

=×=τ

τ A

Portanto, a área é igual a 1 independentemente do valor de τ .Neste caso poderíamos dizer que

hlim= ∞=

0→τ τ

1lim

0→τ

=( ) ( )t f t lim=δ 0→τ

Portanto, tem-se para ( )t δ :

0=τ

∞→h

1=área


4/27

3

A função ( )t E δ × representa um impulso com área E .

Rampa unitária

É também chamada de rampa de inclinação unitária. Ela é definida como sendo afunção ( )t f que obedece as seguintes características:

Para 0


5/27

4

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Aplicação

A transformada de Laplace é um algoritmo matemático que permite a resolução deequações diferenciais de uma maneira puramente algébrica. É muito útil para o cálculo

de tensões e correntes transitórias em circuitos elétricos.

Definição

Define-se como transformada de Laplace, de uma função temporal ( )t f , a igualdade:

( )[ ] ( ) dt et f t f st −∞

= 0

Esta operação transforma uma função da variável tempo em outra função que dependeapenas da variável s. Por isto, é comum dizer:

Função ( )t f

Transformada de Laplace dessa função ( )sF

onde ( ) ( ) dt et f sF st −∞

= 0 (1)

---------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 1 : Determinação da transformada de Laplace de um degrau unitário ( )t u .Ver fig. 6.

t 0

1

( )t u

0

Fig. 6

Neste caso

( ) dt esF st ∞

−×= 0 1 st es−−= 1

0

∞

=

( ) ( )ss

ees

110

11 0=−−=−−=

∞−


6/27

5

( ) =sF ( )

st u

1= (2)

-----------------------------------------------------------------------------------------------Teorema 1: A multiplicação de uma função temporal, por uma constante, equivale amultiplicação, de sua transformada de Laplace, pela mesma constante

Seja ( ) ( ) dt et f sF st −∞

= 0

Neste caso, ( ) dt et f a st −∞

×0 ( ) dt et f a st −

∞

= 0 ( )sF a×=

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 2 – Determinação da transformada de Laplace de um degrau de amplitude E.Ver fig. 7.

t 0

E

( )t f

Fig. 7

Neste caso, ( ) ( )t u E t f ×=

De acordo com o teorema 1, tem-se:

( ) =× t u E × E ( )s

E

s E t u =×=

1

( )s

E t u E =× (3)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 3 - Determinação da transformada de Laplace da função: ( ) t et f α −=

( ) dt eesF st t −∞

−

=0

α = ( ) dt e t s∞

+−

0

α

Portanto:


7/27

6

( )t se

s

+−

+−

α

α

1

0

∞

α α +=

+−−=

ss

110( ) =sF

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo - 3 - Determinação da transformada de Laplace da derivada de uma função:

( )

dt

t df

Sabemos que

( )dt

dU V

dt

dV U V U

dt

d ×+×=×

Multiplicando, os dois lados da igualdade, por dt fica:

( ) dU V dV U V U d ×+×=×

Integrando os dois lados da igualdade tem-se:

+=× VduUdV V U

ou

−= VdU UV UdV (4)

Sabemos que ( ) ( )sF dt et f st =−∞

0 (5)

Vamos fazer ( ) U t f = e dt edV st −=

Neste caso, st es

V −−=1

Vamos aplicar estas igualdades na equação (4)

( )[ ]t f d es

st

∞

−+

0

1( ) ( ) st st et f

sdt et f

−−∞

×−=1

0

0

∞

ou


8/27

7

( ) ( ) ( )

dt edt

t df

ss

f dt et f st st −

∞+

−∞

+=

00

10 ou

( ) ( )

ss

f sF

10+=

+ ( )

dt

t df ou

( )( ) ( )+−= 0 f ssF

dt

t df (6)

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 4 – Transformada de Laplace da integral de uma função ( )t f .

Supondo que ( )sF é a transformada de Laplace de ( )t f é demonstrável que se

( ) ( )dt t f At vt

×= 0

então

( ) ( ) ( )

s

v

s

sF At v

+

+×=0 (7)

---------------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 5 - Transformada de um impulso de área A.

É, também, demonstrável que:

( ) At A =δ (8)

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 6 – Transformada de Laplace de uma rampa de inclinação C.

( ) 0=t f para t < 0

( ) Ct t f = para 0≥t

Resultado: ( )2

s

C sF =

-----------------------------------------------------------------------------------------------------


9/27

8

Exemplo 7 - Transformada de Laplace de uma senoide

( ) t At f β sen=

Resultado:

( )22 β

β

+=

s AsF

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 8 – Transformada de Laplace de uma co-senoide

( ) t At f β cos=

Resultado:

( )22 β +

=s

s AsF

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Anti-transformada de Laplace

Se a transformada de Laplace de ( )t f é ( )sF , então a anti-transformada de Laplace de

( )sF , é ( )t f , ou seja:

se ( )[ ] ( )sF t f =

então ( )[ ] ( )t f sF =1− (9)

É costume designar a função no tempo com letra minúscula e a transformada com letramaiúscula. Exemplo:

i ⇔ I

Equivale a

( )t i ⇔ ( )s I


10/27

9

Aplicação da transformada de Laplace para a determinação de tensões e correntesem circuitos elétricos.

Exercício 1: - Determinar a corrente i no circuito da fig. 8, após o fechamento dachave. Suponha que o capacitor está descarregado.

E

i

R

C

Fig. 8

Solução:

Após o fechamento da chave, tem-se um circuito fechado. Neste caso, pode-se aplicara segunda lei de ohm:

01

0=×++−

t

dt iC

Ri E (10)

Vamos aplicar a transformada de Laplace a todos os termos, lembrando que a fonte dealimentação excita o circuito na forma de degrau. Portanto sua transformada é

( ) =s E s

E Ver equação (3).

A tensão no capacitor é

( ) ×=t

c dt iC

t v0

1

Sua transformada é:

( ) ( )

s

V

Cs

I sV cc

+

+=0

Ver expressão (7)

Como, em nosso caso, a tensão no capacitor, no instante inicial, é zero, resulta:

( )Cs

I sV c =

Portanto, a transformada de Laplace da expressão (10) fica:


11/27

10

0=++−Cs

I RI

s

E (11)

Nesta expressão, I representa a transformada de Laplace da corrente ( )t i .

A seguir, determina-se, algebricamente, a expressão de I :

s

E

Cs R I =

+

1

+

=

RCs

s

E I

1 Rs

C

E

+

=1

ou

RC s

R

E I

11

+

×= (12)

Finalmente, faz-se a anti-transformada de I . Dessa maneira, obtém-se a expressão dacorrente i em função do tempo.

Para a anti-transformação usa-se tabelamentos, das transformadas de Laplace,publicados em manuais ou em livros didáticos que tratam do estudo de transitórios emcircuitos elétricos. Nas últimas páginas desta apostila temos reproduções parciais dessetabelamento.

Para o caso deste exercício precisamos anti-transformar a expressão

RC

s1

1

+

.

A linha 1.102 da tabela mostra que

1− t es

α

α −

=+

1

Por comparação concluímos que:

1− t RC e

RC s

1

11 −

=

+

Portanto, a corrente ( )t i fica representada pela expressão:

( ) t

RC e R

E t i

1−

= (13)

A fig. 4 mostra como varia essa corrente ao longo do tempo.


12/27

11

R

E

( )t i

t 0

Fig. 9

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Exercício 2: - Determinar a corrente i e a tensão v, no circuito da fig. 10, logo apóso fechamento da chave.

E v

R

L

i

Fig. 10

Solução:

a) Determinação da corrente i.

Após o fechamento da chave, aplica-se a segunda lei de ohm:

0=++−dt

di L Ri E (14)

Aplica-se a transformada de Laplace a todos os termos, lembrando que a excitação éum degrau de amplitude E . Portanto sua transformada é dada pela igualdade (3). Para

transformar o termodt

di aplica-se a expressão (6), lembrando que a corrente no indutor,

no instante inicial, é zero.

0=++− LsI RI s

E (15)

Nesta expressão, I representa a transformada de Laplace da corrente ( )t i .

A seguir, determina-se, algebricamente, a expressão de I :


13/27

12

( )s

E Ls R I =+

( ) R Lss E

I +

= ou

+

×=

L

Rss

L

E I

1 (16)

Precisamos determinar a anti transformada da expressão

+ L

Rss

1

No tabelamento, fornecido, não encontramos nenhuma expressão semelhante a essa.Entretanto, a linha 1.105 informa que a anti-transformada de

( )( )γ α ++ ss1

éα γ

γ α

−

− −− t t ee

Se fizermos 0=α concluiremos que a anti-transformada de

( )γ +ss1

éγ

γ t e−−1

Fazendo a identidade com o resultado do nosso problema, tem-se:

( )

+

≡+

L

Rss

ss

11

γ

Concluímos que γ ≡ L

R

Portanto, a anti-transformada da função

+

×=

L

Rss

L

E I

1

resulta: ( )

L

R

e

L

E t i

t R

L−

−×=

1


14/27

13

ou ( )

−=

− t L

R

e R

E t i 1 (17)

A fig. 11 mostra esta corrente em função do tempo.

t

R

E

( )t i

0

Fig. 11

a) Determinação da tensão no indutor

Pela expressão (13) sabemos que a tensão no indutor é dada pela expressão:

( )dt

di Lt v =

Pela expressão (6) sabemos que, quando a corrente inicial é nula, atransformada de Laplace desta tensão é:

LsI sV =)(

Substituindo o valor de I pelo valor fornecido pela expressão (16), tem-se:

( )

+

×=

+

×=

L

Rs

E

L

Rss

L

E LssV

11

( )

+

=

L

Rs

E sV 1

A anti-transformada resulta:

( ) t

L

R

Eet v−

= (18)

A fig. 12 mostra a variação dessa tensão no indutor ao longo do tempo.


15/27

14

E

( )t v

t 0

Fig. 12

Exercício 3: - Determinar a corrente i, no circuito da fig. 13, logo após ofechamento da chave. Supõe-se que, tanto a corrente inicial da bobina quanto atensão inicial no capacitor, são nulos.

R C

Lv E L

Fig. 13

Equação diferencial:

010

=+++− dt di Lidt

C Ri E t

Transformadas de Laplace:

0=+++− LsI Cs

I RI

s

E

onde I representa a transformada de Laplace de ( )t i , ou seja, ( )s I I =

Determinando, algebricamente, o valor de I , encontra-se:

( )

LC s

L

Rs

L

E s I

11

2++

= 19

Precisamos achar a anti-transformada da expressão:


16/27

15

LC s

L

Rs

11

2++

A tabela não fornece a anti-transformada da forma com que essa expressão seapresenta. Precisamos mudar sua forma para se enquadrar na tabela.

Vamos fazer

α 2= L

R e 20

1ω =

LC

Portanto

LC s

L

Rs

11

2++

20

2 2

1

ω α ++=

ss

Vamos somar e subtrair, ao denominador, o termo 2α

Resulta:

20

2 2

1

ω α ++ ss 22022 2

1

α ω α α −+++=

ss=

( ) ( )2202

1

α ω α −++s 20

Caso a Se 0220 ≥−α ω então podemos usar a identidade

( ) ( )2202

1

α ω α −++s ( ) 221

β α ++≡

s 21

220

2 α ω β −=

Caso b

Se 0220


17/27

16

( ) t e

s

t β β β α

α sen11

22−

=++

1−

Neste caso

( ) t e L E t i

t

β β

α

sen

−

= 23

Substituindo os valores:

L

R

2=α

220 α ω β −= 2

2

4

1

L

R

LC −=

chega-se ao resultado final

( ) t L

R

LC e

R

C

L

E t i

t L

R

−

−

=−

2

22

2 4

1sen

4

24

A fig. 14 mostra como varia essa corrente em função do tempo.

t

( )t i

0

Fig. 14Solução para o caso b

Seguindo procedimento semelhante chega-se ao resultado:


18/27

17

( ) t LC L

Re

C

L R

E t i

t L

R

−

−

=− 1

4senh

4

2

22

2 25

onde θ senh significa seno hiperbólico de θ .

A fig. 15 mostra esta corrente versus variação do tempo.

( )t i

0 t Fig. 15

Maneira prática de resolução do circuito quando as condições iniciais são nulas.

Desenha-se o circuito no domínio da transformada de Laplace com as seguintesrelações:

Impedância de resistor R Impedância de indutor Ls

Impedância de capacitor Cs1

Exemplo: Circuito RLC série. Ver fig. 16.

Ls

R

)(s E

( )s I Cs1

Fig. 16

Calculando a corrente, resulta


19/27

18

( ) ( )

Cs Ls R

s E s I

1++

=

Supondo excitação em degrau, tem-se:

( )

Cs Ls R

s

E

s I 1

++

=

ou ( )

LC s

L

Rs

L

E s I

11

2++

= 26

Comparando (26) com (19), vemos que são idênticas.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exercício 4 - Determinar a tensão ( )t v L no indutor do circuito da fig. 13.Solução:

Supondo que a transformada de Laplace de ( )t v L é ( )sV L , utilizamos, para esse cálculo,o circuito mostrado na fig. 17, cujos parâmetros estão enquadrados no domínio dastransformadas de Laplace. Considere 0220 ≥−α ω

Ls

R

)(s E

( )s I Cs1

( )sV L

Fig. 17

Pela lei de ohm tem-se:

( ) Lss I sV L ×=)(

Vimos que ( )

LC s

L

Rs

L

E s I

11

2++

=

Portanto:


20/27

19

( ) =sV L

LC s

L

Rs

s E

12++

Como 0220

≥−α ω então podemos usar a identidade

LC s

L

Rs

s

12++

( ) 22 β α ++≡

s

s

onde L

R

2=α e

2

2

1

−=

L

R

LC β

Determinação da Anti-transformada de

( )( ) 22 β α ++

=s

ssF

Na linha 1.303, se fizermos 00 =a , teremos

( ) ( ) ( )ψ β β α β

α ++=

−t et f

t sen1

2

122

ondeα

β ψ

−=

−1tg

Após algumas operações e simplificações algébricas chega-se ao resultado da tensão noindutor:

( )

+−

−

=−

ψ t L

R

LC e

L

C R E t v

t L

R

L 2

22

2 4

1sen

41

1


21/27

20

onde 14

21

−= −

C R

Ltgψ

Casos onde se tem valores iniciais não nulos

Seja o caso de um indutor de valor L, com uma corrente inicial0

I . Ver fig. 18-a.

0V C

0 I

L

(a) (b)

Fig. 18

Neste caso, quando a bobina é percorrida por uma corrente I , a tensão equivalente nesseum indutor fica:

( ) 0 LI LsI sV L −= A segunda parcela corresponde a uma fonte de tensão cuja força eletromotriz possuivalor 0 LI . A representação, no circuito, está mostrada na fig.19-a.

( )sV L Ls

0 LI

( )sV C

s

V 0

Cs

1

(a) (b)

Fig. 19

Seja o caso onde se tem uma tensão inicial, de valor 0V , no capacitor. Ver fig. 19-b.Quando este capacitor é percorrido por uma corrente I , a tensão equivalente nestecomponente fica:

( )s

V

Cs

I sV C

0+=


22/27

21

A segunda parcela corresponde a uma fonte de tensão cuja força eletromotriz possui o

valors

V 0 . A representação no circuito está mostrada na fig. 19-b.

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exercício 5Dado o circuito da fig. 20,

a) Determinar a corrente ( )t i após o fechamento da chave.

b) Determinar a tenção ( )t vC após o fechamento da chave.

E

i

R

C 0V C v

Fig. 20Solução:A fig. 21 mostra o circuito no domínio da transformada de Laplace:

R

( )sV C s

E

( )s I

Cs

1

s

V 0

Fig. 21

a) 00 =+++−s

V

Cs

I IR

s

E

RC s

RV E

C Rs

V E

Cs R

s

V E

I 111100

0

+

×−=

+

−=

+

−

=

A linha 1.102, da tabela, nos fornece a anti transformanda. Resulta:

( ) t

RC e R

V E t i

10

−

−=


23/27

22

b) ( )s

V

Cs I sV

C

01 +×=

ou ( )s

V

RC sCs

R

V E sV C

00

1

1+

+

×−

=

ou ( ) ( )s

V

RC ss

RC V E sV C 0

0 1

1

+

+

×−=

As linhas 1.101 fornece a anti-transformada da segunda parcela. A linha 1.105, quandose faz 0=α , fornece a anti-transformada da primeira parcela. Resulta:

( ) ( ) 0

1

0 1 V eV E t v

t RC

c +

−−=

ou ( ) t

RC t

RC c eV e E t v

1

0

1

1 −

+

−=

---------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 6Dado o circuito da fig. 22,

a) Determinar a corrente ( )t i após a chave mudar do ponto A para o ponto B.b) Determinar a tensão ( )t v L após a chave mudar do ponto A para o ponto B.

A

B

Lv L

0 I

2 E

2 R

1 R

1 E

Fig. 22

Solução:Antes de mudar a chave de A para B:

Corrente contínua através do indutor:1

10

R

E I =


24/27

23

Após a mudança de A para B:

Corrente inicial no indutor: R

E I 10 =

a) A fig. 23 mostra o circuito equivalente no domínio da transformada de Laplace:

( )sV L Ls

s

E 2

2 R

)(s I

0 LI

Fig. 23

Aplicando a segunda lei de Ohm, tem-se:

022 LI LsI I Rs

E −++− =0

L

Rs

I

L

Rss

L

E I

20

2

2 11

+

+

+

×=

Usando as anti-transformações da linha 1.105 ( fazendo 0=α ) e da linha 1.102, resulta:

( ) t

L

Rt

L

R

e I e R

E t i

22

02

2 1 −−

+

−= onde

1

10

R

E I =

b) ( ) 0 LI LsI sV L −=

ou ( ) L I

L

Rs

s L I

L

Rs

E sV L 02

02

2

1−

+

+

+

×=

ou ( ) ( )

L

Rs

R I E sV L2

202

1

+

−=

Anti transformando (linha 1.102 da tabela), resulta:


25/27

24

( ) ( ) t L

R

L e R I E sV 2

202

−

−= onde1

10

R

E I =

Teoremas dos valores iniciais e finais.

Sendo ( )sF a transformada de Laplace de ( )t f , o teorema do valor inicial afirma:

( )t f lim0→t

( )ssF lim=∞→s

Portanto, podemos calcular o valor inicial de uma função temporal utilizando suatransformada de Laplace. Basta multiplicar ( )sF por s e calcular o valor de seu limitequando s tende para o infinito.

Da mesma forma, o teorema do valor final afirma:

( )t f lim ∞→t ( )ssF lim= 0→s

Portanto, podemos calcular o valor final de uma função temporal utilizando suatransformada de Laplace. Basta multiplicar ( )sF por s e calcular o valor de seu limitequando s tende a zero.

Vamos verificar as afirmações utilizando o resultado do exercícios 5.

Vimos, no exercício 5 que a corrente no circuito resultou

( ) t

RC e R

V E t i

1

0

−

−=

Valor inicial

Podemos ver que

( )

−=

R

V E t i 0lim0→t

No domínio da transformada de Laplace tínhamos:

( )

RC s

R

V E s I 1

10

+

×−=

Podemos ver que


26/27


27/27

( )

L

Rs

s I

L

Rs

L

E ssI

20

2

2 1

+

+

+

×=

Valor inicial

000 I I =+=∞→s( ) limlim =ssI

+

+

+

×

L

Rs

s I

L

Rs

L

E

20

2

2 1

∞→s

0→t ( ) 0lim I t i =Portanto (valor inicial)

Valor final

2

2

2

2 0 R

E

R

E =+=( ) limlim =ssI

+

+

+

×

L

Rs

s I

L

Rs

L

E

20

2

2 1

0→s 0→s

∞→t ( )

2

2lim R

E t i =Portanto (valor final)

Por inspeção no circuito do exercício 6, pode-se confirmar sem dificuldades osresultados deste exercício 7.------------------------------------------------------------------------------------------------------- Utilização dos teoremas dos valores iniciais e finais.

Muitas vezes , quando se trabalha com circuitos muito complicados, a obtenção da anti-transformada de Laplace fica extremamente trabalhosa. Se estamos interessados,apenas, em conhecer os valores iniciais e finais das tensões e correntes, nos diversospontos do circuito, não teremos a necessidade de calcular as anti-transformadas.

aplicação da transformada de laplace na determinação de tensões e correntes em circuitos...

Documents