Teorema de LaplaceExemplos e fórmula para o cálculo da matriz inversa.

Pré-requisitos.Submatriz : Sendo M quadrada, a submatriz,

chamada de Mij é a matriz obtida da matriz M, RETIRANDO DESTA A LINHA i E A COLUNA j. Cada elemento possui uma submatriz associada.

Exemplo:

M=[1 2 −14 5 67 8 9 ]

M 11=[5 68 9 ]

M 12=[4 67 9 ]

M 13=[4 57 8]

Determinante das submatrizes.det Mij = Dij

M 11=[5 68 9 ]

M 12=[4 67 9 ]

M 13=[4 57 8]

34845

98

6511

===D

64236

97

6412

===D

33532

87

5413

===D

A cada elemento aij podemos definir:

Aij = (1)i+j.Dij

Exemplos:A11 = ( 1)1+1D11 = (+1)( 3) = 3A12 = ( 1)1+2D12 = ( 1)( 6) = + 6A13 = ( 1)1+3D13 = (+1)( 3) = 3

Quando muda o sinal?Quando não muda?

Cofatores.

i+j é impar

i+j é par

Teorema de LaplacePara calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, escolhemos arbitrariamente uma de suas filas (linha ou coluna).

O DETERMINANTE DA MATRIZ É A SOMA DOS PRODUTOS DOS ELEMENTOS DESSA FILA PELOS SEUS RESPECTIVOS COFATORES.

ExemploA escolha da fila não afeta o resultado

do determinante, mas a escolha deve ser inteligente.

Escolha:1ª linha.A11= 3 A12= + 6 A13 = 3

detM = a11A11 + a12A12 + a13A13

detM = 1.( 3) + 2. 6 + ( 1)( 3) = 12

Resolva de novo por regra de Sarrus.

9 87

6 54

121=M

Exemplo

Escolha: 2ª coluna.

detA = a12A12+a22A22+a32A32+a42A42

detA = 0.A12+( 2)A22+0A32+0A42

detA = ( 2)A22

A22= ( 1)2+2. = 183.

detA= ( 2)( 183) = 366

A=[ 1 0 10 03 −2 1 −15 0 −3 −2

−9 0 4 7]

7 4 9

235

0 10 1

Matriz inversa de ordem 3.

Onde:Aij é o cofator do elemento aij.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa=A

A=A

det

11

t

AAA

AAA

AAA

333231

232221

131211

t

AAA

AAA

AAA

333231

232221

131211

013

312

201=AAdet

1A

A11= (1)1+1. = 3

A12= (1)1+2. = (1)(9) = 9

A13= (1)1+3. = 1

A21= (1)2+1. = (1)(2)= 2

A22= (1)2+2. = 1(6) = 6

A23= (1)2+3. = ( 1)1= 1

Exemplo

01

31

03

32

13

12

5

3 9 1

01

20

2

03

21

6

13

01

1

A31= ( 1)3+1. = 1( 2)= 2

A32= (1)3+2. = ( 1)( 1) = 1

A33= ( 1)3+3. = 1.1= 1

31

20

32

21

12

01

2 1 1

51-

51

51

51-

56

59-

52

5-2

53

511 =

111

169

223

-=A