raphaell matemÁtica 01 propriedades 02/06/2020 …...para matrizes 3x3, podemos aplicar a regra de...
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MATEMÁTICARAPHAELL MARQUES
01 PROPRIEDADESDETERMINANTES
02/06/2020
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Seja a matriz de 2ª ordem:
A = a11 a12
a21 a22
O determinante associado à matriz A é o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 2° ORDEM
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a11 a12
a21 a22
= a11 · a22 – a12 · a21
a11 · a22a12 · a21
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 2° ORDEM
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DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 2° ORDEM
Exemplo
+-
7 2
3 5= 7.5 - 2.3=29
53
27A
5
(2 36 10)=2.10−3.6=20−18=2
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 2° ORDEM
Exemplo
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PROPRIEDADES DE DETERMINANTES
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Para matrizes 3x3, podemos aplicar a regra de Sarrus ou ainda o Teorema de Laplace. Vale lembrar que esse último pode ser utilizado também para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem superior a 3. Em casos específicos, o cálculo do determinante pode ser simplificado através apenas de algumas propriedades de determinantes.Para entender como é feito o cálculo do determinante com a Regra de Sarrus, considere a seguinte matriz A de ordem 3.
PROPRIEDADES DE DETERMINANTES
Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada.Notação: det A ou |A|.
ATENÇÃO
=
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REGRAS DE SARRUSPara entender como é feito o cálculo do determinante com a regra de Sarrus, considere a seguinte matriz A de ordem 3
DUPLIQUE AS DUAS PRIMEIRAS COLUNAS
det (𝐴)={−𝐴11 .𝐴22 .𝐴33+𝐴12 .𝐴23 .𝐴31+𝐴13 .𝐴21 .𝐴32𝐴13 .𝐴22 .𝐴31+𝐴11 .𝐴23 .𝐴32+𝐴12 .𝐴21 .𝐴33
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ExemploVeja agora o cálculo do determinante da seguinte matriz B de ordem 3x3.
10
ExemploVeja agora o cálculo do determinante da seguinte matriz B de ordem 3x3.
det (𝐴)=(1 5 −28 3 04 −1 2
1 58 34 −1)
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det (𝐴)=(1 5 −28 3 04 −1 2
1 58 34 −1)
Exemplo
det (𝐴)=(1 5 −28 3 04 −1 2
1 58 34 −1)det (𝐴)={−1.3 .2+5.0 .4+(−2) .8 .(−1)
(−2).3 .4+1.0 . (−1)+5.8 .2
det (𝐴)=6+0+16−(−24+0+80)
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det (𝐴)=6+0+16−(−24+0+80)
Exemplo
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Vamos praticar o que aprendemos para calcular o determinante da matriz 3×3 abaixo.
Exemplo
14
Vamos praticar o que aprendemos para calcular o determinante da matriz 3×3 abaixo.
Exemplo
Repetindo as duas primeiras colunas da matriz.
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Exemplo
det (𝐴)=2.2 .1+3.4 .0+1.1.5−(1.2.0+2.4 .5+3.1.1)
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ExemploVamos praticar o que aprendemos para calcular o determinante da matriz 3×3 abaixo.
Repetindo as duas primeiras colunas da matriz.
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Exemplo
det (𝐴)=1.7 .2+3.8 .3+6.2.6−(6.7 .3+1.8 .6+3.2.2)det (𝐴)=14+72+72−(132+48+8)
18
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
Ex: 1)
2)
Quando todos os elementos de uma fila são nulos
0
000
892
531
0
1605
802
501
19
Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
3)
4)
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
0
918
0921
2318
0921
0
884
201
693
31 LL
31 C.C2
20
Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.
5)
6)
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
0
9114
053
961
0
0957
8770
9713
0531
321 LLL
321 CC.C2
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det(A)=det(At)
Ex: 1)
2)
Propriedades de Determinante.
6121894
32 61218
93
42
,10 Se tsr
zyx
cba
10 então tzc
syb
rxa
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1)Ex:
Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal
2)
Propriedades de Determinante.
3151893
52 31815
39
25
,5 Se tsr
zyx
cba
5 então cba
zyx
tsr
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Ex: 1)
2)
Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no
Propriedades de Determinante.
694
32 306.5
94.5
32.5
,10 Se tsr
zyx
cba
7010.7.7.7.7 então tsr
zyx
cba
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1. Considerando a matriz quadrada A abaixo, e det(A) seu determinante, calcule o valor de 5.det(A).
𝐴=(7 −132 4 )
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26
27
Exemplo
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TEOREMA DE LAPLACEO Teorema de Laplace é um método para calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem n. Normalmente, é utilizado quando as matrizes são de ordem igual ou superior a 4.Esse método foi desenvolvido pelo matemático e físico Pierre-Simon Laplace (1749-1827).
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Como Calcular?O teorema de Laplace pode ser aplicado a qualquer matriz quadrada. Entretanto, para as matrizes de ordem 2 e 3 é mais fácil utilizar outros métodos.Para calcular os determinantes, devemos seguir os seguintes passos:Selecionar uma fila (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior quantidade de elementos igual a zero, pois torna os cálculos mais simples;Somar os produtos dos números da fila selecionada pelos seus respectivos cofatores.
TEOREMA DE LAPLACE
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CofatorO cofator de uma matriz de ordem n ≥ 2 é definido como:Aij = (-1) i + j. Dij
OndeAij: cofator de um elemento aij
i: linha onde se encontra o elementoj: coluna onde se encontra o elementoDij: é o determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j.
TEOREMA DE LAPLACE
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