um objeto matemático e o geogebra

Apresentao do PowerPoint

UM OBJETO MATEMTICA NO Ratravs do GEOGEBRA

TEMA: GEOGEBRA 5.0

TTULO: Transformaes Lineares NO ESPAO uma abordagem algbrica e grfica com o aplicativo Geogebra.

Prof.: Odilthom ES Arrebola (ARREBOLA, O.E.S)Lic. em Mat. , mestre em Edu. Mat.

[email protected] http://odilthom.blogspot.com.br/

SLIDESRESUMO:

Os slides abordam o uso do programa livre Geogebra como ferramenta auxiliar no processo de ensino e aprendizagem de objetos matemticos - Transformaes Lineares, visando o desenvolvimento bsico desse contedo no espao, usando como exemplo a reflexo e rotao do cubo unitrio.

META: Discutir os principais aspectos relacionados utilizao do software como ferramenta auxiliar no ensino da matemtica.

CONSTRUO:TECNOLOGIA OBJETO DE ESTUDO

SOFTWARE GEOGEBRAApresentao

O SOFTWARE GEOGEBRA: Software livre, porttil, fcil de manipular, idealizado e desenvolvido por Markus Hohenwarter Universidade de Salsburg. Projeto foi iniciado em 2001.

SIGNIFICADO: Geogebra um programa com unio de um sistema de geometria dinmica e de um sistema de computao algbrica, i.e., DGS Dynamic Geometry System e CAS Computer Algebric System.

Podemos verificar como usar o Geogebra em:http://pt.slideshare.net/Odilthom/aula-geogebra

GEOGEBRA E O OBJETO DE ESTUDODIRECIONADO A:iniciantes e no iniciantes > Com conhecimento do aplicativo ou no,com ou sem conhecimento do objeto matemtico - TransformaesLineares.

pr-requisitos > Conhecimentos prvios de conceitos matemticos, tais como:

a. Pontos em coordenadas cartesianas e suas operaes, adio entre eles e multiplicao entre um escalar e um ponto.b. Figuras planas.c. Vetores e Matrizes.

MINHA CRENA:Dado que o aplicativo contm o protocolo de construo, cuja funo oferecer ao eleitor os procedimentos de construo do objeto em questo passo a passo , da minha crena que qualquer que seja o usurio, ele sentir motivado para desenvolver as atividades, pois lhe ser possvel construir e reconstruir o objeto de estudo, bastando para isso o querer e a ateno.

TECNOLOGIAA utilizao de ferramentas informticas no processo de ensino e aprendizagem de Matemtica

Geogebra: criado para ser utilizado em ambiente de sala de aula.VERSO: 5.0Anlise da utilizao: consequncias benefcios (?)IDIA: Trabalhar com objetos matemticos tridimensionais.OBJETOS: pontos, retas, vetores, matrizes, funes, polgonos, slidos geomtricos, poliedros, superfcies qudricas, etc.Possibilidades:1. Ao professor > contnuas construes de seu saber pedaggico e tecnolgico;2. Ao aluno >atitudes e aes, construo e reconstruo de conhecimentos..IMPORTANTE: Criao e interao com objetos em coordenadas (x, y, z).

OBJETO DE ESTUDOTPICO DA LGEBRA LINEAR : T.L.O que so transformaes lineares (T.L.)? Funes: domnios e imagens so espaos vetoriais. Preservam: Operaes - adio de vetores e multiplicao de um vetor por um escalar.

Uso: Representao grfica do Geogebra - apresentar as ilustraes dessas transformaes.

Qual o motivo da escolha desse tpico?Porque as TL modelam vrios tipos de movimentos tanto no plano quanto no espao.Mantm fixa a origem.

Matemtica: comunicao representaes. Objetos: conceitos, propriedades, estruturas e relaes escritos, smbolos, desenhos, grficos e notaes.

AS TRANSFORMAES LINEARES E O GEOGEBRANO PLANO - RNO ESPAO - R

RECORDANDO ALGUNS TPICOS BSICOS DA LGEBRA LINEAR.ESPAO VETORIAL REAL

COMBINAO LINEARLINEARMENTE DEPENDENTE E LINEARMENTE INDEPENDENTEBASES E DIMENSO

RECORDANDO ALGUNS TPICOS BSICOS DA LGEBRA LINEAR.C.L., BASE E DIMENSOL.D. OU L.I.FIGURA ILUSTRATIVAFIGURA ILUSTRATIVA

TRANSFORMAES LINEARES EM DIMENSO 3.ESPAO VETORIALC.L., BASE E DIMENSOFIGURA ILUSTRATIVA

FIGURA ILUSTRATIVA

TRANSFORMAES LINEARES EM DIMENSO 3.REPRESENTAO GRFICA DA TRANSFORMAO ROTAO DO PARALELEPPEDOTransformaes especiais usadas em aplicaes prticas e numricas.No espao: R3

TRANSFORMAES LINEARES EM DIMENSO 3.REPRESENTAO GRFICA DA TRANSFORMAO ROTAO E REFLEXO (SIMETRIA) DO CUBO UNITRIO

ESPAO (R3) - 3DO conjunto de todos os vetores de dimenso 3, possvel, adapt-las ao espao, isto , em R3 que representa o conjunto de todos os vetores de dimenso 3. E para tal acontecer basta o utilizarmos o Geogebra em 3D na verso 5.0, que nos permite trabalhar com a geometria tridimensional, em que possvel a criar e interagir com objetos em coordenadas (x, y, z).

Agora, utilizando o aplicativo Geogebra, vemos que este desenha um vetor por meio de um representante desse vetor, assim criaremos situao problema a seguinte figura ilustrativa no prximo slide.

TRANSFORMAES LINEARES EM DIMENSO 3

ATIVIDADE

AE.1 Construa o cubo unitrio, em seguida:a) Faa a rotao desse por um ngulo de em torno do eixo Z;b) Construa a reflexo do cubo unitrio em relao ao plano xz.

UTILIZAO DO APLICATIVO

SOLUO FINAL: dever aparecer a figura ilustrativa da construo ao lado.

TRANSFORMAO LINEAR DO CUBO UnitrioFIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRACONSTRUO:Cria-se 3 pontos, A, B e C.H alguns modos de fazer isso.Neste exemplo:A , B , e B foram feitos digitando entre parnteses, por ex., (1,0,0) e em seguida de enter , o aplicativo nomear automaticamente o ponto, analogamente para os outros dois pontos.Poderia utilizar a barra de ferramenta.O cone:.

Colocando o apontador ou cursor sobre esse, ele mostrar a ao a ser efetuada.FIGURA

TRANSFORMAO LINEAR DO CUBO UnitrioFIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA

CONSTRUO:Do cubo, utilizaremos um dos modos, acionando ajuda ao clicar no canto direito abaixo no cone que dever aparecer no lado direito da rea de trabalho. H outros modos de fazer isso..


D-se um clique no sinal + do 3D e abrir vrias opes, clica-se em cubo, surgiro 3 opes de construo, seleciona-se uma delas, por ex., a 2 e em seguida, no boto colar, aparecer na caixa de entrada: Cubo[ ], agora basta colocar entre colchetes os 3 pontos j construdos, tal que, teremos Cubo[A,B,C], dando enter, ao cubo aparecer, tal qual a figura ilustrativa. No se desespere com a imagem poluda..


Na janela da lgebra h quadriltero contendo as 6 faces ao clicar com o boto direito do mouse ser lanada uma janela contendo cones relativos e suas funes, basta clicar com o boto esquerdo em Exibir Rtulo", ento ser desabilitado o texto da figura. Esse procedimento ter de ser feito em todas as 6 faces. Analogamente para segmento e suas 12 arestas. Agora, temos a figura do cubo limpa.

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Agora, temos a figura do cubo limpa. Somente contando os rtulos dos pontos que so 8 vrtices do cubo.

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Abre-se a janela de visualizao clicando na barra de menus em Exibir naquele item. Em seguida em controle deslizante ou na entrada, digitando = 45 , por ex., e d enter.

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Para fins didticos, fecharemos a janela de visualizao e abriremos protocolo de construo. Agora construiremos 3 vetores, utilizando o cone da barra de ferramenta vetor .Tambm poderamos faz-los atravs da entrada digitando Vetor e apareceria diversas opes, ento escolheramos Vetor[], basta colar o ponto e teramos Vetor[B] por exemplo e o aplicativo j o mostraria na figura.


Matrizes > usaremos a janela de entrada para constru-las.Digitaremos chaves e dentro dela mais 3 chaves separadas por vrgula, usando os referenciais tericos das matrizes cannicas da reflexo e da rotao. Vejas como fica no protocolo de construo.


As matrizes cannicas esto destacadas em retngulos vermelhos. Segue abaixo a figura ilustrativa.

TRANSFORMAO LINEAR DO CUBO UnitrioFIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRAUtilizamos a barra de ferramentas, o cone para digitar o texto que aparecer na janela de visualizao 3D.Na caixa de entrada digitamos MRy, o operador multiplicativo * e o ponto G, obtendo M= MRy*G, com M sendo a reflexo de G.Para obter a rotao do cubo, utilizaremos o dcimo cone das transformaes, selecionado girar.

Tambm poderamos ter utilizado a caixa de entrada. Digitando:Girar [, ,]=Girar[CU,,b]

Figura ilustrativa que aparecer


Das construes de n.s 16 a 20, bastariam apenas a 16 e 20, porque a 16 representa o vetor (x, y, z)=(1,1,1) que gerou o ponto reflexo M=(1,-1,1) e o n 20 do protocolo de construo representa o plano c: x=0 (pl yz) (esta ltima construo serve apenas para dar a ideia de 3D).


Faremos agora a construo do plano xz, para isso, basta digitar na caixa de entrada y=0 e dar enter, assim procedendo, surgir na janela da lgebra , b: y=0. As cores so selecionadas em uma paleta de cores em propriedades do objeto que construste Basta selecionar o objeto na janela da lgebra ou na janela da visualizao. Vejas o prximo slide.

TRANSFORMAO LINEAR DO CUBO UnitrioFIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRAUtilizaremos o boto direito do mouse 2 vezes:1 no Objeto

2 em Propriedades e teremos a figura a seguir:


Agora resolveremos a reflexo ou simetria. Usaremos a caixa de entrada uma da quatro opes. Por exemplo a selecionado com o retngulo vermelho. Reflexo[, ]=Reflexo[Cu, b]


Para finalizar, utilizaremos a caixa de entrada para construir o vetor obtido pela reflexo digitando Vetor[]=Vetor[M] cujo cone : O cone de texto que aparecer na janela de visualizao. Depois, na caixa de entrada, digitaremos o produto M*G= I (ponto que representa a rotao). O vetor que representa a rotao Vetor[]=Vetor[I].

TRANSFORMAO LINEAR DO CUBO UnitrioFIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRAMovimentando no seletor, observe o que acontecer quando: = 0? = 90? =180? = 270? = 360?

Faa conforme o modelo:Para = 270Girar[Cu, , Eixo Z] coincide com a Reflexo[Cu, b]Ou seja: G R

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.

ANTON, H.; RORRES, C. lgebra Linear com Aplicaes 8. Ed. Porto Alegre: Bookman, 2002.ARAJO, L.C.L. & NBRIGA, J.C.C. Aprendendo matemtica com o geogebra. So Paulo: Editora Exato, 2010.ARREBOLA, O.E.S. Uma sequencia didtica sobre transformaes lineares em um ambiente de geometria dinmica. Apresentao de mestrado. Universidade Bandeirante Anhanguera de So Paulo, So Paulo, 2013.ARREBOLA, O.E.S. GeoGebra Um Software Educativo til como ferramenta auxiliar ao Ensino da Matemtica em diversos nveis. Apresentao em slide no HTPC numa escola pblica a professores do E.M. Casqueiro, Cubato, 2010. Disponvel em: http://pt.slideshare.net/Odilthom/aula-geogebraARREBOLA, O. E.S. Softwares dinmicos como ferramenta auxiliar no ensino e aprendizagem da matemtica. Oficina realizada em 24 de maio de 2012 na Semana da Matemtica e Tecnologia no Ensino no municpio de Guarulhos - Prefeitura de Guarulhos So Paulo. Disponvel em: http://pt.slideshare.net/Odilthom/smte-oficina-odilthom-13081633

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

CARVALHO, J. P. Introduo lgebra Linear. Srie do IMPA - Instituto de Matemtica Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 1974.GEOGEBRA pgina com exemplos interativos, disponvel em . Acesso em abril de 2008..KOLMAN, B. & HILL, D.R. Introduo lgebra Linear: com aplicaes, 8 Ed. Rio de Janeiro: Editora LTC. 2006.LAY, D. C. lgebra Linear e Aplicaes, 2. Ed. So Paulo. Editora LTC. 1999.STEINBRUCH, A. lgebra Linear, 2. ed. So Paulo. Makron Books. 2000

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