Edital Pibid n°11 /2012 CAPES

PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA - PIBID

Plano de Atividades (PIBID/UNESPAR)

Tipo do produto: Plano de aula

1 – IDENTIFICAÇÃO

SUBPROJETO MATEMÁTICA/FECEA: Uma iniciativa concreta ao processo de formação do

Professor de Matemática

COORDENADOR(A):

Prof. supervisor: Alessandra Grizelini

Nome da Escola: Colégio Estadual Padre José Canale – Ensino Fundamental e Médio.

Licenciandos Bolsitas

Nome E-mail Curso de licenciatura

Josias Correia Passos josias_cp@hotmail.com Matemática

Julio Cezar Rodrigues de Oliveira julioeconomist@hotmail.com Matemática

Oseas Pereira dos Santos menotyp@hotmail.com Matemática

DATAS: 14/08/13; 21/08/2013; 28/08/2013; 11/09/2013; 02/10/2013.

DURAÇÃO: 7 a 8 aulas.

PARTICIPANTES: 6º e 7º anos1

1. TEMA

O estudo de equações do primeiro grau por meio de atividades de investigação

matemática.

1 O presente Plano de Aula foi adaptado a cada uma das turmas (6° e 7° anos) de acordo com os

conteúdos que os alunos já haviam estudado. Alguns conteúdos conseguimos avançar com os alunos, pois

eles estavam estimulados e conseguiram compreendê-los.

2. OBJETIVOS GERAIS

Reconhecer problemas que podem ser solucionados por meio de equações

do primeiro grau e resolvê-los, interpretando os resultados encontrados.

.

2.1 Objetivos específicos

Compreender o princípio de equivalência da igualdade e o conceito de

incógnita.

Utilizar e interpretar a linguagem algébrica para expressar valores

numéricos através de incógnitas.

Identificar uma equação como uma sentença matemática expressa por uma

igualdade que apresenta um ou mais elementos desconhecidos.

Verificar se um número dado é ou não solução de uma equação dada.

Reconhecer os dados em um problema que pode ser descrito por uma

equação do primeiro grau e ser capaz de construir essa equação.

Encontrar a raiz de uma equação do primeiro grau e interpretar essa

solução em um contexto dado.

3. CONTEÚDOS

Números e Álgebra.

4. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

CONTRATO DIDÁTICO

Para dar início às atividades com a turma, realizaremos um contrato didático

com os alunos, no qual deixaremos claros nossos objetivos com relação à turma, nossas

expectativas, qual será a dinâmica da aula e a forma como ela será conduzida, e também

como será realizada a avaliação. Abordaremos os seguintes tópicos:

O tempo que trabalharemos com eles será muito curto, portanto vamos

contar com a participação de todos para conseguirmos o melhor

aproveitamento;

Pediremos que eles não utilizem os celulares, pois pode ser que eles não

consigam aprender se estiverem distraídos enquanto mexem nos

aparelhos;

Falaremos também para evitar conversas de assuntos que não são

pertinentes ao tema que estivermos estudando, principalmente em

momentos de explicação;

Deixaremos claro que todos têm direito a responder, desde que respeitem

enquanto o outro está falando, então para que consigamos que todos se

expressem e sejam ouvidos, é necessário que levantem a mão quando

desejarem levantar algum assunto ou alguma dúvida;

Informaremos que em nossas aulas haverá momentos que eles

trabalharão individualmente, outros em dupla e também coletivamente;

Avisaremos também que todos os conteúdos que estudaremos nas

próximas aulas farão parte da avaliação, que será realizada em um

momento posterior.

PARA COMEÇAR...

Nosso primeiro passo será iniciar a aula dizendo para os alunos que faremos um

jogo com a turma, chamado “Descubra a Regra”, e escreveremos no quadro:

Qual é a regra?

Linha 1 5 11 8 1 4 x

Linha 2 7 13 10 3 6 ?

A primeira questão que iremos levantar é:

É possível descobrir o que está acontecendo com os números das colunas

quando passamos da linha 1 para a linha 2?

Deixaremos os alunos pensarem e acreditamos que eles sejam capazes de notar

que da Linha 1 para a Linha 2, os números são somados em duas unidades.

Ou seja:

Linha 1 5 11 8 1 4 x

Linha 2 5 + 2 = 7 11 + 2 = 13 8 + 2 = 10 1 + 2 = 3 4 + 2 = 6 x + 2

Para introduzir a ideia da incógnita, explicaremos para os alunos que, quando

nos deparamos com um valor desconhecido, podemos utilizar um diferente símbolo

para representá-lo, pois se utilizarmos um número, estaremos escolhendo um valor

aleatório que pode não ser o valor desse número desconhecido. Com isso, vamos propor

a utilização de letras para representar os números desconhecidos, como por exemplo, a

letra x. E se colocarmos o x na Linha 1, então na Linha 2 o resultado obtido será x + 2.

Em seguida, colocaremos um exercício análogo, com os seguintes dados:

Linha 1 7 1 5 4 6 x

Linha 2 15 3 11 9 13 ?

Questionaremos a turma sobre a regra que “transforma” o número da Linha 1 no

número da Linha 2. Vamos testar as hipóteses que os alunos apontarem, até chegarmos

a ideia que o número da Linha 2 representa o dobro do número da Linha 1, acrescentado

de uma unidade, ou seja:

Se o número da Linha 1 é x, então o número da Linha 2 é 2.x + 1.

Testaremos essa fórmula em todos os valores da Linha 1 para verificar que de

fato teremos a validade dela. Vamos perguntar também qual será o número da Linha 2,

se o número da Linha 1 for:

Linha 1 2 3 15 11 a x

Linha 2 2x + 1

Nessa etapa, esperamos que os alunos notem que basta efetuar a substituição do

número da Linha 1 na fórmula encontrada, ou que eles sejam capazes de calcular

mentalmente lembrando da relação entre os números da Linha 1 com a Linha 2. As

respostas são:

Linha 1 2 3 15 11 a x

Linha 2 5 7 31 23 2.a+1 2x + 1

Não apagaremos o quadro, pois retornaremos a esse exemplo em um momento

posterior.

JOGO: DESCUBRA A REGRA

Em seguida vamos propor um jogo para os alunos que será realizado em duplas,

no qual um aluno tenta adivinhar qual é a regra que relaciona o número que ele fala com

o número que o seu companheiro responde. Por exemplo, sejam os alunos A e B os

participantes do jogo. Para começar, o aluno A sorteia um papel que traz uma regra,

como na figura abaixo:

O triplo de um número, ou 3.x.

O aluno não deve dizer a regra para o aluno B, que tentará descobrir essa regra.

Para isso, o aluno B diz um número, por exemplo, 2, ao passo que o aluno A deve

retornar o resultado 6, que representa o triplo de 2. Então o aluno B registra o número

que disse e o número que foi respondido, em uma tabela semelhante àquela apresentada

no início da aula. O aluno B diz outro número, digamos 7, e o aluno A responde 21, e

assim sucessivamente, até que o aluno B consiga acertar a fórmula que relaciona a linha

1 com a linha 2, respeitando o número máximo de cinco tentativas.

O objetivo do jogo é trabalhar com a ideia da incógnita, e por meio de algumas

relações, verificar se os alunos conseguem criar uma fórmula que relacione as duas

linhas.

Cada aluno vai perguntar três vezes e responder três vezes, e eles vão registrar

suas respostas para que no final tenhamos um respaldo sobre como está o desempenho

deles em relação ao conteúdo.

Para finalizar o jogo, faremos a etapa final com todos os alunos, na qual um dos

professores fará o papel do aluno A e os alunos farão o papel do aluno B.

DE VOLTA AO PROBLEMA INICIAL...

Retornando ao exemplo das Linhas, no qual a lei de formação é 2.x+1,

colocaremos mais uma tabela no quadro com valores na Linha 2 e perguntaremos aos

alunos se eles conseguem obter os números da Linha 1.

Linha 1 x

Linha 2 21 25 17 1 19 2.x + 1

Nosso objetivo nesse ponto é que os alunos tentem fazer o “caminho de volta”,

partir da Linha 2 e chegar na Linha 1. Deixaremos que eles tentem por um tempo, para

analisar se conseguem notar que será necessário realizar as operações inversas àquelas

realizadas na etapa anterior, isto é, primeiro eles terão que subtrair um unidade do

número da Linha 2, para em seguida dividir esse resultado por dois.

Vamos utilizar os resultados que eles encontrarem para verificar com a fórmula

se eles estão corretos, para na sequência introduzir uma nova ferramenta, a equação.

O primeiro passo será introduzir o sinal de igualdade “=”, que representa a

equivalência de duas quantidades. Para isso, construiremos a seguinte igualdade:

21 = 2.x + 1

Deixaremos claro que o sinal de igualdade garante que ambos os lados referem-

se a mesma quantidade, e que se modificarmos um lado, o outro deve ser modificado da

mesma forma. Perguntaremos novamente qual é o nosso intuito (esperando que eles

respondam que é encontrar o valor de x), e diremos que para conseguir isso, o x deveria

estar isolado na equação. Ressaltaremos também que para isolar o x, é possível que

realizemos várias operações e não somente uma.

Com o objetivo de isolar o x, ouviremos as sugestões dos alunos e conforme eles

argumentam, vamos realizando as operações no quadro. A princípio, imaginamos duas

possíveis soluções que eles podem apresentar:

1ª Possível Solução

2ª Possível Solução

1.221 x

Subtraindo 1 em ambos os lados da igualdade.

11.2121 x

x.220

Dividindo ambos os lados da igualdade por 2.

2

.2

2

20 x

x10 ou 10x

1.221 x

Dividindo ambos os lados da igualdade por 2.

2

1.2

2

21

x

Separando a soma das frações.

2

1

2

.2

2

21

x

Subtraindo ½ em ambos os lados da igualdade.

2

1

2

1

2

1

2

21 x

x2

20

x10 ou 10x

Pretendemos mostrar as duas soluções para os alunos, para que eles observem

que não existe apenas uma forma de resolver uma equação, mas sim a ideia de optar

pelo modo que consideramos mais fácil e prático. Nas soluções apresentadas acima, se

efetuarmos a subtração primeiro, pode ser mais fácil realizar a divisão de 20 por 2, pois

20 é múltiplo de 2, mas essa é apenas uma questão de escolha, pois em ambos as

soluções, o resultado será o mesmo.

Lembraremos também que o resultado encontrado para o valor de x é chamado

de raiz da equação, ou seja, a raiz de uma equação do primeiro grau é o número que

satisfaz a equação.

Antes de encerrar essa etapa da aula, distribuiremos para os alunos os seguintes

exercícios (um por vez), e vamos pedir que eles tentem resolver individualmente e, caso

tenham dúvidas, eles poderão nos questionar.

1) Descubra a regra nas quatro primeiras colunas e complete as tabelas:

Tabela 1

Linha 1 2 3 5 10 7 4 x

Linha 2 10 14 22 42 34

Tabela 2

Linha 1 10 14 8 2 18 x

Linha 2 4 6 3 0 10 5

Tabela 3

Linha 1 1 2 3 4 5 8 x

Linha 2 9 14 19 24 34

Tabela 4

Linha 1 8 32 40 100 200 x

Linha 2 1 7 9 24 3 12

Soluções

Tabela 1

Linha 1 2 3 5 10 7 8 4 x

Linha 2 10 14 22 42 30 34 18 4x+2

Tabela 2

Linha 1 10 14 8 2 18 22 12 x

Linha 2 4 6 3 0 8 10 5 x/2 - 1

Tabela 3

Linha 1 1 2 3 4 5 8 6 x

Linha 2 9 14 19 24 29 44 34 5x+4

Tabela 4

Linha 1 8 32 40 100 16 52 200 x

Linha 2 1 7 9 24 3 12 49 x/4 - 1

2) Complete a tabela com as expressões algébricas em função do número

desconhecido x.

Um número desconhecido

O dobro desse número

A metade desse número

O quádruplo desse número menos 8

A sétima parte desse número somada

com 12

Esse número elevado ao quadrado

multiplicado por 13, e somado com 9

O número somado com a sua terça

parte

O quadrado de um número divido por 6

Nesse exercício, trabalharemos o conceito de incógnita e como podemos

escrever expressões algébricas em função de um valor desconhecido.

Soluções

Um número desconhecido x

O dobro desse número 2.x

A metade desse número x/2

O quádruplo desse número menos 8 4.x-8

A sétima parte desse número somada

com 12 x/7 + 12

Esse número elevado ao quadrado

multiplicado por 13, e somado com 9 13.x

2+9

O número somado com a sua terça

parte x + x/3

O quadrado de um número divido por 6 x2/6

Antes de passar o próximo problema para os alunos, informaremos que faremos

uma adivinhação com eles. Escolheremos um aluno e vamos pedir pra ele fazer o

seguinte:

Pense em um número, depois o multiplique por 2, subtraia 2 do resultado e em

seguida, divida o resultado por 2. Qual resultado você obteve?

Vamos supor que o aluno tenha obtido 11. Então diremos a ele que o número

que ele pensou foi 12. Faremos o mesmo procedimento com mais alguns alunos, até

eles notarem que o número pensado é o resultado obtido somado com 1. Perguntaremos

então se eles sabem o porquê deste fato, para então propor um exercício que vai

solucionar esse problema.

3) Pensei em um número e o multipliquei por 2, em seguida subtraí 2 do

resultado, e por último dividi esse número por 2, obtive 5.

a) Que equação pode representar a situação acima?

b) Que número pensei?

Uma possível solução

Para responder a letra a), pediremos para os alunos escolherem um símbolo para

o número pensado, para em seguida construirmos a equação:

52

22

x

No caso da letra b), resolveremos a equação do seguinte modo:

2.52.2

22

x 102.2 x 21022.2 x

6x 2

12

2

.2

x 12.2 x

Veremos que nesse caso, a resposta também foi o número pensado somado com

1, e voltaremos a “adivinhação” para desvendar esse mistério.

Para isso, questionaremos os alunos a respeito das duas variáveis dessa situação,

que são o número pensado inicialmente e o resultado obtido, chamando o número

pensado de x e o resultado obtido de N.

Reescreveremos a equação:

Nx

2

22

E isolaremos o N com o auxílio dos alunos, procedendo da seguinte maneira:

2.2.2

22N

x

Nx .22.2 2.222.2 Nx

1 Nx 2

2

2

.2

Nx

2

2.2

2

.2

Nx

Com isso, chegamos à conclusão de que o número pensado pode ser obtido ao

somar 1 com o resultado das operações realizadas sobre o número pensado.

Na sequência, vamos propor o seguinte problema:

4) A balança da figura está em equilíbrio

com bolas e saquinhos de areia em

cada um de seus pratos. As bolas são

todas iguais e os saquinhos também. O

peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas bolas?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6

Neste problema, deixaremos os alunos tentarem resolver a seu modo, que pode

ser por meio de uma ilustração, uma equação ou ainda de outra maneira que não

conseguimos prever. Se nenhum aluno conseguir ao menos começar o problema, vamos

sugerir que eles imaginem que a balança sempre deva estar em equilíbrio, por exemplo,

se tirarem um saquinho de areia do lado esquerdo, para que a balança continue em

equilíbrio, será necessário tirar um saquinho de areia do lado direito também. Vamos

reler o problema com calma, para focar em nosso objetivo, que é descobrir quantas

bolas são necessárias para obter o mesmo peso de um saquinho.

Pretendemos com esse problema analisar as soluções que os alunos

apresentarem, esperando que eles mostrem uma solução por meio de uma equação,

semelhante à solução a seguir:

Uma possível solução

Podemos chamar o peso de cada saquinho de s e o peso de cada bola de b. A

balança está equilibrada, logo podemos escrever as quantidades de ambos os lados

como uma equação:

bsbs .10.2.4.5

Retirar dois saquinhos em ambos os lados da balança é o mesmo que subtrair 2.s

em ambos os lados da equação, obtendo assim:

bbs .10.4.3

Agora, subtraímos 4.b em ambos os lados da igualdade (ou retiramos 4 bolas dos

dois pratos da balança), chegando a:

Fonte: OBMEP – Banco de Questões (2006)

bs .6.3

Nessa última igualdade, podemos dividir ambos os lados da equação por 3,

obtendo:

bs .2

Outro raciocínio para a resolução do problema é: retirando-se dois saquinhos e

quatro bolas de cada prato, a balança continua equilibrada, e restam 3 saquinhos no

prato à esquerda e 6 bolas no prato à direita. Logo:

peso de 3 saquinhos = peso de 6 bolas

Daí concluímos que o peso de 1 saquinho é igual ao peso de 2 bolas.

INTERPRETANDO PROBLEMAS E RESOLVENDO EQUAÇÕES...

Na próxima etapa da aula, entregaremos os seguintes exercícios para os alunos

(um de cada vez, para que eles se concentrem no problema que toda a turma está

tentando resolver).

5) André, Bruno e Carlos juntaram suas figurinhas e contaram a quantidade que

possuíam, totalizando 46 figurinhas. André disse que tem x figurinhas,

Bruno ouviu e comparando o seu número de figurinhas com o número de

figurinhas de André, afirmou que possui x+3 figurinhas, e Carlos falou que

possui apenas x-2 figurinhas. Quantas figurinhas possui cada um dos

meninos?

Uma possível solução

Pelos dados do problema, temos que:

Garoto André Bruno Carlos

N° de Figurinhas x x+3 x-2

Somando todas as figurinhas, obtemos 46 no total, podendo escrever a

seguinte equação:

15

3

45

3

.3

45.3

14611.3

461.3

4623

x

x

x

x

x

xxx

6) Divida R$ 400,00 entre Danilo, Eduardo e Fábio, de modo que Fábio receba

R$ 50,00 a menos que Danilo, e Eduardo receba R$ 150,00 a mais do que

Danilo. (Sugestão: considere que Danilo receberá x reais).

Uma possível solução

Supondo que Danilo receberá x reais, temos que Fábio receberá x-50 e

Eduardo receberá x+150. Como o valor total do dinheiro é R$ 400,00,

podemos montar a seguinte equação:

x

x

x

x

x

xxx

100

3

.3

3

300

.3300

100100.3100400

100.3400

15050400

Se Danilo vai receber x reais, então ele receberá R$ 100,00. Fábio receberá

100-50 reais, ou seja, R$ 50,00. E Eduardo receberá 100+150, ou seja, R$

250,00.

Somando as três quantias, obtemos:

40025050100

Assim verificamos que a solução satisfaz a equação, logo ela é uma raiz da

equação.

7) Determine a raiz de cada uma das seguintes equações:

a) 251.4 x b) 386.34.9 xx

c) 21)3.(3 x d) 7)1.(5)1.(2 xx

Uma possível solução

a)

6

4

24

4

.4

24.4

12511.4

251.4

x

x

x

x

x

b)

3

12

36

12

.12

36.12

23822.12

382.12

386.34.9

x

x

x

x

x

xx

c)

)2(

3

6

3

.3

6.3

8288.3

28.3

219.3

21)3.(3

x

x

x

x

x

x

x

d)

7

10

7

10

7

.7

10.7

73.7

75.52.2

7)1.(5)1.(2

x

x

x

x

xx

xx

DESAFIO

As balanças (1) e (2) da figura abaixo estão em equilíbrio. Sabe-se que todos os

triângulos têm o mesmo peso;todos os quadrados também têm o mesmo peso, assim

como os círculos. Quantos quadrados devem se colocados no prato direito da balança

(3) para que ela também fique em equilíbrio?

Sugestão:

É possível chamar o peso de cada uma das figuras de uma letra, por exemplo, o peso do

triângulo pode ser t, o peso do quadrado pode ser q e o peso do círculo pode ser c.

Uma possível solução

Vamos denotar o peso de um triângulo por t, de um quadrado por q, e de um círculo por

c. Na primeira balança, temos qct 613 ; na segunda temos qct 842 , o que é

equivalente a qct 421 . Logo qqctct 46)21()13( , ou seja, qct 1034 .

Logo será necessário colocar 10 quadrados no prato direito da balança (3) para que ela

fique em equilíbrio.

5. RESULTADOS ESPERADOS E AVALIAÇÃO

Nossa perspectiva de avaliação nesse plano de aula tem como objetivo obter

informações sobre o estado de conhecimento do aluno sobre certa noção estudada e

utilizar seus conhecimentos prévios nas tarefas que serão propostas. Pretendemos

analisar o quanto os alunos terão aprendido no decorrer dessa aula por meio do diálogo

e da interação (professores-alunos e alunos-alunos).

Com os exercícios que serão propostos, investigaremos quais são as maiores

dificuldades dos alunos, e por meio delas introduziremos as técnicas na resolução de

equações do primeiro grau, além de trabalhar a interpretação de problemas e a utilização

de letras para representar os valores desconhecidos.

Fonte: OBMEP – Banco de Questões (2010)

Dessa forma, acreditamos que podemos auxiliar os alunos a descobrirem suas

próprias estratégias de resolução, tendo confiança em sua argumentação e discernimento

para refletir se estão ou não aprendendo o que estudam na sala de aula, para saberem o

que precisam para alcançar seus objetivos.

6. BIBLIOGRAFIAS CONSULTADAS

Banco de Questões da OBMEP (2006). Disponível em:

<< http://www.obmep.org.br/banco.htm >>

7. CONTRIBUIÇÃO PARA A FORMAÇÃO DOCENTE

O desenvolvimento dessas atividades nos possibilitou observar como os alunos

ficaram motivados ao observar que podem aprender matemática com suas próprias

estratégias.

A maioria dos alunos conseguiu realizar as atividades com o auxilio dos

bolsistas e os que tinham maior facilidade ajudavam aqueles que estavam com

dificuldade, com isso foi possível mostrar que o trabalho em grupo facilitaria a

resolução.

O PIBID valoriza a formação docente, inserindo acadêmicos de licenciatura,

que é o nosso caso, na realidade escolar, por meio da reflexão conjunta com professores,

supervisores, bem como a observação e participação do ambiente escolar.

Tabelas com o Resumo dos Planos

Indicador de atividade Objetivo da atividade

Descrição atividade (como

esta será realizada -

metodologia)

1.

Reconhecer problemas que podem

ser solucionados por meio de

equações do primeiro grau e

resolvê-los, interpretando os

resultados encontrados.

A tendência metodológica

que norteia o

direcionamento da aula é a

Investigação Matemática.

Indicador da

atividade

Resultados esperados

1.

Com essa sequência de tarefas esperamos que os alunos

adquiram mais confiança em seu raciocínio, tornando-se mais

criativos, e consigam compreender padrões e construir

expressões algébricas que determinam as regras que esses

padrões seguem, assim como resolver equações e encontrar as

raízes dessas equações.

Indicador da atividade Contribuição para a Formação Docente

1.

Essa sequência de tarefas com aos alunos nos possibilitou

observar as dificuldades encontradas durante uma aula e

alguns caminhos que podemos utilizar para superá-las, tanto

por parte dos bolsistas como dos alunos participantes da

oficina. Essa sequência foi gratificante, pois notamos o quanto

os alunos ficavam satisfeitos quando conseguiam resolver as

tarefas propostas, e sentiam-se estimulados a tentar novos

desafios.

Indicador da atividade

PLANO DE ATIVIDADES DO

COORDENADOR

(Reuniões Semanais)

1.

PROFESSOR FÁBIO 2.

3.

4.

5.

6.

7.

Observação: as reuniões semanais da equipe devem contemplar as atividades planejadas pelos

coordenadores .

CRONOGRAMA 2013

Atividade Mês de Início Mês de Término

1.

Agosto Novembro

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Apucarana, ____ de _____________________ de 2013.

Professor Supervisor

Coordenador Subprojeto