Edital Pibid n°11 /2012 CAPES

PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA - PIBID

Plano de Atividades (PIBID/UNESPAR)

Tipo do produto: Plano de aula

1 – IDENTIFICAÇÃO

SUBPROJETO MATEMÁTICA/FECEA: Uma iniciativa concreta ao processo de formação do

Professor de Matemática

COORDENADOR(A):

Prof. supervisor: Alessandra Grizelini

Nome da Escola: Colégio Estadual Padre José Canale – Ensino Fundamental e Médio.

Licenciandos Bolsitas

Nome E-mail Curso de licenciatura

Josias Correia Passos josias_cp@hotmail.com Matemática

Julio Cezar Rodrigues de Oliveira julioeconomist@hotmail.com Matemática

Oseas Pereira dos Santos menotyp@hotmail.com Matemática

DATAS: 19/06/2013 – 26/06/2013 – 14/08/2013 – 21/08/2013

DURAÇÃO: 1 a 2 aulas.

PARTICIPANTES: 6º e 7º anos1

1. TEMA

O pensamento algébrico é um assunto que pode suscitar variadas atividades de

recreação matemática. Desde sequências lacunadas muito simples a deduções de leis

gerais que definem o comportamento matemático de um fenômeno de natureza

geométrica ou numérica, muitas são a explorações a fazer.

1 O presente Plano de Aula foi adaptado a cada uma das turmas (6° e 7° anos) de acordo com os

conteúdos que os alunos já haviam estudado. Alguns conteúdos conseguimos avançar com os alunos, pois

eles estavam estimulados e conseguiram compreendê-los.

2. OBJETIVOS GERAIS

Facilitar o entendimento de vários temas da matemática envolvendo a

expressão de fatos genéricos e explorar as diversas estruturas algébricas fazendo com

que o aluno generalize seu pensamento e simplifique questões.

.

2.1 Objetivos específicos

Utilizar a investigação matemática para:

Identificar regularidades inferidas com base em padrões.

Indicar uma lei de formação para a sequência algébrica.

3. CONTEÚDOS

Números e Álgebra

4. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

No desenvolvimento da aula utilizaremos investigação matemática para o

encaminhamento metodológico, buscando uma participação ativa dos alunos, para que

eles possam construir seu próprio conhecimento.

Esta tendência para o ensino da matemática pode ser trabalhada sem grandes

dificuldades e demanda de tempo. Na investigação matemática o sujeito pode se

programar em como irá começar, porém jamais saberá como irá acabar.

Pelo senso comum Investigar é procurar conhecer o que não se sabe. Nesta

tendência as questões são mais abertas que em exercícios e problemas, as questões não

estão bem definidas, cabendo a quem investiga um papel fundamental na sua definição,

porém ela está muito mais ligada à postura do professor do que nos enunciados

propriamente ditos. O sujeito é chamado a pensar matematicamente, tanto na elaboração

de conjecturas e realização de provas, como também durante a discussão e formalização

das ideias.

Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver uma pré-álgebra, é

especialmente nas séries finais do ensino fundamental que os trabalhos algébricos serão

ampliados; trabalhando com situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes

funções da álgebra (como modelizar, resolver problemas aritmeticamente insolúveis,

demonstrar), representando problemas por meio de equações (identificando parâmetros,

variáveis e relações e tomando contato com fórmulas, equações, variáveis e incógnitas)

e conhecendo a “sintaxe” (regras para resolução) de uma equação (BRASIL, 1997).

Para Ponte, Brocardo e Oliveira 2006:

O conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-

aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade

matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora

educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na

formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações,

mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação

com os seus colegas e o professor (p.23).

Através das cópias que entregaremos aos alunos sobre generalizações, e com

perguntas que faremos a eles, temos como objetivo que eles consigam construir suas

ideias para chegarem de sua maneira aos resultados esperados.

Esperamos que os alunos consigam generalizar as diferentes sequências que

serão apresentadas, e com isso vamos propor exercícios diferentes, mas que tenham o

mesmo objetivo. Conforme aparecerem as dificuldades dos alunos, iremos ajudá-los no

que for necessário, mas deixando que eles apresentem os resultados encontrados.

5. RESULTADOS ESPERADOS

O pensamento algébrico é um assunto que pode suscitar variadas atividades de

recreação matemática. Desde sequências muito simples a deduções de leis gerais que

definem o comportamento matemático de um fenômeno de natureza geométrica ou

numérica, muitas são a explorações a fazer.

Nossa intenção é que no final das atividades os alunos sejam capazes de

estabelecer conexões entre alguns padrões e a Álgebra, possibilitando investigar uma lei

de formação para continuar determinada sequência e chegar à generalização de todos os

termos pertencentes a ela.

6. BIBLIOGRAFIAS CONSULTADAS

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais :

matemática / Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília MEC/SEF, 1997.

PONTE, João Pedro; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações

Matemáticas na Sala de Aula. 1ª edição; Belo Horizonte: Autêntica, 2006.

SAAB, Maria Aparecida Cirino; NISHI, Simone Perpétuo; SOUZA, Angela Giseli.

Matemática: Livro do professor, 7º ano. Curitiba: Positivo, 2007.

VALE, I.; PIMENTEL, T. Padrões: um tema transversal no currículo. Revista

Educação e Matemática, Portugal, v. 85, p. 14-20, nov/dez, 2005.

7. CONTRIBUIÇÃO PARA A FORMAÇÃO DOCENTE

O desenvolvimento dessas atividades nos possibilitou observar como os alunos

ficaram motivados em realizar uma atividade de uma forma diferente.

A maioria dos alunos conseguiu realizar as atividades com o auxilio dos

bolsistas e os que tinham maior facilidade ajudavam aqueles que estavam com

dificuldade, com isso foi possível mostrar que o trabalho em grupo facilitaria a

resolução.

O PIBID valoriza a formação docente, inserindo acadêmicos de licenciatura,

que é o nosso caso, na realidade escolar, por meio da reflexão conjunta com professores,

supervisores, bem como a observação e participação do ambiente escolar.

8. ANEXOS (FOTOS, VÍDEOS, ETC).

8.1 Tarefas propostas

Tarefa 1

Observe a sequência de figuras abaixo:

Depois de entregar as cópias, pediremos que os alunos observem as figuras da sequência

e respondam os três itens a seguir.

a) Desenhe a 4ª figura;

b) Diga quantos quadradinhos escuros têm a 10ª figura, sem construí-la;

c) Complete a tabela referente a sequência dada.

N° DE ORDEM DA

FIGURA

N° DE

QUADRADINHOS

PRETOS

Nº DE

QUADRADINHOS

BRANCOS

TOTAL DE

QUADRADINHOS

1

2

3

4

5

N

1° 2° 3°

Tarefa 2

Observe as sequências de figuras a seguir e preencha as tabelas:

Sequência 1

1°

2°

3°

N° DE ORDEM DA

FIGURA

N° DE

QUADRADINHOS

PRETOS

Nº DE

QUADRADINHOS

BRANCOS

TOTAL DE

QUADRADINHOS

1

2

3

4

5

N

Sequência 2

1°

2°

3°

N° DE ORDEM DA

FIGURA

N° DE

QUADRADINHOS

PRETOS

Nº DE

QUADRADINHOS

BRANCOS

TOTAL DE

QUADRADINHOS

1

2

3

4

5

N

Sequência 3

1° 2° 3° 4°

N° DE ORDEM DA

FIGURA

N° DE

QUADRADINHOS

PRETOS

Nº DE

QUADRADINHOS

BRANCOS

TOTAL DE

QUADRADINHOS

1

2

3

4

5

N

Tarefa 3

Lucas ficou sem parceiro para jogar bolita (bolinhas de gude); então pegou sua coleção

de bolinhas e formou uma sequência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura:

1° 2° 3°

Supondo que Lucas conseguiu formar 10 “T” seguindo o mesmo padrão. Considere esse

padrão para completar a tabela a seguir e responda as questões na sequência:

Posição do “T” 1ª 2ª 3ª 4ª n-ésima

Número de

Bolinhas de gude

a) Quantas bolinhas foram necessárias para formar o décimo “T”?

b) Qual é a expressão algébrica que possibilita determinar o número de bolinhas

necessárias para formar o n-ésimo “T”?

Tarefa 4

Observe a sequência, complete a tabela e, em seguida, responda às questões:

Complete a tabela que relaciona o número de latinhas com a posição ocupada na

sequência:

Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª

Quantidade

de Latinhas

a) Quantas latinhas haverá na 6ª posição ?

b) É possível encontrar uma fórmula para calcular o número de latinhas em uma

pilha de ordem n? Se sim, qual é essa fórmula.

Tarefa 5

Observe esta sequência de números em forma de retângulo.

► ► ► ►

► ► ► ► ► ► ►

► ► ► ► ► ► ► ► ►

R1 = 2 R2 = 6 R3 = 12

a) Escreva os próximos dois números da sequência.

b) Qual o valor de R20?

c) Descubra a fórmula que dá o valor de Rn.

Tarefa 6

Uma sequência de mosaicos quadrados é construída com azulejos quadrados pretos e

brancos, todos do mesmo tamanho, sendo o primeiro formado por um azulejo branco

cercado por azulejos pretos, o segundo por quatro azulejos brancos cercados por

azulejos pretos e assim, sucessivamente, como indica a figura. Se numa sequência de

mosaicos formada de acordo com esta regra forem usados 80 azulejos pretos, quantos

serão os azulejos brancos utilizados?

1°

2°

3°

Tarefa 7

As figuras mostram duas mesas da Pizzaria Sole Mio, uma com 8 pessoas e 3 pizzas e

outra com 10 pessoas e 4 pizzas.

a) Sabendo que numa das mesas foram colocadas 10 pizzas, quantas pessoas

estariam sentadas?

b) E se fossem 31 pizzas, quantas pessoas estariam sentadas ao redor da mesa?

c) João decidiu comemorar o seu aniversário neste restaurante e convidou 57

pessoas. Quantas pizzas terá de encomendar para a sua mesa?

8.2 Resolução das Tarefas Propostas

Tarefa 1

Observe a sequência de figuras abaixo:

Depois de entregar as cópias, pediremos que os alunos observem as figuras da sequência

e respondam os três itens a seguir.

a) Desenhe a 4ª figura;

b) Diga quantos quadradinhos escuros têm a 10ª figura, sem construí-la;

A décima figura terá N quadradinhos escuros, sendo N o número de ordem da figura, e

como N=10, a figura apresentará 10 quadradinhos escuros.

c) Complete a tabela referente a sequência dada.

N° DE ORDEM DA

FIGURA

N° DE

QUADRADINHOS

PRETOS

Nº DE

QUADRADINHOS

BRANCOS

TOTAL DE

QUADRADINHOS

1 1 8 9

2 2 10 12

3 3 12 15

4 4 14 18

5 5 16 21

N N 2.N + 6 3.(N + 2) = 3.N + 6

1° 2° 3°

Tarefa 2

Observe as sequências de figuras a seguir e preencha as tabelas:

Sequência 1

1°

2°

3°

N° DE ORDEM DA

FIGURA

N° DE

QUADRADINHOS

PRETOS

Nº DE

QUADRADINHOS

BRANCOS

TOTAL DE

QUADRADINHOS

1 1 8 9

2 4 12 16

3 9 16 25

4 16 20 36

5 25 24 49

N N2

(N + 2)2 – N

2

N2 + 4.N + 4 – N

2

4.N + 4

4.(N + 1)

(N + 2)2

N2 + 4.N + 4

Sequência 2

1°

2°

3°

N° DE ORDEM DA

FIGURA

N° DE

QUADRADINHOS

PRETOS

Nº DE QUADRADINHOS

BRANCOS

TOTAL DE

QUADRADINHOS

1 5 4 9

2 8 8 16

3 13 12 25

4 20 16 36

5 29 20 49

N N2 + 4

(N + 2)2 – N

2 – 4

N2 + 4.N + 4 – N

2 – 4

4.N

(N + 2)2

N2 + 4.N + 4

Sequência 3

1° 2° 3° 4°

N° DE ORDEM DA

FIGURA

N° DE

QUADRADINHOS

PRETOS

Nº DE

QUADRADINHOS

BRANCOS

TOTAL DE

QUADRADINHOS

1 1 2 3

2 2 3 5

3 3 4 7

4 4 5 9

5 5 6 11

N N N + 1 2.N + 1

Tarefa 3

Lucas ficou sem parceiro para jogar bolita (bolinhas de gude); então pegou sua coleção

de bolinhas e formou uma sequência de “T” (a inicial de seu nome), conforme a figura:

1° 2° 3°

Supondo que Lucas conseguiu formar 10 “T” seguindo o mesmo padrão. Considere esse

padrão para completar a tabela a seguir e responda as questões na sequência:

Posição do “T” 1ª 2ª 3ª 4ª n-ésima

Número de

Bolinhas de gude 5 9 13 17 4.N + 1

a) Qual é a expressão algébrica que possibilita determinar o número de bolinhas

necessárias para formar o n-ésimo “T”?

A expressão que calcula o número de bolinhas do n-ésimo T é: 4.N + 1.

b) Quantas bolinhas foram necessárias para formar o décimo “T”?

Sendo N = 10, temos:

4.10 + 1 = 41 bolinhas.

Tarefa 4

Observe a sequência, complete a tabela e, em seguida, responda às questões:

Complete a tabela que relaciona o número de latinhas com a posição ocupada na

sequência:

Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª

Quantidade

de Latinhas 1 3 6 10 15

a) Quantas latinhas haverá na 6ª posição?

Na sexta posição adicionaremos 6 latinhas para formar a base da figura, então

teremos 15 + 6 = 21 latinhas.

b) É possível encontrar uma fórmula para calcular o número de latinhas em uma

pilha de ordem n? Se sim, qual é essa fórmula.

Para encontrar o número de latinhas da n-ésima ordem, temos que analisar como

a sequência foi construída:

Posição Quantidade de Latinhas

1 1

2 1 + 2

3 1 + 2 + 3

4 1 + 2 + 3 + 4

5 1 + 2 + 3 + 4 + 5

N 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + N

Uma possível solução para encontrar a fórmula que representa

n

i

i1 , ou seja, o

somatório de 1 até n, seria utilizar a mesma ideia de Carl Friedrich Gauss,

generalizando-a:

1 + 2 + ... + N-1 + N

Sabemos que essa soma admite um valor S, que igualamos a expressão acima,

obtendo:

1 + 2 + ... + N-1 + N = S

Somamos a mesma sequência, mudando apenas a ordem das parcelas,

começando por N e terminando em 1, veja:

1 + 2 + ... + N-1 + N = S

N + N-1 + ... + 2 + 1 = S

Somando as duas igualdades, obteremos:

(1 + N) + (2 + N – 1) + ... + (N – 1 + 2) + (N + 1) = 2.S

(N + 1) + (N + 1) + ... + (N+ 1) + (N + 1) = 2.S

A parcela N + 1 se repete N vezes, logo podemos reescrevê-la como N.(N + 1).

N.(N + 1) = 2.S

Lembrando que o nosso objetivo é encontrar o valor de S, podemos então

dividir ambos os lados da equação por 2, obtendo:

2

.2

2

)1.( SNN

→ S

NN

2

)1.(

Tarefa 5

Observe esta sequência de números em forma de retângulo.

► ► ► ►

► ► ► ► ► ► ►

► ► ► ► ► ► ► ► ►

R1 = 2 R2 = 6 R3 = 12

a) Escreva os próximos dois números da sequência.

Vamos construir uma tabela para tentar descobrir a regra dessa sequência:

Número de Ordem da Figura Quantidade de Triângulos

1 1.(1+1) = 1.2 = 2

2 2.(2+1) =2.3 = 6

3 3.(3+1) = 3.4 = 12

4 4.(4+1) = 4.5 = 20

5 5.(5+1) = 5.6 = 30

b) Qual o valor de R20?

Para R20, o número de triângulos será: 20.(20+1) = 20.21 = 420 triângulos

que compõem a figura em formato de retângulo.

c) Descubra a fórmula que dá o valor de Rn.

Se tivéssemos uma figura de ordem n, a fórmula que descreveria a quantidade

de triângulos necessária para compor o retângulo será:

Rn = n.(n+1) = n2 + n

Tarefa 6

Uma sequência de mosaicos quadrados é construída com azulejos quadrados pretos e

brancos, todos do mesmo tamanho, sendo o primeiro formado por um azulejo branco

cercado por azulejos pretos, o segundo por quatro azulejos brancos cercados por

azulejos pretos e assim, sucessivamente, como indica a figura. Se em um dos quadrados

formado nessa sequência de mosaicos de acordo com esta regra forem usados 80

azulejos pretos, quantos serão os azulejos brancos utilizados?

1°

2°

3°

Uma possível solução

Para responder a essa questão, precisamos analisar qual é a relação entre o número de

azulejos brancos, pretos e a soma deles. Vamos construir uma tabela para facilitar a

visualização:

Número de Ordem

da Sequência

Quantidade de Azulejos

Brancos

Quantidade de Azulejos

Pretos

Quantidade Total de

Azulejos

1 1 (1 + 2)2 – 1

2 = 8 9

2 4 (2 + 2)2 – 2

2 = 12 16

3 9 (3 + 2)2 – 3

2 = 16 25

N N2

(N + 2)2 – N

2

N2 + 4.N + 4 – N

2

4.N + 4

4.(N + 1)

(N + 2)2

Como foram usados 80 azulejos pretos, então podemos igualar a regra que determina a

quantidade de azulejos pretos a 80, com o objetivo de descobrir o número de ordem da

figura.

19

201

80)1.(4

N

N

N

Logo, para encontrar a quantidade de azulejos brancos, basta substituir o valor de N

na regra que determina o número de azulejos brancos:

3611922 N

Assim, temos 361 azulejos brancos na 19ª figura, que contém 80 azulejos pretos.

Tarefa 7

As figuras mostram duas mesas da Pizzaria Sole Mio, uma com 8 pessoas e 3 pizzas e

outra com 10 pessoas e 4 pizzas.

a) Sabendo que numa das mesas foram colocadas 10 pizzas, quantas pessoas

estariam sentadas?

Podemos pensar do seguinte modo: nas laterais das pizzas há duas pessoas

para cada pizza, que nesse caso seriam 2.10 = 20 pessoas, e somamos com as

duas pessoas da das extremidades da mesa, obtendo assim 22 pessoas,

considerando que todas os lugares estariam ocupados.

b) E se fossem 31 pizzas, quantas pessoas estariam sentadas ao redor da mesa?

Pensando do mesmo modo, teríamos duas pessoas para cada lateral das mesas,

ou seja, 2.31 = 62 pessoas, mais as duas pessoas das extremidades das mesas,

obtendo assim 64 pessoas.

c) João decidiu comemorar o seu aniversário neste restaurante e convidou 57

pessoas. Quantas pizzas ele terá de encomendar para a sua mesa?

Ainda sim podemos utilizar o mesmo raciocínio, mas nesse caso primeiro

descontamos as 2 pessoas das extremidades da mesa, obtendo 57-2 = 55, e em

seguida dividimos o total de pessoas por 2, já que para cada duas pessoas nas

laterais há uma pizza. Ao efetuar a divisão de 55 por 2, obtemos 27,5, então

João deve pedir 28 pizzas.

Se contarmos o número de lugares na mesa, teremos: 2.28 + 2 = 58. Logo, a

mesa que João reservar terá um lugar vago, pois ele convidou 57 pessoas.

Tabelas com o Resumo dos Planos

Indicador de atividade Objetivo da atividade

Descrição atividade (como

esta será realizada -

metodologia)

1.

Facilitar o entendimento de vários

temas da matemática envolvendo

a expressão de fatos genéricos e

explorar as diversas estruturas

algébricas fazendo com que o

aluno generalize seu pensamento

e simplifique questões.

A tendência metodológica

que norteia o

direcionamento da aula é a

Investigação Matemática.

Indicador da

atividade

Resultados esperados

1.

Com essa sequência de tarefas esperamos que os alunos

adquiram mais confiança em seu raciocínio, tornando-se mais

criativos, e consigam compreender padrões e construir

expressões algébricas que determinam as regras que esses

padrões seguem, assim como resolver equações e descobrir os

valores de uma sequência para qualquer um de seus termos.

Indicador da atividade Contribuição para a Formação Docente

1.

Essa sequência de tarefas com aos alunos nos possibilitou

observar as dificuldades encontradas durante uma aula e

alguns caminhos que podemos utilizar para superá-las, tanto

por parte dos bolsistas como dos alunos participantes da

oficina. Essa sequência foi gratificante, pois notamos o quanto

os alunos ficavam satisfeitos quando conseguiam resolver as

tarefas propostas, e sentiam-se estimulados a tentar novos

desafios.

Indicador da atividade

PLANO DE ATIVIDADES DO

COORDENADOR

(Reuniões Semanais)

1.

PROFESSOR FÁBIO 2.

3.

4.

5.

6.

7.

Observação: as reuniões semanais da equipe devem contemplar as atividades planejadas pelos

coordenadores .

CRONOGRAMA 2013

Atividade Mês de Início Mês de Término

1.

Agosto Agosto

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Apucarana, ____ de _____________________ de 2013.

Professor Supervisor

Coordenador Subprojeto