Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

EQUAÇÕES DE 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL: UMA QUESTÃO DE

EQUILÍBRIO

Nilva Ropelatto Abreu1

Carlos Ropelatto Fernandes2

RESUMO

Este artigo é resultado da aplicação do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola, como parte conclusiva das atividades do Programa de Desenvolvimento Educacional-PDE que possui origem na problemática de quando o aluno do 7º Ano do Ensino Fundamental ouve falar em álgebra, estudando as equações e pergunta: para que servem tantas letras? O estudo tem como objetivos principais resgatar e utilizar os conhecimentos sobre as operações aritméticas e suas propriedades para compreender e construir estratégias significativas para o cálculo algébrico, principalmente a resolução de equações de 1º grau com uma variável. A metodologia utilizada compreende analogias com a balança de dois pratos, que tem como base dois recursos: as operações inversas e as propriedades das igualdades para a resolução de equações de 1º Grau com uma variável. Nesta proposta foi abordada também a história das equações, foram estabelecidas relações entre os conhecimentos prévios dos alunos e abordagem de situações cotidianas e a resolução de problemas. A implementação do Projeto buscou produzir aprendizado por meio de atividades nas quais os alunos participaram ativamente do processo de ensino-aprendizagem possibilitando a transição do pensamento numérico para o pensamento algébrico.

Palavras-chave: Álgebra. Equações; Recursos Didáticos.

1Autora. Pós Graduada em Matemática pela Faculdade Estadual Ciências e Letras de Paranavaí e Tecnologias em Educação pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Graduada em Ciências 1º Grau com Habilitação em Matemática pela Faculdade Estadual de Educação, Ciências e Letras de Paranavaí – FAFIPA, Prof.ª de Matemática do Colégio Estadual Enira Moraes Ribeiro – E.F.M.P. 2Orientador. Mestre em Ciências pela Universidade Federal do Paraná - UFPR, Graduado em Ciências 1º Grau com Habilitação em Matemática pela Faculdade Estadual de Educação, Ciências e Letras de Paranavaí - FAFIPA, Prof. Assistente D do Colegiado de Matemática da UNESPAR – Campus de Paranavaí - PR.

1 INTRODUÇÃO

Neste artigo será discutido sobre o estudo de equações de 1º grau com uma

variável, cujo tema é compreender e construir significados para a resolução de

equações de 1º grau com uma variável, baseada em dois recursos: as operações

inversas e os princípios de equivalência das igualdades.

A pesquisa foi pensada diante das experiências vividas em sala de aula, pelo

professor, com os alunos do 7º ano do Ensino Fundamental que pode perceber que

quando o aluno ouve falar em álgebra, aqui se tratando das equações, pergunta-se:

para que servem tantas letras?

Questiona-se nesta fase escolar ao se trabalhar com a álgebra, o aluno já

desenvolveu o pensamento algébrico em estudos anteriores? Isso dificultará a sua

aprendizagem ao tratar deste assunto?

Justifica-se este estudo, pela importância da matemática como organizadora

do pensamento. Ela não é somente um conjunto de técnicas e de maneiras de

resolver equações e de fórmulas para calcular. Na realidade, o que dá poder e

encanto à matemática são as ideias.

Dentro da estrutura da matemática existe a linguagem algébrica e dentro

destas as equações. Embora seja possível resolver muitos problemas com a

aritmética, em geral a álgebra com o uso das equações, permite resolvê-los de

maneira mais rápida e uniforme, por isso, além de conhecer e saber utilizar as

propriedades das operações numéricas é necessário dominar as propriedades e

técnicas do cálculo algébrico.

Acredita-se que não se pode aprender com compreensão, apenas pela

demonstração do professor, mas quando o aluno experimenta e registra cada

descoberta feita. Por isso, passar pela experiência de resolver equações realizando

analogias com a balança de dois pratos, realmente poderá fazer com que seja

possível compreender a aplicação dos princípios de equivalência das igualdades e

as operações inversas, deixando de ser assim uma tarefa mecânica resolver

equações.

O estudo tem como objetivos resgatar e utilizar os conhecimentos sobre as

operações aritméticas e suas propriedades para compreender e construir estratégias

significativas para o cálculo algébrico, principalmente a resolução de equações de 1º

grau com uma variável, bem como abordar a parte histórica das equações para

valorizar a construção do conhecimento pela humanidade; salientar a ideia de

equilíbrio em situações cotidianas, principalmente emoções, ganhos, gastos e no

meio ambiente; compreender e justificar os princípios de equivalência das

igualdades; desenvolver a linguagem e o pensamento algébrico, através de ações

metodológicas experimentais; resolver equações de primeiro grau usando a ideia

das operações inversas e os princípios de equivalência das igualdades, usando para

isso, uma balança de dois pratos e moedas.

A metodologia utilizada compreende analogias com a balança de dois pratos,

baseadas nas operações inversas e os princípios de equivalência das igualdades, a

proposta é para que o aluno desenvolva o pensamento algébrico, compreenda e

construa significados para a resolução de equações de 1º grau com uma variável.

Para se analisar a proposta do projeto foi elaborada a PRODUÇÃO

DIDÁTICO-PEDAGÓGICA, constituída de tarefas, onde são abordadas variadas

situações envolvendo símbolos/códigos e linguagens, abordagem histórica das

equações, ideias de equilíbrio/balança de pratos, generalizações da álgebra e

problemas de matemática e a aplicação das equações, com o intuito de fazer com

que o aluno pense, expresse algebricamente e produza significados para os

conceitos abstratos encontrados nas equações de 1º grau. Esse material foi utilizado

na implementação do projeto, com 27 alunos do 7º Ano A – Ensino Fundamental, do

Colégio Estadual Enira Moraes Ribeiro, nas aulas regulares da turma, assim os

alunos participaram efetivamente da aplicação e apreciação do projeto, bem como

os Cursistas do GTR (Grupo de Trabalho em Rede), no qual foi socializado o projeto

DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA, as tarefas propostas na PRODUÇÃO

DIDÁTICO-PEDAGÓGICA e, assim, participaram de fóruns, diários, escrevendo

suas reflexões e discussões relacionadas à temática desse estudo.

2 ÁLGEBRA: DOS SÍMBOLOS ÀS EQUAÇÕES

A matemática surge e se desenvolve atendendo as necessidades sociais e

econômicas do homem, um ser que pensa e é capaz da ampliar e sistematizar as

ideias. A matemática serviu e serve para o homem entender e transformar o mundo.

Essas transformações são tantas que hoje se vive numa sociedade regida por

símbolos e sua manipulação pode estar a serviço das pessoas que se apropriam

dos conhecimentos matemáticos e passam a ter a compreensão crítica da realidade

e competência para realizar ações transformadoras no mundo em que vive.

A matemática está muito mais presente na nossa vida e no cotidiano do que

se pensa. Em todas as atividades humanas, das mais simples às mais sofisticadas,

usa-se matemática. Algumas das aplicações da matemática são bem simples. No

entanto, em uma sociedade, de base tecnológica e científica, as utilizações da

matemática são praticamente ilimitadas.

Dentro da estrutura da matemática existe a linguagem algébrica e dentro

desta as equações. Por isso, o aluno além de conhecer e saber utilizar as

propriedades das operações numéricas é necessário dominar as propriedades e

técnicas do cálculo algébrico.

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica (DCEs de

Matemática),

[..] o conceito de álgebra é muito abrangente e possui uma linguagem permeada por convenções diversas de modo que o conhecimento algébrico não pode ser concebido pela simples manipulação de conteúdos abordados isoladamente. Defende-se uma abordagem pedagógica que os articule, na qual os conceitos se complementem e tragam significado aos conteúdos abordados.

(PARANÁ, 2008, p. 52).

A partir dessa reflexão procurou-se no estudo das equações de 1º grau com

uma variável, usar recursos didáticos, que orientassem o aluno para que se

caminhasse em direção ao processo de generalização. Permitindo a utilização de

materiais manipuláveis para auxiliar a compreensão dos conceitos matemáticos,

tornando assim o ensino significativo, para isso desenvolveu-se uma metodologia,

onde foram feitas analogias com a balança de dois pratos, aplicada aos alunos do 7º

Ano do Ensino Fundamental, onde era esperado que o educando compreendesse e

construísse significados para a resolução de equações de 1º Grau com uma

variável, baseada em dois fundamentos: as operações inversas e os princípios de

equivalência das igualdades.

Nesta proposta também foi proporcionada a abordagem histórica das

equações, para que se valorize e compreenda a construção e a relevância do

conhecimento matemático pela humanidade. Muitos matemáticos contribuíram com

seus estudos para a construção da Álgebra atual. Segundo Guelli (1992), os passos

mais decisivos dos símbolos no mundo da matemática, se deve a François Viète

(1540–1603), advogado francês apaixonado pela Álgebra. Conhecido como o Pai da

Álgebra, foi o primeiro a escrever as equações e estudar suas propriedades através

de expressões gerais.

Foi graças a Viète que, pela 1ª vez na história da matemática, os objetos de estudos passaram a ser não mais problemas numéricos sobre o preço do pão ou da cerveja, sobre a idade das pessoas ou os lados de figuras, mas sim as próprias expressões algébricas. A partir desse momento, as equações passaram a ser interpretadas como as entendemos atualmente. (GUELLI, 1992, p. 31).

Além de Viète, outros matemáticos contribuíram para aperfeiçoar a Álgebra.

Um deles foi o inglês Robert Recorde (1510–1558), que introduziu o sinal de

igualdade nas equações. Este sinal foi usado por outro matemático inglês, Thomas

Harriot (1560–1621), nas equações de Viète, e conseguiu aos poucos eliminar

palavras que restavam na Álgebra. De acordo com Sessa (2009, p. 51), René

Descartes (1596–1650), completou a passagem para a Álgebra simbólica, levando

adiante o projeto de resolver problemas geométricos usando a Álgebra. Desta forma,

a ciência Matemática foi evoluindo no pensamento abstrato, que aplicados à

Aritmética e à Geometria deram origem as expressões algébricas.

Na abordagem escolar, ao falarmos de Álgebra quando começam as

representações simbólicas aparecem às dificuldades dos alunos. Diante de tanta

dificuldade encontrada pelo aluno no que se refere à compreensão dos conceitos

algébricos, o conteúdo equações de 1º grau com uma variável foi encaminhado,

tendo o cuidado de explorar a passagem da Aritmética para a Álgebra sem a ruptura

entre as mesmas, e sua relação com as propriedades e algoritmos que o aluno já

conhece, ou seja, partindo-se sempre do paralelo entre a linguagem numérica e a

linguagem algébrica e entre o cálculo numérico e o cálculo algébrico.

Ao introduzir a Álgebra tomou-se o cuidado para que o aluno não pensasse

que as equações são um mecanismo para isolar incógnitas. Para isso foi necessário

proporcionar a discussão sobre o conjunto solução da equação, para que ficasse

claro qual o domínio numérico a que se refere. Apresentou-se a resolução da

mesma equação em diferentes universos numéricos, assim o aluno pode verificar

que nem sempre uma equação é verdadeira se considerado o seu domínio

numérico.

Definindo a equação como uma igualdade com incógnita, aproximamo-nos do campo aritmético: é como uma conta com termo desconhecido. A concepção que se cristaliza desse modo assimila o conceito de equação ao de “equação com uma variável e solução única”. Ao ensinar os procedimentos de resolução de equações, o professor costuma reafirmar tal concepção em seu discurso (se adicionarmos o mesmo número a ambos os membros, a igualdade é conservada), omitindo que o que se conserva é o conjunto-solução da equação (SESSA, 2009, p. 55).

Nesse sentido quando o aluno interpreta a equação como igualdade entre

números, não compreenderá as equações sem solução ou com infinitas soluções.

Ao ensinar a resolução de equações usando a balança de dois pratos, como

abordagem “facilitadora”, deve-se levar em conta o que foi descrito anteriormente, e

também o que escrevem os autores Lins e Gimenez,

[...] abordagens “facilitadoras” como de abstrações por meio de trabalho concreto, traduzindo a linguagem simbólica, podem amenizar a tragédia do ensino-aprendizagem, tornando o ensino mais agradável, mas nem sempre chegar ao resultado (conhecimento) esperado. Ao ser usado qualquer recurso devemos tomar o cuidado para que sejam significativos, pois de nada adianta usá-los se os alunos não compreendem a relação do objeto com o conteúdo estudado. (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 107).

Portanto, é preciso investigar os significados produzidos dentro de cada

atividade proposta. Ainda, de acordo com Lins e Gimenez (1997, p. 152), a

educação algébrica deve compreender dois objetivos centrais: 1) permitir que os

alunos sejam capazes de produzir significados para a álgebra; e, 2) permitir que os

alunos desenvolvam a capacidade de pensar algebricamente. Com a metodologia

que foi desenvolvida, através de variadas atividades e usando-se a manipulação da

balança de dois pratos, espera-se que o aluno tenha conseguido apropriar-se

desses significados para que possa aplicá-los nas mais diversas situações

algébricas.

3 PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA, IMPLEMENTAÇÃO DO PROJETO NA

ESCOLA E CONTRIBUIÇÕES DAS DISCUSSÕES DO GTR

O Projeto de Intervenção Pedagógica foi implementado com os alunos do

7º Ano A da Escola Estadual Enira Moraes Ribeiro – EFMP, no município de

Paranavaí – PR, no período de abril a junho do ano de 2014, durante as aulas

regulares.

O Material Didático, constante na Produção Didático-Pedagógica, foi

estruturado através de variadas atividades intituladas de tarefas e divididas em

tópicos, com o intuito de favorecer a participação ativa dos alunos, através de

encaminhamentos metodológicos referentes a cada tarefa que facilitassem a

compreensão em busca dos objetivos propostos.

3.1 SÍMBOLOS/CÓDICOS E LINGUAGENS

Primeiramente foram abordadas algumas tarefas envolvendo

símbolos/códigos e linguagens com o objetivo de introduzir a incógnita de maneira

lúdica, partindo-se de discussões com os alunos sobre a importância dos códigos

em nossos dias. Usamos muitos símbolos/códigos convencionais para representar

ou transmitir uma informação, que são nacionais ou universais. Existem dois tipos de

códigos: os que “escondem” a mensagem (por exemplo: senhas do cartão

magnético de clientes para acessar os caixas eletrônicos de bancos) e os que são

combinados para todas as pessoas usarem (exemplos: placas de trânsito e códigos

usados nas redes sociais para nos comunicarmos).

Utilizou-se de slides (no projetor multimídia) com figuras de variados

símbolos, mostrando um a um, pedindo aos alunos que dissessem o que significam.

Os alunos foram incentivados a desenhar símbolos conhecidos por eles e depois

pedirem para os seus colegas decifrarem.

Ainda com o mesmo objetivo, foi abordado sobre o que é criptografia e a sua

importância até os dias de hoje, utilizando-se do vídeo da Série Matemática na

escola, dos autores Torezzan, Roman e Cuyabano intitulado: A César o que é de

Cesar, disponível: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1067, com duração de 12

minutos, foram promovidas variadas discussões sobre o assunto. O que oportunizou

a realização de tarefas envolvendo o tipo de linguagem chamada de carta

enigmática que mistura desenhos e palavras ou mensagens secretas que podem ser

escritas com a substituição de números ou símbolos por letras. Foram realizadas

variadas atividades onde tinham que decifrar mensagens substituindo os números

por letras de acordo com os valores de cada letra. E também traduzir para a

linguagem algébrica situações expressas em linguagem usual.

Nestas atividades, o intuito foi de ajudar o aluno a familiarizar-se com as

representações orais e escritas, desde a identificação e substituição de símbolos,

bem como de números por letras, buscando desenvolver o pensamento algébrico,

minimizando a passagem da linguagem aritmética para a linguagem algébrica, pois

segundo Neves et al, (2000, p. 183). “Especialistas, professores, bem como os

próprios alunos, reconhecem que o principal risco na aprendizagem da matemática

para muitos estudantes pode ser o momento em que as letras começam a substituir

os números”.

Depois de obter os resultados em uma tarefa proposta, onde tinham que

escrever frases na linguagem matemática representando o valor desconhecido por

uma letra, foi definido as expressões algébricas e quais representavam equações,

para isso os alunos, em duplas, pesquisaram em texto fornecido pelo professor.

Ficando claro para eles, através da pesquisa e discussões, que toda sentença

matemática expressa por uma igualdade, na qual haja uma ou mais letras

representando números desconhecidos, é denominada equação e que numa

equação, a expressão que vem a esquerda do sinal de igual é chamada de 1º

membro e a da direita de 2º membro. E qualquer parcela, do 1º ou 2º membro, é um

termo da equação. Essas ideias são e foram muito importantes para que o aluno

compreendesse a resolução das equações, principalmente pelo material concreto

utilizado nesta proposta que foi a balança de dois pratos.

3.2 ABORDAGEM HISTÓRICA DAS EQUAÇÕES

Com a intenção de proporcionar aos alunos a abordagem histórica das

equações para que percebessem a relação entre o que foi produzido ao longo da

história e o que se ensina hoje e também a importância da evolução matemática dos

conteúdos no avanço tecnológico atual, o qual não seria possível sem a contribuição

das culturas passadas, foi concretizada através de pesquisa direcionada com os

alunos divididos em grupos que pesquisaram no texto: A origem dos símbolos,

páginas 22 a 31, do livro – Equação: o idioma da álgebra, da coleção Contando a

História da Matemática do autor Oscar Guelli. Após a realização da pesquisa foram

realizadas, apresentações dos grupos e discussões sobre o assunto, indicados nos

objetivos propostos.

3.3 IDEIAS DE EQUILÍBRIO/BALANÇA DE PRATOS

A metodologia desenvolvida em sala de aula partiu de questionamentos que

salientavam a questão do equilíbrio em situações cotidianas: Como adequar gastos

a ganhos? Para formar pares de casais na sala de aula, para que não sobre nenhum

aluno, qual deveria ser o número de meninos e meninas.

Antes de utilizar a balança de pratos foi apresentada aos alunos e descrita um

pouco sobre ela, conforme segue:

A balança é um dos instrumentos de medição mais antigos que se conhece.

As balanças tiveram origem na antiga civilização egípcia, em torno de 5.000 a.C.

A balança de pratos é a mais conhecida. Embora o seu uso não seja muito

comum hoje em dia, em algumas feiras de produtos alimentícios ainda podemos

encontrá-la. É composta por dois braços paralelos e pratos nas suas extremidades.

Com ela podemos comparar o peso de dois objetos. Para realizar a pesagem,

coloca-se um ou mais objetos de peso conhecido (peso-padrão) em um prato e, no

outro, o objeto que se deseja pesar. São acrescidos ou retirados mais pesos-

padrões até que se estabeleça o equilíbrio entre os dois pratos, o que resulta no

peso relativo do objeto.

A balança de pratos e moedas, Figuras 1 e 2 abaixo, foi utilizada nos estudos

sobre as ideias de equilíbrio e de equações.

Figura 1 – Balança de pratos e moedas Figura 2 – Balança de pratos

Fonte: ABREU, 2013 Fonte: ABREU, 2013

OBS.: As moedas colocadas em cada um dos pratos sempre serão de mesma

massa.

Acreditando-se que não se pode aprender com compreensão apenas pela

demonstração do professor, mas quando o aluno experimenta e registra a

descoberta, foi proporcionado ao aluno, através de uma tarefa, que ele manipulasse

a balança e as moedas, para que ficasse bem clara a ideia do equilíbrio.

Esta proposta de utilizar materiais manipuláveis, como a balança de pratos e

moedas, realmente auxiliou a compreensão dos conceitos matemáticos embutidos

nas equações, tornando o ensino significativo.

Após estas primeiras ideias, passamos ao estudo de como resolver uma

equação, tendo claro que resolver uma equação significa descobrir o valor da

incógnita que torna a igualdade verdadeira, ou seja, obter a solução ou a raiz da

equação.

Usamos novamente a balança de pratos e moedas para compreender e

construir significados para a resolução de equações de 1º grau com uma variável

baseando-se em dois fundamentos: as operações inversas e os princípios de

equivalência das igualdades. Foram apresentadas, através de quatro tarefas,

igualdades numéricas definindo seus membros e comparando-os aos pratos de uma

balança (confeccionada em madeira e pedaços de corrente), tomando-se o cuidado

para estar equilibrada, para que, se tirado, ou colocado algum “peso” (moedas sem

valor atual) em um dos pratos (membros) deveria fazer o mesmo no outro. Fazendo-

se analogias com a balança foi trabalhada a equivalência das equações,

desenvolvendo os princípios de equivalência das igualdades. Destacando que ao

aplicar os princípios de equivalência das igualdades se obtém uma nova sentença

que ainda é uma igualdade.

Nas situações representadas nas quatro tarefas, que envolviam as quatro

operações aritméticas, os alunos puderam perceber que é possível retirar ou colocar

moedas na balança sem desequilibrá-la, desde que se retire ou coloque a mesma

quantidade em cada prato. Concluindo que duas ou mais equações que apresentam

o mesmo conjunto solução (não vazio) são denominadas equações equivalentes. Os

alunos comprovaram sempre o valor encontrado na equação proposta, sendo

fundamental para reforçar as concepções de equação e conjunto solução e ajudar a

adquirir o hábito da autocorreção.

Neste momento o professor esclareceu que se pode escrever uma equação

equivalente a uma equação dada por meio de algumas transformações baseadas

nos princípios de equivalência das igualdades.

Mori e Onaga (1996, p. 104) definem os princípios de equivalência das

igualdades: aditivo e multiplicativo, conforme abaixo:

3.3.1 Princípio Aditivo das Igualdades

Adicionando ou subtraindo um mesmo número aos dois membros de uma

igualdade obtém-se uma outra sentença que ainda é uma igualdade.

3.3.2 Princípio Multiplicativo das Igualdades

Multiplicando ou dividindo por um mesmo número (diferente de zero) os dois

membros de uma igualdade obtém-se uma nova sentença que ainda é uma

igualdade.

Para entender como resolver equações do 1º grau, além dos princípios

citados, foi utilizado o processo das operações inversas, retomando as ideias das

operações aritméticas, pois é importante que o aluno entenda que na regra de

“passar para o outro lado”, está embutido um conceito matemático chamado

operação inversa. A operação inversa da adição é a subtração e vice-versa. A

operação inversa da multiplicação é a divisão e vice-versa.

Durante a metodologia o professor destacou a importância da clareza sobre o

conceito de operações inversas, informando que o mesmo será utilizando, em

estudos posteriores, na resolução de outros tipos de equações e situações, como

por exemplo: equações exponenciais, logarítmicas e irracionais, cálculos de ângulos

de triângulos e entre retas, etc.

Foram trabalhados com vários exemplos, usando-se a balança, até que o

aluno pudesse compreender que na prática ao resolver uma equação não é

necessário que apareçam todas as operações que foram feitas nos exemplos, ou

seja, que possa abstrair as ideias das operações inversas e os princípios de

equivalência das igualdades. Alguns alunos já de imediato perceberam estas ideias

e logo foram “encurtando” a forma de resolver as equações, outros demoraram um

pouco mais.

Usando-se a manipulação da balança de dois pratos o professor teve também

a preocupação para que o aluno construísse o significado da igualdade entre os

membros da equação e desenvolvesse outras habilidades tais como: o significado

de equação, diferença de equação e inequação e as manipulações que fazemos

para validar a igualdade em uma equação.

Evitando que as equações sejam pensadas como apenas um mecanismo

para se isolar incógnitas com solução única, o professor também proporcionou a

discussão sobre o conjunto solução da equação, para que ficasse claro qual o

domínio numérico a que se referia.

3.4 GENERALIZAÇÕES DA ÁLGEBRA

Foram propostas variadas tarefas com objetivo de desenvolver o pensamento

algébrico, representando simbolicamente este raciocínio, buscando a crescente

generalização e abstração.

Nestas atividades, o papel do professor foi de observador, organizador,

mediador e incentivador da aprendizagem, percorrendo os grupos. Observando se

as tarefas propostas eram adequadas para que os alunos pudessem superar

dificuldades no que se refere à percepção, a análise e a abstração das regularidades

implícitas nos padrões, a maioria dos alunos realizaram as tarefas com

tranquilidade, demonstrando um pouco de dificuldade na hora de escrever a regra

que regia a sequência. Quando todos os grupos terminaram as atividades, o

professor solicitou a participação da turma, para ver se todos os grupos usaram a

mesma estratégia na resolução, sendo muita válida para avaliar a diversidade do

pensamento algébrico dos alunos.

3.5 PROBLEMAS DE MATEMÁTICA E APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES

As equações ganham sentido quando se torna claro que facilitam a resolução

de problemas, assim, após os alunos desenvolverem os conceitos de equação, de

igualdade, de princípios aditivos e multiplicativos, avançou-se na técnica de

resolução das equações, explorando a resolução de equações de 1º grau com uma

variável, em situações problemas.

De acordo com as DCEs de Matemática,

[...] um dos desafios do ensino da matemática é a abordagem de conteúdos para a resolução de problemas. Trata-se de uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas situações, de modo a resolver a questão proposta. (DANTE, apud PARANÁ, 2008, p. 92)

Sendo assim, as equações ganham sentido quando se torna claro que

facilitam a resolução de problemas.

Antes de iniciar as tarefas envolvendo problemas de matemática e aplicações

das equações, foi proporcionado aos alunos a assistirem um vídeo, com 13 minutos

de duração, disponível em https://www.youtube.com/watch?v=C86ZJcebLko do

Novo Telecurso – Aula 03/70 - Matemática – Álgebra, o qual faz uma discussão

sobre a linguagem da álgebra, o surgimento do raciocínio algébrico desde a

antiguidade e o significado dos símbolos. Também apresenta situações problemas

cotidianas e as cinco etapas importantes do raciocínio algébrico para a resolução

dos problemas, as quais facilitaram o entendimento e a forma de encontrar as

respostas das situações problema propostas.

Foi importante discutir com os alunos sobre os grandes matemáticos do

passado que realizavam até mesmo competições em praça pública para ver quem

era capaz de achar a solução para certos problemas em forma de jogos e desafios.

Após as discussões os alunos foram desafiados, através de algumas tarefas, para

que, em duplas, encontrassem a solução para os problemas propostos.

3.6 GTR – GRUPO DE TRABALHO EM REDE

Os Grupos de Trabalho em Rede - GTR constituem uma das atividades da

Turma PDE/2013 e caracterizam-se pela interação a distância entre o Professor

PDE e os demais professores da Rede Pública Estadual cujo objetivo é a

socialização e discussão do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola, da

Produção Didático-pedagógica e da Implementação do Projeto de Intervenção na

Escola.

Acredito que a proposta da atividade foi entendida pelos professores

participantes deste curso, sendo que a participação de todos foi dentro da proposta

das temáticas.

A seguir apresento uma síntese de todas as contribuições dos professores

participantes do GTR.

Quanto às discussões sobre o Projeto, pode-se perceber que compartilham

das mesmas angustias, ou seja, os alunos chegam ao 7º Ano com pouca

compreensão sobre os conceitos de Álgebra e apresentam dificuldades em

compreender todo o processo de resolução das equações de 1º grau no 7º Ano, ou,

ao trabalhar em anos posteriores que necessitam deste conteúdo. Concordam que o

projeto é importante para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

No que diz respeito à Produção Didático-pedagógica e da Implementação do

Projeto de Intervenção na Escola, destacaram que as atividades propostas na

produção apresentam-se de forma clara e sequencial como foram desenvolvidas e a

quantidade de exercícios permite que o professor perceba o avanço de seus alunos

e estes, notem a evolução de seu aprendizado. Concordam que aplicariam o

material em suas aulas e avaliam que o público, no caso 7º Ano, a que se destina

terá sim facilidade de compreensão e aprendizagem usando a produção.

Ainda constataram que existe também a viabilidade de aplicação da produção

no ensino médio, como forma de retomar o conteúdo, pois colocam que grande

parte dos alunos chega com uma defasagem no conteúdo de equações de 1º grau

com uma incógnita, atrapalhando seus rendimentos nas disciplinas de matemática,

física e química.

Houve também a sugestão para que fossem trabalhados nas atividades que

envolviam ideias de equilíbrio em situações cotidianas, os temas transversais como

a realidade social, carga tributária do nosso país, relações humanas, ética e

cidadania, as questões ambientais, entre outros.

Acredita-se por ser um material rico e interessante os alunos terão a

oportunidade de estudar mesclando o lúdico com o abstrato e chegando a

generalizações e a construções de conceitos matemáticos onde poderão dar um

significado maior à compreensão do assunto.

Outras contribuições também diziam que o trabalho elaborado pela

professora, possui muitas atividades que estimulam a reflexão, trabalham os

conceitos por meio de situações problemas, têm desafios, as atividades são muito

interessantes, com certeza irão utilizar muito nas suas aulas, pois muitos alunos não

tem domínio desse conteúdo encontrando muita dificuldade nos anos seguintes, os

exercícios propostos são ótimos e a resolução de equações realizando analogia com

a balança de dois pratos faz com que o aluno aprenda de forma significativa, pois o

mesmo passa a compreender a aplicação dos princípios de equivalência das

igualdades e as operações inversas e com isso deixa de resolver mecanicamente as

equações sem muitas vezes não entender a operação que está sendo realizada.

Outros professores opinaram também que o ponto culminante deste trabalho

são as tarefas realizadas, utilizando a balança de dois pratos, onde os alunos têm a

oportunidade de manusear, visualizar e assim, comprovar e compreender a

equivalência de equações e os princípios de equivalência.

Alguns professores destacaram também a importância de se trabalhar sobre a

história dos conteúdos. Escreveram que foi bem explorado neste trabalho a questão

da história das equações. Por meio de questionamentos, a curiosidade é aguçada e

os alunos descobrem que tal conteúdo surgiu para suprir necessidades do ser

humano no decorrer de sua existência. A história biográfica de matemáticos também

é bem interessante para que o aluno entenda que alguém estudou para que as

coisas se tornassem mais simples e possíveis no dia de hoje. Assim sabendo da

origem e da importância começa a ficar mais significativo o estudo sobre o assunto

abordado.

Todos os relatos de experiência ou sugestões foram muito válidos para todos

os participantes, pois contribuíram para ampliar a prática pedagógica em busca de

uma aprendizagem efetiva, bem como para o desenvolvimento deste trabalho no

PDE.

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A Álgebra é um ramo da matemática onde os alunos apresentam dificuldades,

ao iniciar o seu estudo principalmente quando aparecem as equações. Acredita-se

que com a experimentação e as demonstrações propostas neste Projeto, muitas

destas dificuldades podem ser reduzidas e até resolvidas.

A Produção Didático-Pedagógica contempla muitas opções de tarefas e

atividades que certamente possibilita uma aprendizagem consistente e eficaz, pois

através da experiência da aplicação deste material no momento da implementação

do projeto pode-se comprovar que o material didático elaborado é aplicável aos

alunos de 7º ano, obtendo ótimos resultados.

A elaboração da sequência de atividades para inserir o assunto, foi de suma

importância, pois sempre houve a preocupação em envolver os alunos desde a

primeira atividade proposta, onde o aluno teve a oportunidade de trabalhar e

entender o processo de resolução de equações, podendo manusear, comprovar e

registrar os cálculos encontrados.

Com a metodologia desenvolvida percebe-se que na resolução das equações,

realizadas pelos alunos, a passagem dos números entre os termos não era feita

através de um ato mecânico e sim refletia a ideia de equivalência entre os termos,

no fato de realizar a mesma operação e o uso da operação inversa. A preocupação

era de que os alunos trabalhassem com as equações como objetos matemáticos,

pois com a compreensão da técnica resolutiva baseada em dois fundamentos: as

operações inversas e os princípios de equivalência (ideia de equilíbrio através da

balança) para que a resolução de equações não fosse uma mera tarefa mecânica,

não havendo o típico muda de lado e muda-se o sinal, pois se considera importante

que o aluno entenda que na regra de passar para o outro lado, está embutido um

conceito matemático chamado operação inversa.

Enfim, à medida que os alunos realizavam cada tarefa, percebia-se que um

dos grandes desafios é tornar a matemática compreensível e acessível, pois os

alunos podem aprender matemática sem dificuldades desde que sua aprendizagem

seja ligada a conceitos que aparecem em situações propostas, proporcionando a

produção de significados para a linguagem algébrica com o objetivo de construir um

pensamento algébrico sólido, o que sempre foi buscado dentro do projeto

desenvolvido.

REFERÊNCIAS

ABREU, Nilva Ropelatto. Figura 1 - Balança de pratos e moedas. Paraná. 2013. 1 fotografia, color. (Coleção Particular).

______. Figura 2 – Balança de pratos. Paraná. 2013. 1 fotografia, color. (Coleção Particular).

GUELLI, Oscar. Contando a história da matemática. Equação: o idioma da álgebra. 1. ed. São Paulo: Ática, 1992.

LINS, Rômulo Campos; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. 6. ed. Campinas. São Paulo: Papirus, 1997.

MORI, Iracema; ONAGA, Satiko Dulce. Matemática, ideias e desafios. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 1996.

NEVES, Iara Conceição Bitencourt (Org.) et al, Ler e escrever um compromisso de todas as áreas. 3. ed. Porto Alegre: E. Universidade/UFRGS, 2000.

NOVO Telecurso – Aula 03/70 – Matemática – Álgebra. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=C86ZJcebLko>. Acesso em: 24 out. 2013.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica – Matemática. Curitiba: SEED, 2008.

______. Programas e Projetos - PDE - Programa de Desenvolvimento Educacional. Disponível em: <http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=20>. Acesso em: 13 jun. 2013.

SESSA, Carmem. Iniciação ao estudo didático da álgebra: origens e perspectivas. Tradução Damian Kraus. 1. ed. São Paulo: Edições SM, 2009.

TOREZZAN, Cristiano; ROMAN, Patricia; CUYABANO, Beatriz castro Dias. A César o que é de Cesar. Disponível em: <http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1067>. Acesso em: 21 out. 2013.