técnicas de previsão de reservas ibnr rodrigo simões atherino depto. de engenharia...

Técnicas de Previsão de Reservas IBNR

Rodrigo Simões AtherinoDepto. de Engenharia Elétrica/IAPUC

PUC-Rio

Funenseg, 19 de Setembro de 2007

Estruturação

Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão

Classificação Evolução Descrição

Aplicações Considerações Finais

Estruturação

IntroduçãoIntrodução Formato Runoff dos dados Métodos de Previsão



Introdução

Objetivo Apresentar de forma introdutória a evolução da

modelagem estatística no contexto de Reservas IBNR;

Descrever algumas destas técnicas; Mostrar resultados provenientes de tais técnicas.

Ref:- Taylor, Greg (2004). “Loss Reserving: Past, Present and Future”, Research Paper 109, Centre of Actuarial Studies, The University of Melbourne.- Taylor, Greg (2000). Loss Reserving: an Actuarial Perspective, Kluwer Academic Publishers.- England, P.D.; Verrall, R.J.(2002). “Stochastic Claims Reserving in General Insurance”, British Actuarial Journey, 8,443-518.

Introdução Necessidade de reservas IBNR (Incurred But Not

Reported) Atraso entre a ocorrência do sinistro e sua notificação ao

segurador Atraso entre a notificação e a finalização do pagamento

referente ao sinistro Reaberturas

T T+2 T+3- +

aviso

T-1

ocorrência

T-2 T T+3- +

aviso

T-1

ocorrência

1o pagamento

1o pagamento

Estruturação

Introdução Formato Formato Runoff Runoff dos dadosdos dados Métodos de Previsão



Montante pago ou incorrido referente ao ano de origem i e ano de desenvolvimento j.

Notação Utilizada

ijC

ijD

Ii1 Ij 1

j

m imij CD1

Montante acumulado pago ou incorrido referente ao ano de origem i e ano de desenvolvimento j. Ii1 Ij 1

i 1 2 3 ... I

1 C1,1 C1,2 C1,3 ... C1,I

2 C2,1 C2,2 ... C2,I-1

3 C3,1 . .

. . . .

. . CI-1,1

I CI,1

i 1 2 3 ... I

1 D1,1 D1,2 D1,3 ... D1,I

2 D2,1 D2,2 ... D2,I-1

3 D3,1 . .

. . . .

. . DI-1,1

I DI,1

Triângulo de Runoff incremental Triângulo de Runoff acumulado

Formato Runoff dos dados

Sentido “Ano de origem” ou “Ano de acidente”

Ano de origem

Desenvolvimento j

i 1 2 3 ... I

1 C1,1 C1,2 C1,3 ... C1,I

2 C2,1 C2,2 ... C2,I-1

3 C3,1 . .

. . . .

. . CI-1,1

I CI,1


Sentido “Ano de desenvolvimento”

Ano de origem

Desenvolvimento j

i 1 2 3 ... I

1 C1,1 C1,2 C1,3 ... C1,I

2 C2,1 C2,2 ... C2,I-1

3 C3,1 . .

. . . .

. . CI-1,1

I CI,1


Sentido “Ano de calendário”

Ano de origem

Desenvolvimento j

i 1 2 3 ... I

1 C1,1 C1,2 C1,3 ... C1,I

2 C2,1 C2,2 ... C2,I-1

3 C3,1 . .

. . . .

. . CI-1,1

I CI,1

t = i + j - 1t = i + j - 1


Objetivo: completar o triângulo inf.Ano de origem

Desenvolvimento j

i 1 2 3 ... I

1 D1,1 D1,2 D1,3 ... D1,I

2 D2,1 D2,2 ... D2,I-1

3 D3,1 . .

. . . .

. . DI-1,1

I DI,1


Objetivo: completar o triângulo inf.

I

iiRR

2

ˆˆ

I

iImmiiIiIii CDDR

2,1,,

ˆˆˆ

Incremental Acumulado


Objetivo: completar o triângulo inf.

Para se prever valores onde j > I, é necessário uma parametrização adicional.

Estruturação

Introdução Formato Runoff dos dados Métodos de PrevisãoMétodos de Previsão

ClassificaçãoClassificação Evolução Descrição


Taxinomia dos Modelos de Loss Reserving

Primeira classificaçãoRef: Taylor, G. C. (1986). Claim Reserving in Non-life Insurance. North-Holland, Amsterdam.

Re-classificaçãoRef: Taylor, G. C. (2004). “Loss Reserving: Past, Present and Future”. Research Paper 109, Centre of Actuarial Studies, The University of Melbourne, Australia.

Estocasticidade Determinístico vs. Estocástico

Dinâmica Estático vs. Dinâmico

Estrutura do Modelo Fenomenológico vs. Micro-estrutural

Estimação dos Parâmetros Heurística vs. Ótima


Estocasticidade Determinístico vs.

Estocástico Para um modelo

estocástico, as observações têm a forma:

onde

j

i

jijiji eC ,,,

ji , parâmetro

jie , erro estocástico

jiC ,


Dinâmica Um modelo dinâmico possui parâmetros que

evoluem no tempo. Exemplo:

no qual jf iji ,,

i vetor de parâmetros que evolui como:

iw perturbação estocástica

iii w 1

Por exemplo:


Estrutura do Modelo Modelos Fenomenológicos

Estrutura não leva em conta os aspectos do processo de sinistros que possuem um significado direto

Modelos Micro-estruturais Preocupação com os

aspectos “finos” da estrutura do processo de sinistros

Não é uma classificação dicotômica

Espectro das estruturas de modelo

Fenomenológico Micro-estrutural


Estimação dos Parâmetros Heurística

Típica em modelos não-estocásticos Ótima

Parâmetros estimados por maximização (ou minimização) de algum critério estatístico (ex: verossimilhança)

Estruturação


Classificação EvoluçãoEvolução Descrição


Evolução

EstáticoDeterminístico

FenomenológicoHeurístico

EstáticoDeterminístico


EstáticoEstocástico





FenomenológicoÓtimo



DinâmicoEstocástico


DinâmicoEstocástico


Chain Ladder convencional

Chain Ladder estocásticoMack,T. (1993)

Modelos Log-normaisRenshaw, A.E. (1989)Christofides (1991)

Modelos em Espaço de EstadoDe Jong & Zenhnwirth (1983)

Estruturação


Classificação Evolução DescriçãoDescrição


Método Chain Ladder

Procedimento Estimar os (I -1) “Development Factors”. Preencher o triângulo inferior. Calcular a Reserva.

Obtenção dos j (“Development Factors”)

Ano de origem

Desenvolvimento j

i 1 2 3 ... I

1 D1,1 D1,2 D1,3 ... D1,I

2 D2,1 D2,2 ... D2,I-1

3 D3,1 . .

. . . .

. . DI-1,2

I DI,1

2= A/B

AB



“Development Factors”Ref: HART, D.;BUCHANAN, R.; HOWE, B. “The Actuarial Practice of General Insurance”, Insitute of Actuaries of Australia, 1996.

1

1 1,

1

1 ,ˆjI

i ji

jI

i jij

D

D

Ij ,,3,2

mmimi

iIiIiiIi

DD

DD

ˆˆˆ

ˆˆ

1,,

21,2,

IiIiIm ,,4,3


Total de pagamentos no ano

Total Reservado

i

iRR ˆˆ

1ˆˆ

21,

I

iIjjiIii DR

Chain Ladder Estocástico

Modelo de Mack(Distribution Free)

Premissas básicas Independência entre anos de origem 1,

21,1,, ],,|[ jijjiiji DDDDVar

1,1,1,, ],,|E[ jijjiiji DDDD

Ref: Mack, T (1993). “Distribution-Free Calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates”, ASTIN Bulletin, 23, 213-225.Mack, T (1994). “Which Stochastic Model is Underlying the Chain Ladder Method?”, Insurance: Mathematics and Economics, 15, 133-138.

Mack, T (1994). “Measuring the Variability of Chain-Ladder Reserve Estimates”. Casualty Actuarial Society, Spring Forum.


Procedimento Estimar os “Development Factors” Estimar os parâmetros Preencher o triângulo inferior Calcular as Reservas por “ano de acidente” e

seus respectivos erros médios quadráticos. Por fim, calcular a Reserva Total e seu respectivo

erro médio quadrático.

2j


Modelo de Mack

21

1 1,

,1,

2 ˆ1ˆ

jI

ij

ji

jijij D

DD

jI

1

1 1,

1

1 ,ˆjI

i ji

jI

i jij

D

D


Modelo de Mack

21

1 1,

,1,

2 ˆ1ˆ

jI

ij

ji

jijij D

DD

jI

1

1 1,

1

1 ,ˆjI

i ji

jI

i jij

D

D

Mesmos DF obtidos pelo método Chain

Ladder


Modelo de Mack - Reserva

kI

m kmki

I

iIk k

kIii

CCCRMSE

1 ,,

1

12

22,

1ˆ1

ˆˆˆˆ

1ˆˆ

21,

I

iIjjiIii DR


Modelo de Mack - Reserva

I

i

I

iIkkI

n kn

kkI

ijIjIii

CCCRMSERMSE

2

1

11 ,

22

1,, ˆ

ˆˆ2ˆˆˆˆ

i

iRR ˆˆ


Modelo de Mack Reserva é idêntica à do Método Chain Ladder Por falta de observações na última coluna,

22

232

3

422

1 ,min,min III

II

Modelo Log-normal

Baseado em MLG (Modelos Lineares Generalizados)

Etapas

Seleção do ModeloSeleção do ModeloEstimação dos

ParâmetrosEstimação dos

ParâmetrosPrediçãoPredição

Ref: McCullagh, P. & Nelder, J.A. (1989). Generalized Linear Models. Chapman & Hall/CRC

Dobson, A. (2002). An Introduction to Generalized Linear Models. Chapman & Hall/CRC

Modelo Log-normal

Estrutura de um ML

iiYE iY

ippiii xxx 22110

Preditor Linear

Observação

ii

Modelo Log-normal

Estrutura de um MLG

iiYE iY

ippiii xxx 22110

Preditor Linear

Observação

)( ii g Função de ligação(link function)

Modelo Log-normal

Modelo Básico

ijij CY log

Ref: Renhaw, A.E. (1989). “Chain Ladder and Interactive Modelling”, Journal of the Institute of Acuaries, 116, 559-587.Christofides, S. (1990). “Regression Models Based on Logincremental Payments”, Claims Reserving Manual, 2, Institute of Actuaries, London.

Kremer,E. (1982). “IBNR-Claims and the Two-way Model of ANOVA”, Scandinavian Actuarial Journal, 47-55.

2,0N~, ijijijij mY

Modelo Log-normal

Modelo Básico

2,0N~, ijijjiijY

Ijim jiij ,2,

Modelo Log-normal

Modelo Básico - Reserva

1)ˆVar(expˆˆMSE ijijij mCC

)ˆ(Var

2

1ˆexpˆ

ijijij mmC

Modelo Log-normal

Modelo Básico - Reserva

12

21

2121,

,,, 1ˆ,ˆCovexpˆˆ2ˆMSEˆMSE

jjjj

ijijjijij

jii

ii

mmCCCR

2211

22

11

22112211

,,

,,,

, 1ˆ,ˆCovexpˆˆ2ˆMSEˆMSE

jijijiji

jijijijiji

ji mmCCCR

Modelo Log-normal

Problemas do Modelo Básico Somente admite valores positivos Super parametrizado Não há correção para o caso de correlação serial

Ref: De Jong, P. (2006). “Forecasting Runoff Triangles”, North American Actuarial Journal, 10, 2.

Modelo Log-normal

Modelo de Renshaw Curva de Hoerl

onde 1 jd

diji

ii edKC 1,

ieK i

0ie

10 Id

Modelo Log-normal

Modelo de Renshaw Curva de Hoerl

Menor número de parâmetros Pode-se extrapolar a estimação de

para

dddm iiii 1log)(

Ij jiC ,

ˆ

Modelos Dinâmicos

Modelo de De Jong & Zenhwirth

Modelo em Espaço de Estado Curva de Hoerl Evolução temporal das observações: sentido “ano

de calendário” Filtro de Kalman

Ref:

De Jong & Zehnwirth.,”Claims Reserving, State-space Models and the Kalman Filter”, Journal of the Institute of Actuaries, 110:157-181,1983.

Atherino, R. & Fernandes, C., “Um Modelo em Espaço de Estado para Estimação de Reservas IBNR”, Revista Brasileira de Risco e Seguro, 3, 5: 93-109.

Modelos Dinâmicos

Forma em Espaço de Estado

tt1ttt

tttt

ηRαTα

εαZyEq. das observações

Eq. do estado

)Q,0N(~η

)H,0N(~ε

tt

tt

Modelos Dinâmicos

Formação dos vetores y

Ano de origem

Desenvolvimento j

i 1 2 3 ... I

1 Y1,1 Y1,2 Y1,3 ... Y1,I

2 Y2,1 Y2,2 ... Y2,I-1

3 Y3,1 . .

. . . .

. . YI-1,2

I YI,1

t = i + j - 1t = i + j - 1

yI

y3

y2

y1

Sentido do filtro

Modelos Dinâmicos

Equação das observações

)(),1()( tujjtmty jj

)()1()()( tujtbjty jj

ou

Modelos Dinâmicos


)(),1()( tujjtmty jj

)()1()()( tujtbjty jj

ou

Abordagem De Jong & Zenhwirth (1983)

)1()( jjej onde 0 )()(

)1(d

d

ib

iii edK

Modelos Dinâmicos


tttt εαZy

)(

)(

)(

)1(

)1(

)(

)1(00

0)1(0

00)0(

)(

)(

)(

1

1

0

1

1

0

tu

tu

tu

b

tb

tb

tty

ty

ty

tt

Modelos Dinâmicos

Equação de Estado

)(

0

0

)1(

)2(

)1(

1000

0001

0001

)1(

)1(

)( 1

tv

b

tb

tb

b

tb

tb

t1ttt RαTα

)()1()( ivibib

Modelos Dinâmicos

Filtro de Kalman “Procedimento recursivo de obtenção do

estimador ótimo do vetor de estado no instante t, condicionado a toda informação até este instante”ref: Harvey, A. (1989) Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press.

Modelos Dinâmicos

Filtro de Kalman


)|(E| tttt Ya )|(Var| tttt YP


informação


informação




informação


informação

11

|1

|1

ˆ

ttt

tttttttt

tttt

aZY

RQRTPTP

aTa

111

1111

ttt

ttttt

ZPM

HZPZF

111111|1

1111111|1 )ˆ(

tttttt

ttttttt

MFMPP

yyFMaa

Substi

tuiçã

o

Modelos Dinâmicos

Filtro de Kalman



informação


informação



11

1

1

ˆ

)ˆ(

ttt

ttttttt

tttttt

aZy

RQRLPTP

yyKaTa

tttt

ttttt

ttttt

ZKTL

FZPTK

HZPZF

1

1

Modelos Dinâmicos

Previsão da Reserva

onde

11 ˆˆ IIaZR

S

a 111

aaHaZPaZR IIII 1111ˆMSE

Estruturação



AplicaçõesAplicações Considerações Finais

Aplicações

Dados AFGRef: MACK, T. “Which Stochastic Model is Underlying the Chain Ladder Method?”, Insurance: Mathematics and Economics, 15:133-138,1994.

Ano Desenvolvimento d

w 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 5012 3257 2638 898 1734 2642 1828 599 54 172

2 106 4179 1111 5270 3116 1817 -103 673 535

3 3410 5582 4881 2268 2594 3479 649 603

4 5655 5900 4211 5500 2159 2658 984

5 1092 8473 6271 6333 3786 225

6 1513 4932 5257 1233 2917

7 557 3463 6926 1368

8 1351 5596 6165

9 3133 2262

10 2063

Unidade: milhar de dólar

Aplicações

Dados AFGRef: MACK, T. “Which Stochastic Model is Underlying the Chain Ladder Method?”, Insurance: Mathematics and Economics, 15:133-138,1994.

Ano Desenvolvimento d

w 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 5012 3257 2638 898 1734 2642 1828 599 54 172

2 106 4179 1111 5270 3116 1817 -103 673 535

3 3410 5582 4881 2268 2594 3479 649 603

4 5655 5900 4211 5500 2159 2658 984

5 1092 8473 6271 6333 3786 225

6 1513 4932 5257 1233 2917

7 557 3463 6926 1368

8 1351 5596 6165

9 3133 2262

10 2063


Valor negativo será excluído no modelo log-normal

Aplicações

Comportamento de cada linha do triângulo

Aplicações

“Função básica” ou “função de base”)1(5.0)( jjej

Aplicações

Reservas Estimadas

Dados AFG

Ano de Origem

Mack % LogNormal % E.E. %

1 0 0 0 0 0 0

2 154 134% 357 210% 460 -

3 617 101% 1020 139% 1148 -

4 1636 46% 3064 107% 2238 -

5 2747 53% 3753 94% 3673 -

6 3649 55% 6010 87% 5033 -

7 5435 41% 7742 86% 7012 -

8 10907 49% 18806 87% 9953 -

9 10650 59% 25367 98% 12421 -

10 16339 150% 56475 137% 15511 -

IBNR 52135 52% 122595 70% 57472 43%


Estruturação



Aplicações Considerações FinaisConsiderações Finais

Considerações Finais

Não existe um modelo estatístico estritamente melhor em todas as situações.

O triângulo, em geral, é composto de poucos dados.

Extensões: modelos “micro-estruturais” com ou sem agregação (triângulo).

Ref: Taylor, G. & McGuire, G. (2004). “Loss reserving with GLMs: a case study”, Proceedings of the Spring 2004 Meeting of the Casualty Actuarial Society.

técnicas de previsão de reservas ibnr rodrigo simões atherino depto. de engenharia...

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