UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASINSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA

Luiz Antonio Amaro da Silva

O Caminho do cálculo

São Paulo – 2012

Universidade Estadual de Campinas

Instituto de Matemática, Estatística eComputação Científica

Luiz Antonio Amaro da Silva

O Caminho do Cálculo

Trabalho de conclusão de curso apresenta-do ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, UNICAMP, comorequisito parcial para a conclusão do curso

de especialização em Matemática, soba supervisão de redação do Prof. Elen V. P. Silva

Campinas2012

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Autoria: Luiz Antonio Amaro da Silva

Título: O Caminho do Cálculo.

Os componentes da banca de avaliação, abaixo listad os, consideram este trabalho aprovado.

Nome Instituição Assinatura

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Data da aprovação: ____ de _____________________ de _______

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AGRADECIMENTOS

Agradeço à minha família, pelo apoio e compreensão pela minhaausência durante o curso;

Agradeço às professoras Eliana Contharteze, Elen Viviani Pereira daSilva e ao professor Rogério Ferreira. Sem a ajuda dessas pessoas dedicadas,compreensivas e muito competentes não teria conseguido concluir estetrabalho. Agradeço à Deus por colocá-los no meu caminho.

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RESUMO

Este trabalho visa mostrar a importância de se obedecer a umaestratégia didática para o ensino da matemática, através de pesquisabibliográfica e acolhimento de trabalhos de diversos autores que tratam dotema.

Os resultados deixaram evidentes que não há uma programação oumecanização para facilitar a tarefa de resolver problemas, mas sim anecessidade de um empenho maior dos professores e dos alunos naconstrução de seu conhecimento, despertando o gosto pelo raciocínioindependente.

As estratégias para a resolução de problemas podem ser aplicadas deformas variadas. O importante é mostrar aos alunos que não existe umamaneira única e infalível e a criatividade deve ser fator preponderante em seuprocesso. É interessante também resolver problemas diferentes com asmesmas estratégias e aplicar diferentes estratégias para resolver os mesmosproblemas. Essa prática levará os alunos a terem mais facilidades emproblemas futuros.

Palavras-chave: resolução de problemas; estratégias didáticas; ensino damatemática

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ABSTRACT

This work aims to show the importance of obeying a teaching strategy forteaching math through literature and reception of works of various authors whodeal with the subject.

The results have left evident that there is no programming or mechanizationto facilitate the task of solving problems, but the need for a greater commitmentof teachers and students in building their knowledge, awakening the taste forindependent thinking.

Strategies for problem solving can be applied in various ways. Theimportant thing is to show to students that there is a unique and infallible andcreativity should be a major factor in the process. It is also interesting to solvedifferent problems with the same strategies and apply different strategies tosolve the same problems. This practice will lead the students to have morefeatures in future issues.

Keywords : Solving problems, didactic strategies, teaching mathematics

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SUMÁRIO

Introdução.........................................................................................................7

Resolução de Problemas: os quatro pilares básicos......................................10

Plano de Aula..................................................................................................15

Aplicações.......................................................................................................19

Descobrindo o centro da circunferência................................................19

Proporcionalidade da circunferência na razão “pi”................................19

Conclusão........................................................................................................21

Consideração Finais........................................................................................22

Referências Bibliográficas...............................................................................23

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INTRODUÇÃO

“... embora tão valorizada, a resolução de problemas é um dos tópicos mais difíceis de serem trabalhados na sala de aula. É muito comum os alunos saberem efetuar os

algoritmos e não conseguirem resolver um problema que envolva um ou mais desses algoritmos. Isso se deve à maneira com que os problemas matemáticos são

trabalhados na sala de aula e apresentados nos livros didáticos, muitas vezes apenas como exercícios de fixação dos conteúdos trabalhados.”

“Luiz Roberto Dante”

A matemática é a mais antiga das ciências. Por já ter caminhado muito sofreumuitas rupturas e reformas; possui um acabamento refinado e formal que a colocamuito distante de suas origens. Mas caminhou muito justamente por ser umadisciplina básica.

Nota-se um pragmatismo exagerado em sala de aula com aplicações e uso deregras, que tornam o aprendizado desinteressante e monótono, tanto para os alunoscomo para os professores. A autonomia e a criatividade ficam comprometidas, odescompromisso evidente e o que teria que ser prazeroso, torna-se uma obrigaçãosem nenhum estímulo.

Este trabalho visa mostrar a importância de se obedecer a uma estratégia didáticapara o ensino da matemática, através de pesquisa bibliográfica e acolhimento detrabalhos de diversos autores que tratam do tema.

A Matemática foi criada e vem sendo desenvolvida pelo homem em função denecessidades sociais. Na antiguidade o homem vivia da caça e competia com outrosanimais na busca de alimentos. Utilizava tão somente armas feitas de paus e pedrase necessitava apenas conhecer conceitos de “mais e menos” e “maior ou menor”,alguma forma de simetria para confeccionar porretes e nada mais.

Com o passar do tempo a caça e a coleta exigiram um grau maior deconhecimento do homem para que conseguisse manter e exercer suasnecessidades de subsistência. Eles precisavam confeccionar armas como arcos,flechas, redes e outros. Noções de perpendicularidade e paralelismo, além de

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conceitos de simetria, se faziam necessários para a produção de cestos e outrosobjetos com formas mais sofisticadas.

Por exemplo, o ato de arredondar objetos, posicionar-se ao redor de umafogueira ou de um animal de caça, a ação de girar objetos para acender fogo oufazer furos geraram a circunferência. Esticar, procurar a menor distância entre doispontos, a necessidade de fazer objetos cada vez mais retos são ações que gerarama reta.

Nas margens dos grandes rios de enchentes, a terra é permanentemente fértil, eentão muitas tribos se estabeleceram nessas regiões. As cabanas foram setransformando em casas e as aldeias em cidades, necessitando-se de projetos emedições com unidades de medida padronizadas. Com o avanço da sociedadesurgiu a necessidade de armazenamento de produtos em larga escala, de suacontabilização e controle.

O inicio da Antiguidade foi marcado por inúmeras novidades matemáticas. Ocomércio, as construções, a posse e a demarcação das propriedades, a navegaçãoe outras situações colocaram novas questões. Os egípcios criaram um calendário de365 dias, inventaram o relógio de sol e a balança, fundiram o cobre e o estanho(cuja mistura é o bronze) e outros metais.

Na idade Média os árabes disseminaram o sistema de numeração indo-arábico,que representou para Aritmética o que o alfabeto representou para a escrita. Suasimplicidade e facilidade para se fazer cálculos, devido seu sistema ser posicional,revolucionou a matemática

Nos séculos XV e XVI, na Itália, surgiram os números negativos para cálculo decréditos e dívidas. Posteriormente o cálculo da raiz quadrada dos números negativoslevaram a construção dos números complexos, destacando-se os grandesmatemáticos como Fibonacci, Tartaglia, Bombelli, Cardano e muitos outros.

No século XVII, com Descartes, Fermart e outros, surgiu a Geometria analíticacomo consequência do uso sistemático das coordenadas de navegação. Nessaépoca houve o desenvolvimento da Trigonometria e do Logarítmo para asimplificação dos cálculos astronômicos.

Uma nova revolução matemática completou-se com Viète, que passou a utilizarsímbolos matemáticos para qualquer demonstração, usando letras tanto paraquantidades conhecidas como para desconhecidas. A notação se formalizou,ficando mais rigorosa com símbolos sem conotações e operáveis segundo regras.As aplicações ficaram mais rápidas e generalizadas.

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Pouco depois, com Leibniz e Newton, completou-se a grande síntese do CálculoIntegral e Diferencial, que colocou nas mãos dos homens um formidável instrumentode poder.

Portanto, o homem começou a construir um ambiente artificial e se adaptou a ele.Aos poucos, com novas técnicas, foram aumentando a produção até atingirem osuficiente para suas necessidades. Como consequência o homem foi se tornandoindependente e sua fragilidade diante da natureza foi diminuindo à medida em queprogride nos seus conhecimentos

Nas diferentes etapas e áreas da educação percebe-se a necessidade de que osalunos obtenham habilidades e estratégias que lhes proporcionem a apreensão, porsi mesmos, de novos conhecimentos e não apenas a obtenção de conhecimentosprontos e acabados que fazem parte de nossa cultura, ciência e sociedade.

A partir deste contexto histórico, a aplicação de resoluções de problemas deforma adequada dentro das salas de aula se torna uma grande aliada no processoeducativo.

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Resolução de Problemas: os quatro pilares básicos

De acordo com Polya são quatro os pilares básicos de aplicação para a resoluçãode problemas:

1 - Compreensão :

É preciso compreender o problema. Nesse quesito é preciso perguntar-se:

• Qual é a incógnita ?

• Quais são os dados ?

• Qual é a condicionante?

• Caso seja possível, trace uma figura e adote uma notação adequada e de fácilentendimento.

2 - Estabelecimento de um plano:

Para alguns problemas torna-se obrigatório considerar problemas auxiliares paraencontrar uma conexão imediata. Procure relacionar o problema com algumparecido e que já tenha sido resolvido. Caso já tenha visto procure estabeleceralguma relação. Tente introduzir ou reformular o problema de modo a torná-lo maisgenérico. Em seguida veja se é possível resolver parte do problema, mantendoapenas uma parte do condicionante e deixando a outra de lado. Observe até queponto você progrediu para a solução da incógnita.

• É possível obter dos dados alguma coisa útil ?

• É possível variar a incógnita, ou os dados, ou todos eles, de tal maneira quefique mais próximos entre si ?

• Utilizou todos os dados ?

• Utilizou toda a condicionante ?

• Levou em conta todas as noções essenciais implicadas no problema ?

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3 – Execução do Plano:

Ao executar o plano de resolução, verifique cada passo.

• É possível verificar claramente que o passo está correto ?

• É possível demonstrar que ele está correto ?

4 – Retrospecto:

Examine a solução obtida.

• É possível verificar o resultado ?

• É possível verificar o argumento ?

• É possível chegar a um resultado por caminhos diferentes ?

• É possível utilizar o resultado em um problema similar ?

É necessário a mudança de ponto de vista sempre. Temos de mudar de posiçãode quando em quando. É provável que nossa concepção do problema seja muitoincompleta no princípio; a nossa perspectiva é outra depois de feito algumprogresso; e ela é ainda mais diferente quando estamos quase a chegar à solução.

É uma tolice responder a uma pergunta que não tenha sido compreendida. Oaluno precisa compreender o problema, mas não é só isso: deve também desejarresolvê-lo. Se lhe faltar compreensão e interesse, isto nem sempre será sua culpa.O problema deve ser bem escolhido, não deve ser nem muito difícil e nem muitofácil; deve ser natural e interessante. É também necessário dedicar um certo tempopara apresentar o problema.

O retrospecto é uma fase importante na resolução de um problema. Até alunoscom mais facilidades passam a analisar outros assuntos sem fazer essa fase muitoinstrutiva e fundamental no aprendizado. Ao fazer o retrospecto completo,reconsiderando, reexaminando o resultado final e o caminho que o levou até oresultado, seus conhecimentos serão aperfeiçoados e sua capacidade de resolverproblemas no futuro será ampliada.

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Um problema de demonstração:

Vamos considerar o seguinte problema de demonstração:

“Dois ângulos estão em planos diferentes, mas cada lado de um deles é paraleloao lado correspondente do outro e está também na mesma direção. Vamosdemonstrar que são iguais”.

Esse problema é submetido a estudantes que tenham conhecimento deGeometria Plana e noções de Geometria Espacial. O problema proposto é tratadono Livro XI de “Os Elementos” de Euclides.

Ao apresentar o problema, seguimos o roteiro de questionamentos ao aluno:

Pergunta: Qual é a hipótese ?

Resposta: Dois ângulos estão em planos diferentes. Cada lado de um é paraleloao lado correspondente do outro e tem também a mesma direção.

Pergunta: Qual é a conclusão ?

Resposta: Os dois ângulos são iguais.

Trace uma figura. Adote uma notação adequada.

O aluno traça as linhas e escolhe, ajudado pelo professor , as letras queaparecem na figura:

Pergunta: Qual é a hipótese ? Diga usando a notação.

Resposta: A, B, C não estão no mesmo plano A’, B’, C’ e AB \\ A’B’, AC \\ A’C’.Além disso, AB tem a mesma direção de A’B’ e AC a mesma de A’C’.

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Pergunta : Qual é a conclusão ?

Resposta: L BAC = L B’A’C’

Pergunta: A partir dessa conclusão, conhece algum teorema tenha a mesmaconclusão ou outra semelhante ?

Resposta: Se dois triângulos forem congruentes, os ângulos correspondentesserão iguais.

Muito bem , Eis um teorema correlato e já conhecido !

Pergunta: É possível utilizá-lo ?

Resposta: Parece que sim, mas não vejo como.

Pergunta: É preciso introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a suautilização ?

Resposta: O teorema citado é relativo a triângulos e refere-se a um par detriângulos congruentes.

Pergunta: Há algum triângulo na sua figura ?

Resposta: Não, mas posso traçar alguns. Ligando B a C e B’ a C’, haverá doistriângulos,

∆ ABC e ∆ A’B’C’

Pergunta: Para que servem esses triângulos ?

Resposta: Para demonstrar a conclusão: L ABC = L B’A’C’

Pergunta: Se quer demonstrar isto, de que tipo de triângulos precisa ?

Resposta: De triângulos congruentes. Está claro, posso escolher B, C, B’ e C’ detal maneira que AB = A’B’, AC = A’C’ 13

Pergunta: Que deseja agora demonstrar ?

Resposta: Quero demonstrar que os triângulos são congruentes, que ∆ ABC = ∆A’B’C’

Ótimo ! Se conseguir demonstrar isto, daí se seguirá imediatamente a conclusão,ou seja

LBAC = LB’A’C’

Considerando a conclusão podemos perguntar ao aluno:

Pergunta: Considerando a conclusão, conhece algum teorema correlato que tenhaa mesma conclusão ou semelhança ?

Resposta: Sim, dois triângulos são congruentes quando os três lados de um delesforem respectivamente iguais aos três lados do outro.

De acordo com o andamento feito, deduzimos que o aluno conseguiu deduzir eresolver o problema por seus próprios meios. Ele conseguiu perceber um resultadomatemático e distinguir entre demonstração e suposição. Na verdade, ele aproveitoualguma coisa das suas aulas de matemática. Ele tem uma certa experiência real deresolver problemas e pode conceber e aproveitar uma boa ideia.

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PLANO DE AULA

Tema: A circunferência;

Público Alvo: 7º ano do Ensino Fundamental;

Justificativa: A circunferência é a mais bela e perfeita figura geométrica emtermos de simetria. Sua característica principal é a equidistância dos pontos emrelação ao seu centro. Sua forma é única; qualquer que seja seu tamanho, ela éuma perfeita ampliação de uma outra circunferência menor. Sua beleza torna-semaior quando a estudamos com profundidade.

Objetivos Gerais: Promover o estudo da circunferência, suas característicasprincipais e aplicações nos mais variados campos da ciência e da arte.

Objetivos Específicos: Perseverar na busca de entendimento dascaracterísticas da circunferência, analisar algebricamente suas particularidades eaplicações. Comparar resultados de resoluções em situações problema, envolver atodos promovendo debates em grupos de forma cooperativa mútua e,individualmente incentivar o experimento como base fundamental para o completoentendimento.

Metodologia: Escolhe-se uma prática do cotidiano, como por exemplo, umsistema de irrigação de lavouras para dar inicio ao estudo da circunferência. Comoesse tema não é comum em nosso dia a dia, uma leitura prévia sobre o assunto sefaz necessária para dar início a aprendizagem. Para isso deve-se pedir comantecedência que os alunos façam uma pesquisa individual ou em grupo sobre otema, para que seja exposta em sala de aula. Com esse primeiro passo certamentehaverá uma familiarização do tema por parte de todos. O ato seguinte é permitir queos alunos leiam suas pesquisas e anotem suas dúvidas para serem sanadasposteriormente. Nessa etapa, permita que os alunos palpitem sobre o tema e se

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algum termo matemático relacionado for citado, intervenha e enfatize-o com omáximo de esclarecimentos.

Com base no que vimos em os “quatro pilares do ensino da matemática”, porG.Polya, o professor deve levantar questionamento e fazer perguntas, como:

Em sua opinião, quais são as vantagens desse sistema de irrigação ?

• Que relação existe entre o Sistema de irrigação com o propósito de se

estudar a circunferência ?

Com certeza o açodamento nas respostas por parte dos alunos será observada,uma vez que é próprio deles dar opiniões sobre assuntos de forma apressada.Podemos considerar esse fato muito bom, pois o primeiro objetivo já foi atingido, ouseja, a curiosidade.

Se as pesquisas forem bem feitas, os alunos vão perceber que a tubulação poronde a água é lançada são fixadas em uma torre central que gira em torno da área aser irrigada. A trajetória da água será uma circunferência e a área irrigada circular.

Atividade 1: Descobrindo o comprimento da circunferência de forma algébrica apartir de experimentos, bem como conhecer o raio, o diâmetro e a razão π (pi).

Material necessário: Objetos circulares, por exemplo, um CD, lata de ervilha,tampa de panela, moeda, fita métrica ou pedaço de barbante, régua, compasso efolha de sulfite.

Descrição das atividades:

• O professor pergunta aos alunos se existe alguma possibilidade de semedir o perímetro da circunferência utilizando a régua. Com a esperada negativa,todos irão perceber o motivo da inclusão do barbante na lista de materiaispreviamente pedidos.

• Pede-se aos alunos que meçam os objetos circulares trazidos de casa.O barbante fará o papel de parâmetro quando comparado com graduação darégua, caso o aluno não tenha fita métrica. Em seguida, faça-os anotarem osvalores em uma tabela pré-elaborada com os dados:

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1 – comprimento da circunferência;

2 – comprimento do diâmetro;

3 – razão entre a circunferência e o diâmetro.

Os valores próximos de 3,1 ou 3,2 farão com que os alunos percebam que acircunferência aumenta na mesma razão do seu diâmetro, ou seja, sãoproporcionais.

Nesse momento, uma importante abordagem deve ser feita pelo professorsobre a origem do mais famoso número irracional: o π (pi) . Um brilhantismo maiorpode ser dado mencionando-se brevemente o grande matemático da antiguidade,Arquimedes, na busca pelo valor da razão entre o perímetro da circunferência e seudiâmetro. Dado esse primeiro entendimento sobre o perímetro da circunferência e afacilidade com o sucesso da tarefa, o próximo passo será desenhar umacircunferência na lousa e pedir sugestões para a medição de seu perímetro.

Nessa etapa da aula, espera-se que uma espécie de “susto” surpreenda osalunos com a não possibilidade de se medir a circunferência com os instrumentosdisponíveis. O professor deve questionar e pedir sugestões de como se poderesolver esse problema. Um debate deve ser promovido e todas as sugestõesdevem ser consideradas.

A associação do raio ou do diâmetro com a medida da circunferência deverásurgir nessa discussão; caso isso não ocorra, o professor deverá induzi-los a pensardessa forma. Ele poderá, por exemplo, pedir para os alunos medirem o raio usandoo compasso usado na construção e verificar quantas vezes ele cabe nacircunferência. Ao checarem que o resultado é de aproximadamente seis vezes,pode-se então aproximar esse valor com o dobro de π (pi). A descoberta de semedir o comprimento da circunferência utilizando o dobro da razão π (pi)multiplicado pelo raio trará uma completa compreensão do problema proposto.

Atividade 2: Calculando o centro da circunferência a partir do encontro de duasmediatrizes.

Material necessário: Compasso e régua.

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APLICAÇÕES

Descobrindo o centro da circunferência.

A proposta foi definir o centro de uma circunferência e desenhar seu diâmetro.

No caderno de cada aluno foi desenhada uma circunferência sem a marcaçãodo centro. Após isso, foi solicitado a cada um que se descobrisse o seu centro etraçado também o seu o diâmetro.

Vários deles solicitaram a presença do professor para a averiguação da“descoberta” do possível centro, mas o simples posicionamento do compasso nolocal indicado mostrava que o cálculo estava errado e o que eles julgavam ser odiâmetro é na verdade uma corda.

Diante do “produtivo” fracasso, é esclarecido que o diâmetro temnecessariamente que passar pelo centro da circunferência e a descoberta domesmo é feito traçando-se duas mediatrizes a partir de três pontos quaisquerpertencentes a ela. O encontro das mesmas determina, com precisão, o seu centroe assim o diâmetro pode ser traçado.

Proporcionalidade da circunferência na razão π (pi)

Conforme previsto os alunos trouxeram diversas peças de formato circular,bem como barbantes e fitas métricas para as medições a serem praticadas.

Foi montado uma tabela na lousa, como o modelo abaixo e solicitado aosalunos que medissem alguns objetos trazidos, para a demonstração.

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Objetocircular

Comprimento(cm)

Diâmetro(cm)

Razão C/D

Média

A partir dos dados apresentados, os alunos foram questionados sobre osseguintes resultados:

• A medida do comprimento e do diâmetro variou de acordo com o objeto?

• Houve variação do valor da razão entre o comprimento da circunferência e dodiâmetro ?

• O que a média pode nos acrescentar em nossas observações?

Fica evidente a proporcionalidade de razão π (pi) entre a circunferência e o seudiâmetro.

A seguir, os alunos foram desafiados a medir a circunferência desenhada na lousacom os instrumentos que dispunham, ou seja, barbante e fita métrica. As tentativasforam infrutíferas e um acalorado debate aconteceu entre eles. Depois daimprecisão mostrada de forma inquestionável, surgiu a ideia de se utilizar o raiocomo referência na nossa tarefa. Com efeito, um aluno fazendo uso do compassopedagógico mediu o raio e demarcou de forma sequencial os pontos nacircunferência. Concluiu então que ela tinha aproximadamente 6 vezes o raio.

Daí a concluir que a multiplicação do diâmetro pelo valor aproximado da razão π(pi) resulta no comprimento da circunferência, foi observado de forma automática.

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CONCLUSÃO

Através desse trabalho foi possível perceber que os alunos não estão acostumadosa exercer essa prática de ensino, apesar de ser amplamente difundida entre ospesquisadores da Educação em Matemática. As eventuais tentativas impostas poralguns professores, no geral não são adequadas, pois não potencializam ascapacidades dos alunos.

Apesar de reconhecerem a importância da metodologia, a maioria dos docentestêm dificuldades em implantá-la. Conclui-se, portanto que uma força tarefa ou açãoconjunta se faz necessária, afim de que se possa viabilizar e tornar práticarecorrente essa proposta de ensino.

Durante a aplicação das aulas ficou nítido o entusiasmo demonstrado pelos alunos,com uma intensa e contagiante participação da maioria. Alguns deles questionaramsobre a possibilidade de se estender tal prática a outros temas, pois entendem que aaula exposta em forma de debate e interatividade facilita o entendimento e torna oaprendizado mais interessante e dinâmico.

Refletindo sobre meu desempenho como mediador no processo, percebi umamaior motivação e satisfação na arte de ensinar, elevando a auto estima emelhorando a empatia com os alunos.

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

A sala de aula pode ser comparada a uma peça teatral, onde a dramatizaçãocomandada pelo professor faz despertar nos alunos um fator motivador que inibe apadronização na didática de ensino. Quanto mais questionamentos e diversificaçãonas abordagens forem colocados sobre o tema, mais procura por soluções serãopropostos. O açodamento é característica comum durante a procura por soluções,pois todos querem levar os méritos por ter descoberto e deduzido o que se pede.Todas as considerações devem ser levadas em consideração e cabe ao professormediar e conduzir as observações de forma a manter a coerência das propostas.

É importante também incentivar as práticas na resolução de problemas desde oensino fundamental, para que haja envolvimento dos alunos com a linguagemmatemática e o desenvolvimento ocorra durante todo o período de escolarização.

Finalizando, deve ser meta prioritária nas aplicações dessas estratégias enraizarum comportamento de pesquisa nos alunos, estimulando a curiosidade epreparando-o para lidar adequadamente com novas situações, sendo motivado apensar, conhecer, ousar e resolver problemas dentro e fora da escola.

O intuito da escola é formar cidadãos críticos, que possam ser autônomos diantede situações desafiadoras.

Quando estamos lecionando devemos procurar colocar o assunto em umcrescendo de formalização. Cada período tem suas características, seu grau deabstração, de elaboração, de acabamento e é assim que o aluno deve construir amatemática. De certa forma a criança deve sozinha refazer a história dahumanidade, pois a criança não é um adulto em miniatura. Ela evolui, passa por“metamorfoses” e, em cada etapa, possui necessidades diferentes.

Visando uma sociedade mais justa, capaz de intervir no desenvolvimento dahumanidade crítica e criativamente, buscando uma melhoria na qualidade de vida docidadão, não é suficiente apresentar conhecimentos cristalizados e fora do contextomoderno. É preciso fazer com que os alunos tornem-se pessoas capazes deenfrentar situações diferentes dentro de contextos diversificados, que façam comque eles busquem aprender novos conhecimentos e habilidades. Só assim estarãomelhor preparados para adaptar-se às mudanças culturais, tecnológicas eprofissionais do mundo moderno.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978.

DANTE, Luiz Roberto. Criatividade e resolução de problemas na práticaeducativa. Matemática.

NETO, Ernesto Rosa Neto. Didática da Matemática . São Paulo: Ática, 2002.

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