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EDSON BARBOSA DA SILVA
APLlCA90ES DO CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
UTILIZANDO 0 MAPLE V
CURITIBA
2002
EDSON BARBOSA DA SILVA
APlICA<;:OES DO CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL UTILIZANDO 0MAPLE V
Monografia apresentada como requisito parcial a obten9ao do titulo deEspecialista em Educa9iio Matematica, Curso de P6s-Gradua9iio emEducayao Matemtdica, Universidade Tuiuti do Parana.
Orientador: Prof. MATEUS BERNARDES
CURITIBA2002Dedico esta monografia a esposa e filhos
III
RESUMO
o objetivo principal da disciplina Calculo Diferencial e Integral eapresentar ao estudante ferramentas objetivas, orientando-os a resultadosconcretos.
E de suma importancia que 0 academico visualize e renitagraficamente 0 comportamento e a soluc;ao do problema apresentado.
Aplicac;oes em forma de modelagem esta sendo urn elopositivo interagindo a matematica as aplica,oes na Biologia, na Quimica,na Fisica, em a diversas.
SUMARIO
Resumo .. ...... 111
Introdu9iio .. . 01
1.1 Objetivos .. . 01
1.2 Uma breve Historia do Caleulo .. . 01
1.3 Teenologia Edueaeional no ensino de ealeulo .. . 01
1.4 0 software Maple V .. .............. 01
1.5 A Importiineia do Trabalho .... . 02
1.6 Organiza9iio da Monografia .. . 02
2 Revisiio da Literatura .. ..04
3 Fun90es e Grafieos .. . 05
3.1 Constru9iio grafiea de algumas fun90es .. . 06
4 Derivadas .. ......... 08
4.1 Defini9iio de Derivadas .. . 08
4.2 Aplica9iio de Derivada no Maple V .. . 09
5 Integra9iio ... . 10
5.1 0 Teorema Fundamental do Caleulo ... .10
5.2 As Primitivas: Integrais Indefinidas .. . 11
7 Caleulo de Volume ... . 16
8 Conclusiio ... . 19
Referencias .. . 20
INTRODUQAo
1.1 OBJETIVOS
o ensina da matematica, teve inicio no periodo das antigas civiliza~oes,e
infiuenciou todo 0 seu desenvolvimento ate as dias atuais. Este trabalho busca
mostrar a importancia desta.
1.2 UMA BREVE HISTORIA DO CALCULO
Eo grande a responsabilidade do professor de matematica para os cursos
da area de engenharia, pois e atraves do dominic de calculos matematicos,
que 0 futuro profissional estara apta a solucionar diferentes problemas, como
calcular areas de regioes planas limitadas, tambem a volume de urn solido em
coordenadas cartesianas, cilindricas e esfericas.
1.3 TECNOLOGIA EDUCACIONAL NO ENSINO DE CALCULO
Pretende-sa aqui desenvolver uma metodologia com uma seqUencia de
conteudos matematicos adequados as reais necessidades dos futures
profissionais de engenharia, atraves do software Maple V.
1.4 0 SOFTWARE MAPLE V
Oepara-se com situac;:oes no cotidiano da pratica profissional, em que
profissionais, como tecnicos das diversas areas da ci€mcia exata, apresentam
dificuldades em apresentar a solU(;ao bern como uma representaC;Bo grafica da
situac;ao exposta.
1.5. IMPORTANCIA DO TRABALHO
A maior limitayc30 para a desenvolvimento deste trabalho e demonstrar a
capacidade de armazenamento de informagoes, a velocidade de operayao e a
precisao que fazem do usa do computador uma ferramenta indispensavel em
todas as atividades academicas, profissionais e domesticas. Porem, ensinar 0
aluno somente a operar urn computador naa garante a melhoria da qualidade
de ensina. E' de surna importancia que as estudantes estejam ao menos
familiarizados com 8ssa tecnologia, pois sao membros da futura sociedade.
Uma das principais raz6es do usa do computador na educag80 edesenvolver 0 raciocinio e possibilitar situayoes de resoluyao de problemas,
afim de despertar 0 pensamento do aluno.
1.6. ORGANIZACAO DA MONOGRAFIA
Este trabalho foi dividido em mais sete (7) Capitulos, alem desta
introduyao.
o 2° Capitulo traz a revisao bibliografica, com urn breve relato do que
existe de trabalhos que auxiliem na valida9clo da presente proposta.
o 3° Capitulo enfatiza as Func;oes e seus Graficos, urn modele de
aplicayao.
o 4° Capitulo apresenta a Derivada, a importfmcia fundamental, na
preparac;ao adequada dos alunos na area de modelagem do calculo diferencial
e integral.
o 5° Capitulo levanta urn breve hist6rico da Integral, a Teorema
Fundamentaldo Calculo.
o 60 Capitulo mostra atraves do Maple a resoluyao de areas
acompanhadas de seus graficos.
o 7° Capitulo traz a definiC;3o de urn solido, seu volume pela aplicag30
do Maple
o 8° Capitulo mostra as conclusoes do autor referentes ao avan90
tecnol6gico oriundo da informatiza9Bo, com software nos diversos segmentos,
principalmente na area da engenharia.
2 REVISAO DA LITERATURA
Em GEORGE 8. THOMAS, 2002, apresenta-se urn estuda sabre
problemas de revisao de matematica basic8, com 0 objetivo de preparar a
aluno para a calculo de engenharia. 0 autor da muita enfase a resolur;ao de
exercicios de matematica, visando com ista dar base suficiente para 0 aluno
poder resolver cal cui as matematicos.
Alern dissa, a trabalha de INDER JEET TANEJA., 1997, prap6ern urna
abordagem computacional no ensina de calculo dando enfase it construc;ao de
9n;ficas.
3 FUNI;OES E GRAFICOS
As fungoes sao as melhores ferramentas para descrever a mundo real
em termos matematicos. Este capitulo discute as ideias basicas das fungoes,
seus gn.ficos, abordando 0 MAPLE V.
Inumeras func;oes matematicas estao embutidas Qutras sao dadas a
seguir:
- funC;:8o exponencial
- fun,ao logaritmo natural
: exp(x);
: In(x);
- valor absoluto ou modulo : abs(x);
- raiz quadrada : sqrt(x);
- fun,oes trigonometricas : sin(x), cos(x), tan(x), sec(x), csc(x) e cot(x);
- 0 comando Ufactor" serve para fatorar a expresseo dada.
- 0 comando "nurner" serve para representar 0 numerador de uma fray8o.
- Ocomando "demom" serve para representar 0 denominador de uma frag8o.
- 0 comando "subs" serve para 5ubstituir 0 valor da expresseo por urn valor
fixe dado.
- 0 comando "expand" serve para expandir a expresseo dada.
- 0 comando ":=" serve para nomear uma expressao dada.
- 0 comando "rem(p(x),q(x),x}" fornece a resto da divisao de urn polinornio
p(x) par q(x).
- 0 comando "convert" serve para converter a operac;ao desejada.
- 0 comando "parfrac" serve para achar as fra~5es parciais.
- 0 comando "plot" serve para tra~ar graficos de func;Oes.
- 0 comando "plots[dispay]" e utilizado para colocar diversos graticos no
mesmo sistema.
- 0 comando "plots[textplot]" serve para colocar 0 nome da func;ao no grafico
no local escolhido no plano cartesiano.
3.1. CONSTRUCAO GRAFICA DE ALGUMAS FUNCOES
Construir as graficos das fun90es nurn mesmo sistema de coordenadas,
colocando as variac;Oes de x e y.
a) f(x) = x' - 3x - 2;
b) f(x) = 2x' + 2x - 8;
Resolu9ao:
plot(x'2-3·x-2.2·x'2+2·x-81.x=-10 .15,y=-15 ..15);
-10 ·8 ·6 ·4 10 12 14
·8·10·12·14
Func;ao trigonometrica:
Construir a grafieD da func;ao f(x) = sen6x + 2 cos2x, -1i s: x s: 1(
f: =x->sin (6*x) +2*cos (2*x) :
plot (f (x) , x=-Pi .. Pi, ti tIe=' Grafico da func;::aof');
4 DERIVADAS
~ chamado derivada quando S8 define a coeficiente angular de uma
curva como 0 limite dos coefrcientes angulares das secantes. Tem como
ferramenta medir a taxa de variayao de uma funyao e e urn dos conceitos mais
importantes de calculo. As derivadas sao muito usadas em engenharia,
ciemcia, economia, medicina e ciemcia da computac;ao para calcular a
velocidade e a acelerac;ao, para explicar a funcionamento de maquinas, para
estimar a diminuic;ao do nivel da agua quando ela e bombeada para fora de urn
tanque e para preyer as conseqOencias de erros carnetidos durante as
mediyoes.
4.1 Defini~iio de Derivada
A derivada de uma fungao f(x) em relagao a variavel x e a fungao f
cujo valor em x e:
I. f(x+II)-f(x)
EP h
Desde que 0 limite exista. Se f(x) existe para todos os valores no intervalo (a ,
b), entao f e chamada diferenciavel em (a , b). Uma interpretagao geometrica
de r (x) e a inclinagiio da reta tangente do grafico da f no ponto (x , f(x)).
o Maple permite computar a derivada das diversas func;oes utilizando as
seguintes comandos:
o comando "0" e "diff" serve para calcular a valor da derivada da func;ao.
o comando "slope" serve para representar a inclinac;ao da reta.
- 0 comando "Oiff" e utilizado para representar a func;ao na forma de
derivac;ao.
4.2 CALCULO DE DERIVADA NO MAPLE
Calcular a derivada das seguintes func;oes:
a) 11:=5'x'4-3'x'2-2/x;
f1 := 5x4- 3 X2 -2x
.,. diff(11,x);
11'= 20 x' -6x+2x'
b) > 12:=x->x'2'cos(x)'3;
.,. diff(12(x),x);
12' = 2x cos'(x) - 3 x' cos'(x) sin(x)
10
5 INTEGRAGAO
Vimos como a necessidade de calcular taxas de variac;ao
instantElneas levau as descobridores do calculo a uma inv85ti9a9;3.0
sobre os coeficientes angulares de retas tangentes ,as derivadas
calculo diferencial. Mas eles sabiam que as derivadas contavam 56 a
metade da hist6ria. Ah~m de urn metoda de calculo para descrever como
as fungoes estavam variando em urn dado momento, eles tambem
precisavam de urn metoda para descrever como essas variac;6es
instantaneas poderiam se acumular ao longo de urn intervalo para produzir
a fung8o. Ou seja, estudando como urn comportamento variou, eles queriam
conhecer 0 comportamento em s1. Por exemplo:
Partindo da velocidade de urn objeto em movimento, eles queriam ter
condiltoes de determinar sua posiltao em funltao do tempo. E por isso
que eles tambem investigavam areas sobre curvas, uma pesquisa que
acabou descobrindo 0 chamado calculo integral.
Como eles tinham 0 calculo para determinar coeficientes angulares
de retas tangentes e tambem para determinar areas sob curvas, duas
operagoes geometricas que pareciam nao ter relaltao entre si, 0 desafio para
Newton e Leibniz era demonstrar a ligaltao que eles sabiam intuitivamente
existir. A descoberta dessa ligayao ( chamada de Teorema Fundamental do
Calculo ) reuniu os calculos diferencial e integral, tornando-os a ferramenta
mais poderosa que os mate maticos ja obtiveram para entender 0 universo.
5.1 0 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO
a teorema fundamental do Calculo permite relacionar as operaltoes
de derivayao e integrayao. Conhecendo uma primitiva F(x) de uma funyao
continua f: [a , b ]-> IR pode-se calcular a integral definida:
If(x)d~F(b)-F(a)
II
o MAPLE oferece as seguintes comandos para resolver as integrais:
o comando "Int" serve para escrever a expressao em forma de integraL
o comando "int" e utilizado para calcular 0 valor da integral.
5.2 AS PRIMITIVAS: INTEGRAlS INDEFINIDAS.
Atraves dos comandos do MAPLE serao resolvidos as seguintes
integrais indefinidas:
int (x"3+5*x"2+3*x-5, x)
> smartplot(1/4*x ...4+S/3*x ....3+3/2*x ...2-5*x);
1000
Ive4000
3000
2000
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10x
12
int( (x"2+1) * (x"3+5*x+3) ....2, xl;
I ') 11.r" +x('+ 7 x'+ 9x"+ 34 x' + 15x2+9-,9-' + 7 3
smartplot (1/9 *x" 9+11 / 7 *x" 7+x .....6+7 * x'" 5+ 9 * x ....4+ 34 / 3 * x" 3+ 15 *x'" 2+ 9* x)
1e-+DB
Live
5e-+D7
-10 -6 -4 -2 2 4 6 B 10
-5e-+D7
-1e-+DB
int(exp(x) *sin(x) , x);
f eXsin(x) dx
1 1- 2 e'cos(x)+ 2 e'sin(.r)
smartplot(-1/2*exp (x) *cos (x) +1/2*exp (x) *sin (x» ;
6000
2 4-10 -8 -6 -4
5000
4000
3000
2000
1000
-2
13
10
int (log (x) /x"'2, x);
fIOg(X) ---,-(/.\
:c
In(.r)
.Y X
smartplot (-In (x) /x-l/x) ;
Live
1000
BOO
600
400
200
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10X
14
15
6 CALCULO DE AREAS
Agora podemos calcular areas usando primitivas, mas devemos ter cuidado
para distinguir a area 'resultante' ( em que a area sob a eixo x e computada
como negativa) da area total. A palavra "area' nao adjetivada sera usada para
representar area total.
6.1 UTILIZANDO 0 MAPLE PARA 0 CALCULO DE AREA.
Encontrar a area limitada par:
y = 5 - x, e y = x +3 no intervalo de -2 a 1
Solu9;;0:
Kl:=Int(S-x"2,x=-2 .. 1); 12
K2=Int (x+3, x=-2 .. 1); 15/2
I
K2= J x+3dx.,value (kl-k2) : 9/2
16
7 CALCULO DE VOLUMES
7.1 Defini~ao de volume de um solido
o volume de um solido compreendido entre os pianos x = a e x = b e cuja area
da secc;ao transversal par x e uma fun<;ao integravel A(x) e a integral de a ateb de A.
v = r A(x)dx
7.2. Calculo de Volume atraves do MAPLE
Encontrar 0 volume do s61idogerado pela rotac;:ao em torna do eixo dos
x, da regiaD limitada pel a curva y = X2 + X - 3 , 0 eixo x e as retas x = -3 e x = 3;
Resolu9ao
Resolve-s8 este exemplo construindo as graficos das func;oes e os
solidos de revoluyao e em seguida calcula-se as integrais necessarias.
a) Inicialmente, define-s8 a func;ao f dada e em seguida apresentamos 0 seu
9nifico:
f: = (x) ->x"2+x-3:plot(f{x) ,x=-3 .. 3);
17
4-
-3 -2 -1
-2
Em seguida constr6i-se a grafico de revolu9ao em tome do eixo x dando 0
seguinte comando:
plot3d ( [x, f (x) *cos (t) I f (x) *sin (t) ] I x=-3 .. 3, t;::::O_. 2*Pi) ;
A seguir, calculamos 0 volume do grafico obtido acima dando 0 seguinte
comando:
Pi*Int«x~2+x-3)~2/x=-3 ..3)=Pi*int«x~2+x-3)~2/x=-3 ..3) ;
Pi*Int«x~2+x-3)~2/x=-3 ..3)=Pi*int«x~2+x-3)~2/x=-3 ..3);
1
f' ~ 306TC .} (x- + x - 3) dx = -5- TC
Volume u.v.
18
19
CONCLUSAO
Atualmente0 Curso de Calculo Diferencial e Integral esta num
patamar elevado.
A informatica deu urn grande salta, atraves de software como
exemplo a MAPLE, e passivel visualizar graficamente e resolver as calculos
afim.
As dificuldades do passado deixa de existir, basta ter 0
dominic das ferramentas para solucionar as problemas apresentados.
Nos diversos setores, principalmente na engenharia
ganharam mais rapidez e resultados mais precisos.
20
REFERENCIAS
[1J ANTON, H. Calculo, um Novo Horizonte, volumes 1 e 2, 6' edi,ao. PortoAlegre: Bookman, 2000.
[2J BASSANEZI, R.C. e FERREIRA JR., W.C. Equa~6es Diferenciais comAplica~6es. Sao Paulo: Editora Harbra, 1988.
[3J GONCALVES, M.B. e FLEMMING, DV., Calculo A, vol. 1.Sao Paulo: MakranBooks, 2000.
[4J BOULOS. P. Calculo Diferencial e Integral, vol. 1. Sao Paulo: Makran Books,1999.
[5J BOULOS. P. e ABUD, Z.1. Calculo Diferencial e Integral, vol. 2. Sao Paulo:Makran Books, 2000.
[6J TANEJA, I.J. MAPLE VI Uma Abordagem Computacional no Ensino deCalculo. Florianopolis: Editora UFSC.
[7J FINNEY, RoosL.Calculo, vol.1 . Sao Paulo: Editora Addison Wesley.