taxas de juros simples

8/16/2019 Taxas de juros simples

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Matemática Financeira

Matemática FinanceiraMatemática FinanceiraJurosJuros SimplesSimples

1. Conceito de Juros

Juros é a remuneração em dinheiro que se paga ou serecebe pelo uso do dinheiro de outrem. Se uma pessoadeixa de usar a seu favor uma certa quantia para

, .investimos uma quantia no banco por um certo período,recebemos o valor investido acrescido dos juros.


2. Cálculo de Juros Simples

Antes de partirmos para as operações que envolvem jurossim les ve amos al uns conceitos relacionados ao tema:

● Capital (C): é o recurso financeiro com o qual se inicia atransação, ou seja, é o dinheiro que se empresta ou que se pega

emprestado. Também pode ser chamado de capital inicial ouprincipal.

● Taxa de Juros (i): é o valor dos juros, em uma unidade detempo, expresso como porcentagem do capital. Por exemplo, se

. . , ,período de 1 mês, o juro devido é 20%.C = 0,2 C. Se o capitalemprestado for, por exemplo, C = R$ 1.000,00, a cada mêsrende juros de (0,2).(R$ 1.000,00) = R$ 200,00.

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Como notação para os períodos mais comuns das taxas de juros, usaremos:

a.d. = ao dia;a.m. = ao mês;a.a. = ao ano;a.b. = ao bimestre;a.t. = ao trimesrtre;

a.q. = ao quadrimestre;a.s. = ao semestre.


● Montante (M): é o total pago no final da transaçãofinanceira, ou seja, é a soma do capital inicial (C) com os juros (J) do período em que o capital ficou empatado.Matematicamente, temos: M = C + J.

● Fórmula para o Cálculo de Juros Simples (J): Podemoscalcular os juros simples pela expressão: J = C.i.T., onde Té o prazo (tempo) em que o capital inicial fica empregado.



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Exemplo de aplicação da fórmula de juros simples:

● Qual o juro produzido por um capital de R$5.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 10% aomês, durante 1 ano?

Importantíssimo lembrar que, para aplicar a fórmulados juros simples, a taxa (i) e o prazo (T) devem serex ressos na mesma unidade de tem o ou se a se a taxa

estiver ao dia, o prazo deve ser em dias; se a taxa estiverao mês, o prazo deve ser em meses; se a taxa estiver aoano, o prazo deve estar em anos; e assim por diante.


Outros exemplos de cálculo de juros simples:

a) Calcular o montante produzido por um capital de R$6.000,00, aplicado a uma taxa de juros simples de 8% a.a.,pelo prazo de 2 anos.

b) Calcular o juro produzido por um capital igual a R$10.000,00 no prazo de 3 anos, considerando o regime de juros simples, a uma taxa de 5% ao trimestre.

c) Qual a taxa de juros simples anual que faz com que umcapital aumente de 50% no fim de 5 anos?



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d) Um capital de R$ 14.400,00, aplicado a 22% ao ano,rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo, emdias, esteve empregado?

e) O preço à vista de uma mercadoria é R$ 100.000,00. Ocomprador pode, entretanto, pagar 20% de entrada no atoe o restante em uma única parcela de R$ 100.160,00vencível em 90 dias. Admitindo-se o regime de jurossimples comerciais, qual a taxa de juros anuais cobrada na

ven a a prazo?


3. Montante Simples

Vimos que montante (M) é a soma do capital inicial (C)com o juro (J), ou seja, M = C + J. Mas J = CiT. Substituindo,vem: M = C(1 + iT).

Na fórmula do montante, o fator (1 + iT) é chamado defator de acumulação de capital a juros simples. Esse fator éaquele fator de acréscimo que vimos nos cálculos deporcentagens.

Vejamos os exemplos seguintes:a) Qual o montante produzido por um capital de R$ 4.000,00,aplicado a uma taxa de 1% a.m., durante 150 dias?



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b) Qual a quantia a ser aplicada em uma instituiçãofinanceira que paga a taxa de juros simples de 8% a.a., paraque se obtenha o montante de R$ 1.000,00 no fim de 4anos?c) Em quantos anos um capital aplicado a 5% ao mês, noregime de capitalização simples, triplicará?d) Um principal de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de jurossimples de 2,2% a.m., atingindo, depois de certo período,um montante equivalente ao volume de juros gerados poroutra aplicação de R$ 12.000,00 a 5% a.m.,

urante ano. ua o o prazo e ap caç o o pr me roprincipal?


4. Juro Comercial e Juro Exato

Para o cálculo dos juros simples existem duasconvenções utilizadas na Matemática Financeira: o jurocomercial (ou ordinário) e o juro exato. Vejamos cada um

deles:

4.1. Juro Comercial

É quando contamos o número de dias pelo anocomercial, ou seja, consideramos todos os meses com 30dias e o ano com 360 dias.



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Caso o enunciado da questão não diga nada sobre otipo de juros simples, já fica subtendido que devemosadotar o regime comercial (ou ordinário). Em outraspalavras: a regra é considerar o mês com 30 dias e o anocom 12 meses ou 360 dias, salvo se a questão se referir a juro exato, conforme veremos adiante.

Cabe lembrar que até agora, nos exemplos anteriores,consideramos juros comerciais, já que em nenhum deles foi

eito re erência a juro exato.


Exemplos:

a) O capital de R$ 6.000,00 foi investido a uma taxa de jurossimples de 6% a.a. durante 3 meses. Qual o juro obtido?

b) Qual o montante produzido por um capital de R$ 8.000,00,aplicado à taxa de 1% a.m., ao fim de 180 dias?



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4.2. Juro Exato

dias do nosso calendário comum, isto é, janeiro com 31 dias,fevereiro com 28 dias (ou 29 dias, se for ano bissexto), marçocom 31 dias, abril com 30 dias, e assim por diante, conforme ocalendário civil.

Enfim, no cálculo do juro exato, o ano deve serconsiderado pelo calendário civil, ou seja, 1 ano tem 365 diasou 366 dias (se for bissexto), e o número de dias depende do

.

Observação: Os anos bissextos são todos aqueles múltiplosde 4: ...2004, 2008, 2012, 2016, ...


Veja os exemplos seguintes:

a) Um empresário aplicou a quantia de R$ 10.000,00 emum investimento que lhe rende de juros simples 1% a.d (aodia). Se o investimento foi feito em 17/05, com vencimento

em 10/09 do mesmo ano, qual o total de juros simplesexatos obtido nessa operação?

b Um ca ital de R 2.400 00 foi a licado à taxa de 61%a.a, em 01 de fevereiro de 2000. Se o resgate foi efetuadono dia 10 de maio do mesmo ano, qual foi o juro exatorecebido pelo investidor?



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5. Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes

A taxa é um elemento universal, pois está presente emtodos os tópicos de Matemática Financeira. Daí, anecessidade de classificá-la.

A classificação mais geral de uma taxa é em simples oucomposta. A primeira para quando estivermos trabalhandono regime de capitalização simples, e a segunda para ore ime de ca italiza ão com osta.

Agora vejamos o que são taxas proporcionais e taxasequivalentes.


5.1. Taxas proporcionais

com os seus respectivos períodos de tempo. Por exemplo,consideremos as taxas de 72% a.a. (12 meses) e 6% ao mês.Elas são proporcionais, pois existe a proporção:72% = 6%.12 m 1 m

Vejamos outros exemplos:

a) Qual a taxa mensal proporcional a 24% a.a.?b) Qual a taxa anual proporcional a 1,5% a.m.?c) Qual a taxa trimestral proporcional a 36% a.a.?



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5.2 Taxas Equivalentes

São aquelas que, aplicadas sobre o mesmo capital, no mesmo, . ,

taxas são equivalentes, o efeito delas sobre o capital é o mesmo.Por exemplo, consideremos as taxas de 1% a.m. e 12% a.a, aplicadassobre o mesmo capital de R$ 1.000,00, durante o prazo de 1 ano.

O juro referente à taxa de 1% a.m. é: J = CiT = (1.000).(1%).(12) == R$ 120,00.

O juro referente à taxa de 12% a.a é dado por: J = CiT =(1.000).(12%).1 = = R$ 120,00.

Logo, as taxas de 1% a.m. e 12% a.a são equivalentes.


Importante saber que, no regime de capitalizaçãosimples, as taxas equivalentes também são proporcionais evice-versa. Portanto, quando a questão for de jurossimples, e vier falando em taxas equivalentes,entenderemos esse conceito como sinônimo de taxas

proporcionais. O mesmo não podemos dizer a respeito dosistema de capitalização composta, conforme veremos maisadiante, no capítulo seguinte.

Vejamos os exemplos a seguir:

a) Qual a taxa anual equivalente à taxa de juros simples de5% a.m.?



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b) Qual taxa bimestral equivalente à taxa de juros simples de12% a.a.?c) Uma pessoa aplicou R$ 1.500,00 no mercado financeiro e,após 5 anos, recebeu o montante de R$ 3.000,00. Qual a taxaequivalente semestral?

6. Prazo Médio e Taxa MédiaConsideremos os capitais C1, C2, C3, . . . , Cn, aplicados,

respectivamente, às taxas i1, i2, i3, ... , in, e pelos prazos T1, T2,T3, ... , Tn.

Denominamos prazo médio (Tm) a seguinte média

Tm = C1i1T1 + C2i2T2 + C3i3T3 + ... + CninTnC1i1 + C2i2 + C3i3 + ... + Cnin


Vejamos o exemplo:

● Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$50.000,00, foram aplicados à mesma taxa de juros simplesmensal durante 4, 3 e 2 meses, respectivamente. Qual o

prazo médio de aplicação desses capitais?

Denominamos taxa média (im) a seguinte médiaaritmética ponderada:

im = C1i1T1 + C2i2T2 + C3i3T3 + ... + CninTnC1T1 + C2T2 + C3T3 + ... + CnTn



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Vejamos o exemplo:

● Aplica-se, no regime de juros simples, o capital de R$3.000,00 por 1 mês, o capital de R$ 2.000,00 por 2 mesese o capital de R$ 1.000,00 por 90 dias. As taxas de jurossão, respectivamente, 24% a.a, 1% a.m e 5% a.m. Qual ataxa média de aplicação?


7. Saldo Médio

a ma or a as ns u ç es nance ras, ornec o cr o aosclientes através da concessão de cheques especiais, empréstimos,cartões etc. Para definir o valor dessas linhas de crédito, geralmente obanco utiliza o saldo médio da conta corrente.

Suponha os saldos C1, C2, C3, ..., Cn, durante os prazos T1, T2, T3,..., Tn. O saldo médio (Sm) é dado pela média ponderada:

Sm = C1T1 + C2T2 + C3T3 + ... + CnTnT1 + T2 + T3 + ... + Tn



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Veja o exemplo seguinte:

● Uma empresa apresentou em determinado mês os seguintessaldos credores:

- R$ 30.000,00 durante 10 dias;

- R$ 35.000,00 durante 12 dias;

- R$ 40.000,00 durante 9 dias.

Qual o saldo médio dessa empresa?


Questões de Concursos AnterioresQuestões de Concursos Anteriores

01. (FMP–RS/TCE–MT) O capital necessário pararender juros no valor de R$ 3.000,00, após oitomeses, aplicado à taxa de juros simples de 4% ao

mês, é:

a) R$ 960,00. ,

c) R$ 6.375,00d) R$ 8.139,59e) R$ 9.375,00



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02. (FMP–RS/TCE–MT) O rendimento de uma aplicaçãode R$ 1.200,00, à taxa de juros simples de 3% ao mês,

,

a) R$ 1.432,92

b) R$ 1.416,00

c) R$ 232,92

d) R$ 221,52

e) R$ 216,00


03. (FMP–RS/TCE–MT) O montante de uma aplicação deR$ 700,00, pelo prazo de seis semestres à taxa de juros simples de 40% ao ano é:

a) R$ 790,00

b) R$ 1.220,00c) R$ 1.540,00d) R$ 1.920,00e . ,



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04. (CESPE/CORREIOS) Se, no período de 4 meses eno regime de juros simples, a quantia de R$ 2.000,00aplicada em uma instituição financeira produz omontante de R$ 2.720,00, então a taxa mensal de juros praticada por essa instituição é:

a) superior a 8%;b) inferior a 2%;c su erior a 2% e inferior a 4%

d) superior a 4% e inferior a 6%;e) superior a 6% e inferior a 8%.


05. (FMP–RS/TCE–MT) O rendimento de R$ 1.500,00aplicados por três meses à taxa de juros simples de30% ao ano é:

a)R$ 112,50

b) R$ 1.612,50c) R$ 1.800,00d) R$ 3.784,15e . ,



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06. (CESGRANRIO/TRANSPETRO) Um aplicadorrealizou um investimento cujo valor de resgate é deR$ 80.000,00. Sabendo-se que a taxa de jurossimples é de 3,5% ao mês e que faltam 5 meses parao resgate, o valor da aplicação, em reais, foi de:

a) 68.085,10b) 66.000,00c 65.000 00

d) 64.555,12e) 63.656,98


07. (CESGRANRIO/TRANSPETRO) Considerando omês de 30 dias, qual o montante, em reais,correspondente a uma aplicação deR$ 125.000,00 por 225 dias, a uma taxa de jurossimples de 4,5 % ao mês?

a) 134.375b) 142.187,50c 166.815 75d) 167.187,50e) 171.876,50



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08. (FGV/SEFAZ–RJ) O número de anos para que umcapital quadruplique de valor, a uma taxa de 5% aomês, a juros simples, é:

a) 7,50b) 3,80c) 4,50d) 5,00

e ,


09. (FGV/SEFAZ–RJ) Um montante inicial foi aplicadoa uma taxa de juros simples de 5% ao mês durante 2meses e depois reaplicado a uma taxa de jurossimples de 10% ao mês durante 2 meses, resultandoem R$ 13.200,00. O valor do montante inicial era de:

a) R$ 18.500,00b) R$ 13.000,00c R 12.330 00d) R$ 11.000,00e) R$ 10.000,00



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10. (FCC/TRF–2ªREGIÃO) Denis investiu uma certaquantia no mercado de ações. Ao final do primeiromês ele lucrou 20% do capital investido. Ao final dosegundo mês, perdeu 15% do que havia lucrado eretirou o montante de R$ 5.265,00. A quantia queDenis investiu foi:

a) R$ 3.200,00b) R$ 3.600,00

c) R$ 4.000,00d) R$ 4.200,00e) R$ 4.500,00


11.(CESGRANRIO/PETROBRAS) Joana pediu à sua mãeum empréstimo de R$ 36.000,00 para ser pago no finalde 7 meses. Ficou combinado entre elas que aremunera ão do em réstimo seria de 36% a.a,calculado pelo regime de juros simples. Na datacombinada para o pagamento do empréstimo, Joanapediu mais 30 dias de prazo para quitar a dívida. Suamãe concordou em ampliar o prazo, mas cobrou, por

esses 30 dias adicionais, sobre o montante devido porJoana no 7º mês, uma taxa de juros simples de 6% at.Joana pagará à sua mãe, findo o 8º mês, em reais, omontante de:a) 43.560,00

. ,c) 44.640,00d) 44.866,80e) 46.173,60



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12. (FCC/SEFAZ-SP) Uma pessoa aplicou um capital emum banco que remunera os depósitos de seus clientes auma taxa de juros simples de 12% ao ano. Completados 6meses ela retirou o montante corres ondente a estaaplicação e utilizou R$ 20.000,00 para liquidar uma dívidanesse valor. O restante do dinheiro aplicou em outrobanco, durante um ano, a uma taxa de juros simples de1,5% ao mês. No final do período, o montante da segundaaplicação apresentou um valor igual a R$ 28.933,60. Asoma dos juros das duas aplicações é igual a:

a) R$ 10.080,00

b) R$ 8.506,80c) R$ 7.204,40d) R$ 6.933,60e) R$ 6.432,00


13. (FCC/PREF. DE SÃO PAULO–SP) Uma pessoanecessita efetuar dois pagamentos, um de R$ 2.000,00daqui a 6 meses e outro de R$ 2.382,88 daqui a 8

. ,capital C à taxa de 3% ao mês, de forma que:

- daqui a 6 meses possa retirar todo o montante, efetuar

o pagamento de R$ 2.000,00 e, nessa data, aplicar orestante a juros simples, à mesma taxa, pelo resto doprazo;

- daqui a 8 meses possa retirar todo o montante dasegun a ap caç o e e e uar o segun o pagamen o,ficando com saldo nulo e sem sobras.



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Nessas condições, o valor de C é igual a:

a) R$ 3.654,00

b) R$ 3.648,00

c) R$ 3.640,00

d) R$ 3.620,00

e) R$ 3.600,00


14. (FCC/TRT–RS) Na compra de um par de sapatos,Lucimara pode optar por duas formas de pagamento:à vista, por R$ 225,00; R$ 125,00 no ato da compramais uma parcela de R$ 125,00, um mês após acompra. Se Jucimara optar por fazer o pagamento

parcelado, a taxa mensal de juros simples cobradanesse financiamento é de:

a) 10%b) 20%c) 25%d) 27%e) 30%



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15.(CESGRANRIO/PETROBRAS) Maria quer compraruma bolsa que custa R$ 85,00 à vista. Como nãotinha essa quantia no momento e não queria perder aoportunidade, aceitou a oferta da loja de pagar duasprestações de R$ 45,00, uma no ato da compra eoutra um mês depois. A taxa de juros mensal que aloja estava cobrando nessa operação era de:

a) 5,0%

b) 5,9%c) 7,5%d) 10,0%e) 12,5%


16.(CEPERJ/PREF.CANTAGALO–RJ) Uma loja cobra juros de 20% ao mês. Para um artigo que pode sercomprado por R$110,00 à vista, a loja oferece aopção de pagamento em duas parcelas iguais, umano ato da compra e outra um mês depois. O valor de

cada parcela é:

a) R$ 60,00b) R$ 62,00c) R$ 64,00d) R$ 66,00e) R$ 67,00



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17.(CESGRANRIO/TRANSPETRO) Certo investidor, quedispunha de R$ 63.000,00, dividiu seu capital em duaspartes e ap cou-as em o s un os e nvest mento. Oprimeiro fundo rendeu 0,6% em um mês, e o segundo,1,5% no mesmo período. Considerando-se que o valordo rendimento (em reais) nesse mês foi o mesmo emambos os fundos, a parte do capital aplicada no fundocom rendimentos de 0,6% foi:

. ,

b) R$ 27.000,00c) R$ 36.000,00d) R$ 45.000,00e) R$ 54.000,00


18.(FCC/BANCO DO BRASIL) Faustino dispõe de R$22.500,00 e pretende aplicar esta quantia a juross mp es, o segu n e mo o: o o a axamensal de 2,5% e, na mesma ocasião, o restante àtaxa de 1,8% ao mês. Supondo que durante 8 mesessucessivos Faustino não faça qualquer retirada, ao

término desse período o montante que ele obterá dasduas aplicações será igual, em R$, a:

a) 25.548,00b) 26.496,00c) 26.864,00d) 27.586,00e) 26.648,00



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19. (FCC/TRE–RN) Um investidor aplica 30% de seucapital a uma taxa de juros simples de 12% ao ano,

.uma taxa de juros simples de 18% ao ano, durante20 meses. Se a soma dos montantes das duasaplicações é igual a R$ 31.600,00, então o valor dos juros da segunda aplicação supera o valor dos jurosda primeira aplicação em:

a) R$ 3.600,00

b) R$ 3.900,00c) R$ 4.200,00d) R$ 4.500,00e) R$ 4.800,00


20. (CESPE/UFBA) Acerca de conhecimentos deMatemática Financeira, julgue o item seguinte emcerto (c) ou errado (e).● Uma empresa gratifica anualmente os funcionários naproporção direta do tempo de serviço de cada um. X

trabalha na empresa há três anos e aplicou sua gratificaçãoa uma taxa de juros simples de 35% ao ano, enquanto Ytrabalha na empresa há quatro anos e preferiu outro tipode aplicação que lhe renderia juros simples de 30% ao ano.

e o mon an e que rece eu, ap s meses, oR$ 2. 900,00, então X recebeu, após 12 meses, R$ 525,00de juros.



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21. (VUNESPE/FUNDAÇÃO CASA) Um capital foiaplicado no sistema de juros simples durante 20meses, e o montante recebido ao final da aplicaçãofoi igual a 5/4 do capital inicial. A taxa anual de jurossimples dessa aplicação foi:

a) 15%b) 18%c 20%

d) 22%e) 25%


22. (CESGRANRIO/PETROBRAS) Um equipamentopode ser adquirido com o pagamento de uma entradade 30% do valor à vista e mais uma prestação de R$1.386,00 para 60 dias. Se a taxa de juros simplescobrada no financiamento é de 5% ao mês, o valor à

vista, em reais, é:

a) 1.800,00b) 2.000,00c) 2.100,00d) 2.200,00e) 2.500,00



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23. (FCC/SEFAZ-SP) Um capital no valor de R$12.500,00 é aplicado a juros simples, durante 12

,15.000,00. Um outro capital é aplicado, durante 15meses, a juros simples a uma taxa igual à daaplicação anterior, produzindo juros no total de R$5.250,00. O valor do segundo capital supera o valordo primeiro em:

a) R$ 5.850,00

b) R$ 6.000,00c) R$ 7.500,00d) R$ 8.500,00e) R$ 10.000,00


24. (FCC/TRT–MG) João deseja tomar R$ 600,00emprestados e ofereceu a um credor devolver essa

data de empréstimo. O credor aceitou essa oferta, com acondição de que João, na hora do empréstimo,desembolsasse R$ 10,00 para pagamento de fotocópias

de alguns documentos. Para João, dos números abaixo,o que mais se aproxima da taxa efetiva de juros dessatransação é:

a 3 42%b) 3,76%c) 4,20%d) 4,51%e) 4,74%



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25. (ESAF/SERPRO) Uma conta no valor de R$ 1.000,00deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 5. Onão pagamento no dia do vencimento implica uma multa

uma taxa de permanência de 0,1% por dia útil deatraso, calculada como juros simples, sobre o valor daconta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 19 domesmo mês considerando que não há nenhum feriadobancário no período.

a) R$ 1.019,00. ,

c) R$ 1.020,00d) R$ 1.030,00e) R$ 1.025,00


26. (ESAF/FTM–FORTALEZA) Os capitais iniciais de R$8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 foramap ca os mesma axa e uros s mp es pe osprazos de 8, 5 e 9 meses, respectivamente. Obtenhao tempo necessário para que a soma desses capitaisproduza juros, à mesma taxa, iguais à soma dos

juros dos capitais individuais aplicados nos seusrespectivos prazos.

a) 6 meses;b) 6 meses e meio;c) 7 meses;d) 7 meses e dez dias;e) 7 meses e dezoito dias



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27. (ESAF/AFRFB) A quantia de R$ 10.000,00 foiaplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril aodia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os jurosobtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando oscentavos.

a) R$ 705,00b) R$ 725,00c R 715 00

d) R$ 720,00e) R$ 735,00


28. (ESAF/PREF. FORTALEZA–CE) Os capitais de 200,300 e 100 unidades monetárias são aplicados a jurossimples durante o mesmo prazo às taxas mensais de4%, 2,5% e 5,5%, respectivamente. Calcule a taxamensal média de aplicação destes capitais.

a) 2,5%b) 3%c 3 5%d) 4%e) 4,5%

taxas de juros simples

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