matemÁtica financeira - regra de trÊs simples / juros simples

MATEMÁTICA FINANCEIRA MATERIAL - AULA 1 por JESSYGA TAVARES

REGRA DE TRÊS SIMPLES / JUROS SIMPLES

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1. REGRA DE TRÊS SIMPLES

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores

dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhe-

cidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º passo: Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na

mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º passo: Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º passo: Montar a proporção e resolver a equação.

CÁLCULOS DE EXEMPLO

Exemplo 1

Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60 m² de parede. Quantos litros de tintas serão neces-

sários para pintar 450 m², nas mesmas condições?

1º passo: Tabela

Observe que, quanto maior a área a ser pintada maior será a quantidade de tinta, então podemos

dizer que a regra de três é diretamente proporcional. Nesse caso não invertemos os termos, multipli-

camos cruzado, veja:

60 * x = 18 * 450

60x = 8.100

x = 8.100

60

x = 135 l

Resposta: Serão necessários 135 litros de tintas para pintar uma parede de 450 m².

Observação:

Diretamente proporcional = se a 1ª grandeza aumenta, a 2ª grandeza também aumenta; ou

se a 1ª grandeza diminui, a 2ª grandeza também diminui.

Litros Área em m² Litros Área em m²

18 60 18 60

x 450 x 450



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Exemplo 2

Márcia leu um livro em 4 dias, lendo 15 páginas por dia. Se tivesse lido 6 páginas por dia, em quanto

tempo ela leria o mesmo livro?

Dias Páginas por dia Dias Páginas por dia

4 15 x 15

x 6 4 6

Observe que agora a situação é a seguinte, se ela ler mais páginas por dia demorará menos tempo

para ler o livro, caso ela diminua as páginas lidas por dia aumentará o tempo de leitura, nesse caso

a regra de três é inversamente proporcional, então devemos inverter a coluna em que se encontra a

incógnita e depois multiplicar cruzado.

6 * x = 4 * 15

6x = 60

x = 60

6

x = 10 dias

Resposta: Se passar a ler 6 páginas por dia levará 10 dias para ler o livro.

Observação:

Inversamente proporcional = se a 1ª grandeza aumenta, a 2ª grandeza diminui; ou

se a 1ª grandeza diminui, a 2ª grandeza aumenta.

Tabela de Proporção Direta e Inversamente Proporcional:

1ª grandeza 2ª grandeza proporção

Aumenta Aumenta Direta

Diminui Diminui Direta

Aumenta Diminui Inversa

Diminui Aumenta Inversa



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2. DIFERENÇA ENTRE CAPITAL E MONTANTE

CAPITAL “C”

Quando se fala em aplicação ou empréstimo em uma questão, estaremos sempre nos referindo ao

CAPITAL investido ou adquirido, a mesma coisa acontece quando a questão se refere ao valor princi-

pal, esta também é uma referência ao CAPITAL.

Logo, aplicação ou financiamento ou empréstimo ou valor principal = CAPITAL = C.

O Capital pode ser representado por várias siglas e sinônimos.

As representações mais usuais são: C (de Capital); P (de Principal).

Sem o CAPITAL você não tem como calcular nem o JUROS nem o MONTANTE.

MONTANTE “M”

O MONTANTE é o valor da soma total de algo ou de alguma coisa. Nesse sentido, podemos dizer que, se

você tem 3 chocolates e uma pessoa lhe dá de presente mais 3 chocolates, o seu MONTANTE será de 6

chocolates, ou seja, o valor final que se obteve. Também pode ser chamado de valor de resgate, quan-

do se tratar de investimento; e valor de pagamento (dívida total), quando se tratar de empréstimos.

Também quando se fala em valor futuro, faz-se referência ao MONTANTE.

Logo, valor de resgate ou de pagamento ou valor futuro ou final = MONTANTE = M.

No que nos referimos às fórmulas de juros simples e composto, temos que o MONTANTE será igual o

CAPITAL + JUROS incidentes.

Fórmula do MONTANTE:

3. DEFINIÇÃO DE JUROS E PRAZO.

JUROS “j”

O JURO é a quantia que se paga além do valor principal.

Por definição, o JURO é a remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro.

Ao solicitar um empréstimo em uma financeira, você estará obrigado a pagar um valor maior que o va-

lor que você recebeu emprestado.

Este valor pago a mais se chama JURO.

M = C + j

Onde:

M = Montante

C = Capital

j = juros



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É expresso como um percentual sobre o valor emprestado (taxa de juro) e pode ser calculado de duas

formas: juros simples ou juros compostos. Pode ser pelo empréstimo de dinheiro, lucro de capital

emprestado, atraso de pagamento, etc..

Quando se fala em rendimento em alguma questão, esta é uma referência ao valor dos JUROS cobrados.

PRAZO

Prazo tem a ver com período, assim como vencimento, que nos cálculos de juros é a mesma coisa que

tempo, este sendo representado pela letra “n” ou “t”.

Logo, prazo ou período ou vencimento = TEMPO = n

MEDIDAS DE TEMPO

1 mês (comercial) = 30 dias

1 ano (comercial) = 360 dias

1 ano (normal) = 365 dias e 6 horas

1 ano (bissexto) = 366 dias

1 semana = 7 dias

1 quinzena = 15 dias

1 bimestre = 2 meses

1 trimestre = 3 meses

1 quadrimestre = 4 meses

semestre = 6 meses

1 biênio = 2 anos

1 lustro ou 1 quinquênio = 5 anos

1 década = 10 anos

1 século = 100 anos

1 milênio = 1.000 anos

Os períodos mais utilizados são os destacados na cor verde.

4. TRANSFORMAÇÃO DE TAXA

A TAXA é representada pela letra “i” e pode ser identificada em sua forma percentual e unitária.

Na forma percentual, vê-se o símbolo da porcentagem “%”.

Para transformar um valor percentual em unitário, deve-se apenas dividi-lo por 100;

E para transformar um valor unitário em percentual, deve-se multiplicá-lo por 100.

Exemplo 1

Transformar os valores a seguir para a forma unitária:

a) i = 12% i = 12 100 i = 0,12

b) i = 145% i = 145 100 i = 1,45

c) i = 1,7% i = 1,7 100 i = 0,017

d) i = 0,00003% i = 0,00003 100 i = 0,0000003

Dica: Para facilitar o cálculo, quando um número é dividido por 100, basta deslocar a vírgula duas ca-sas decimais para a esquerda. Desta forma:

a) i = 12% i = 0, 1 2 i = 0,12

b) i = 145% i = 1, 4 5 i = 1,45

c) i = 1,7% i = 0, 0 1 7 i = 0,017

d) i = 0,00003% i = 0, 0 0 00003 i = 0,0000003



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Exemplo 2

Transformar os valores a seguir para a forma percentual:

a) i = 0,1234 i = 0,1234 * 100 i = 12,34%

b) i = 0,000671 i = 0,000671 * 100 i = 0,0671%

c) i = 3,219 i = 3,219 * 100 i = 321,9%

d) i = 0,00003 i = 0,00003 * 100 i = 0,003%

Dica: Para facilitar o cálculo, quando um número é multiplicado por 100, basta deslocar a vírgula duas casas decimais para a direita. Desta forma:

a) i = 0, 1 2 34 i = 12,34%

b) i = 0, 0 0 0671 i = 0,0671%

c) i = 3, 2 1 9 i = 321,9%

d) i = 0, 0 0 003 i = 0,003%

5. INTERPRETAÇÃO

Deve-se prestar bastante atenção no enunciado das questões, por tudo é uma questão de interpretação.

Capital: Valor que está sendo emprestado ou investido.

Juro: É a remuneração paga pelo uso do dinheiro. O juro é uma forma de produção de renda, através de

certo capital.

Período: É o tempo durante o qual o capital será aplicado.

Montante: É a soma do capital com o juro produzido em todo o período.

Sempre, quando for resolver uma questão de juro simples ou compostos, faça a identificação dos valo-

res que foram dados na questão, para poder se organizar e assim descobrir qual fórmula deverá utilizar

em sua resolução.

6. JUROS SIMPLES

Na modalidade de JUROS SIMPLES o cálculo do juro de cada período é sempre calculado com base no

capital inicial.

Ao trabalhamos com juros, consideramos as seguintes variáveis:

C: Capital ou principal é quantia aplicada ou tomada emprestada.

n: É o período de tempo em que o capital será aplicado.

j: É o juro resultante da operação.

i: É a taxa percentual aplicada ao capital para a apuração do juro.

M: O montante é a soma do capital com o juro produzido em todo o período.



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No caso de juros compostos, após cada período, o valor dos juros é adicionado ao capital (montante)

antes do cálculo do próximo juro. Desse modo temos juros calculados sobre juros.

Imagine que você tome emprestado, a juros simples, a importância de R$ 5.000,00, pelo prazo de 3 me-ses, à taxa de 5% ao mês. Qual será o valor que você deverá pagar como juro, decorrido este período de tempo? Qual o montante a ser pago?

Embora você possa se utilizar de fórmulas para a resolução deste problema, o ideal é que você consiga abstrair a ideia por trás do mesmo.

Vamos aos cálculos!

O valor do juro em cada período será:

100 * x = 5 * 5.000

100x = 25.000

x = 25.000

100

x = R$ 250,00

Ou seja ao final de cada período, além dos cinco mil reais emprestados, você estará devendo mais R$ 250,00 correspondente ao juro do período em questão.

Compreendida a esquemática por trás do cálculo dos juros, do explicado acima, podemos deduzir várias fórmulas.

Quando tivermos o valor do capital, a taxa de juros e o tempo da aplicação, para a obtenção do juro iremos utilizar a fórmula:

Quando tivermos o valor do juro, a taxa de juros e o tempo da aplicação, para a obtenção do va-lor do capital utilizaremos a fórmula:

Quando tivermos o valor do juro, o valor do capital e o tempo da aplicação, para a obtenção da taxa de juros utilizaremos a fórmula:

Quando tivermos o valor do juro, o valor do capital e a taxa de juros, para a obtenção do tempo da aplicação iremos utilizar a fórmula:

Para o cálculo do montante utilizaremos a fór-mula:

As suas variantes são:

e

Utilizando-se destas fórmulas, o problema acima pode ser resolvido da seguinte forma:

Identificando-se as variáveis disponíveis, temos:

A calcular temos:

j: O valor do juro.

M: O valor do montante.

Valor Porcentagem

R$ 5.000,00 100%

x 5%



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Inicialmente utilizaremos a fórmula:

Substituindo o valor dos termos temos:

Logo:

Para o cálculo do montante utilizaremos a fór-mula:

Substituindo o valor dos termos temos:

Portanto:

Ou seja, uma importância de R$ 5.000,00 emprestada a juros simples, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 5% a.m. resultaria em juros totais de R$ 750,00 e em um montante de R$ 5.750,00 como já havíamos apurado anteriormente.

Resposta: Juros totais de R$ 750,00

Montante de R$ 5.750,00

Para a forma de capitalização simples (juros simples), também podemos usar a fórmula de MONTANTE:

Questões resolvidas de juros simples:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE JUROS SIMPLES

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125

dias.

SOLUÇÃO:

Temos: j = C*i*n

C = R$ 40.000,00

i = 36% a.a. 36÷100 = 0,36 a.a.

n = 125 dias 125÷360 = 0,347222222 ano

j = ?

j = 40000*0,36*0,347222222 = R$ 5.000,00

REGRA!

Taxa e período devem ficar sempre na mesma

unidade de tempo!

Deve-se converter sempre a unidade de período

“n” para a unidade da taxa “i”, pois alterações na

taxa podem interferir no resultado a longo pra-

zo.

M = C(1+ i*n) Onde:

M = Montante C = Capital i = taxa n = juro

M = C + j (1ª fórmula)

j = C*i*n (2ª fórmula)

Então podemos substituir na 1ª fórmula:

M = C + C*i*n

Colocando o C em evidência, temos M = C(1 + i*n)



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2 - Um empréstimo de R$ 8.000,00 rendeu juros de R$ 2.520,00 ao final de 7 meses. Qual a taxa de ju-

ros do empréstimo?

SOLUÇÃO:

Temos: j = C*i*n

C = R$ 8.000,00

i = ?

n = 7 meses

j = R$ 2.520,00

2520 = 8000*i*7

2520 = 56000*i

56000i = 2520

i = 2520÷56000 = 0,045 a.m

0,045 * 100 = 4,5% a.m.

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias?

SOLUÇÃO:

Temos: j = C*i*n

C = ?

i = 1,2% a.m. = 1,2÷100 = 0,012 a.m.

n = 75 dias = 75÷30 = 2,5 mês

j = R$ 3.500,00

Observe que expressamos a taxa i e o período n

em relação à mesma unidade de tempo, ou seja,

meses.

Logo,

3500 = C*0,012*2,5

3500 = C*0,03

0,03C = 3500

C = 3500÷0,03

C = R$ 116.666,67



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4 - Por quanto tempo um capital de R$ 11.500,00 foi aplicado para que rendesse R$ 1.725,00 de juros

simples, sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 4,5% a.m.?

SOLUÇÃO:

Temos: j = C*i*n

C = R$ 11.500,00

i = 4,5% a.m. = 4,5÷100 = 0,045 a.m.

n = ?

j = R$ 1.725,00

1725 = 11500*0,045*n

1725 = 517,5*n

517,5n = 1725

n = 1725÷517,5

n = 3,3333... meses

n = 3 meses + 0,3333... de um mês

n = 3 meses + 1/3 de um mês

= 3 meses e 10 dias

5 - Que capital produziu um montante de R$ 20.000,00, em 8 anos, a uma taxa de juros simples de 12%

a.a.?

SOLUÇÃO:

Temos: M = C*(1 + i*n)

C = ?

i = 12% a.a. = 12÷100 = 0,12 a.a.

n = 8 anos

M = R$ 20.000,00

20000 = C(1 + 0,12*8)

20000 = C(1 + 0,96)

20000 = C(1,96)

1,96C = 20000

C = 20000÷1,96 = R$ 10.204,08



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EXERCÍCIOS - REGRA DE TRÊS

1. Três caminhões transportam 200m³ de areia. Para transportar 1600m³ de areia, quantos ca-minhões iguais a esse seriam necessários?

2. A comida que restou para 3 náufragos seria su-ficiente para alimentá-los por 12 dias. Um deles resolveu saltar e tentar chegar em terra nadan-do. Com um náufrago a menos, qual será a dura-ção dos alimentos?

3. Para atender todas as ligações feitas a uma em-presa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo cada uma delas, em média, a 125 ligações diá-rias. Aumentando-se para 5 o número de telefo-nistas, quantas ligações atenderá diariamente cada uma delas em média?

4. Um pintor, trabalhando 8 horas por dia, durante 10 dias, pinta 7.500 telhas. Quantas horas por dia deve trabalhar esse pintor para que ele pos-sa pintar 6.000 telhas em 4 dias?

5. Em uma disputa de tiro, uma catapulta, operan-do durante 6 baterias de 15 minutos cada, lança 300 pedras. Quantas pedras lançará em 10 ba-terias de 12 minutos cada?

6. Dez guindastes móveis carregam 200 caixas num navio em 18 dias de 8 horas de trabalho. Quantas caixas serão carregadas em 15 dias, por 6 guindastes, trabalhando 6 horas por dia?

7. Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um congestio-namento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média desse ônibus?

8. Sabendo que os números a, 12 e 15 são direta-mente proporcionais aos números 28, b e 20, determine os números a e b.

9. Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colo-cada na vertical em relação ao chão e projetou uma sombra de 53 cm. Qual seria a sombra pro-jetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?

10. Uma certa quantidade de suco foi colocado em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de suco?

EXERCÍCIOS - JUROS SIMPLES

1. Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos pagarei pelo empréstimo? Qual o preço do computa-dor sem os juros?

2. Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de 2,4% a.m. Por quantos anos eu pagarei por este materi-al?

3. Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00, após decorridos 3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.?

4. O valor principal de uma aplicação é de R$ 2.000,00. Resgatou-se um total de R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da taxa de juros a.d.?

5. Timóteo pagou mensalmente, pelo período de 1 ano, por um curso que à vista custava R$ 1.800,00. Por não ter o dinheiro, financiou-o a uma taxa de juros simples de 1,3% a.m. Qual o valor total pago pelo curso? Qual o va-lor dos juros?

6. Um aplicador investiu R$ 35.000,00 por 1 semestre, à taxa de juros simples de 24,72% a.a. Em quanto o capital foi aumenta-do por este investimento?

7. Em uma aplicação recebi de juros R$ 141,75. O dinheiro ficou aplicado por 45 dias. Eu tinha aplicado R$ 3.500,00. Qual foi a taxa de juros a.a. da aplicação?

8. Maria Gorgonzola realizou uma aplicação por um período de 1 bimestre. Em tal período o capital de R$ 18.000,00 rendeu a ela R$ 1.116,00 de juros. Qual foi a taxa de juros a.a. utilizada?

9. Maria recebeu R$ 5.000,00 de juros, por um empréstimo de 1 mês. A taxa de juros aplicada foi de 37,5% a.a. Quanto Maria havia empres-tado?

http://www.matematicadidatica.com.br/JurosSimplesExercicios1.aspx#anchor_ex9






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10. Ambrózio recebeu R$ 1.049,60 de juros ao aplicar R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s. Qual foi o prazo da aplicação em meses?

11. Calcule o montante e os juros referentes a um capital de R$ 45.423,50 investido a 0,3% a.d., durante 1,5 anos.

12. Gusmão tomou emprestado R$ 32.000,00, pa-gando durante 2 anos, à taxa de juros simples de 2,54% a.t. Qual o juro resultante após os 2 anos?

13. Para reformar o seu carro, um taxista realizou um empréstimo a uma taxa de juros simples de 2,64% a.m. A duração do empréstimo foi de 220 dias, qual o juro pago para o empréstimo de R$ 7.000,00?

14. Qual o valor dos juros e do montante resultan-tes de um empréstimo de R$ 15.478,50 feito pelo prazo de 5 bimestres, à taxa de 7,5% a.b.?

15. Qual o valor dos juros correspondente a um empréstimo de R$ 37.200,00 realizado pelo prazo de 3 bimestres, à taxa de 91,2% a.a.?

16. Minha irmã, ao todo, pagou R$ 322.800,00 por sua casa. Sei que de juros ela pagou

R$ 172.800,00. A taxa foi de 1,2% a.m. Por quantos anos ela pagou pelo imóvel? Qual o preço da casa sem os juros?

17. Comprei uma joia a prazo, pagando um total de R$ 9.825,20. O seu valor à vista era de R$ 7.700,00 e a taxa de juros é de 4,6% a.m. Por quantos semestres eu fiquei com esta dí-vida?

18. Marcinha retirou de uma aplicação o total R$ 80.848,00, após decorridos 5 trimestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 15.648,00. Qual a taxa de juros a.b.?

19. O valor principal de uma aplicação é de R$ 10.000,00. Resgatou-se um total de R$ 19.000,00 após 1 semestre. Qual o valor da taxa de juros a.d.?

20. Pedro pagou mensalmente, pelo período de 3 semestres, por um equipamento que custa R$ 5.300,00, a uma taxa de juros simples de 1,89% a.m. Qual o valor total pago? Qual o va-lor dos juros?







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GABARITOS

GABARITO - REGRA DE TRÊS

1. 24 caminhões

2. 18 dias

3. 75 ligações

4. 16 horas

5. 400 pedras

6. 75 caixas

7. 60 Km / h

8. 16

9. 371 cm

10. 40 latas

GABARITO - JUROS SIMPLES

1. O valor do computador sem os juros era de R$ 2.500,00 e o prazo de pagamento foi de 2 anos.

2. Eu ficarei pagando pelo material da reforma por 1,5 anos.

3. 4,2% a.b. é a taxa de juros da aplicação na qual Aninha investiu.

4. A taxa de juros da aplicação resgatada é de 0,75% a.d.

5. O valor dos juros foi de R$ 280,80, que acrescentado ao preço do curso de R$ 1.800,00, totalizou R$ 2.080,80.

6. Com investimento o capital aumentou R$ 4.326,00.

7. 32,4% a.a. foi a taxa de juros simples da aplicação.

8. A aplicação de Maria Gorgonzola foi realizada à uma taxa de juros simples de 37,2% a.a.

9. Maria havia emprestado R$ 160.000,00, pelo qual recebeu R$ 5.000,00 de juros, à taxa de 37,5% a.a. pelo período de 1 mês.

10. O prazo da aplicação foi de 4 meses. Aplicação esta que rendeu a Ambrózio R$ 1.049,60 de juros ao investir R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s.

11. Ao aplicarmos um capital de R$ 45.423,50 investido a 0,3% a.d., durante 1,5 anos, obteremos um ju-ro total de R$ 73.586,07 e um montante de R$ 119.009,57.

12. Ao tomar emprestado R$ 32.000,00 à taxa de juros simples de 2,54% a.t., por 2 anos Gusmão pagará de juros um total de R$ 6.502,40.

13. O capital de R$ 7.000,00 emprestado a 2,64% a.m., durante 220 dias resultou em um juro total de R$ 1.355,20.

14. O valor dos juros será de R$ 5.804,44, resultante do empréstimo de R$ 15.478,50 à taxa de 7,5% a.b., pelo prazo de 5 bimestres. O montante será de R$ 21.282,94.

15. O valor dos juros será de R$ 16.963,20, correspondente ao empréstimo de R$ 37.200,00 à taxa de 91,2% a.a., pelo prazo de 3 bimestres.

16. O valor da casa sem os juros era de R$ 150.000,00 e o prazo de pagamento foi de 8 anos.

17. Eu fiquei pagando tal dívida por 1 semestre.

18. 3,2% a.b. é a taxa de juros da aplicação na qual Marcinha aplicou.

19. A taxa de juros da aplicação resgatada é de 0,5% a.d.

20. O valor dos juros foi de R$ 1.803,06, que acrescentado ao preço do equipamento de R$ 5.300,00, to-talizou R$ 7.103,06.

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