MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES1www.pontodosconcursos.com.brAula 1 Matemtica - Correios Apresentao.............................................................................................................................. 2Juros............................................................................................................................................. 2Regimes de Capitalizao ........................................................................................................ 5Capitalizao Simples ............................................................................................................... 7Capitalizao Composta ........................................................................................................... 7Juros Simples.............................................................................................................................. 8Juros Compostos...................................................................................................................... 29Perodo de Capitalizao .................................................................................................... 30Frmula do Montante Composto........................................................................................ 30Comparao entre as Capitalizaes Simples e Composta ............................................. 31Relao das questes comentadas nesta aula................................................................... 36Gabarito ..................................................................................................................................... 40MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES2www.pontodosconcursos.com.brApresentao Ol pessoal! Alguns alunos enviaram alguns e-mails para mim solicitando que alguns assuntos fossem vistos com uma maior urgncia. Atendendo aos pedidos, fiz a seguinte modificao no contedo programtico das aulas: Aula 1Taxasdejurossimplesecompostas, capital, montante. Aula 2Desconto Simples e Desconto CompostoAula 3Sistemas de medida de tempo. Sistema mtrico decimal. Nmeros e grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Porcentagem. Aula 4Nmerosrelativosinteirosefracionrios, operaesepropriedades.Mltiplose divisores, mximo divisor comum e mnimo mltiplo comum. Nmeros reais. Expresses numricas. Aula 5Equaes e sistemas de equaes de 1 grau Aula 6Princpios de geometria: permetro, rea e volume. Juros Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado perodo de tempo, costumamos cobrar certa importncia, o juro, de tal modo que, no fim do prazo estipulado, disponhamos no s da quantia emprestada, como tambm de um acrscimoquecompenseano-utilizaodocapitalfinanceiro,pornossa parte, durante o perodo em que foi emprestado. O conceito de juros pode ser fixado atravs das expresses: i)Dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado nossa disposio. ii)Remunerao do capital empregado em atividades produtivas, ou ainda, remuneraopagapelasinstituiesfinanceirassobreocapitalnelas aplicado. NOCONFUNDAjuroscomlucro,poisolucroorigina-sedeatividades produtivaseobtidopeladiferenaentrereceitasedespesas. Tampoucodevemosconfundircomcorreomonetria,poisestavisa apenas corrigir os efeitos da inflao, sem remunerar o capital. MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES3www.pontodosconcursos.com.brEm suma, o juro corresponde ao aluguel recebido ou pago pelo uso de certo capital financeiro. Ilustrarei atravs de um pergunta uma observao importantssima que todo estudante de matemtica financeira deve saber: Voc prefere receber R$100.000,00 hoje ou daqui a 20 anos? importante perceber que o valor de uma quantia depende da poca qual ela est referida. Umaspectomuitorelevanteodeconsiderarosvaloresemseu momentonotempo.Avaloraoquefazemosdealgoestdiretamente associada ao momento em que ocorre. O elemento que faz a equivalnciadosvaloresao longo do tempo o juro, que representa a remunerao do capital. Os juros so fixados atravs de umataxapercentualquesempreserefereaumaunidadedetempo:ano, semestre, trimestre, ms, dia. Exemplo: 24% ao ano 24%. . 6% ao trimestre 6%. . 2, 5% ao dia 2, 5%. .i a ai a ti a d= == == =Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i a inicial da palavra inglesa interest, que significa juros.Logo,ograndeobjetivodaMATEMTICAFINANCEIRApermitira comparaodevaloresemdiversasdatasdepagamentoourecebimentoeo elementochaveparaacomparaodestesvaloresataxadejuros.Na prticadaMatemticaFinanceira,ojurooelementoquenospermitelevar um valor datado de uma data para outra, isto , so os juros que nos permitem levarumValorPresenteparaumValorFuturoouvice-versa.Enfim,soos juros que nos permitem comparar valores e decidirmos pela melhor alternativa de compra, venda ou pagamento. Imaginequeomeubancocobraumataxade6%aomsnousodocheque especial.Eemdeterminadoms,preciseipegaremprestadodobancoR$ 2.000,00.Quevaloreudevodepositarnaminhacontadaquiaummspara saldar a dvida?MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES4www.pontodosconcursos.com.brOra, se a taxa de juros de 6% ao ms e eu peguei emprestado R$ 2.000,00, ento para saldar a minha dvida eu devo pagar os R$ 2.000,00 e mais os juros cobrados pelo banco. O juro que irei pagar daqui a um ms ser 6% de 2.000. Ou seja, 66% de 2000 2000 120 100j = = = Ovalortotalquedevodepositarnaminhacontaparasaldaraminhadvida igual a 2.000+120=2.120. importanteobservarquenoclculoanterior,ataxadejuros6%foi transformadaemfraodecimalparapermitiraoperao.Assim,astaxasde juros tero duas representaes: i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a. ii) Sob a forma de frao decimal (taxa unitria): 60, 06 100 =Arepresentaoempercentagemacomumenteutilizada;entretanto, todos os clculos e desenvolvimentos de frmulas sero feitos atravs da notao em frao decimal. Na situao descrita acima, podemos perceber os principais elementos de uma operao de juros. Imaginequeomeubancocobraumataxade6%aomsnousodo chequeespecial.Eemdeterminadoms,preciseipegaremprestadodo bancoR$2.000,00.Quevaloreudevodepositarnaminhacontadaquia um ms para saldar a dvida? Capital (C) Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor presente, valoratual,montanteinicial,valordeaquisio,valorvista.Nonosso exemplo,odinheiroquepegueiemprestadodobanco.Temosento,no nosso problema, que o capital igual a R$ 2.000,00. Juros(J)Quandoumapessoaemprestaaoutraumvalormonetrio, durantecertotempo,cobradoumvalorpelousododinheiro.Essevalor denominado juros. C=R$2.000,00 J=R$ 120,00 MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES5www.pontodosconcursos.com.brTaxa de juros (i) A taxa de juros representa os juros numa certa unidade de tempo.Ataxaobrigatoriamentedeverexplicitaraunidadedetempo.Por exemplo, se eu vou ao banco tomar um emprstimo e o gerente me diz: Ok! O seu emprstimo foi liberado!! E a taxa de juros que ns cobramos de apenas 8%.Ora,ainformaodessegerenteestincompleta.Poisseosjurosforem de 8% ao ano... timo!!! E se essa taxa de juros for ao dia?? Portanto, perceba que a indicao da unidade da taxa de juros FUNDAMENTAL. Tempo(n)Quandofalamosemtempo,leia-seNMERODEPERODOS. Nonossoexemplo,seeuficassedevendoaobancopor3meses,onosso nmero de perodos seria igual a 3. Agora, imagine a seguinte situao. Toma-se um emprstimo com a taxa de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se voc demorar 6 meses para efetuar o pagamento da dvida, o seu n, ou seja, o seu tempo no ser igual a 6. O seu tempo ser igual a 3!!! Pois a taxa bimestral, e em um perodo de 6 meses temos 3 bimestres. No nosso exemplo, a taxa era mensal e eu usei o cheque especial durante apenas um ms. Montante(M)Podeserchamadodemontante,montantefinal,valor futuro. o valor de resgate. Obviamente o montante maior do que o capital inicial. O montante , em suma, o capital mais os juros. Podemos ento escrever que M=C+J. Asoperaesdeemprstimosofeitasgeralmenteporintermdiodeum bancoque,deumlado,captadinheirodeinteressadosemaplicarseus recursose,deoutro,emprestaessedinheiroaostomadoresinteressadosno emprstimo. Regimes de Capitalizao Osjurossonormalmenteclassificadosemsimplesoucompostos, dependendodoprocessodeclculoutilizado.Ouseja,seumcapitalfor aplicado a certa taxa por perodo, por vrios intervalos ou perodos de tempo, o valordomontantepodesercalculadosegundoduasconvenesdeclculo, chamadasderegimesdecapitalizao:capitalizaosimples(juros i=6% a.m. n = 1 ms M=R$2.120,0 MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES6www.pontodosconcursos.com.brsimples)ecapitalizaocomposta(juroscompostos).Vejamosdois exemplos para entender os esses dois tipos de capitalizao. MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES7www.pontodosconcursos.com.brCapitalizao Simples De acordo com esse regime, os juros gerados em cada perodo so sempre os mesmos. Imagineaseguintesituao:ApliqueiR$10.000,00ajurossimplesdurante5 anos taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada perodo e o montante aps o perodo de aplicao. Comoaprprialeituradataxaindica:20%aoano(vinteporcentoaoano). Cada ano, de juros, receberei 20%. 20% de quem? De R$ 10.000,00!! Os juros gerados no primeiro ano so 2010.000 2.000100 =. Os juros gerados no segundo ano so 2010.000 2.000100 =. Os juros gerados no terceiro ano so 2010.000 2.000100 =. Os juros gerados no quarto ano so 2010.000 2.000100 =. Os juros gerados no quinto ano so 2010.000 2.000100 =. NACAPITALIZAOSIMPLESosjurosgeradosemcadaperodoso sempreosmesmos,ouseja,ataxaincideapenassobreocapitalinicial. Dessa forma, o montante aps os 5 anos vale R$ 10.000,00 (capital aplicado) mais5vezesR$2.000,00(juros).Concluso:omontanteigualaR$ 20.000,00 (lembre-se que o montante o capital inicial mais o juro). Capitalizao Composta Noregimedecapitalizaocomposta,ojurogeradoemcadaperodo agrega-seaocapital,eessasomapassaarenderjurosparaoprximo perodo. Da que surge a expresso juros sobre juros. Ateno!! OS JUROS SO PAGOS SOMENTE NO FINAL DA APLICAO!!! MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES8www.pontodosconcursos.com.brImagine a seguinte situao: Apliquei R$ 10.000,00 a juros compostos durante 5 anos taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada perodo e o montante aps o perodo de cada aplicao. Osjurosgeradosnoprimeiroanoso 2010.000 2.000100 =eomontante aps o primeiro ano 10.000+2.000=12.000. Osjurosgeradosnosegundoanoso 2012.000 2.400100 =eomontante aps o segundo ano 12.000+2.400=14.400. Osjurosgeradosnoterceiroanoso 2014.400 2.880100 =eomontante aps o terceiro ano 14.400+2.880=17.280. Os juros gerados no quarto ano so 2017.280 3.456100 = e o montante aps o quarto ano 17.280+3.456=20.736. Osjurosgeradosnoquintoanoso 2020.736 4.147, 20100 =eomontante aps o quinto ano 20.736+4.147,20=24.883,20. Observao: Se a operao de juros for efetuada em apenas um perodo, omontanteserigualnosdoisregimes.Nonossoexemplo,se parssemosaaplicaonoprimeiroms,teramosummontantedeR$ 12.000,00 nos dois regimes de capitalizao. Verifique! Juros Simples Comovimosanteriormente,jurossimplessoaquelescalculados sempresobreocapitalinicial,semincorporarsuabasedeclculoosjuros auferidos nos perodos anteriores. Ou seja, os juros no so capitalizados. Vejamos outro exemplo para entendermos bem a frmula de juros simples. Imagine que voc aplique R$ 5.000,00 taxa de juros simples de 3% ao ms. Ento, ao final do primeiro ms de aplicao, o juro produzido ser: 33% de 5.000 5.000 150 =100 = MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES9www.pontodosconcursos.com.brOu seja, para calcular o juro produzido no primeiro ms, basta multiplicar ataxadejurospelocapitalinicial.Como,soboregimedecapitalizao simples, os juros produzidos em cada perodo so sempre iguais, podemos concluir que, se esse capital fosse aplicado por 10 meses, produziria juros de: 150 x 10 = 1.500. Apartirdesseexemplo,fcilcompreenderafrmulaparaoclculodojuro simples. Adotaremos as seguintes notaes: O juro produzido no primeiro perodo de aplicao igual ao produto do capital inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso exemplo. E, consequentemente, o juro produzido em n perodos de aplicao ser: J Ci n = (1) E, lembrando tambm que o montante a soma do capital com os juros produzidos, temos a seguinte frmula abaixo: M C J = +(2) Substituindo a frmula (1) na frmula (2), temos ento a seguinte expresso: M C = Ci n+ Em lgebra,Csignifica 1C , portanto, 1 M C Ci n = + Colocando o C em evidncia,(1 ) M C= i n + (3) C Capital inicial i taxa de juros simples n tempo de aplicao J juro simples produzido durante o perodo de aplicao. M montante ao final da aplicao J MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES10www.pontodosconcursos.com.brDevemos saber memorizadas as frmulas (1), (2) e(3)!!! J Ci n = (1) M C J = +(2) (1 ) M C= i n + (3) E devemos estar atentos a algumas observaes importantssimas... Para comear, deve-se utilizar a taxa na forma fracionria ou unitria. Assim, por exemplo, se a taxa for de 10%, utilizamos 10 ou 0,1. 100 As unidades de tempo de referncia do perodo de aplicao e da taxa devem ser iguais. Assim, se a taxa for mensal, o tempo dever ser expresso em meses; se a taxa for bimestral, o tempo dever ser expresso em bimestres; E assim sucessivamente. Casoataxaeoperododeaplicaonoestejamexpressosnamesma unidadedetempo,precisoprimeiroexpress-losnamesmaunidade,antes de utilizar as frmulas. Exemplo i=3% a.m. n=150 dias. Nestecaso,antesdeutilizarmosasfrmulas,devemosexpressarienna mesma unidade. O mais simples, neste, expressar ambos em meses. Assim, teremos: i=3% a.m. n= 5 meses Observequenoexemploacima,paraconverterdiasemmeses, consideramos que 1 ms equivale a 30 dias (ms comercial). Vamos praticar um pouco... MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES11www.pontodosconcursos.com.br(BancodaAmazniaS.A.-Economia2010CESPE-UnB)Julgueos prximos itens acerca de clculos financeiros bsicos. 01. Considerando o ms comercial, a taxa de juros simples equivalente taxa de 12% ao ms para um prazo de 3 meses e 10 dias de 40%. Resoluo Duastaxassoditasequivalentesquando,aplicadasaummesmocapital inicial,pelomesmoprazo,produzemomesmomontante(e,logicamente,o mesmo juro). Essadefiniodetaxasequivalentesaplica-setantoajurossimplesquantoa juros compostos!! S que falar em taxas equivalentes no regime simples o mesmo que falar em taxas proporcionais. Ouseja,paracalculartaxasequivalentesnoregimesimplespodemosfaz-lo utilizando uma regra de trs simples e direta. Temos uma taxa de 12% ao ms (30 dias). Queremos calcular a taxa de juros para 3 meses e 10 dias ( 3 x 30 + 10 = 100 dias). Taxa de Juros Dias 12% 30 x 100Assim,30 100 12% x = 30 1200% x =40% x =O item est CERTO. 02.AaplicaodeR$23.500,00durante8mesestaxadejurossimplesde 9% ao ano produzir um montante inferior a R$ 22.000,00. Estranhoesseitemouno?ComoquealgumaplicaR$23.500,00eretira ummontanteinferioraR$22.000???Oitemobviamenteesterrado.De acordocomorealmontante,achoqueointuitodoCespeseriacolocarum montanteinferioraR$42.000.Bomdequalquerforma,vamoscalcularoreal montante para praticar. Resoluo Temos a nossa disposio todas as informaes necessrias para o clculo do montante.Podemoscalcularojurosimplesparadepoisacrescentarocapital MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES12www.pontodosconcursos.com.braplicado,usandoafrmuladejurossimples.Podemostambmaplicar diretamente a frmula do montante no regime simples. Observe que a taxa de juros e o tempo de aplicao j esto na mesma unidade. A taxa de juros igual a 9% = 0,09 ao ms. J Ci n= 23.500 0, 09 8 J = 16.920 J = Assim, o montante igual a 23.500 16.920 40.420 M = + = Poderamos ter aplicado diretamente a frmula do montante. (1 ) M C= i n + 23.500 (1 0, 09 8)23.500 1, 72 40.420MM= + = = O item est ERRADO. 03. (UnB CESPE TRT 6 Regio 2002) Julgue o item seguinte. Seumcapitalaplicadoajurossimplesduranteseismesestaxamensalde 5% gera, nesse perodo, um montante de R$ 3.250,00, ento o capital aplicado menor que R$ 2.600,00. Resoluo Aprimeirapreocupaoquedevemosteremumaquestodejurossimples quanto conformidade da unidade de tempo com a unidade de taxa de juros. Nesseitemtantoataxadejurosquantoaquantidadedeperodosesto expressos em meses. Ok! Queremossaberocapitalqueaplicadodurante6mesesaumataxadejuros simplesde5%=0,05aomsgeraummontantedeR$3.250,00.Devemos aplicar a frmula do montante na capitalizao simples. (1 ) M C = i n + 3.250 (1 0, 05 6) C = + MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES13www.pontodosconcursos.com.br3.250 1, 3 C = 3.250 1, 3C = Para dividir, devemos igualar a quantidade de casas decimais e depois apagar as vrgulas. 3.250, 0 32.5002.500 1, 3 13C = = = Realmente o capital aplicado menor do que R$ 2.600,00 e o item est CERTO. 04.(UnB/CESPEPMCE2008)Noregimedejurossimples,R$10.000,00 investidosdurante45mesestaxade15%aosemestreproduziroum montante inferior a R$ 21.000,00. Resoluo Devemos estar sempre atentos quanto conformidade da unidade da taxa de juroscomaunidadedotempodeinvestimentodocapital.Otempode aplicaofoidadoemmeses.Ataxade15%aosemestrepoderserescrita em meses, utilizando o conceito de taxas proporcionais. Ouseja,paracalculartaxasequivalentesnoregimesimplespodemosfaz-lo utilizando uma regra de trs simples e direta. Temos uma taxa de 15% ao semestre (6 meses). Queremos calcular a taxa de juros para 1 ms. Taxa de JurosMeses 15% 61 iAssim,6 1 15% i = 6 15% i = 2, 5% ao ms i =

0, 025 i =O juro simples calculado da seguinte maneira: MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES14www.pontodosconcursos.com.brJ Ci n = 10.000 0, 025 45 J = 11.250 J =Basta lembrar que o montante a soma do capital aplicado com o juro obtido. M C J = + 10.000 11.250 M = + 21.250 M =O montante superior a R$ 21.000,00 e o item est ERRADO. 05.(UnB/CESPEPMAC2008)UmindivduoemprestouR$25.000,00aum amigo taxa de juros simples de 1,8% ao ms. Ao final do perodo combinado, oamigodevolveuomontantedeR$32.200,00.Nessasituao,operododo emprstimo foi inferior a 15 meses. Resoluo Para efeito de clculo a taxa de juros 1,8% escrevemos como 0,018. Sabemos que o montante a soma do capital com o juro. M C J = +. Dessa forma, 32.200 25.000 7.200 J M C = = =. E como J Ci n = , 7.200 25.000 0, 018n = 7.200 450n = 7.20016 meses. 450n = = O item est ERRADO. 06. (TRF 2006 ESAF) Indique qual o capital que aplicado a juros simples taxa de 3,6% ao ms rende R$96,00 em 40 dias. a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.100,00 c) R$ 2.120,00 d) R$ 2.400,00 e) R$ 2.420,00 J=96,00 i= 0,12% ao dia n= 40 dias C=? MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES15www.pontodosconcursos.com.brResoluo A taxa de juros e o perodo no esto na mesma unidade. Adotaremos o ms comercialquepossui30dias.Portantosequeremossaberataxadiria equivalentea3,6%aoms,temosquedividir3,6%por30.Dessaforma, obtm-se 3, 6%0,12% 30=ao dia.Aplicandoosdadosdoenunciadonafrmuladejurossimples: J Ci n = 0,12 96 40 C = 100 0, 048 96 960, 048CC == J que 0,048 possui 3 casas decimais, para efetuar essa diviso devemos igualar a quantidade de casas decimais e ento apagar as vrgulas. 96, 000 96.0000, 048 482.000CC= ==Letra A 07.(TRF2006ESAF)UmindivduodeviaR$1.200,00trsmesesatrs. Calcule o valor da dvida hoje considerando juros simples a uma taxa de 5% ao ms, desprezando os centavos. a) R$ 1.380,00 b) R$ 1.371,00 c) R$ 1.360,00 d) R$ 1.349,00 e) R$ 1.344,00 Resoluo Calcularovalordadvidahojesignificacalcularomontantedaoperaode jurossimples.Ataxaeoperodoestoemconformidadequantounidade MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES16www.pontodosconcursos.com.br(ms),portantopodemosaplicardiretamenteafrmuladejurossimples.O capital R$ 1.200,00 , a taxa de juros de 5% ao ms e o tempo igual a trs meses. J Ci n = 51.200 3 100J = 180 J =Como o montante a soma do capital inicial com os juros, 1.200 1801.380M C JMM= += +=Letra A (UnB / CESPE DOCAS / PA -2004) Mrio dispunha de um capital deR$ 10.000,00.PartedessecapitaleleaplicounobancoBD,por1ano,taxade juros simples de 3% ao ms. O restante, Mrio aplicou no banco BM, tambm peloperodode1ano,taxadejurossimplesde5%aoms.Considerando que,aofinaldoperodo,MrioobteveR$4.500,00dejurosdasduas aplicaes, julgue os itens seguintes. 08.A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00. 09.OsjurosobtidospelaaplicaonobancoBMsuperaramemmaisdeR$ 500,00 os juros obtidos pela aplicao no banco BD. 10.Ao final do ano, o montante obtido pela aplicao no banco BD foi superior a R$ 8.000,00. Resoluo Deixe-me analisar a situao do enunciado e depois avaliar cada item. MriodispunhadeumcapitaldeR$10.000,00paraaplicaremdoisbancos: BDeBM.ChamemosocapitalaplicadonobancoBDdeDeocapital aplicadonobancoBMdeM.importantequevocutilizeletrasquefaam referncia aos nomes que foram usados no enunciado da questo. Seria ruim utilizar, por exemplo, utilizar as letras x e y, pois, no final, teramos que procurar quem x e quem y! MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES17www.pontodosconcursos.com.brPois bem, se o capital total R$ 10.000, ento a nossa primeira equao D + M = 10.000. Aplicao no Banco BD Ataxadejuroseotempodeaplicaodevemsempreestarnamesma unidade!Assim,seataxadejurosnobancoBDde3%aoms,entoo tempo de aplicao que de 1 ano ser escrito como 12 meses. Temos os seguintes dados: Capital aplicado no Banco BD: D Taxa de juros: 3% ao ms = 0,03 ao ms. Tempo de aplicao: 12 meses. Temostodasasinformaesnecessriasparautilizaraexpressodojuro simples! J Ci n = Jquenessaquestotemosaplicaesemdoisbancos,paranoconfundir colocarei ndices nos dados das frmulas. BD BD BD BDJ C i n = Assim, 0, 03 12BDJ D = 0, 36BDJ D = Aplicao no Banco BM Ataxadejuroseotempodeaplicaodevemsempreestarnamesma unidade!Assim,seataxadejurosnobancoBMde5%aoms,entoo tempo de aplicao que de 1 ano ser escrita como 12 meses. Temos os seguintes dados: Capital aplicado no Banco BM: M Taxa de juros: 5% ao ms = 0,05 ao ms. Tempo de aplicao: 12 meses. MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES18www.pontodosconcursos.com.brTemostodasasinformaesnecessriasparautilizaraexpressodojuro simples! J Ci n = BM BM BM BMJ C i n = Assim, 0, 05 12BMJ M = 0, 60BMJ M = Oenunciadotambminformaqueaofinaldoperodo,MrioobteveR$ 4.500,00 de juros das duas aplicaes. Ou seja, o juro obtido no Banco BD mais o juro obtido no Banco BM totalizam R$ 4.500,00. 4.500BD BMJ J + = 0, 36 0, 60 4.500 D M + = Para no trabalhar com nmeros decimais, podemos multiplicar ambos os membros da equao por 100! 36 60 450.000 D M+ = Temos,ento,umsistemalinearcomduasequaeseduasincgnitas.A outraequaofoiescritanoinciodaresoluo.Ocapitaltotalaplicadonos dois bancos (BD e BM) igual a R$ 10.000,00. 10.000 D M + = Eis o sistema: 36 60 450.00010.000D MD M + =+ = MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES19www.pontodosconcursos.com.brExistemdiversosmtodospararesolveressesistemalinear.Fareideduas maneiras. Mtodo I Substituio Nessemtodo,devemosisolarumadasincgnitasemumadasequaese substituiressevalornaoutraequao.Claramente,nessecaso,maisfcil isolar qualquer uma das incgnitas na segunda equao. Vamos isolar o D. 10.000 D M + = 10.000 D M = Devemos substituir essa expresso na primeira equao! 36 60 450.000 D M+ = 36 (10.000 ) 60 450.000 M M + = 360.000 36 60 450.000 M M + = 360.000 24 450.000 M + = 24 90.000 M = 3.750 M =E como o capital total aplicado igual a 10.000, o capital aplicado no banco BD igual a 10.000 3.750 = 6.250. 6.250 D =Mtodo II Adio Voltemos ao sistema linear. 36 60 450.00010.000 ( 36)D MD M + =+ = MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES20www.pontodosconcursos.com.brNessemtodo,devemosmultiplicarambososmembrosdeumaequaopor algumfator,demodoquepossamossomarasequaesparaqueumadas incgnitas seja cancelada. Podemos,porexemplo,multiplicarambososmembrosdasegundaequao por - 36, pois dessa forma, ao somarmos as duas equaes, a incgnita D ser cancelada. 36 60 450.00036 36 360.000D MD M + = = Ao somarmos as duas equaes membro a membro teremos: 36 36 0 D D =,60 36 24 M M M = 450.000 360.000 90.000 = Ou seja,36 60 450.00036 36 360.000 24 90.000D MD MM + = = = 3.750 M =E como o capital total aplicado igual a 10.000, o capital aplicado no banco BD igual a 10.000 3.750 = 6.250. 6.250 D =Vamos analisar cada um dos itens de per si. 08.A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00. J que M = 3.750,00, esse item est ERRADO. 09.Os juros obtidos pela aplicao no banco BM superaram em mais de R$ 500,00 os juros obtidos pela aplicao no banco BD. MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES21www.pontodosconcursos.com.brVamos calcular cada um dos juros. BD BD BD BDJ C i n = 6.250 0, 03 12 2.250BDJ = = BM BM BM BMJ C i n = 3750 0, 05 12 2.250BMJ = = Como os juros obtidos nos dois bancos so iguais, o item est ERRADO. 10.Aofinaldoano,omontanteobtidopelaaplicaonobancoBDfoi superior a R$ 8.000,00. Basta lembrar que o montante a soma do capital aplicado com o juro obtido. M C J = + 6.250 2.250 M = + 8.500 M =Assim, o item est CERTO. 11.(UnB/CESPECHESF2002)UmapessoarecebeuR$6.000,00de herana,sobacondiodeinvestirtodoodinheiroemdoistiposparticulares deaes,XeY.AsaesdotipoXpagam7%a.a.easaesdotipoY pagam9%a.a.AmaiorquantiaqueapessoapodeinvestirnasaesX,de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, A) inferior a R$ 1.800,00. B) superior a R$ 1.800,00 e inferior a R$ 1.950,00. C) superior a R$ 1.950,00 e inferior a R$ 2.100,00. D) superior a R$ 2.100,00 e inferior a R$ 2.250,00. E) superior a R$ 2.250,00. Resoluo Se o capital total R$ 6.000,00, ento a nossa primeira equao X + Y = 6.000. Aplicao na ao X MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES22www.pontodosconcursos.com.brAtaxadejuroseotempodeaplicaodevemsempreestarnamesma unidade!Assim,seataxadejurosnaaoXde7%aoanoeotempode aplicao de 1 ano, nada precisamos modificar nesses dados. Temos os seguintes dados: Capital aplicado na ao X: X Taxa de juros: 7% ao ano = 0,07 ao ano. Tempo de aplicao: 1 ano. Temostodasasinformaesnecessriasparautilizaraexpressodojuro simples! J Ci n = Jquenessaquestotemosaplicaesemduasaes,paranoconfundir colocarei ndices nos dados das frmulas. X X X XJ C i n = Assim, 0, 07 1XJ X = 0, 07XJ X = Aplicao na ao Y Ataxadejuroseotempodeaplicaodevemsempreestarnamesma unidade!Assim,seataxadejurosnaaoYde9%aoanoeotempode aplicao de 1 ano, nada precisamos modificar nesses dados. Temos os seguintes dados: Capital aplicado na ao Y : Y Taxa de juros: 9% ao ano = 0,09 ao ano. Tempo de aplicao: 1 ano. Temostodasasinformaesnecessriasparautilizaraexpressodojuro simples! MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES23www.pontodosconcursos.com.brJ Ci n = Y Y Y YJ C i n = Assim, 0, 09 1YJ Y = 0, 09YJ Y = O enunciado tambm informa que ao final do perodo, a pessoa obteveR$ 500,00 de juros das duas aplicaes. Ou seja, o juro obtido na ao X mais ojuro obtido na ao Y totalizamR$ 500,00. 500X YJ J + = 0, 07 0, 09 500 X Y + = Para no trabalhar com nmeros decimais, podemos multiplicar ambos os membros da equao por 100! 7 9 50.000 X Y+ = Temos,ento,umsistemalinearcomduasequaeseduasincgnitas.A outraequaofoiescritanoinciodaresoluo.Ocapitaltotalaplicadonas duas aes (X e Y) igual a R$ 6.000,00. 6.000 X Y + = Eis o sistema: 7 9 50.0006.000X YX Y + =+ =Novamente os dois mtodos descritos na questo anterior. Mtodo I Substituio MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES24www.pontodosconcursos.com.brNessemtodo,devemosisolarumadasincgnitasemumadasequaese substituiressevalornaoutraequao.Claramente,nessecaso,maisfcil isolar qualquer uma das incgnitas na segunda equao. Vamos isolar o Y, j que estamos querendo calcular o valor de X. 6.000 X Y + = 6.000 Y X = Devemos substituir essa expresso na primeira equao! 7 9 50.000 X Y+ = 7 9 (6.000 ) 50.000 X X + = 7 54.000 9 50.000 X X + = 2 4.000 X = 2 4.000 X = 2.000 X =Letra C Mtodo II Adio Voltemos ao sistema linear. 7 9 50.0006.000 ( 9)X YX Y + =+ = Nessemtodo,devemosmultiplicarambososmembrosdeumaequaopor algumfator,demodoquepossamossomarasequaesparaqueumadas incgnitas seja cancelada. Podemos,porexemplo,multiplicarambososmembrosdasegundaequao por - 9, pois dessa forma, ao somarmos as duas equaes, a incgnita Y ser cancelada (cancelamos o Y pois queremos calcular o valor de X). MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES25www.pontodosconcursos.com.br7 9 50.0009 9 54.000X YX Y + = = Ao somarmos as duas equaes membro a membro teremos: 7 9 2 X X X = ,9 9 0 Y Y = 50.000 54.000 4.000 = Ou seja,7 9 50.0009 9 54.0002 4.0002.000X YX YXX + = = = =Letra C 12.(UnB/CESPECHESF2002)Umcapitalacrescidodosseusjuros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00. O mesmo capital, diminudo dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5.350,00. O valor desse capital A) inferior a R$ 5.600,00. B) superior a R$ 5.600,00 e inferior a R$ 5.750,00. C) superior a R$ 5.750,00 e inferior a R$ 5.900,00. D) superior a R$ 5.900,00 e inferior a R$ 6.100,00. E) superior a R$ 6.100,00. Resoluo Sabemos que o juro simples dado por J Ci n = Assim, o juro simples de 21 meses 21 21 J Ci J Ci = = O juro simples de 13 meses 13 13 J Ci J Ci = = MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES26www.pontodosconcursos.com.brUm capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00 pode ser escrito algebricamente 21 7.050 C Ci + =. Omesmocapital,diminudodosseusjurossimplesde13meses,reduz-sea R$ 5.350,00 pode ser escrito algebricamente 13 5.350 C Ci =. Temos o seguinte sistema de equaes: 21 7.05013 5.350C CiC Ci+ = =Podemosnovamenteresolverpelomtododaadiooupelomtododa substituio.Mtodo da Substituio Da segunda equao, podemos concluir que5.350 13 C Ci = + . Substituindo essa expresso na primeira equao do sistema... 21 7.050 C Ci + = 5.350 13 21 7.050 Ci Ci + + = 34 7.050 5.350 Ci = 34 1.700 Ci = 1.70050 34Ci Ci = = De posse do valor C.i, podemos substituir em qualquer uma das equaes do sistema. Substituindo na primeira equao, obtemos: 21 7.050 C Ci + = 21 50 7.050 C + = 1.050 7.050 C + = 6.000 C =Letra D MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES27www.pontodosconcursos.com.br13.(Auditor Fiscal do Tesouro Municipal Vitria 2007 Unb/ Cespe) Julgue o item seguinte, relacionado matemtica financeira. Ovalordosjurosproduzidosporumcapitalaplicadodurantequatroanos taxa anual de juros simples de 12,5% corresponde a 50% do capital inicial. Resoluo Lembremos as principais caractersticas da capitalizao simples. De acordo com esse regime, os juros gerados em cada perodo so sempre os mesmos. Elembre-sequeemqualquerproblemadeMatemticaFinanceira,teremos comopreocupaoinicialverificarseataxaeoperodoestonamesma unidade. A taxa dada no problema anual e o nmero de perodos dado em anos. Podemos aplicar diretamente a frmula dos juros simples: [ = C i n [ = C 12,S% 4[ = Su% CPortanto,osjurosproduzidossoiguaisa50%docapitalinicialeoitemest certo. (UnB/CESPECOHAB/Bauru2004)Umapessoausou3/4deumaquantia para comprar um carro, cujo valor foi de R$ 21.000,00. O restante foi aplicado pelo perodo de 1 ano em um investimento que paga determinada taxa mensal de juros simples. Sabendo que, ao final do perodo da aplicao, essa pessoa recebeu R$ 2.100,00 de juros, julgue os itens seguintes. 14.A quantia inicial era superior a R$ 30.000,00. 15.A taxa mensal de juros do investimento era inferior a 3%. Resoluo O valor do carro foi de R$ 21.000,00 e esse valor corresponde a 3/4 da quantia que a pessoa tinha a sua disposio. Assim, S4 C = 21.uuuS C = 4 21.uuuS C = 84.uuuC = 28.uuu MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES28www.pontodosconcursos.com.brO item 14 est errado!! E se o carro vale R$ 21.000,00, a pessoa ainda ficou com R$ 7.000,00 para serem aplicados durante um ano (12 meses) a juros simples. O juro obtido nessa aplicao foi de R$ 2.100,00. [ = C i n2.1uu = 7.uuu i 122.1uu = 84.uuu ii =2.1uu84.uuu Para transformar essa taxa na notao percentual devemos multiplicar seu valor por 100%. i =2.1uu84.uuu 1uu%i = 21u.uuu84.uuu%i = 2,S% oo ms.Portanto, o item 15 est certo. 16. (BB UnB/CESPE 2007) loja ou banco? Comrciorecebepagamentoseefetuasaquescomoformadeatrair compradoresQuetalaproveitaraforadoBancodoBrasilS.A.(BB),atrair paraoseunegcioalgunscorrentistasetransform-losemclientes?Sevoc cadastrar sua empresa junto ao BB, pode receber o pagamento de impostos ou ttulos e pode, tambm, deixar os correntistas sacarem dinheiro no seu balco. Oprojetojtemmaisde200empresascadastradas,chamadasde correspondentes,edeveatingir,atofimdoano,10.000estabelecimentos. Emtrocadopagamentodettulosoupeloserviodesaque,obancopagaa vocR$0,18acadatransao.Asempresasfazem,emmdia,800 operaesporms.OlimitedeR$200,00parasaqueedeR$500,00por boleto, diz Ronan de Freitas, gerente de correspondentes do BB. As lojas que lidamcomgrandevolumededinheirovivoefazemoserviodesaquetma vantagem de aumentar a segurana, j que ficam com menos dinheiro no caixa e no precisam transport-lo at o banco. Mas o melhor, mesmo, atrair gente novaparadentrodoseupontocomercial. Nossas vendas cresceram 10% ao msdesdeainstalaodosistema,emfevereirode2007.Somoso correspondentecommaistransaes,maisde4.000semmaio,afirma PedrodeMedeiros,sciodosupermercadoComercialdoParan,deSo Domingos do Araguaia, no Par. Como fazer melhor. In: Pequenas Empresas Grandes Negcios, n. 222, jul./2007, p. 100 (com adaptaes). MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES29www.pontodosconcursos.com.brTendo como referncia o texto acima, julgue o seguinte item. SeocorrespondentedequePedrodeMedeirossciotivesseaplicadoo valor obtido com as transaes oriundas do projeto no ms de maio, taxa de jurossimplesde10%aoms,durante12meses,aofinaldoperodode aplicao, o montante correspondente seria superior a R$ 1.500,00. Resoluo Coloquei em letras vermelhas as informaes necessrias para a resoluo da questo. Foram mais de 4.000 transaes em maio. Tomaremos como base de clculo 4.000 transaes. Como para cada transao o correspondente recebe R$ 0,18, o total recebido foiR$ 720,00 (4.000 x 0,18). Aplicando R$ 720,00 a 10% ao ms durante 12 meses teremos o seguinte juro correspondente: J = 720 x 0,1 x 12 = 864,00. E como o montante a soma do capital com o juro, M = 720,00 + 864,00 = 1584,00. Issosefossem4.000transaes.Comootextonosdissequeforammaisdo que4.000transaes,omontantecomcertezasermaiordoqueR$ 1.584,00. Consequentemente seria superior a R$ 1.500,00 e o item est certo. Juros Compostos Noregimedecapitalizaocomposta,ojurogeradoemcadaperodo agrega-seaocapital,eessasomapassaarenderjurosparaoprximo perodo. Da que surge a expresso juros sobre juros. Imagineaseguintesituao:GuilhermeaplicouR$10.000,00ajuros compostos durante 5 anos taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada perodo e o montante aps o perodo de cada aplicao. Os juros gerados no primeiro ano so 20100 1u.uuu = 2.uuu e o montante aps o primeiro ano 10.000 + 2.000 = 12.000. Osjurosgeradosnosegundoanoso 20 100 12.uuu = 2.4uueomontante aps o segundo ano 12.000+2.400=14.400. Os juros gerados no terceiro ano so 20100 14.4uu = 2.88u e o montante aps o terceiro ano 14.400 + 2.880 = 17.280. MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES30www.pontodosconcursos.com.brOs juros gerados no quarto ano so 20100 17.28u = S.4S6 e o montante aps o quarto ano 17.280 + 3.456 = 20.736. Osjurosgeradosnoquintoanoso 20 100 2u.7S6 = 4.147,2ueomontante aps o quinto ano 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20. Perodo de Capitalizao Ointervalodetempoemqueosjurossoincorporadosaocapital chamado de perodo de capitalizao. Dessaforma,seoproblemanosdizqueacapitalizaomensal,entoos juros so calculados todo ms e imediatamente incorporados ao capital. Capitalizao trimestral: os juros so calculados e incorporados ao capital uma vez por trimestre. E assim por diante. Casoaperiodicidadedataxaedonmerodeperodosnoestiveremna mesmaunidadedetempo,deverserefetuadoumajusteprvioparaa mesmaunidadeantesdeefetuarmosqualquerclculo.Abordaremoseste assunto em sees posteriores (taxas de juros). Frmula do Montante Composto Paracalcularomontantedeumacapitalizaocompostautilizaremosa seguinte frmula bsica: H = C (1 + i)nM montante (capital + juros). C Capital inicial aplicado. i taxa de juros n nmero de perodos. Observequeseacapitalizaobimestraleaplicaoserfeitadurante8 meses, ento o nmero de perodos igual a 4 bimestres. Noutilizaremosumafrmulaespecficaparaoclculodosjuroscompostos. Seporacasoemalgumaquestoprecisarmoscalcularojurocomposto, utilizaremos a relao: H = [ + C = [ = H - C MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES31www.pontodosconcursos.com.brComparao entre as Capitalizaes Simples e Composta Considere a seguinte situao: Joo aplicar a quantia de R$ 1.000,00 a uma taxa de 10% ao ms. Calcule os montantes simples e compostos para os seguintes perodos de capitalizao: a) 1 ms b) 15 dias (meio ms) c) 2 meses Resoluo a) Capitalizao Simples HS = C (1 +i n) HS = 1.uuu (1 +u,1 1) = 1.1uuCapitalizao Composta HC= C (1 + i)nObserve que, para HC = 1.uuu (1 + u,1)1 = 1.1uun = 1, o montante simples igual ao montante composto. b) Capitalizao Simples HS = C (1 +i n) HS = 1.uuu (1 + u,1 u,S) = 1.uSuCapitalizao Composta HC= C (1 + i)nObserve que, para HC = 1.uuu (1 + u,1)0,5 = 1.u48,81n = u,S, o montante simples maior do que o montante composto. c) Capitalizao Simples HS = C (1 +i n) HS = 1.uuu (1 +u,1 2) = 1.2uuCapitalizao Composta HC= C (1 + i)n MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES32www.pontodosconcursos.com.brObserve que, para HC = 1.uuu (1 + u,1)2 = 1.21un = 2, o montante simples menor do que o montante composto. Em resumo, temos as seguintes relaes n = 1 O montante simples igual ao montante composto. u < n < 1 O montante simples maior do que o montante composto. n > 1 O montante simples menor do que o montante composto. (ABIN2010/CESPE-UnB)Considerandoquedeterminadoinvestidortenha aplicado um capital em um banco que paga juros compostos mensais de 0,8%, etomando1,1comoovaloraproximadode1,00812,julgueositens subsequentes. 17.SeoinvestidortivesseaplicadoR$10.000,00,noreferidobanco,o montante da aplicao, ao final de 12 meses, seria superior a R$ 10.800,00. Resoluo Basta aplicar diretamente a frmula do montante composto. H = C (1 + i)n= 1u.uuu (1 + u,uu8)12 H = 1u.uuu 1,uu812 = 1u.uuu 1,1 = 11.uuuComo R$ 11.000,00 > R$ 10.800,00, o item est certo. 18.Casoomontantedoinvestimentoauferidoem12mesestenhasidode R$ 8.800,00, o capital aplicado foi inferior a R$ 7.700,00. Resoluo Fazendo H = 8.8uu,uu, temos: H = C (1 + i)n8.8uu = C (1 + u,uu8)128.8uu = C 1,1C = 8.uuu,uu Como R$ 8.000,00 > R$ 7.700,00, ento o item est errado. (SEPLAG IBRAM 2009/CESPE-UnB) Julgue o itens seguintes acerca de juros simples e compostos. MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES33www.pontodosconcursos.com.br19.Se o capital de R$ 1.000,00 for investido taxa de juros compostos de 1% ao ms, o rendimento produzido em dois meses ser superior a R$ 20,00. Resoluo Vamos aplicar a frmula do montante composto. H = C (1 + i)nComo o juro (rendimento) a diferena entre o montante e o capital aplicado... H = 1.uuu (1 + u,u1)2 = 1.uuu 1,u12 = 1.u2u,1u [ = 1.u2u,1u - 1.uuu = 2u,1uO rendimento foi superior a R$ 20,00 e o item est certo. 20.Nocasodecapitalizaomensal,seosrendimentosdedois investimentos de mesmo capital, um deles no regime de juros simples e o outro noregimedejuroscompostos,foremiguais,entooprazotersido, necessariamente, para os dois investimentos, de 1 ms. Resoluo Vimos anteriormente que: n = 1O montante simples igual ao montante composto. u < n < 1 O montante simples maior do que o montante composto. n > 1O montante simples menor do que o montante composto. O item est certo. (FUB2008/CESPE-UnB)ConsiderandoqueumcapitaldeR$10.000,00ser aplicado por um ano em uma instituio financeira e supondo que 1,0412 = 1,6, julgue os itens a seguir. 21.Seainstituiofinanceirapagajuroscompostosde8%aosemestre, entoomontanteobtidoaofinaldoperododeaplicaosersuperioraR$ 12.000,00. Resoluo Ocapitalseraplicadodurante1ano.Comataxasemestral,devemos assumir que o nmero de perodos igual a 2 (n = 2). H = C (1 + i)n = 1u.uuu (1 + u,u8)2 = 11.664,uuComo o montante inferior a R$ 12.000,00, ento o item est errado. MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES34www.pontodosconcursos.com.br22.SeomontanteaofinaldoperododeaplicaofordeR$16.000,00, ento a instituio financeira paga juros compostos mensais inferiores a 5%. Resoluo Osjuroscompostosagorasomensais.Destaforma,n = 12.Observequeo enunciado da questo forneceu 1,0412 = 1,6. H = C (1 + i)n16.uuu = 1u.uuu (1 + i)12(1 + i)12 = 1,6 (1 + i)12 = 1,u4121 + i = 1,u4i = 4%O item est certo. 23. (AFRMPref.deAngradosReis2010/FGV)Ovalordeum investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 Resoluo H = C (1 + i)nH = 2u.uuu (1 + u,Su)2 = 4S.uuu,uuLetra A 24.(BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDBcomvencimentopara3mesesdepois,aumataxacompostade4%ao ms.Ovalorderesgatedessaoperaofoi,emreais,de(Nota:efetueas operaes com 4 casas decimais) a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00 MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES35www.pontodosconcursos.com.brResoluo H = C (1 + i)nH = 2u.uuu 1,u43 O enunciado mandou efetuar as operaes com 4 casas decimais. 1,u4 1,u4 = 1,u8161,u816 1,u4 = 1,124864 1,1249H = 2u.uuu 1,u43 = 2u.uuu 1,1249 = 22.498,uuLetra E MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES36www.pontodosconcursos.com.brRelao das questes comentadas nesta aula (BancodaAmazniaS.A.-Economia2010CESPE-UnB)Julgueos prximos itens acerca de clculos financeiros bsicos. 01. Considerando o ms comercial, a taxa de juros simples equivalente taxa de 12% ao ms para um prazo de 3 meses e 10 dias de 40%. 02.AaplicaodeR$23.500,00durante8mesestaxadejurossimplesde 9% ao ano produzir um montante inferior a R$ 22.000,00. 03. (UnB CESPE TRT 6 Regio 2002) Julgue o item seguinte. Seumcapitalaplicadoajurossimplesduranteseismesestaxamensalde 5% gera, nesse perodo, um montante de R$ 3.250,00, ento o capital aplicado menor que R$ 2.600,00. 04. (UnB/CESPE PMCE 2008) Julgue o item seguinte. No regime de juros simples, R$ 10.000,00 investidos durante 45 meses taxa de 15% ao semestre produziro um montante inferior a R$ 21.000,00. 05.(UnB/CESPEPMAC2008)UmindivduoemprestouR$25.000,00aum amigo taxa de juros simples de 1,8% ao ms. Ao final do perodo combinado, oamigodevolveuomontantedeR$32.200,00.Nessasituao,operododo emprstimo foi inferior a 15 meses. 06. (TRF 2006 ESAF) Indique qual o capital que aplicado a juros simples taxa de 3,6% ao ms rende R$96,00 em 40 dias. a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.100,00 c) R$ 2.120,00 d) R$ 2.400,00 e) R$ 2.420,00 07.(TRF2006ESAF)UmindivduodeviaR$1.200,00trsmesesatrs. Calcule o valor da dvida hoje considerando juros simples a uma taxa de 5% ao ms, desprezando os centavos. a) R$ 1.380,00 b) R$ 1.371,00 c) R$ 1.360,00 d) R$ 1.349,00 e) R$ 1.344,00 (UnB / CESPE DOCAS / PA -2004) Mrio dispunha de um capital deR$ 10.000,00.PartedessecapitaleleaplicounobancoBD,por1ano,taxade juros simples de 3% ao ms. O restante, Mrio aplicou no banco BM, tambm MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES37www.pontodosconcursos.com.brpeloperodode1ano,taxadejurossimplesde5%aoms.Considerando que,aofinaldoperodo,MrioobteveR$4.500,00dejurosdasduas aplicaes, julgue os itens seguintes. 08.A quantia aplicada no banco BM foi superior a R$ 4.000,00. 09.OsjurosobtidospelaaplicaonobancoBMsuperaramemmaisdeR$ 500,00 os juros obtidos pela aplicao no banco BD. 10.Ao final do ano, o montante obtido pela aplicao no banco BD foi superior a R$ 8.000,00. 11.(UnB/CESPECHESF2002)UmapessoarecebeuR$6.000,00de herana,sobacondiodeinvestirtodoodinheiroemdoistiposparticulares deaes,XeY.AsaesdotipoXpagam7%a.a.easaesdotipoY pagam9%a.a.AmaiorquantiaqueapessoapodeinvestirnasaesX,de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, A) inferior a R$ 1.800,00. B) superior a R$ 1.800,00 e inferior a R$ 1.950,00. C) superior a R$ 1.950,00 e inferior a R$ 2.100,00. D) superior a R$ 2.100,00 e inferior a R$ 2.250,00. E) superior a R$ 2.250,00. 12.(UnB/CESPECHESF2002)Umcapitalacrescidodosseusjuros simples de 21 meses soma R$ 7.050,00. O mesmo capital, diminudo dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5.350,00. O valor desse capital A) inferior a R$ 5.600,00. B) superior a R$ 5.600,00 e inferior a R$ 5.750,00. C) superior a R$ 5.750,00 e inferior a R$ 5.900,00. D) superior a R$ 5.900,00 e inferior a R$ 6.100,00. E) superior a R$ 6.100,00. 13.(Auditor Fiscal do Tesouro Municipal Vitria 2007 Unb/ Cespe) Julgue o item seguinte, relacionado matemtica financeira. Ovalordosjurosproduzidosporumcapitalaplicadodurantequatroanos taxa anual de juros simples de 12,5% corresponde a 50% do capital inicial. (UnB/CESPECOHAB/Bauru2004)Umapessoausou3/4deumaquantia para comprar um carro, cujo valor foi de R$ 21.000,00. O restante foi aplicado pelo perodo de 1 ano em um investimento que paga determinada taxa mensal de juros simples. Sabendo que, ao final do perodo da aplicao, essa pessoa recebeu R$ 2.100,00 de juros, julgue os itens seguintes. 14.A quantia inicial era superior a R$ 30.000,00. MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES38www.pontodosconcursos.com.br15.A taxa mensal de juros do investimento era inferior a 3%. 16. (BB UnB/CESPE 2007) loja ou banco? Comrciorecebepagamentoseefetuasaquescomoformadeatrair compradoresQuetalaproveitaraforadoBancodoBrasilS.A.(BB),atrair paraoseunegcioalgunscorrentistasetransform-losemclientes?Sevoc cadastrar sua empresa junto ao BB, pode receber o pagamento de impostos ou ttulos e pode, tambm, deixar os correntistas sacarem dinheiro no seu balco. Oprojetojtemmaisde200empresascadastradas,chamadasde correspondentes,edeveatingir,atofimdoano,10.000estabelecimentos. Emtrocadopagamentodettulosoupeloserviodesaque,obancopagaa vocR$0,18acadatransao.Asempresasfazem,emmdia,800 operaesporms.OlimitedeR$200,00parasaqueedeR$500,00por boleto, diz Ronan de Freitas, gerente de correspondentes do BB. As lojas que lidamcomgrandevolumededinheirovivoefazemoserviodesaquetma vantagem de aumentar a segurana, j que ficam com menos dinheiro no caixa e no precisam transport-lo at o banco. Mas o melhor, mesmo, atrair gente novaparadentrodoseupontocomercial. Nossas vendas cresceram 10% ao msdesdeainstalaodosistema,emfevereirode2007.Somoso correspondentecommaistransaes,maisde4.000semmaio,afirma PedrodeMedeiros,sciodosupermercadoComercialdoParan,deSo Domingos do Araguaia, no Par. Como fazer melhor. In: Pequenas Empresas Grandes Negcios, n. 222, jul./2007, p. 100 (com adaptaes). Tendo como referncia o texto acima, julgue o seguinte item. SeocorrespondentedequePedrodeMedeirossciotivesseaplicadoo valor obtido com as transaes oriundas do projeto no ms de maio, taxa de jurossimplesde10%aoms,durante12meses,aofinaldoperodode aplicao, o montante correspondente seria superior a R$ 1.500,00. (ABIN2010/CESPE-UnB)Considerandoquedeterminadoinvestidortenha aplicado um capital em um banco que paga juros compostos mensais de 0,8%, etomando1,1comoovaloraproximadode1,00812,julgueositens subsequentes. 17.SeoinvestidortivesseaplicadoR$10.000,00,noreferidobanco,o montante da aplicao, ao final de 12 meses, seria superior a R$ 10.800,00. 18.Casoomontantedoinvestimentoauferidoem12mesestenhasidode R$ 8.800,00, o capital aplicado foi inferior a R$ 7.700,00. (SEPLAG IBRAM 2009/CESPE-UnB) Julgue o itens seguintes acerca de juros simples e compostos. 19.Se o capital de R$ 1.000,00 for investido taxa de juros compostos de 1% ao ms, o rendimento produzido em dois meses ser superior a R$ 20,00. 20.Nocasodecapitalizaomensal,seosrendimentosdedois investimentos de mesmo capital, um deles no regime de juros simples e o outro MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES39www.pontodosconcursos.com.brnoregimedejuroscompostos,foremiguais,entooprazotersido, necessariamente, para os dois investimentos, de 1 ms. (FUB2008/CESPE-UnB)ConsiderandoqueumcapitaldeR$10.000,00ser aplicado por um ano em uma instituio financeira e supondo que 1,0412 = 1,6, julgue os itens a seguir. 21.Seainstituiofinanceirapagajuroscompostosde8%aosemestre, entoomontanteobtidoaofinaldoperododeaplicaosersuperioraR$ 12.000,00. 22.SeomontanteaofinaldoperododeaplicaofordeR$16.000,00, ento a instituio financeira paga juros compostos mensais inferiores a 5%. 23.(AFRMPref.deAngradosReis2010/FGV)Ovalordeum investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 24.(BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDBcomvencimentopara3mesesdepois,aumataxacompostade4%ao ms.Ovalorderesgatedessaoperaofoi,emreais,de(Nota:efetueas operaes com 4 casas decimais) a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00 MATEMTICA P/ CORREIOS (TEORIA E EXERCCIOS)PROFESSOR: GUILHERME NEVES40www.pontodosconcursos.com.brGabarito 1)Certo 2)Errado 3)Certo 4)Errado 5)Errado 6)A 7)A 8)Errado 9)Errado 10) Certo 11) C 12) D 13) Certo 14) Errado 15) Certo 16) Certo 17) Certo 18) Errado 19) Certo 20) Certo 21) Errado 22) Certo 23) A 24) E