matemática financeira - juros simples e compostos

8/14/2019 Matemtica Financeira - juros simples e compostos

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Matemtica Financeira: Curso de Matemtica FinanceiraElementos bsicos Compatibilidade dos dados Juros simples Montante simples Fluxo de caixa Juros compostos Montante composto

Fator de Acumulao de Capital

Fator de Valor Atual

Clculo de juros Compostos Taxas Taxas equivalentes Descontos Tipos de descontos

Financiamento: Sistema Price

Elementos bsicos em Matemtica Financeira

A Matemtica Financeira uma ferramenta til na anlise dealgumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bensde consumo. A idia bsica simplificar a operao financeira aum Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentosmatemticos.

Capital: O Capital o valor aplicado atravs de alguma operaofinanceira. Tambm conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em lngua inglesa, usa-se Present

Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV.Juros: Juros representam a remunerao do Capital empregadoem alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizadossegundo os regimes: simples ou compostos, ou at mesmo, comalgumas condies mistas.

Regime Processo de funcionamentoSimples Somente o principal rende juros.

Compostos Aps cada perodo, os juros so incorporadosao Capital, proporcionando juros sobre juros.

Notaes comuns que sero utilizadas neste material

C Capitaln nmero de perodos j juros simples decorridos n perodos
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J juros compostos decorridos n perodosr taxa percentual de jurosi taxa unitria de juros (i = r / 100)P Principal ou valor atualM Montante de capitalizao simplesS Montante de capitalizao composta

Compatibilidade dos dados

Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os perodosdevero ser respectivamente, mensais, trimestrais ou anuais, demodo que os conceitos de taxas de juros e perodos sejamcompatveis, coerentes ou homogneos. Situaes onde isto noocorre, sero estudadas parte e devero ser feitas conversesde unidades.

Exemplo:Na frmula

F(i,n) = 1 + i n

a taxa unitria de juros i dever estar indicada na mesma unidadede tempo que o nmero de perodos n, ou seja, se a taxa i=0,05ao ms, ento n dever ser um nmero indicado em meses.

Juros simples

1. Se n o numero de periodos, i a taxa unitria aoperodo e P o valor principal, ento os juros simples socalculados por:

j = P i n

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capitalP=1.250,00 durante 4 anos taxa de 14% ao ano sodados por:

j = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00


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2. Se a taxa ao perodo indicada percentualmente,substituimos i por r/100 e obtemos a frmula:

j = P r n / 100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capitalP=1.250,00 durante 4 anos taxa de 14% ao ano sodados por:

j = 1.250,00 x 14 x 4 / 100 = 700,00

3. Se a taxa r % ao ms, usamos m como o nmero demeses e a frmula:

j = P r m / 100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capitalP=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) taxa de 2% aoms so dados por:

j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00

4. Se a taxa r% ao dia, usamos d como o nmero dedias para obter os juros exatos (nmero exato de dias) oucomerciais simples com a frmula:

j = P r d / 100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capitalP=1.250,00 durante 6 meses (180 dias) taxa de 0,02%ao dia so dados por:

j = 1.250,00 x 0,02 x 180 / 100 = 45,00

Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um capitalP=1.250,00 durante os 6 primeiros meses do ano de1999 (181 dias), taxa de 0,2% ao dia, so dados por:

j = 1.250,00 x 0,2 x 181 / 100 = 452,50

Montante simples


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Montante a soma do Capital com os juros. O montante tambm conhecido como Valor Futuro. Em lngua inglesa, usa-se FutureValue, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. Omontante dado por uma das frmulas:

M = P + j = P (1 + i n)

Exemplo a: Se a taxa de uma aplicao de 150% ao ano,quantos meses sero necessrios para dobrar um capitalaplicado atravs de capitalizao simples?

Objetivo: M=2P

Dados: i=150/100=1,5; Frmula: M=P(1+in)

Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), ento 2=1+1,5 n, logo

n = 2/3 ano = 8 meses

Exemplo b:Qual o valor dos juros simples pagos taxa i=100%ao ano se o valor principal P=R$ 1.000,00 e a dvida foi

contrada no dia 10 de janeiro, sendo que dever ser paga no dia12 de abril do mesmo ano?

Contagem do tempo:

Perodo Nmero de diasDe 10/01 at 31/01 21 diasDe 01/02 at 28/02 28 dias

De 01/03 at 31/03 31 diasDe 01/04 at 12/04 12 dias

Total 92 dias

Frmula para o clculo dos juros exatos:

j = P r (d / 365) / 100

Clculo:


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j = (100010092/365)/100 = 252,05

Fluxo de caixa

Apresentaremos aqui, apenas alguns elementos sobre fluxo decaixa. O internauta interessado em obter mais detalhes, poderacessar outro link que construmos sobre Fluxo de caixa. Emnossa Pgina, existem muitos outros links sobre MatemticaFinanceira que construmos para dar suporte a este curso.

Fluxo de Caixa um grfico contendo informaes sobreEntradas e Sadas de capital, realizadas em determinadosperodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de

uma linha horizontal (linha de tempo) com os valores indicadosnos respectivos tempos ou na forma de uma tabela com estasmesmas indicaes.

A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancriopoder ser indicada por uma seta para baixo enquanto que oindivduo que pagou a conta dever colocar uma seta para cima.A inverso das setas uma coisa comum e pode ser realizadasem problema.

Consideremos uma situao em que foi feito um depsito inicialde R$5.000,00 em uma conta que rende juros de 4% ao ano,compostos mensalmente e que se continue a depositar mensalmente valores de R$1.000,00 durante os 5 mesesseguintes. No 6. ms quer-se conhecer o Valor Futuro dareunio destes depsitos.

Para obter o Valor Futuro deste capital depositado em vrios

meses, usamos o fluxo de caixa e conceitos matemticos paracalcular o valor resultante ou montante acumulado.
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/financeira/flcaixa/flcaixa.htmhttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/financeira/flcaixa/flcaixa.htm


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Juros compostos

Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o

montante (soma) S obtido pela aplicao de um nico valor principal P no instante t=0, taxa i de juros (por perodo) duranten perodos.

Exemplo preparatrio: Consideremos uma situao hipotticaque, em 1994 a correo da caderneta de poupana tenha sidode 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se umapessoa depositou $100,00 em 01/01/94, poderiamos montar umatabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.

Tempo Data Valor Principal Juros Montante0 01/01/94 100,00 0 100,001 01/02/94 100,00 50,00 150,002 01/03/94 150,00 75,00 225,003 01/04/94 225,00 112,50 337,504 01/05/94 337,50 168,75 506,205 01/06/94 506,25 253,13 759,38

Observamos que os juros foram calculados sobre os Principaisnos incios dos meses que correspondiam aos montantes dosfinais dos meses anteriores.

Juros Compostos so juros sobre juros (anatocismo)

A situao apresentada acima, pode ser analisada do ponto devista matemtico, com P=100,00 e i=50%=0,5. Assim:

S1=100(1,5)1 S2=100(1,5)2 S3=100(1,5)3 S4=100(1,5)4 S5=100(1,5)5

Em geral:

Sn = P (1+i)n

onde


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Sn Soma ou montanteP Valor Principal aplicado inicialmentei taxa unitrian nmero de perodos da aplicao

Observao: Relembramos que a taxa e o nmero de perodosdevem ser compatveis ou homogneos com respeito unidadede tempo.

Montante composto

A frmula para o clculo do Montante, em funo do valor Principal P, da taxa i ao perodo e do nmero de perodos n, dada por:

S = P (1+i)n

Exemplo: Se a taxa de uma aplicao de 150% ao ano, quantotempo ser necessrio para dobrar o capital aplicado atravs decapitalizao composta?

Objetivo: S=2P

Taxa anual: i=150/100=1,5. A frmula dada por:

S=P(1+i)n

Soluo: 2P=P(1+1,5)n, logo

(2,5)n = 2Para resolver esta ltima equao, aplicamos logaritmos a ambosos lados da igualdade, para obter:

n = log(2) / log(2,5) = 0,7564708 de 1 ano

Observao: Tbua de logaritmo imediata


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Para obter o logaritmo do nmero N na base natural, basta trocar N pelo nmero desejado e escrever:

javascript:Math.log(N)

na caixa branca de seu browser que indica Endereo (Location)desta pgina. Aps obter o resultado, use o boto voltar (back)para continuar os estudos.

Uma forma alternativa copiar a linha em azul para o Endereo,pressionando a seguir a tecla para obter o resultado.

Fator de Acumulao de Capital (Fator de P para S)

Se i a taxa ao perodo, n o nmero de perodos, definimos oFator de Acumulao de Capital ou Fator de P para S, denotadopor FAC(i,n) ou FPS(i,n), como:

FAC(i,n) = FPS(i,n) = (1 + i)n

Agora, podemos escrever o montante composto S como oproduto do valor Principal P por FAC(i,n):

S = P FAC(i,n) = P FPS(i,n)

Utilidade:O FAC(i,n)=(1+i)n pode ser obtido com uma calculadorasimples, dessas que normalmente no executam potncias.Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicao) e aseguir tecla-se o sinal de igualdade n-1 vezes.

Existem algumas variaes da frmula do Montante Composto,que esto apresentadas abaixo:

S = P (1 + i)n


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P = S (1+i)-n

Uma variao da frmula de Montante composto usada naobteno do Valor Atual P de um capital futuro conhecido S.

P=S(1+i)-n

Fator de Valor Atual

Se i a taxa ao perodo, n o nmero de perodos, o Fator deValor Atual ou Fator de S para P ou Fator de Desconto, denotadopor FVA(i,n) ou FSP(i,n) como o inverso de FAC(i,n)=FPS(i,n):

FVA(i,n) = FSP(i,n) = (1+i)-n

Utilidade:O FVA(i,n)=(1+i)-n pode ser obtido com uma calculadorasimples, dessas que normalmente no executam potncias.Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicao) e osinal = (igual) n-1 vezes para obter FAC(i,n) e a seguir teclamos osinal de diviso e finalmente o sinal = (igual) para obter oFVA(i,n), que o inverso do FAC(i,n).

Clculo de juros Compostos

J = P [(1+i)n-1]

Exemplo: Qual o valor dos juros compostos pagos taxai=100% ao ano se o Principal R$1.000,00 e a dvida foicontrada no dia 10/01/94 e dever ser paga em 12/04/94?

Soluo: A contagem dos dias corresponde a d=92 dias.

Dvida: Qual ser a frmula para juros compostos quando a taxa anual e o perodo est indicado em uma unidade diferente de 1ano? A idia transformar 92 dias em unidades anuais paraobter:

n = 92/365 de 1 ano = ~ 0,252055 = 1/4 ano


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Principal: P=1000; Taxa anual: i=100/100=1. A frmulaempregada :

J = P [(1+i)n-1]

Soluo:

J=1000[(1+1)1/4-1]=1000(1,189207-1)=189,21

Teste: Voc saberia obter a raiz quarta de um nmero com umacalculadora que s extrai a raiz quadrada? E a raiz oitava de umnmero que s extrai a raiz quadrada?

Taxas

Taxa um ndice numrico relativo cobrado sobre um capitalpara a realizao de alguma operao financeira.

Taxas: (Matemtica Financeira, Introduo ao Cap.6, Jos DutraVieira Sobrinho:"No mercado financeiro brasileiro, mesmo entreos tcnicos e executivos, reina muita confuso quanto aosconceitos de taxas de juros principalmente no que se refere staxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizadodesses conceitos tem dificultado o fechamento de negcios pelaconsequente falta de entendimento entre as partes. Dentro dosprogramas dos diversos cursos de Matemtica Financeira existeuma verdadeira 'poluio' de taxas de juros."

No importando se a capitalizao simples ou composta,existem trs tipos principais de taxas:

Taxa Nominal:A taxa Nominal quando o perodo de formao eincorporao dos juros ao Capital no coincide com aquele a quea taxa est referida.

Exemplos:

1. 1200% ao ano com capitalizao mensal.

2. 450% ao semestre com capitalizao mensal.3. 300% ao ano com capitalizao trimestral.


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Taxa Efetiva: A taxa Efetiva quando o perodo de formao eincorporao dos juros ao Capital coincide com aquele a que a

taxa est referida.Exemplos:

1. 120% ao ms com capitalizao mensal.2. 450% ao semestre com capitalizao semestral.3. 1300% ao ano com capitalizao anual.

Taxa Real: Taxa Real a taxa efetiva corrigida pela taxa

inflacionria do perodo da operao.

Conexo entre as taxas real, efetiva e de inflao: A taxa Realno a diferena entre a taxa efetiva e a taxa da inflao. Narealidade, existe uma ligao ntima entre as trs taxas, dadaspor:

1+iefetiva = (1+ireal ) (1+iinflao )

Exemplo: Se a taxa de inflao mensal foi de 30% e um valor aplicado no incio do ms produziu um rendimento global de32,6% sobre o valor aplicado, ento o resultado igual a 1,326sobre cada 1 unidade monetria aplicada. Assim, a variao realno final deste ms, ser definida por:

vreal = 1 + ireal

que pode ser calculada por:

vreal = resultado / (1 + iinflao )

isto :

vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02

o que significa que a taxa real no perodo, foi de:


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ireal = 2%

Aplicao em caderneta de poupana: Se o governo anuncia que

a Caderneta de Poupana proporciona um rendimento real de0,5% ao ms (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa da inflao iinflao , isto , deve ser multiplicadopor 1 + iinflao e depois multiplicado por 1+0,5%=1,005.

Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de poupanao valor de CR$ 670.890,45 no dia 30/04/93 e a taxa da inflaodesde esta data at 30/05/93 foi de 35,64% entao ele ter em suaconta no dia 30/05/93, o valor de:

V = 670.890,45 x 1,3564 x 1,005 = 914.545,77

Taxas equivalentes

Duas taxas i1 e i2 so equivalentes, se aplicadas ao mesmoCapital P durante o mesmo perodo de tempo, atravs dediferentes sistemas de capitalizao, produzem o mesmomontante final.

Exemplo: A aplicao de R$1.000,00 taxa de 10% ao msdurante 3 meses equivale a uma nica aplicao com a taxa de33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situao.

Tomando P=1.000,00; i1=0,1 ao ms e n 1=3 meses, seguir pelafrmula do Montante composto, que :

S1=P(1+i1)3=1000(1+0,1)3=1000.(1,1)3=1331,00

Tomando P=1.000,00; i2=33,1% ao trimestre e n2=1 trimestre eusando a frmula do Montante composto, teremos:


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S2=C(1+i2)1=1000(1+0,331)=1331,00

Logo S1=S2 e a taxa de 33,1% ao trimestre equivalente taxacapitalizada de 10% ao ms no mesmo trimestre.

Observao sobre taxas equivalentes: Ao afirmar que a taxanominal de uma aplicao de 300% ao ano capitalizadamensalmente, estamos entendemos que a taxa de 25% ao mse que est sendo aplicada ms a ms, porque:

i = 300/12 = 25

Analogamente, temos que a taxa nominal de 300% ao anocorresponde a uma taxa de 75% ao trimestre, aplicada a cadatrimestre, porque:

i = 300/4 = 75

evidente que estas taxas no so taxas efetivas.

Clculos de taxas equivalentes: Como vimos, taxas equivalentesso aquelas obtidas por diferentes processos de capitalizao deum mesmo Principal P para obter um mesmo montante S.

Consideraremos ia uma taxa ao ano e i p uma taxa ao perodo p,sendo que este perodo poder ser: 1 semestre, 1 quadrimestre,1 trimestre, 1 ms, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje.Deve ficar claro que tomamos 1 ano como o perodo integral eque o nmero de vezes que cada perodo parcial ocorre em 1 ano indicado por Np .

Exemplo:1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres =12 meses = 24 quinzenas = 360 dias.

A frmula bsica que fornece a equivalncia entre duas taxas :

1 + ia = (1+ip)Np

onde


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ia taxa anualip taxa ao perodo

Np nmero de vezes em 1 ano

Situaes possveis com taxas equivalentes

Frmula Taxa Perodo Nmero de vezes1+ia = (1+isem )2 isem semestre 21+ia = (1+iquad )3 iquad quadrimestre 31+ia = (1+itrim )4 itrim trimestre 41+ia = (1+imes )12 imes ms 121+ia = (1+iquinz )24 iquinz quinzena 241+ia = (1+isemana )24 isemana semana 521+ia = (1+idias )365 idias dia 365

Exemplo:Qual ser a taxa efetiva que equivale taxa de 12% aoano capitalizada ms a ms?

Vamos entender a frase: "12% ao ano capitalizada ms a ms".Ela significa que devemos dividir 12% por 12 meses para obter ataxa que aplicada a cada 1 ms. Se estivesse escrito "12% aoano capitalizada trimestralmente" deveriamos entender que ataxa ao trimestre seria igual a 12% dividido por 4 (nmero detrimestres de 1 ano) que 3%.

Vamos observar o fluxo de caixa da situao:


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Soluo: A taxa mensal i1=12%/12=1%=0,01, assim a taxaefetiva pode ser obtida por

1+i2 = (1,01)12 = 1,1268247

logo

i2 = 0,1268247 = 12,68247%

Observao: Se iinflao =0, a taxa real equivale taxa efetiva.

Exemplo: Qual a taxa mensal efetiva que equivale taxa de12% ao ano? Neste caso, a frmula a ser usada :

1+ia = (1 + imes )12

Como ia=12%=0,12 basta obter i(mes) com a substituio dosvalores na frmula acima para obter:

1,12 = [1 + i(mes)]12

Existem outras maneiras para resolver esta equao exponencialmas aplicaremos o logaritmo na base 10 a ambos os lados daigualdade para obter:

log(1,12) = 12 log[1+i(mes)]

log(1,12)/12 = log[1 + i(mes)]

0,04921802267018/12 = log[1 + i(mes)]

0,004101501889182 = log[1+i(mes)]

assim

100,004101501889182 = 10log[1+i(mes)]

Desenvolvendo a potncia obtemos:

1,009488792934 = 1 + i(mes)

0,009488792934 = i(mes)


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i(mes) = 0,9488792934%

Se voc no estiver lembrando ou tem interesse em estudar oassunto, o link Logaritmos nesta mesma Pgina, possui coisas

interessantes sobre o assunto.Observao: Interprete os ltimos exemplos com muito cuidado!

Descontos

Notaes comuns na rea de descontos:

DDesconto realizado sobre o ttulo

A Valor Atual de um ttuloN Valor Nominal de um ttuloi Taxa de desconton Nmero de perodos para o desconto

Desconto a diferena entre o Valor Nominal de um ttulo (futuro)N e o Valor Atual A deste mesmo ttulo.

D = N - A

H dois tipos bsicos de descontos: Comerciais (por fora) ouRacionais (por dentro).

Tipos de descontos

Descontos simples so obtidos com clculos lineares, mas osDescontos compostos so obtidos com clculos exponenciais.

Desconto Simples Comercial (por fora):O clculo deste desconto anlogo ao clculo dos juros simples, substituindo-se o CapitalP na frmula de juros simples pelo Valor Nominal N do ttulo.

Desconto por fora Juros simples
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/expolog/logaritm.htmhttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/expolog/logaritm.htm


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D = N i n j = P i nN = Valor Nominal P = Principal

i = taxa de desconto i = taxa de jurosn = no. de perodos n = no. de perodos

O valor atual no desconto por fora, calculado por:

A = N-D = N-N.i.n = N(1-i.n)

Desconto Simples Racional (por dentro): O clculo destedesconto funciona anlogo ao clculo dos juros simples,substituindo-se o Capital P na frmula de juros simples pelo Valor Atual A do ttulo.

O clculo do desconto racional feito sobre o Valor Atual dottulo.

Desconto por dentro Juros simples

D = A i n j = P.i.nN = Valor Atual P = Principal

i = taxa dedesconto i = taxa de juros

n = no. de perodos n = no. deperodos

O valor atual, no desconto por dentro, dado por:

A = N / (1 + i n)

Desconto Comercial composto (por fora):Este tipo de descontono usado no Brasil e anlogo ao clculo dos Juroscompostos, substituindo-se o Principal P pelo Valor Nominal N dottulo.

Desconto composto por fora Juros compostos


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A = N(1-i)n S = P(1+i)n

A = Valor Atual P = Principali = taxa de desconto

negativai = taxa de juros

n = no. de perodos n = no. de perodos

Apenas para fins didticos, iremos obter a frmula para o clculodeste desconto. Ela obtida por aplicaes repetidas dodesconto simples para 1 perodo.

Para n=1, o desconto composto por fora funciona como odesconto simples por fora, logo:

A1 = N(1-i)

onde A1 o valor atual do ttulo com valor nominal N. Para n=2,devemos reaplicar o mesmo processo, substituindo agora N por A1, para obter A2, isto :

A2 = A1(1-i) = N(1-i)2

Por este raciocnio, temos que, para cada nmero natural n:

An = N(1-i)n

Esta frmula similar formula do montante composto, dada por:

S = P(1+i)n

Desconto Racional composto (por dentro):Este tipo de desconto muito utilizado no Brasil.

Como D = N - A e como N = A(1 + i)n , ento

D = N-N(1+i)-n = N.[1-(1+i)-n]

O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racionalcomposto considerar o Valor Atual A como o capital inicial de

uma aplicao e o Valor Nominal N como o montante desta


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aplicao, levando em considerao que as taxas e os temposfuncionam de forma similar nos dois casos.

Exemplo a: Qual o desconto racional composto de um ttulocujo valor nominal R$10.000,00, se o prazo de vencimento den=5 meses e a taxa de desconto de 3,5% ao ms.

Soluo:

D = 10.000,00 [(1,035)5-1]/1,0355 = 1.580,30

Exemplo b: Uma empresa emprestou um valor que dever ser pago 1 ano aps em um nico pagamento de R$ 18.000,00 taxa de 4,5% ao ms. Cinco meses aps ter feito o emprstimo aempresa j tem condies de resgatar o ttulo. Se a empresa tiver um desconto racional composto calculado a uma taxa equivalente taxa de juros cobrada na operao do emprstimo, qual ser ovalor lquido a ser pago pela empresa?

Dados: Valor nominal: N=18.000,00; taxa mensal: i=4,5%=0,045

Nmero de perodos para o desconto: n=12-5=7

Frmula: D = N.[(1+i)n-1]/(1+i)n

Financiamento pelo Sistema Price

No estudo do financiamento de um bem de consumo, percebe-se

que a Matemtica Financeira muito mais til no nosso cotidianodo que outras "matemticas". Aqui se v a fora do estudo desequncias geomtricas (PG), fato que no possvel explicitar facilmente a alunos de nveis elementares. No entanto,praticamente todos os indivduos esto envolvidos com comprasde bens de consumo no seu dia-a-dia e este ponto se tornafundamental pois transforma o estudo de ProgressesGeomtricas em algo extremamente til.

O sistema Price (Richard Price), tambm chamado SistemaFrancs (pois foi a Frana o primeiro pas que utilizou este


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sistema do ponto de vista comercial), corresponde a umfinanciamento onde todos os pagamentos sao iguais.

A idia essencial neste contexto construir um fluxo de caixa e

descobrir o Valor Atual ou Valor Presente de uma srie uniformede pagamentos.

Antes de continuar, iremos mostrar uma situao para identificar o que est escondido sob os clculos de um financiamento.

Exemplo: Suponhamos que uma pessoa compre um carro parapagar em 4 prestaes mensais consecutivas e iguais deR$8.000,00, sem entrada e com taxa de 10% ao ms. Qual sero Valor Atual (real) deste carro?

Fluxo de caixa do problema

O que se deve fazer calcular o valor atual de cada prestao erealizar a soma desses valores para obter o Valor Atual do bemfinanciado.

A1 = 8000/(1+0,1)1A2 = 8000/(1+0,1)2A3 = 8000/(1+0,1)3A4 = 8000/(1+0,1)4

Assim o Valor Atual ser a soma dos valores atuais parciais

A = 8000.(1,1-1 + 1,1-2 + 1,1-3 + 1,1-4)

que pode ser escrito como:

A = 8000 x 3,169865435 = 25.358,92

que o valor vista que custa o carro.


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Um fato curioso o aparecimento da expresso:

K = 1,1-1 + 1,1-2 + 1,1-3 + 1,1-4

que representa a soma dos termos de uma sequncia geomtrica(PG) com 4 termos.

Na sequncia, analisaremos a situao geral quando temos nprestaes num modelo semelhante, considerando agora umfinanciamento cujo Valor Atual A na data inicial (tempo=0) serpago em n prestaes iguais a R ao final de cada um dos nmeses seguidos, a taxas mensais iguais a i.

Fluxo de caixa do problema

O problema similar ao anterior e pode ser resolvido do ponto devista matemtico, como :

A = R[(1+i)-1+(1+i)-2+...+(1+i)-n]

Evidenciando o termo (1+i)-n, segue que:

A = R[1+(1+i)1+...+(1+i)n-1 ] / (1 +i)n

e o termo dentro dos colchetes corresponde soma dos nprimeiros termos de uma PG cujo primeiro termo igual 1 e cujarazo igual a (1+i).

A frmula abaixo a expresso matemtica procurada por tantaspessoas para saber como so realizados os clculos de taxas de

juros em financiamentos.


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Esta no uma expresso matemtica simples! Quando seconhece a taxa i, o nmero de perodos n e o valor de cadaprestao R bastante fcil obter o Valor Atual A.

Quando conhecemos o Valor Atual (preo vista) A, Prestao Re Nmero de perodos n, no fcil obter a taxa de juros porquealm de ser matematicamente difcil, o governo, as empresas efinanceiras em geral, embutem muitas outras taxas a ttulosdiversos que mascaram o valor real da taxa!

Esta frmula matemtica pode ser escrita como:

A = R FVAs(i,n)

onde FVAs o Fator de Valor Atual para uma srie uniforme,definido por:

Esta a frmula utilizada nas tabelas financeiras queencontramos no comrcio em geral. Atravs desta frmulapodemos obter a taxa de um financiamento em prestaes compagamentos iguais.

Para o prximo exemplo, vamos admitir que o dono de uma lojate garantiu o valor certo para a taxa ao perodo, o que eu noacredito em geral.

Para se calcular o valor da prestao R de um bem cujo preo vista A e ser pago em n prestaes iguais sem entrada, taxa

i ao perodo, sendo que a primeira prestao ser paga no finaldo primeiro perodo, divide-se o valor atual A pelo FVAs(i,n), isto:

R = A / FVAs(i,n)

Exemplo: Determinar a prestao R da compra de uma geladeiraque custa vista A=$1.000,00 e que ser paga em 12 meses,sem entrada, com um taxa de 5% ao ms.


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Para realizar estes clculos de uma forma mais simples, acessenesta mesma pgina o link Prestao mensal em um financiamento.

Se voc souber o Valor vista A, a prestao R e o nmero demeses n, voc poder obter a taxa i ao ms, desde que possuauma tabela financeira ou ento se tiver acesso ao link Taxa de

juros em um financiamento.

Construda por Ulysses Sodr. Atualizada em 24/mar/2005.
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matemática financeira - juros simples e compostos

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