Matemática financeira

Programa:. Conceito e aplicações de Juros simples e Juros Compostos.• Desconto de títulos. • Valor de face e valor de mercado.• Valor do dinheiro no tempo. • Valor presente e valor futuro.• Equivalência de taxas de juros. • Equivalência de fluxos de caixa.• Perpetuidades e anuidades. • Sistemas de amortização. • Valor presente líquido e taxa interna de retorno. • Estrutura temporal da taxa de juros.

MATEMÁTICA FINANCEIRA

• A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

Razão e proporção

• Para entender as proporções, começaremos com razões.

• Uma razão é uma divisão de duas grandezas, que nos mostra quantas vezes uma é maior ou menor que a outra. São intimamente ligadas aos números Racionais, do conjunto

São exemplos de razão:

CONCEITOS BÁSICOS

• PROPORÇÃOQuatro números racionaisA, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção

quando

:

DC

BA

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

• Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.

GRANDEZAS INVERSAMENTES PROPORCIONAIS

• Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção.

Exemplo: Com o aumento da velocidade gastamos menos tempo para fazer o mesmo percurso, etc

REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA

• Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.

Exemplo:Com o consumo de água em 10 dias é de 500m³, qual será a quantidade de água consumida em 50 dias?

10 500

50 X

3250010000.25

000.25105005010

mX

X

XX

REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA

Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção.

Velocidade (Km/h) Tempo (h)

400 3480 x

Exemplo : Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

                                                                                        

REGRA DE TRÊS COMPOSTA• Regra de três composta é um processo de relacionamento

de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.

Exemplo:– Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5

horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Horas Caminhões

Descarga

8 20 160

5 X 125

25800000.20

125160

5160

12516020

58

XX

X

X

Exercícios 1)Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em

40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos? 

2) a empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias?

3) Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas.

4)  Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 cm largura ?

5) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha.Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria dea) 920 kg.   b) 800 kg.   c) 720 kg.   d) 600 kg.   e) 570 g.   

PORCENTAGEM• Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100,

é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 210,00. Para que se tenha um lucro de 20% na venda dessa mercadoria, por quanto devo vendê-la?  20% = 20/100 = 0,2 20% de 210 0,2 x 210 = 42  LOGO : 210 + 42 = 252 

Devemos vendê-la por R$ 252,00 para que se tenha um lucro de 20%. 

Exercícios 1) s dados publicados na revista Veja de 12/4/2000 mostram que, de cada 100 pessoas com

o ensino médio, apenas 54 conseguem emprego. Se num determinado grupo de 3000 pessoas, 25% têm ensino médio, o número provável de pessoas do grupo, com ensino médio, que, de acordo com os dados da pesquisa, irão conseguir emprego, é A) 375. B) 405.  C) 450. D) 750. E) 1620

2) Você compra um carro por R$ 20000 e vende-o com lucro de R$ 4000,00. Qual é a porcentagem de lucro, ou seja, quantos por cento eu lucrei em cima de 20000?

3)  Um laboratório realiza exames em que é possível observar a taxa de glicose de uma pessoa. Os resultados são analisados de acordo com o quadro a seguir.

Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratório e comprovou que estava com Hiperglicemia . Sua taxa de glicose era de 300 mg/dL. Seu médico prescreveu um tratamento em duas etapas. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir sua taxa 30% e na segunda etapa em 10%. Ao calcular sua taxa de glicose após as duas reduções, o paciente verificou que estava na categoria de 

A) hipoglicemia.  B) normal.  C) pré-diabetes.  D) diabetes melito  E) diperglimia.

CAPITAL O Capital é o valor aplicado através de

alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado

JUROS Juros representam a remuneração do

Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES

o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

J = P . i . nJ = jurosP = principal (capital)i = taxa de jurosn = número de períodos

MONTANTE• Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.    Montante = Principal + Juros

   Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

 

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

  Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

    SOLUÇÃO:    M = P . ( 1 + (i.n) )    M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

JUROS COMPOSTOS

• o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

M = P . (1 +  i)n

 EX.: Após três meses de capitalização, temos:    1º mês: M =P.(1 + i)    2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)     3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)    Simplificando, obtemos a fórmula:  

JUROS SIMPLESO regime de juros será simples quando o percentual

de juros incidir apenas sobre o valor principal

EX.:Uma pessoa aplicou, a juros simples, 3/5 do seu capital a 7% ao mês e o restante a 66% ao ano. Passados 2 anos e 8 meses, recebeu um total de R$ 12.697,60 de juros. O capital inicial dessa pessoa era de ?

Exercícios 01) Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 600,00 pelo prazo de 15

meses, com uma taxa de 3% ao mês?

02) A que taxa o capital de R$ 8000,00 rende R$ 2.400,00 em 6 meses?

03) Em quantos meses um capital de R$ 3.000,00 rendeu de juros R$ 900,00 à taxa de 24% ao ano?

04) Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 10 meses.

 05) Um capital de R$ 16.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu de juros R$ 1920,00. Determine ataxa anual.

06) (SEAP1102/001-AgSegPenClasseI-V1 - 2012) – Renato pediu R$ 3.000,00 emprestados para pagar depois de 5 meses, à taxa de 3% ao mês, no regime de juro simples. Ao fim desse período, Renato deverá pagar, de juro,

(A) R$ 45,00. (B) R$ 90,00. (C) R$ 180,00. (D) R$ 450,00. (E) R$ 900,00.•

DESCONTOS SIMPLESQuando um titulo de credito (duplicata, nota promissória, letra de cambio) é resgatada antes do seu vencimento, ela sofre um abatimento, que é denominado desconto.

DESCONTO COMERCIAL OU POR FORA

O desconto comercial equivale aos juros simples, onde o capital corresponde ao valor nominal do título.

DESCONTO RACIONAL OU POR DENTROO desconto racional equivale ao juro simples calculado sobre o valor atual do titulo

JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos é o mais comum

no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

A fórmula de juros compostos pode ser escrita da seguinte maneira: , ondeVf - Valor Futuro VVp - Valor Presentei - Taxa de jurosn - Número de períodos

Exercícios1)Uma aplicação de $ 22000,00 efetuada

em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $ 26596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação.

2) Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mes?

Exercícios3)Qual o valor de resgate de uma aplicação

de $ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?

4) Determinar a taxa mensal composta de juros da aplicação de 40.000,00 que produz um montante de $ 43.894,63 ao final de um quadrimestre.

5) Determinar o juro pago de um empréstimo de $ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês.

TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.

Taxa de equivalência para Juros Compostos é:

(1 + i1)n2 = (1 + i2)n1

Exemplos1 - Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre?Solução:Teremos: 1 + ia = (1 + is)2

Como 5% = 0.05, vem: 1 + ia = 1,052 \ ia = 0,1025 = 10,25%

2 - Qual a taxa mensal equivalente a 20% ao ano?Solução:Teremos: 1 + ia = (1 + im)12

Como 20% = 20/100 = 0,20, vem:1 + 0,20 = (1 + im)12

1,20 = (1 + im)12

Dividindo ambos os expoentes por 12, fica:1,201/12 = 1 + imUsando uma calculadora científica – a do Windows também serve – obteremos o valor deim = 0,0153 = 1,53% a.m.

TAXAS NOMINAIS• A taxa nominal é quando o período de

formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.

EX.:Taxa nominal é aquela dada , anunciada, geralmente expressa, 10% ao ano com capitalização mensal ou capitalizada mensalmente. Se esse capital é capitalizado mensalmente, ele será remunerado os 30 dias do mês. Portanto, se tivermos uma taxa de 10% ao ano com capitalização mensal, para determinar a efetiva deve se observar primeiramente a capitalização. Observa que temos dois tempos expressos na taxa, ANO e MÊS ( 10% ao ano com capitalização mensal). A taxa efetiva ao mês basta dividir (10% ao ano / 12 meses = 0,83333...% ao mês) , pois o ano tem 12 meses. Se for uma taxa de 12% ao semestre com capitalização mensal ( Semestre e Mês ; 1 semestre=6 meses) , a efetiva mensal será de (12% / 6

meses =  2% ao mês) . 

TAXAS EFETIVAS

• A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.

Taxa Efetiva A taxa efetiva é aquela que o período de formação e incorporação dos juros ao capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos: a) Uma taxa de 5% ao mês com capitalização mensal. b) Uma taxa de 75% ao ano com capitalização anual. c) Uma taxa de 11% ao trimestre com capitalização trimestral.

 

If = ( 1 + i/q ) - 1