engenharia econômica - juros simples

Engenharia EconômicaMatemática Financeira

Juro▪ A matemática financeira estuda o valor do dinheiro ao longo do

tempo.

▪ Uma unidade monetária hoje deve valer mais que a mesma unidade monetária amanhã...

CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES

Juro▪ ... afinal, postergar um recebimento envolve um sacrifício (abre-se

mão da oportunidade de uso do dinheiro)...

▪ ... o JURO é, portanto, a recompensa recebida por esse sacrifício.


Taxa de Juro▪ A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro.

▪ Exemplo: Se o capital emprestado for $100 e a taxa de juro for 10% ao ano, então o juro anual será $10.


Taxa de Juro▪ Uma taxa de juro deve remunerar:

O risco envolvido na operação;

A perda do poder de compra (inflação);

O custo de oportunidade do capital.


Taxa de Juro▪ Taxas de juro se referem sempre a uma unidade de tempo (mês,

ano etc)...

▪ ... e podem ser representadas de duas maneiras: taxa percentual (10% a.a.) ou taxa unitária (0,1 a.a.)


Diagrama do Fluxo de Caixa▪ O diagrama do fluxo de caixa exprime os movimentos financeiros

de entradas e saídas ao longo do tempo.

0 1 2 3 4 5 6 (tempo)

Entradas (+)

Saídas (-)


Regras Básicas▪ O prazo da operação e a taxa de juros devem

necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo.

▪ Exemplo: Um fundo oferece juros de 1% a.m. com rendimentos creditados mensalmente.


Regras Básicas▪ Se prazo da operação e a taxa de juros não

estiverem na mesma unidade de tempo devemos transformar a taxa de juros.

▪ Veremos mais adiante como fazer tais transformações (taxa proporcional ou taxa equivalente).


Regimes de Capitalização dos Juros

▪ Capitalização Simples: Os juros incidem somente sobre o capital inicial da operação. Juros crescem de forma linear.

▪ Capitalização Composta: Os juros incidem sobre o saldo do período anterior. Juros crescem de forma exponencial (juros sobre juros).


Fórmulas de Juros Simples▪ O valor dos juros (simples) é calculado a partir da seguinte

expressão:

▪ J = valor dos juros (em $)

▪ C = capital (em $)

▪ i = taxa de juros (na forma unitária)

▪ n = prazo

niCJ


▪ Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% a.m. durante um trimestre sob o

regime de capitalização simples. Calcule o valor dos juros acumulados no período.

▪ Resposta:

▪ C = $ 80.000,00

▪ i = 2,5% a.m. (0,025)

▪ n = 3 meses

▪ J = 80.000,00 × 0,025 × 3 = $ 6.000,00

Exemplo


▪ Uma aplicação de $250.000,00, rendendo uma taxa de juros (simples) de 1,8% a.m.

produz, ao final de determinado período, juros no valor de $27.000,00. Calcule o

prazo da aplicação.

▪ Resposta:

▪ C = $ 250.000,00

▪ i = 1,8% a.m. (0,018)

▪ J = $ 27.000,00

▪ n = 27.000,00 / (250.000,00 × 0,018) = 6 meses

Exercício


Montante e Capital▪ O montante (M) é constituído do capital mais o valor acumulado

dos juros:

▪ No entanto, sabemos que

JCM

niCJ


Montante e Capital▪ Substituindo e colocando C em evidência temos:

▪ Neste caso, (1 + i × n) é chamado fator de capitalização (ou valor futuro) dos juros simples.

)1( niCM


Montante e Capital▪ Isolando C, podemos reescrever como:

▪ Neste caso, 1/(1 + i × n) é chamado fator de atualização (ou valor

presente) dos juros simples.

)1( ni

MC


▪ Uma pessoa aplica $18.000,00 à taxa de 1,5% a.m. durante 8 meses.

Determinar o valor acumulado ao final deste período.

▪ Resposta:

▪ C = $ 18.000,00

▪ i = 1,5% a.m. (0,015)

▪ n = 8 meses

▪ M = 18.000,00 × (1 + 0,015 × 8) = $ 20.160,00

Exemplo


▪ Uma dívida de $900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um

desconto de 7% ao mês caso o devedor aceite antecipar o pagamento para hoje.

Calcule o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.

▪ Resposta:

▪ M = $ 900.000,00

▪ n = 4 meses

▪ i = 7% a.m. (0,07)

▪ C = 900.000,00 / (1 + 0,07 × 4) = $ 703.125,00

Exercício


▪ Taxa proporcional: obtida através da divisão entre a taxa de juros e o número de vezes em que ocorrerão os juros.

▪ Exemplo: Suponha uma taxa de juros de 18% a.a. com capitalização mensal, teremos que a taxa proporcional será 18% / 12 = 1,5% a.m.

Taxa Proporcional


▪ Utiliza-se taxas proporcionais em operações de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de mora, descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo etc.

Taxa Proporcional


▪ Duas taxas de juros simples serão equivalentes se, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzirem o mesmo volume de juros.

▪ Exemplo: Um capital de $ 500.000,00, se aplicado a 2,5% a.m. ou 15% a.s. pelo prazo de um ano, produz o mesmo volume de juros ($ 150.000,00). Verifique.

Taxa Equivalente no Regime de Juros Simples


▪ No regime de juros simples, taxas proporcionais e taxas equivalentes são consideradas a MESMA COISA!!!

▪ No regime de juros composto, que veremos em breve, estas taxas serão diferentes.

Taxa Proporcional e Taxa Equivalente


▪ No regime simples, calcular a taxa de juros semestral proporcional

(equivalente) a:

a) 60% a.a.

Resp: i = 60% / 2 = 30% a.s.

b) 9% a.t.

Resp: i = 9% × 2 = 18% a.s.

Exemplos


▪ No regime simples, calcular a taxa de juros mensal proporcional (equivalente) a:

a) 12% a.a.

Resp: i = 12% / 12 = 1% a.m.

b) 0,1% a.d.

Resp: i = 0,1% × 30 = 3% a.m.

Exercícios


▪ Juro Exato: utiliza-se o calendário do ano civil. Portanto, ano com 365 dias.

▪ Juro Comercial: admite-se que cada mês tem 30 dias. Portanto, ano com 360 dias.

Juro Exato e Juro Comercial


▪ Dois ou mais capitais são equivalentes se, dada uma taxa de juros, produzem resultados iguais em uma determinada data comum.

▪ Exemplo: Se a taxa de juros (simples) for 20% a.a., então $ 100,00 hoje ou $ 120,00 daqui a um ano são financeiramente equivalentes.

Equivalência Financeira


▪ Determinar se $ 438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se receber, hoje, $ 296.000,00, admitindo uma taxa de juros simples de 6% a.m..

▪ Resp:

▪ M = 296.000,00 × (1 + 8 × 0,06) = $ 438.080,00

▪ Sim, são financeiramente equivalentes!

Exercício


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