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MateMática financeira
Prof. Walter Sousa
É um abatimento sobre o valor de um título de crédito, concedido devido ao pagamento antecipado. Título de crédito: Documento que atesta uma dívida. São exemplos: nota promissória, duplicatas, cheques. A liquidação antecipada de um título envolve uma recompensa, que chamaremos desconto (d), o qual pode ser simples ou composto, e dos tipos básicos: desconto racional e desconto Comercial
O que é desconto ?
Valor Nominal (N) É o valor de face do título, também chamado de valor
futuro. É o valor do título na data do seu vencimento.
Termos principais
Valor Atual (A) É o valor do título de crédito, na data presente; valor pelo qual o título foi negociado. É o valor já descontado, também chamado valor líquido ou valor pago. Por exemplo, se uma nota promissória de R$ 1.500,00 foi negociada 2 meses antes do vencimento, mediante um abatimento de R$ 150,00, o valor atual será R$ 1.350,00.
Termos principais
Desconto (d): É o abatimento concedido, calculado mediante o critério escolhido. Pode ser no regime simples ou no composto. Definido o regime, devemos escolher o critério Racional ou Comercial. Teremos a seguinte relação principal: N = A + d N = A + d Para todos os descontos!
Termos principais
Desconto Racional Simples (Dr) (Por dentro) O desconto simples racional (Dr) incorpora os conceitos básicos de juros simples, sendo definido como os juros simples do valor atual (A). Dr = A.i.t N = A + Dr N = A + Ait → N = A (1 + it) 𝑖𝑖 é 𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑. 𝑡𝑡 é 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑.
Desconto Simples
Exemplo Uma nota promissória no valor de R$ 2.400,00 será descontada, pelo critério racional simples, 4 meses antes do vencimento, a uma taxa de 5% ao mês. Qual é o valor do desconto e o valor atual do título?
Desconto Simples
Desconto Comercial Simples (Dc) (Por Fora) O desconto simples Comercial (Dc) incorpora os conceitos básicos de juros simples, sendo definido como os juros simples do valor nominal do título. 𝐷𝐷𝑑𝑑 = 𝑁𝑁 ∙ 𝑖𝑖𝑐𝑐 ∙ 𝑡𝑡 𝑁𝑁 = 𝐴𝐴 + 𝐷𝐷𝑑𝑑 Obs: A taxa comercial 𝑖𝑖𝑐𝑐 não é uma taxa efetiva de juros simples 𝑖𝑖 (taxa de juro racional) a ela relativa, uma vez que incide sobre um valor futuro para determinar o desconto. Taxa efetiva: 𝑖𝑖 = 𝑖𝑖𝑐𝑐
1−𝑖𝑖𝑐𝑐∙𝑡𝑡
Desconto Simples
Exemplo Uma nota promissória no valor de R$ 2.400,00 será descontada, pelo critério comercial simples, 4 meses antes do vencimento, a uma taxa de 5% ao mês. Qual é o valor do desconto e o valor atual do título?
Desconto Simples
Exemplo Uma nota promissória no valor de R$ 2.400,00 será descontada, pelo critério comercial simples, 4 meses antes do vencimento, a uma taxa de 5% ao mês. Qual é a taxa efetiva de juros simples?
Desconto Simples
(FCC) Três meses antes de seus vencimentos, dois títulos foram descontados em um banco, com taxa de desconto de 48% ao ano. Sabe-se que o valor nominal do primeiro título era o dobro do valor nominal do segundo. Para o primeiro, utilizou-se a operação de desconto comercial simples e, para o segundo, a de desconto racional simples. Se a soma dos descontos foi igual a R$ 1.215,00, então, o módulo da diferença entre os dois valores líquidos recebidos foi (A) R$ 3.965,00 (B) R$ 9.285,00 (C) R$ 3.035,00 (D) R$ 3.500,00 (E) R$ 3.830,00
Questão FCC
Questão FCC
Desconto Racional Composto (ou Por dentro) O desconto racional composto (Dr) incorpora os conceitos básicos de juros compostos. O valor atual (A) do título de crédito produz um montante N, se aplicado por um prazo t igual ao prazo de antecipação. • 𝑀𝑀 = 𝐶𝐶(1 + 𝑖𝑖)𝑡𝑡, fazendo M = N e C = A, teremos: 𝑁𝑁 = 𝐴𝐴(1 + 𝑖𝑖)𝑡𝑡 ou
• 𝐴𝐴 = 𝑁𝑁(1+𝑖𝑖)𝑡𝑡
• Dr = N - A
Desconto Composto
Exemplo Uma nota promissória no valor de R$ 17.496,00 será descontada, pelo critério racional composto, 2 anos antes do vencimento, a uma taxa de 8% ao ano. Qual é o valor do desconto e o valor atual do título?
Desconto Composto
Desconto Comercial Composto (Por fora) O desconto comercial composto (Dc) é obtido pelo desconto sucessivo sobre o valor nominal (N) do título, a uma taxa de desconto constante. 𝐴𝐴 = 𝑁𝑁 1 − 𝑖𝑖 ∙ 1 − 𝑖𝑖 ∙ 1 − 𝑖𝑖 … . 1 − 𝑖𝑖 → 𝐴𝐴 = 𝑁𝑁(1 − 𝑖𝑖)𝑡𝑡 N = A + Dc
Desconto Composto
Exemplo Uma nota promissória no valor de R$ 2.000,00 será descontada, pelo critério comercial composto, 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de 10% ao mês. Qual é o valor do desconto e o valor atual do título?
Desconto Composto
(FCC) Uma empresa desconta um título de valor nominal R$ 20.000,00 e vencimento em 28 de dezembro em um banco que adota o desconto comercial simples de taxa 4,5% ao mês. Se a antecipação ocorre no dia 10 do mesmo mês, o valor creditado na conta da empresa é igual a (A) R$ 19.100,00 (B) R$ 19.280,00 (C) R$ 19.460,00 (D) R$ 19.540,00 (E) R$ 19.620,00 Gab. C)
Questão 1
(CESGRANRIO) Um título no valor de R$ 1.500,00, com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, está sendo negociado, com uma taxa de desconto comercial simples de 20% aa. Considerando- se o ano comercial com 360 dias, tem-se que o valor liberado foi, em reais, de
a) R$ 900,00 b) R$ 1.250,00 c) R$ 1.425,00 d) R$ 1.575,00 e) R$ 1.800,00
Gab. C)
Questão 2
(ESAF) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ 10.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ 60.000,00. b) R$ 46.157,00. c) R$ 56.157,00 d) R$ 50.000,00. e) R$ 55.000,00. Gab. A)
Questão 3
(AFRF) Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. a) R$ 9.810,00 b) R$ 9.521,34 c) R$ 9.500,00 d) R$ 9.200,00 e) R$ 9.000,00 Gab. E)
Questão 4
Uma instituição financeira efetua o desconto de um título de valor de face de R$ 25.000,00 dois meses antes do vencimento, utilizando taxa de desconto simples bancário (por fora) de 9% ao mês. A instituição exige o pagamento de 2% do valor de face do título como taxa de administração no momento de desconto do título. A taxa bimestral de juros realmente cobrada é de (A) 20% (B) 25% (C) 11% (D) 16% (E) 22,5% Gab. B)
Questão 5
(CESGRANRIO) A Empresa Serra Verde Ltda. levou ao Banco quatro duplicatas no valor de R$32.500,00 cada uma, com vencimento para 90, 120, 150 e 180 dias, respectivamente, para descontá-las. O Banco ofereceu à empresa uma taxa de desconto simples de 3,45% ao mês. Com base nos dados acima e considerando o ano comercial, o valor do desconto pago pela empresa no ato do empréstimo, em reais, foi (A) 20.182,50 (B) 25.750,00 (C) 26.910,00 (D) 32.187,50 (E) 33.637,50 Gab. A)
Questão 6
(FCC) Uma duplicata é descontada em um banco 40 dias antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples. O valor atual desta duplicata é igual a 97% de seu valor nominal. Considerando a convenção do ano comercial, tem-se que a taxa anual de desconto utilizada foi de (A)27% (B) 24% (C) 21% (D)18% (E) 15% Gab. A)
Questão 7
(FCC) Um título de valor nominal R$ 1.430,00 vai ser descontado à taxa de 5% ao mês, 2 meses antes do seu vencimento. Considere: V1 o valor líquido que seria recebido se fosse utilizado o método do desconto simples racional. V2 o valor líquido que seria recebido se fosse utilizado o método do desconto simples comercial. V3 o valor líquido que seria recebido se fosse utilizado o método do desconto composto racional. Comparando-se V1, V2 e V3, verifica-se que é verdade que Gab. A)
Questão 8
(CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale (A) 399,00 (B) 398,00 (C) 397,00 (D) 396,00 (E) 395,00 Gab. B)
Questão 9
(FCC) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de a) R$ 21.780,00 b) R$ 21.600,00 c) R$ 20.702,00 d) R$ 19.804,00 e) R$ 19.602,00
Questão 10
(Esaf) Sejam dois títulos com as seguintes características: I. Um certificado de depósito a prazo, de R$ 50.000,00, efetuado 17 meses atrás, que rende juros compostos de 4% ao mês. Os rendimentos são tributados em 8% (imposto de renda) no ato do resgate; II. Uma promissória de R$ 112.568,00, vencível de hoje a 7 meses, que pode ser resgatada mediante desconto racional composto de 5% ao mês. Os dois títulos, se resgatados hoje, desprezados os centavos, valem: a) R$ 169.603,00. b) R$ 173.603,00. c) R$ 177.395,00. d) R$ 181.204,00. e) R$ 185.204,00.
Questão 11
Questão 11
(Esaf-AFRF) Uma empresa deve pagar R$ 20.000,00, hoje; R$ 10.000,00, ao final de 30 dias; e R$ 31.200,00, ao final de 90 dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de 60 dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos 60 dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. a) R$ 63.232,00. b) R$ 64.000,00. c) R$ 62.032,00. d) R$ 62.200,00. e) R$ 64.513,28.
Questão 12
Na próxima aula, Análise de projetos!
Até mais!