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1 Profa. Msc. Érica Siqueira

Matemática FinanceiraAula 1 (manhã e tarde)

Profaª Msc. Érica Siqueira

Matemática Financeira

Objetivos de aprendizagem:Depois de ler e discutir este tópicovocê será capaz entender

• Fazer contas utilizando a regra de três eporcentagens

• Entender os princípios de Matemática Financeira• Calcular valores futuros e presente em juros simples

e compostos• Entender operações com taxas


Agenda do CursoData Horário Período Tema da Aula

03/06/2017

08:30

Manhã

Apresentação da DisciplinaRevisão de PorcentagensRevisão de Regra de Três Simples e Composta

10:30

Juros SimplesDesconto de Duplicata

Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Simples

03/06/2017

13:00

Tarde

Juros Compostos

Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Compostos

Convenção Linear (parte inteira e fracionária)

15:00Inflação, Taxa Real e Taxa AparenteTaxa AcumuladaTaxa Nominal e Taxa Efetiva

17/06/2017

08:30

Manhã

Cálculo de Juros Simples e Compostos no Excel

Pagamentos e Depósitos ConstantesFluxo de Caixa

10:30Payback Simples e DescontadoVPLTIR

17/06/201713:00

Tarde

Sistema de Amortização: PriceSistema de Amortização: SAC

15:00Operação com DebenturesDúvidas e Prova


Observações• Usar HP12C

• Para estudar: • Slides como grandes tópicos

• Livros indicados na bibliografia

• Lista de Exercícios

• Na prova poderá utilizar todo material: livros, cadernos, calculadoras, slides, etc..., mas não poderá utilizar celular


Aplicações

• Gestão Financeira

• Planejamento Financeiro

• Investimentos

• Finanças Pessoais


Revisão: Início


• Resolução de problemas, usando igualdade de frações, sobre as quais conhece-se 3 valores dos 4 valores possíveis.

• A partir desses 3 valores é possível montar uma equação, de primeiro grau, com uma incógnita.

• Os valores conhecidos podem ser diretamente proporcionais, ou seja, a medida que um valor aumenta, espera-se que o outro também aumente, mantendo a proporção

• Ou, podem ser inversamente proporcionais: a medida que um aumenta o outro diminui.

Regra de Três Simples


• Se um produto custa R$ 400,00 e teve um desconto de R$ 30,00 representa que percentual de desconto?

Porcentagens com Regra de Três

Reais (R$) Porcentagem

400,00 100%

30,00 X

400

30�

100

��

100 ∗ 30

400� � 7,5%


• (SóMatemática) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Diretamente Proporcional

Área Energia

1,2 400

1,5 X

1,2

1,5�

400

��

1,5 ∗ 400

1,2� � 500


• (Globo) Um atleta, com velocidade constante de 8km/h, leva 50 minutos para percorrer um quarteirão. Se sua velocidade passar a ser de 16km/h, de forma constante, quanto tempo ele levará para percorrer esse mesmo quarteirão?

Inversamente Proporcionais

Velocidade (km/h) Tempo (minutos)

8 50

16 X

8

16�

�

50� �

8 ∗ 50

16� � 25


• Enquanto a regra de três simples envolve até 2 grandezas, velocidade e tempo, por exemplo, a regra de três composta envolve 3 ou mais grandezas direta ou indiretamente.

• A forma de resolução é montar uma série de regra de três simples

Regra de Três Composta


• (Globo) Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Calcule o número de horas por dia que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracões em 20 dias.

Exemplo Regra de Três Composta

��

��

��

�=

��

��

�

�

�

6�

12 ∗ 10 ∗ 30

18 ∗ 5 ∗ 20

1800� � 6 ∗ 3600

�

6�

3600

1800

� ��.��

��= 12


• A porcentagem é uma maneira de expressar um número como parte de um todo.

• Para calculá-la, damos ao todo o valor de 100%.

• Por exemplo, digamos que você tenha 10 reais (=100%).

• Se você gastar 2, então você gastou 2/10 × 100% = 20% dos seus 10 reais, e ficou com apenas 80%

Revisão de Porcentagem


Taxa Unitária Corresponde à Taxa Percentual

0,05 = 5%

0,5 = 50%

0,8 = 80%

1 = 100%

Taxas Unitárias e Percentuais


• Dessa forma, 20% = 0,20 ou 30% = 0,3 e 5%=0,05

• Para achar o valor correspondente, basta multiplicar pela porcentagem, sem necessidade de usar a regra de 3

• Por exemplo: 10% de R$ 1.000

• 0,10 * 1000 = R$ 100,00

O percentual de um valor


• Por outro lado, para achar o percentual, basta dividir a parte pelo todo, também sem necessidade de usar regra de três.

• Exemplo: Se há um grupo de 1000 pessoas, das quais 485 são universitárias, qual o percentual de universitários?

• Parte = 485

• Todo = 1000

• O primeiro passo é dividir a parte pelo todo

• 485 / 1000 = 0,485

• Depois multiplicar por 100 para achar o valor em percentual

• 0,485 x 100 = 48,5%

• 48,5% das pessoas desse grupo são universitárias

Para calcular o percentual


• Para somar uma porcentagem ao número original, por exemplo “200 + 40%”, basta utilizar a fórmula 200 x (1 + 0.40) = 280

• Exemplos: acrescentar ao preço original um valor de lucro, comissão ou taxas

Acrescentar um Percentual


• Ex: Achar valor final após conceder descontos

• Para retirar um porcentagem basta multiplicar pela porcentagem restante, por exemplo:

• Se temos 100 caixas, sendo que 40 delas estão cheias de areia, dizemos que 40% estão cheias, e que as restantes estão vazias (60 caixas, ou 60% nesse caso).

• Fórmula = 100 * 0,6 = 60 caixas vazias

Subtrair um Percentual


Calcule as porcentagens correspondentes:• 2% de R$ 700 • 40% de 48 m• 38% de 200 Kg• 6% de R$ 50• 37,6% de R$200• 22,5% de R$60

Exercícios de Porcentagem


a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00?

b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância xxxx?

c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?

d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?

e) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?

Exercício de Porcentagem


Matemática Financeira


• Estudar o valor do dinheiro no tempo

• Conceitos de juro, capital e tempo

• Habilidades matemáticas prévias:• Porcentagem

• Frações, Potências, Raiz, Log

Observações


• Receber uma quantia hoje, equivale a receber uma quantia maior amanhã (Valor Futuro);

• Receber uma quantia amanhã, equivale a receber uma quantia menor hoje (Valor Presente).

• E assim surge o estudo do "dinheiro no tempo", cuja "taxa de juros" representa o fator de correção no tempo.

Dinheiro no Tempo


• O Capital é o valor, na data ZERO, aplicado ou emprestado através de alguma operação financeira.

• Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.

• Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

• Excel: Valor Presente

Capital


• Remuneração do Capital• O jurojurojurojuro existe porque a maioria das pessoas prefere o

consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempotempotempotempo e riscoriscoriscorisco, que a operação envolver.

• O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa taxa taxa taxa de jurosde jurosde jurosde juros.

• Representação nas calculadoras financeiras: i

Juro


• Tempo decorrido entre a aplicação inicial e o resgate, também chamado de prazo ou período de capitalização

• Utiliza-se calendário comercial, na marioria das vezes, sendo os meses de 30 dias, e anos de 360 dias (12 meses de 30 dias).

• Notação nas calculadoras financeiras: n

• a. a . = ao ano a. b. = ao bimestre a. q. = ao quadrimestre a. p. = ao período a. m. = ao mês a. t. = ao trimestre a. s. = ao semestre

• Conversão? Pode?

Tempo


• É a soma do Capital inicial com juro produzido em determinado tempo

• O montante é calculado apenas no fim da capitalização.

• Outras representações: S (de SSSSaldo); VF (de VVVValor FFFFuturo); FV (de FFFFuture VVVValue)

• VF = VP + J

Montante


• Os juros podem ser capitalizados segundo doisregimes: simples ou compostos.

• JUROSJUROSJUROSJUROS SIMPLESSIMPLESSIMPLESSIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre écalculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

• JUROSJUROSJUROSJUROS COMPOSTOSCOMPOSTOSCOMPOSTOSCOMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo écalculado a partir do saldo no início de correspondenteintervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo éincorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

• A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza jurosjurosjurosjuroscompostoscompostoscompostoscompostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo,compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, asaplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança eaplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramenteencontramos uso para o regime de juros simples: é o caso dasoperações de curtíssimo prazo, e do processo de descontosimples de duplicatas.

Juro Simples e Composto


• J = C * i * n

• Quanto rende um capital inicial (principal) de $100,00 aplicado à taxa de 5% ao semestre e por um prazo de 2 anos?

• Qual o montante ao final de 2 anos?

Calculando Juros Simples


• Determinar o montante, ao fim de 5 meses, correspondente a uma aplicação no valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros simples.

• Solução: P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. n = 5 meses

• S = P(1 + in)

• S = 6.000 (1 + 0,04×5)

• S = R$ 7.200,00

Cálculo do Montante em Juros Simples


• Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o montante (S) daqui a n períodos a uma taxa (i) de juros simples basta inverter a relação anterior, isto é:

• P = S/(1+ in)

Cálculo do Valor Atual Juros Simples


• Partindo da Fórmula inicial utilizada para calcular o valor do Juros (J = C * i * n) podemos deduzir que

• � � �

��∗��

• Na qual “i” é a Taxa a ser descoberta, “J” o valor de juros, “C” o capital e “n” a quantidade de períodos.

Cálculo da Taxa em Juros Simples


• Partindo da Fórmula inicial utilizada para calcular o valor do Juros (J = C * i * n) podemos deduzir que

• � � �

��∗ �

• Na qual “i” é a Taxa, “J” o valor de juros, “C” o capital e “n” a quantidade de períodos a ser descoberta.

Cálculo do Tempo em Juro Simples


• Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade

• No regime de juros simples, “Taxas Proporcionais” e “Taxas Equivalentes” são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente a classificação deduas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes. Este conceito diz mais a respeito ao regime de juros compostos.

Taxas Proporcionais e Equivalente em JS


Exemplo 1


Exemplo 2


Desconto de Duplicata

• Operação conhecida no Brasil como Desconto comercial ou bancário (por fora).

• Diferentemente do cálculo de juros, que incide sobre um Capital ou Valor Presente, a taxa de desconto incide sobre o valor futuro.

• O valor futuro, nesse caso, é conhecido como valor de face ou valor nominal

• Abate-se o desconto para conhecer o valor presente, ou, o quanto será pago pelo desconto da duplicata (antecipação de recebíveis)


Desconto de Duplicata Juros Simples

• Fórmulas para cálculo:

• Valor do Desconto (D): D = VF.d.n

• Valor presente, abatendo o desconto

• VP = VF * (1 – d *n) onde d é a taxa de desconto

• Exemplo:

• Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 1.600,00, com vencimento para 120 dias, á taxa de 3% ao mês?


Resolução

• Dados retirados do problema• VF = 1.600,00

• n = 120 dias = 4 meses (pois a taxa está em mês)• d = 2,5% ao mês

• Valor do Desconto (D) =?

• Solução:

• Fórmula D = VF . d . n

• D = 1.600,00 . 0,03 . 4 = 192,00


Juros Compostos

Fonte: http://excelplanilhasprontas.com.br/


• Enquanto no Juros Simples temos uma função linear, no juros compostos temos uma função exponencial.

• Como ser observa na fórmula do Montante

• ! � " ∗ �1 # ��

Cálculo do Montante em Juros Compostos


• Determinar o montante, ao fim de 5 meses, correspondente a uma aplicação no valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros simples e compostos.

Exemplo Comparativo


• Dados: P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. e n = 5 meses

• Juros Simples:• S = P(1 + in)

• S = 6.000 (1 + 0,04×5)

• S = R$ 7.200,00

• Juros Compostos• ! � " ∗ �1 # ��

• S = 6.000 * (1+ 0,04)⁵

• S = 6.000 * 1,04⁵

• S = 6.000 * 1,216653

• S = R$ 7.299,92

Exemplo Comparativo


• Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o montante (S) daqui a n períodos a uma taxa (i) de juros Compostos basta inverter a relação anterior, isto é:

• $ � %

��& �'

Cálculo do Valor Atual Juros Compostos


• Para calcular a taxa também é possível deduzir a fórmula a partir da fórmula do montante:

• ! � " ∗ �1 # ��

•%

�� 1 # ��

•%

�

'= 1 # �

•%

�

'- 1 = �

• � �%

�

'( 1

Cálculo da Taxa em Juros Compostos


Cálculo do Tempo em Juro Compostos

• A quantidade de períodos (n) também pode ser deduzida a partir da fórmula do montante

• ! � " ∗ �1 # ��

•%

�� 1 # ��

• Log �%

�� = Log �1 # ��

• Log �%

�� = n * Log�1 # ��

•Log �)

*�

Log��& � = n

O LOG pode ser

substituído, nesse

caso, pelo LN


• Trata-se de aplicar o sistema de juros compostos para a parte inteira do período e juros simples para a parte fracionada.

• Exemplo:

Convenção Linear


Convenção Linear

Convenção

Exponencial

Convenção

Linear


Exercício

• (MathFinanceira) -Seja o capital de R$100.000,00 emprestado à taxa de 18% ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante deste empréstimo pela convenção linear.

• Resultados para Conferência:

• FV (Conv. Linear) = R$ 220.051,30

• FV (Conv. Exponencial) = R$ 219.502,50


Convenção Linear na HP

• A HP 12C resolve problemas em ambas as convenções.

• Quando o período n é um número fracionário, é necessário

verificar a letra C está aparecendo no visor

• A letra C pode ser colocada ou retirada pressionando-se as teclas

STO EEX.

• Se a letra C estiver aparecendo no visor, a HP 12C está realizando

os cálculos segundo a convenção exponencial.

• Caso contrário, a HP 12C está realizando os cálculos segundo a

convenção linear.

• Para o uso da HP 12C, no regime de juros compostos ou simples,

a unidade de referência do período deve ser a mesma da taxa de

juros


• Quando uma taxa de aplicação ou empréstimo é informada em uma determinada unidade de tempo mas a capitalização ocorre em outra unidade de tempo, temos aí a distinção entre Taxa Nominal e Efetiva.

• Exemplo: Se o banco te oferece um investimento com taxa nominal de 24% a. a. mas com capitalização mensal, isso significa que a taxa nominal é 24% a.a porém a taxa efetiva, a qual seu rendimento estará sujeito é de 24/12

• Ou seja, a taxa efetiva é 2% a.m

• Para achar a taxa efetiva anual, basta achar a taxa anual equivalente a 2% a.m, no caso 26,82% a.a.

Taxa Nominal e Efetiva


• Você faz um empréstimo pessoal de R$5.000,00 que será liquidado em 36 parcelas mensais de R$256,35.

• O gerente do banco informa que a taxa nominal do empréstimo é de 45,33% a.a.

• Calcule a taxa efetiva mensal e anual

Exercício Taxa Nominal e Efetiva


• Para calcular sucessivos aumentos, que produziram uma taxa acumulada, usa-se a formula abaixo caso a taxa já esteja em índice

Exemplo de Taxa Acumulada

• Caso contrário, é preciso dividir a taxa por 100


Taxa Acumulada de Inflação

Mês IPCA (%)

Janeiro 0,5Fevereiro 0,4

Março 0,3Abril 0,5Maio 0,7Junho 0,4Julho -0,2

Agosto -0,5Setembro 0,3Outubro 0,7

Novembro 0,9Dezembro 1

• Qual a taxa de inflação acumulada no período de 12 meses da tabela ao lado?

• [(1,005)x(1,004)x(1,003)x(1,005)x(1,007)x(1,004)x(0,998)x(0,995)x(1,003)x(1,007)x(1,009)x(1,01) – 1] x 100.

• =5,1%


• A taxa aparente é formada por dois componentes: a taxa real e a inflação.

• A taxa real, portanto, é a taxa aparente, descontada da inflação

• Fórmula para achar a taxa real:

• 1 +1 +1 +1 + iiiiaaaa = ( 1 += ( 1 += ( 1 += ( 1 + iiiirrrr ) * ( 1 +) * ( 1 +) * ( 1 +) * ( 1 + IIII ))))

• Onde:

• ia = taxa aparenteir = taxa realI = inflação

Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente


• (BrasilEscola) - Um empréstimo foi realizado a uma taxa de 32% ao ano. Considerando-se que a inflação do período foi de 21%, determine a taxa real anual.

• Taxa aparente = 32% = 0,32 e Inflação = 21% = 0,21

• 1 + 0,32 = (1 + ir) * (1 + 0,21)1,32 = (1 + ir) * 1,211,32/1,21 = 1 + ir

1,09 = 1 + ir

ir = 1,0909 – 1ir = 0,0909ir = 9,09%

• A taxa real anual foi equivalente a 9,09%.

Exemplo de Taxa Real e Aparente


Bibliografia BibliografiaI. Básica:

1. Lima, Iran Siqueira; Galardi, Ney & Neubauer, Ingrid. Mercados de Investimentosfinanceiros. 2ª ed.: manual para certificação profissional ANBID Série 20 (CPA - 20).São Paulo: Atlas, 2008.

2. Neto, Alexandre Assaf. Mercado Financeiro. 12ª ed. São Paulo: Atlas, 2014.

3. Securato, José Roberto. Decisões financeiras em condições de riscos. São Paulo:Atlas, 1996.

II. Complementar1.Freund John E.; Simon, Gary A. Estatística aplicada: economia, administração econtabilidade. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000

2. LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel 5 e 7. São Paulo: LapponiTreinamento, 1997.

3. Levine, David M.; Bereson, Mark L.; Stephan, David. Estatística: teoria eaplicações, usando o Microsoft Excel em português. 3.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.

4.-MORETTIN, Luiz Gonzaga. Vol. 1. Estatística básica. 7.ed. São Paulo:Pearson/Makron Books, 2000.

5. MORETTIN, Luiz Gonzaga. Vol. 2. Estatística básica. 7.ed. São Paulo:Pearson/Makron Books, 2000.

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