Números proporcionais Números proporcionais

1

Matemática Matemática FinanceiraFinanceiraSlidesSlides

Administração - www.ser.com.br

Juros simples Juros simples

Porcentagem Porcentagem

Termos importantes da Matemática financeira Termos importantes da Matemática financeira

Juros compostos Juros compostos

Juros e funções Juros e funções

Equivalência de taxas Equivalência de taxas

Equivalência de capitais Equivalência de capitais

Números proporcionaisNúmeros proporcionais

2

Sendo os números reais não nulos a, b, c, d, ..., n, nessa ordem, diretamente proporcionais aos números A, B, C, D, ..., N, então vale a condição:

a b c d n a b c d ... n... k

A B C D N A B C D ... N

Em que k é chamado de constante de proporcionalidade.

3

Números proporcionaisNúmeros proporcionais

Sendo os números reais não nulos a, b, c, d, ..., n, nessa ordem, inversamente proporcionais aos números A, B, C, D, ... N, então vale a condição:

a b c d n a b c d ... n...

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1...

A B C D N A B C D N

ou

a A b B c C d D ... n N

PorcentagemPorcentagem

4

A porcentagem é uma forma usada para indicar uma fração de denominador 100 ou qualquer representação equivalente a ela. Exemplos:

50 1a) 50% 0,50

100 225 1

b) 25% 0,25100 47

c) 7% 0,07100

12 60d) 12 alunos de uma sala com 20 alunos 60% 0,60

20 100

5

PorcentagemPorcentagem

100% representa o valor total de uma quantidade.25% do total representa uma parte da quantidade.Sendo assim, com 25% de 300 alunos, teremos:

300 alunos representa 100%

2525% de 300 alunos 25% 300 300 0,25 300 75 alunos

100

Se o número de alunos aumentou em 25%, teremos a nova quantidade de alunos igual a 300 + 75 = 375 alunos.Caso tenha diminuído de 25%, será igual a 300 – 75 = 225 alunos.

6

PorcentagemPorcentagem

Para achar o valor total: 60% de quanto dá R$ 156,00?

60% de x = R$156,00

0,60 x 156,00

156,00x 260,00

0,60

Sendo assim, 60% de R$ 260,00 é igual a R$ 156,00.

A quantia de 126 corresponde a quantos por cento de 420?

x de 420 = 126

x 420 126

126 30x 0,3 0,30 30%

420 100

Sendo assim, 30% de 420 é igual a 126.

7

Termos importantes da Matemática financeiraTermos importantes da Matemática financeira

Capital (C) ou valor principal é a quantia que será emprestada ou aplicada e sofrerá o aumento dos juros.

Juros (j) é o valor em dinheiro acrescido após um período ou tempo de aplicação.

Montante (M) é o valor do capital acrescido de juros.

Taxa (i) de juros é a porcentagem que irá incidir sobre o capital.

Período (t) ou tempo que o dinheiro ficará aplicado.

8

JurosJuros simples simples

j C i t M C j M C (1 i t)

Quanto rendeu um capital de R$4000,00 aplicado a juros simples, com taxa de 2% ao mês ao final de 1 ano e meio?

Qual o montante que terei?

2j ?, C 4000, i 2% 0,02,100t 1 ano e meio 18 meses

j 4000 0,02 18 R$1440,00

M 4000 1440 R$ 5440,00

Um capital de R$ 5000,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 1,5% ao mês, resultou em um montante de R$ 5750,00 após um período de aplicação. Qual foi este período?

t ?, C 5000, M 5750,

1,5i 1,5% 0,015100M C (1 i t) 5750 5000 (1 0,015 t)

5750 5000 1 0,015 t 1,15 1 0,015 t

0,15 0,015 t t 10 meses

9

Juros compostosJuros compostos

M C j ou j M C tM C (1 i)

Quanto rendeu um capital de R$4000,00 aplicado a juros compostos, com taxa de 2% ao mês ao final de 1 ano e meio?

t

18 18

2j ?, C 4000, i 2% 0.02,100t 1 ano e meio 18 meses

M C (1 i)

M 4000 (1 0,02) 4000 (1,02)

M 4000 1,428246 R$ 5712,98

j M C

j 5712,98 4000,00 R$ 1712,98

Um capital de R$ 5000,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 1,5% ao mês, resultou em um montante de R$ 5750,00 após um período de aplicação. Qual foi este período?

t t

t t

t ?, C 5000, M 5750,

1,5i 1,5% 0,015100

M C (1 i) 5750 5000 (1 0,015)

5750 5000 1,015 log 1,15 log 1,015

log 1,15 t log 1,015 t log 1,15 log 1,015

t 9,4 meses 9 meses e 12 dias

10

Juros e Juros e funçõesfunções

Um capital de R$ 600,00 aplicado à taxa de 10% ao ano:

no sistema de juros simples, os juros e o montante são obtidos por meio das funções:

Estas são funções lineares. Observe suas representações gráficas:

j 600 0,10 t

j f(t) 60t

( )

M j C

M g t 60t 600

no sistema de juros compostos, o montante é obtido por meio da função:

Esta é uma função exponencial. Observe sua representação gráfica:

t t

t

M C 1 i 600 1 0,10

M h(t) 600 1,1

11

EquivalênciaEquivalência de taxas de taxas

Se I é a taxa de juros acumulada em t anos e i é a taxa de juros (compostos) relativa a 1 ano, teremos a relação:

t1 I 1 i

Sendo assim, uma taxa de 10% ao ano irá valer, em 4 anos, 46,41%

4 41 I 1 0,10 1 I 1,1 1 I 1,4641

I 1,4641 1 0,4641 46,41%

12

Equivalência de capitaisEquivalência de capitais

Se Co é a quantia que tenho hoje e Cn é a quantia que terei daqui a n períodos com uma taxa i por período, a relação será a seguinte:

n

n oC C 1 i

Sendo assim, se hoje tenho R$ 50.000,00 e aplico a uma taxa de 10% ao ano, quanto terei após 4 anos?

4 4

4

4

C 50.000 1 0,10 50.000 1,1

C 50.000 1,4641 R$ 73.205,00