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APRESENTAÇÃO

Este módulo faz parte da coleção intitulada MATERIAL MODULAR, destinada às três

séries do Ensino Médio e produzida para atender às necessidades das diferentes rea-

lidades brasileiras. Por meio dessa coleção, o professor pode escolher a sequência que

melhor se encaixa à organização curricular de sua escola.

A metodologia de trabalho dos Modulares auxilia os alunos na construção de argumen-

tações; possibilita o diálogo com outras áreas de conhecimento; desenvolve as capaci-

dades de raciocínio, de resolução de problemas e de comunicação, bem como o espírito

crítico e a criatividade. Trabalha, também, com diferentes gêneros textuais (poemas,

histórias em quadrinhos, obras de arte, gráficos, tabelas, reportagens, etc.), a fim de

dinamizar o processo educativo, assim como aborda temas contemporâneos com o ob-

jetivo de subsidiar e ampliar a compreensão dos assuntos mais debatidos na atualidade.

As atividades propostas priorizam a análise, a avaliação e o posicionamento perante

situações sistematizadas, assim como aplicam conhecimentos relativos aos conteúdos

privilegiados nas unidades de trabalho. Além disso, é apresentada uma diversidade de

questões relacionadas ao ENEM e aos vestibulares das principais universidades de cada

região brasileira.

Desejamos a você, aluno, com a utilização deste material, a aquisição de autonomia

intelectual e a você, professor, sucesso nas escolhas pedagógicas para possibilitar o

aprofundamento do conhecimento de forma prazerosa e eficaz.

Gerente Editorial

Geometria espacial II

© Editora Positivo Ltda., 2011Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.

DIRETOR-SUPERINTENDENTE: DIRETOR-GERAL:

DIRETOR EDITORIAL: GERENTE EDITORIAL:

GERENTE DE ARTE E ICONOGRAFIA: AUTORIA:

ORGANIZAÇÃO: EDIÇÃO DE CONTEÚDO:

EDIÇÃO:ANALISTA DE ARTE:

PESQUISA ICONOGRÁFICA:EDIÇÃO DE ARTE:

ILUSTRAÇÃO:PROJETO GRÁFICO:

EDITORAÇÃO:CRÉDITO DAS IMAGENS DE ABERTURA E CAPA:

PRODUÇÃO:

IMPRESSÃO E ACABAMENTO:

CONTATO:

Ruben FormighieriEmerson Walter dos SantosJoseph Razouk JuniorMaria Elenice Costa DantasCláudio Espósito GodoyJorge Luiz Farago / Lucio Nicolau dos Santos CarneiroÂngela Ferreira Pires da TrindadeÂngela Ferreira Pires da TrindadeJeferson Freitas / Paula Garcia da Rocha / Rose Marie WünschTatiane Esmanhotto KaminskiTassiane SauerbierAngela Giseli de SouzaAngela Giseli / Divo / Jack ArtO2 ComunicaçãoSinal Gráfico / Bettina Toedter Pospissil© iStockphoto.com/Jorge Delgado; © iStockphoto.com/Dario Sabljak; LatinStock/Corbis/DK Limited; Mary Evans Picture Library; © 2001-2009 HAAP Media Ltd/Klaus Post; P. Imagens/PithEditora Positivo Ltda.Rua Major Heitor Guimarães, 17480440−120 Curitiba – PRTel.: (0xx41) 3312−3500 Fax: (0xx41) 3312−3599Gráfica Posigraf S.A.Rua Senador Accioly Filho, 50081300−000 Curitiba – PRFax: (0xx41) 3212−5452E-mail: [email protected]@positivo.com.br

Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)

Todos os direitos reservados à Editora Positivo Ltda.

Neste livro, você encontra ícones com códigos de acesso aos conteúdos digitais. Veja o exemplo:

Acesse o Portal e digite o código na Pesquisa Escolar.

@MAT809Cubos

@MAT809

F219 Farago, Jorge Luiz.Ensino médio : modular : matemática : geometria espacial II / Jorge Luiz Farago,

Lucio Nicolau dos Santos Carneiro ; ilustrações Angela Giseli, Divo, Jack Art. – Curitiba : Positivo, 2011.

: il.

ISBN 978-85-385-6739-4 (livro do aluno)ISBN 978-85-385-6740-0 (livro do professor)

1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos. I. Carneiro, Lucio Nicolau dos Santos. II. Giseli, Angela. III. Divo. IV. Jack Art. V. Título.

CDU 373.33

SUMÁRIO

Pirâmide 6

Cone 19

Superfície esférica e esfera 28

Volume de uma esfera 32

Área da superfície esférica 34

Sólidos inscritos e circunscritos 38

Tronco de pirâmide 46

Tronco de cone 51

Unidade 2: Geometria espacial III

Unidade 1: Geometria espacial II

Unidade 3: Geometria espacial IV

Geometria espacial II4

Não há ramo da matemática, por abstrato que seja, que não possa

um dia ser aplicado aos fenômenos do mundo real.

LOBACHEVSKY. In: BOYER, Carl B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 2. ed.

São Paulo: Blucher, 1996. p. 369.


Ensino Médio | Modular 5

MATEMÁTICA

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AA pirâmide do Museu do Louvre, em Paris, inaugurada A pirâmide do Museu do Louvre, em Paris, inauguradad i i l deme 1988, é a entrada pprincippal do museueme 1988, é a entrada pprincippal do museu

qqq e lembra uma irâmideeVVela decorativa na forma VVela decorativa na formaququq e lembra uma ppirâmideequq e lembra uma ppirâmide

lembra um cone. Ele é recheado com arroz j onês algum tipo de peixe ou fruto do mar

NNa culinária japonesa, o NNa culinária japonesa, o temakitemakitemaki tem a forma que tem a forma queiilembra um cone. Ele é recheado com arroz japonês lembra um cone. Ele é recheado com arroz japonêsee algum tipo de peixe ou fruto do mare e algum tipo de peixe ou fruto do maree algum tipo de peixe ou fruto do mar

Nesta unidade, ampliaremos os conhecimentos sobre poliedros e corpos redondos com o estudo da pirâmide e do cone.

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PPirâmides do Egito. Quéops, a maior pirâmide, foiPPirâmides do Egito. Quéops, a maior pirâmide, foicc nstruída or volta de 2550 a.C.coconstruída ppor volta de 2550 a.C.coc nstruída ppor volta de 2550 a.C.

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AA catedral da cidade de Maringá, AA catedral da cidade de Maringá, A catedral da cidade de Maringá,no Paraná, tem a forma que no Paraná, tem a forma que no Paraná, tem a forma quelembra um cone. Sua construlembra um cone. Sua constru---çãç o foi finalizada em 1972çãç o foi finalizada em 1972çãç o foi finalizada em 1972


Perceba que a pirâmide e o cone são formas geométricas utilizadas para diversos fins e em diversas áreas, graças aos estudos e conhecimentos adquiridos dessas formas ao longo do tempo.

De acordo com as imagens, em que áreas ou situações são observados a pirâmide e o cone?

Pirâmide

A pirâmide maia

As pirâmides do Egito são os monumentos mais famosos do mundo antigo, sendo as únicas, entre as Sete Maravilhas do mundo antigo, existentes até hoje. Porém, o povo egípcio não foi o único a construir monumentos que lembram a forma de uma pirâmide.

Durante a civilização maia, que ocorreu no continente americano, mais precisamente da América Central, foi construída a cidade de Chichén Itzá, entre os anos 435 e 455. Essa cidade era o centro político e econômico da civilização maia e nela viviam nobres e estudiosos. Em Chichén Itzá, há o templo de Kukulcán, cuja forma é associada a uma pirâmide.

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Pirâmide de KukulcánPirâmide de Kukulcán

Cada face desse monumento se alinha com os principais pontos cardeais (norte, sul, leste e oeste) e, em cada uma, há uma escada com 91 degraus que levam ao patamar superior. Com 30 metros de altura, essa construção foi dedicada a Quetzalcóatl, a serpente de plumas verdes, o deus do calen-dário.

Gru

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QuetzalcóatlQuetzalcóatl

Ensino Médio | Modular

FÍSICA

7

FÍSICAMATEMÁTICA

PPirâmide de base adrangular

PPirâmide de base PPirâmide de baseqq adrangularquq adrangularquadrangular

Latin

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otor

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râmide de QuéopssPPPPirâmide de QuéopssPPirâmide de Quéops

No equinócio de primavera, a luz do Sol passa através de fendas na pirâmide e projeta a imagem da ser-pente nas escadarias do templo.

Por meio de estudos arqueológicos, descobriu-se que a construção tem uma estrutura piramidal perfeita, o que revela que, além de grandes arquitetos, os maias tinham uma cultura avançada para a época em que viveram e conhecimentos adiantados de Matemática e Astronomia.

Com base no texto, responda:

b) A qual deus é dedicada Kukulcán?

b) Qual o total de degraus das escadarias de Kukulcán?

c) Que relação podemos estabelecer entre o calendário que usamos e o número de degraus da pirâmide com o patamar superior?

Entre os poliedros, vamos estudar a pirâmide.Observe:


Considere uma região poligonal convexa, por exemplo ABCD, pertencente a um plano α e um pon-to V não pertencente ao plano α. A reunião de todos os segmentos com uma extremidade na região poligonal e outra em V chama-se pirâmide convexa ou, simplesmente, pirâmide.

V é o vértice e ABCD é a base da pirâmide.

Elementos da pirâmide Observe a seguir os elementos que compõem uma pirâmide:

A região poligonal ABC é a base da pirâmide.

O ponto V é o vértice da pirâmide, e os pontos A, B e C são os vértices da base.

A distância do vértice V ao plano da base é a altura h da pirâmide.

AB, AC e BC são as arestas da base.

AV, BV e CV são as arestas laterais.

Os triângulos ABV, ACV e BCV são as faces laterais.

Elementos de

uma pirâmide

@MAT781


FÍSICA

9

FÍSICAMATEMÁTICA

b) O que se pode concluir em relação aos polígonos que compõem as: bases das pirâmides?

faces laterais das pirâmides?

As pirâmides são classificadas de acordo com o polígono da base.Por exemplo:

Essa pirâmide é denominada pirâmide triangular, pois sua base tem a forma triangular.

a) Sendo assim, nomeie as pirâmides a seguir:

Quando a base da pirâmide é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano é o centro da base, essa pirâmide é denominada pirâmide regular.

Na pirâmide regular: V1 é o centro da base ABCD.

As arestas laterais são congruentes, ou seja, AV BV CV DV≡ ≡ ≡ .

As faces laterais são triângulos isósceles congruentes.

A altura relativa ao lado da base da face lateral (VM) é denominada apótema da pirâmide (ap).

VM1 é o apótema da base ou raio da circunferência inscrita à base (r).

R é o raio da circunferência circunscrita à base.

Observação:Se a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base da pirâmide não coincide com o centro

da base, a pirâmide é oblíqua.

Pirâmide pentagonal oblíqua

10 Geometria espacial II

FÍSICAFÍSICAMATEMÁTICA


Os triângulos retângulos na pirâmideNa pirâmide regular, é importante destacar alguns triângulos retângulos que são formados pelos próprios elementos

da pirâmide.

1o.) Triângulo retângulo AMO

Tem-se que:

OM é o apótema da base (r).

OA é o raio da circunferência circunscrita à base (R).

AM é a metade do lado (ℓ) do polígono da base.

Assim, pelo Teorema de Pitágoras:

R r2 2

2

2= + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

3o.) Triângulo retângulo MOV

Tem-se que:

VM é o apótema da pirâmide (ap).

VO é a altura da pirâmide (h).

OM é o apótema da base (r).


( )a r hp2 2 2= +

2o.) Triângulo retângulo AMV

Tem-se que:

VM é o apótema da pirâmide (ap).

VA é a aresta lateral da pirâmide (aℓ).

AM é a metade do lado (ℓ) do polígono da base.


(aℓ)2 = ( )ap

22

2+ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

4o.) Triângulo retângulo AOV

Tem-se que:

VA é a aresta lateral da pirâmide (aℓ).

VO é a altura da pirâmide (h).

OA é o raio da circunferência circunscrita à base (R).

(aℓ)2 = h² + R²


Determine a altura dessa estrutura, sabendo que ela tem 4 3 m de aresta.

Lembre-se:No triângulo equilátero ABC de centro O, tem-se a se-guinte relação:

h = 3

2ℓ

Área da superfície de uma pirâmide regular

1. Uma pirâmide regular quadrangular tem 16 m2 de área de base e 3 m de altura. Nessas condi-ções, determine:

a) a medida do lado da base.

b) a medida do apótema da base.

c) a medida do apótema da pirâmide.

d) a medida da aresta lateral da pirâmide.

2. Uma pirâmide hexagonal regular tem 0,5 me-tro de raio da circunferência circunscrita à base e 1,3 metro de aresta lateral. Nessas condições, determine:

a) a medida da altura.

b) a medida do apótema da base.

c) a medida do apótema da pirâmide.

3. Uma estrutura metálica tubular, em forma de pirâmide regular, será construída conforme mostra a figura:

© Shutterstock/Tatiana Popova

© Shutte

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elUma empresa produz modelos em gesso da Pirâmide de Quéops para vender aos turistas como souvenir.

Depois de secar o gesso, todas as faces e a base dos modelos são pin-tadas em tom de areia para que fiquem bem parecidas com a original.

Esse souvenir é uma pirâmide regular de base quadrada, cuja altura mede 4 cm e as arestas da base medem 6 cm, conforme mostra a figura.

FÍSICA

Nessas condições, responda:

a) Quanto mede o apótema da base (r)?

b) Determine a medida do apótema da pirâmide (ap):

c) Calcule a área de cada face lateral:

MATEMÁTICA


d) Como pode ser calculada a área lateral (Aℓ) de uma pirâmide? Explique e, em seguida, calcule:

e) Como pode ser calculada a área total (At) de uma pirâmide? Explique e, em seguida, calcule:

f) Qual a área do souvenir que a tinta de tom areia irá cobrir?

A área total de uma pirâmide (At) é dada por:At = Aℓ + Ab

Em que:Aℓ → Área lateral da pirâmide. Essa área corresponde à soma das áreas de todas as faces laterais.Ab → Área da base da pirâmide.



FÍSICA

15

FÍSICAMATEMÁTICA

Lembre-se de que a área de um triângulo equilátero é

dada por A =2 3

4.

1. Determine a área total do octaedro regular cujas arestas medem 5 cm (considere 3 = 1,7).

2. Calcule a área lateral e a área total da pirâmide regular a seguir (considere 3 = 1,7).

3. A prefeitura está revitalizando a praça central da cidade e nesse projeto está prevista a pin-tura de um monumento composto de uma pi-râmide e de um cubo de 4 metros de aresta, conforme mostra a figura.

Sabendo que a aresta lateral da pirâmide tem a mesma medida da diagonal do cubo, determine a área total a ser pintada (considere 11= 3,3).

4. Determine a área total do tetraedro regular (figura), cuja aresta mede 2 metros (considere 3 = 1,7).

5. (UFC) Um tetraedro regular tem arestas medin-do 6 cm. Então, a medida de suas alturas é igual a:

a) 12

cm b) 1 cm

c) 32

cm d) 2 cm

e) 52

cm

6. (UNIRIO – RJ) Um engenheiro está construindo um obelisco de forma piramidal regular, onde cada aresta da base quadrada mede 4 m e cada aresta lateral mede 6 m. A inclinação entre cada face la-teral e a base do obelisco é um ângulo α, tal que: a) 60° < α < 90° b) 45° < α < 60°c) 30° < α < 45° d) 15° < α < 30°e) 0° < α < 15°

7. (CEFET – PR) Em “Imaginópolis” chegou o “Grande Circo Geométricus”, cuja tenda tem o formato de uma pirâmide hexagonal regular justaposta sobre um prisma hexagonal regular de aresta da base ℓ = 20 m e altura h = 3 m.

Considerando que a altura total da tenda é h mtotal = +( )3 2 69 , a quantidade total da lona utilizada nela é de:

a) 360 m2 b) 1 920 m2

c) 1 440 m2 d) 1 560 m2

e) 1 800 m2


Volume da pirâmideNuma empresa são fabricadas velas de diversos tamanhos e formatos. Um dos formatos fabricados

é de uma pirâmide, conforme mostra a imagem.A vela é constituída basicamente de um pavio inserido em combustível sólido (cera). Na produção

de cada vela, é importante saber o volume de cera necessário para fabricá-la. Para as velas que têm a forma de uma pirâmide quadrangular, precisamos determinar o volume da pirâmide.

Pode-se determinar o volume de uma pirâmide de altura h por meio de um prisma triangular de altura h e cujo polígono da base seja o mesmo da pirâmide.

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Dividindo o prisma triangular em três pirâmides triangulares, tem-se:

Observa-se que: As pirâmides ADEF e ABCE têm bases congruentes ( DEF ≡ ABC) e alturas congruentes. Logo, os

volumes dessas duas pirâmides são iguais.

As pirâmides ADEF e ACEF têm bases congruentes ( AFD ≡ AFC) e alturas congruentes (dis-tância do vértice E ao plano que contém a face ACDF, no qual estão contidas as duas bases).

Logo, os volumes dessas duas pirâmides são iguais:

VADEF = VACEF = VABCE


Como o prisma triangular foi decomposto em três pirâmides, tem-se:Vprisma = VADEF + VACEF + VABCE

Ou seja:

Vprisma = 3 ∙ Vpirâmide

Como o volume do prisma é dado por:

Vprisma = Ab ∙ h

Em que:

Ab → área da base do prismah → alturaAb ∙ h = 3 ∙ Vpirâmide

Vpirâmide = 1

3⋅ ⋅A hb

Em que:Ab → área da base da pirâmideh → altura da pirâmide

Assim, se as velas produzidas pela empresa têm a forma de uma pirâmide de base quadrada, conforme mostra a ilustração, determine o volume de cera que ela contém.

17Ensino Médio | Modular


1. A Pirâmide de Quéops, uma das Sete Maravi-lhas do mundo antigo, no Egito, é na verdade a grande tumba do faraó Quéops. Com 147 me-tros de altura e uma base quadrada com 230 metros de lado, ela é a maior das pirâmides já construídas.

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oQPirâmide de Quéopsp , localizada no EggitoPirâmide de Quéopsp , localizada no Eggito

Sabendo que a pirâmide é composta de 2,3 mi-lhões de blocos de pedras, determine o volume dessa pirâmide.

2. Determine o volume do octaedro regular re-presentado a seguir.

3. Uma pirâmide está inscrita num cubo de 5 cm de aresta.

Determine o volume no espaço exterior à pirâ-mide e interior ao cubo.

4. (MACKENZIE – SP)

A figura representa um bloco com formato de um cubo de aresta a, do qual é retirada uma pirâmide. Se A, B e C são pontos médios dos lados do cubo e se o volume da peça restante é igual a 188

3, o valor de a2 + a é:

a) 16 b) 4 c) 20 d) 28

e) 8

5. A figura a seguir representa um sólido, uma peça de ferro utilizada como calço de navio num estaleiro.

Determine o volume dessa peça.

Desafio

6. (URCA – CE) Considere o paralelepípedo de la-dos 12 cm, 6 cm e 4 cm. Retira-se deste para-lelepípedo um tetraedro, conforme figura abai-xo. O volume do sólido originado é:

a) 144 cm3 b) 288 cm3

c) 120 cm3 d) 248 cm3

e) 240 cm3


FÍSICA

19

FÍSICAMATEMÁTICA

Cone

Entre os corpos redondos, vamos estudar o cone.Observe:

CCone r ooCCone retooCCone retoo

AA Catedral de Maringá tem a forma que lembra um coneA Catedral de Maringá tem a forma que lembra um cone

Ass

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e Co

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ão/P

MM

Considere uma região circular (círculo), de centro O e raio r, contida em um plano α e um ponto V não pertencente ao plano α. A reunião de todos os segmentos com uma extremidade na região circular e outra em V chama-se cone circular ou, simplesmente, cone.

Elementos do coneObserve ao lado os elementos do cone:

O círculo de centro O e raio r é a base.

V é o vértice do cone.

Os segmentos com uma das extremidades em V e a outra na circunferência da base são denominados geratrizes (g).

A distância do vértice V ao plano da base é a altura (h) do cone.

A reta VO que contém o vértice e o centro da base do cone é denominada de eixo.

Classificação do coneOs cones podem ser classificados de acordo com a posição do eixo em relação ao plano da base.

Cone oblíquo

Se o eixo é oblíquo ao plano da base, temos um cone oblíquo.

Cone reto

Se o eixo é perpendicular ao plano da base, temos um cone reto.

Área de superfície de um cone retoÁ

As peças de madeira de um jogo de tabuleiro têm a forma de um cone, conforme mostra a figura.

Cada peça tem toda a sua superfície pintada.Planificando o cone, tem-se:

O cone circular reto é também denominado cone de revolução, pois, se rotacionarmos um triângulo retângulo em torno de um eixo que contenha um dos seus catetos, obteremos o cone.


Superfície de

um cone

@MAT1067


FÍSICA

21

Responda:

a) Quais são as figuras planas obtidas na planificação do cone?

b) Qual é a expressão que representa a área da base (Ab) do cone?

c) Qual é a medida do raio do setor circular que representa a superfície lateral do cone?

d) Qual é a expressão que representa o comprimento do arco do setor cir-cular? Justifique:

e) Determine a expressão que representa a área lateral (Aℓ) do cone. Justifique:

f) Obtenha a expressão, simplificada, que determina a área total (At) do cone:

g) Determine a área a ser pintada da peça do jogo: (considere π = 3,14)

Lembre-se de que a medida do comprimento de uma circunfe-rência é dada por C = 2πr.

Lembre-se de que a área de um setor circular de raio r

e comprimento de arco ℓ pode ser dada por Ar

=⋅2

.

ÍSICAMATEMÁTICA


1. Dado um cone reto com 7 cm de geratriz e área total igual a 60π cm2, determine:

a) o raio da base.

b) a altura.

c) a área lateral.

2. Uma professora da Educação Infantil resolveu confeccionar 20 chapéus de palhaço em cartolina para os alunos. Os chapéus terão a forma de um cone com 30 cm de altura e 20 cm de diâmetro da base. Qual a quantidade de cartolina que será utilizada para a professora confeccionar esses chapéus?

(considere π = 3,14 e 10 = 3,16)

Div

o. 2

011.

3D

.

3. Uma fazenda tem dois silos de armazenamen-to e secagem que necessitam de manutenção.

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Observe que os silos são compostos de uma parte cilíndrica de 12 metros de altura e uma parte cônica de 8 metros de geratriz. Um dos itens da manutenção é a pintura externa dos silos, que tem 10 metros de diâmetro. Nessas condições, determine a superfície total que será pintada (considere π = 3,14).

4. (MACKENZIE – SP) Planificando a superfície la-teral de um cone, obtém-se o setor circular da figura, de centro O e raio 18 cm. Dos valores a seguir, o mais próximo da altura desse cone é:

Lembre-se de que a área do setor circular a par-

tir do ângulo central α é dada por Ar

=°

απ ²

360.

a) 12 cm

b) 18 cm

c) 14 cm

d) 16 cm

e) 20 cm

5. Um triângulo retângulo, cujos catetos medem 15 cm e 8 cm, formou um cone a partir da ro-tação em torno do cateto maior. Calcule a área total do cone formado (considere π = 3,14).

A área total de um cone é dada por:At = πr · (r + g) Em que:

r → raio da baseg → medida da geratriz do cone


FÍSICA

23

FÍSICAMATEMÁTICA

Volume do coneUma empresa fabrica sorvetes na forma de cone, como mostra a foto:

Divo. 2

011.

3D.

O cone formado pelo sorvete tem 3 centímetros de raio da base e geratriz medindo 13 cm. Deter-mine o volume desse sorvete.

Observe:

Considere um cone e uma pirâmide com bases de mesma área, contidas em um plano α e alturas congruentes. O plano β, paralelo a α, secciona o cone e a pirâmide, determinando duas regiões, A1 e A2, de mesma área. Como A1 = A2, pelo Princípio de Cavalieri, tem-se que:

6. Um brinquedo chinês muito antigo, conhecido por diabolô chinês, é utilizado por malabaristas em apresentações circenses.

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o. 2

011.

3D

.

Um marceneiro resolveu fazer esse brinquedo para seu neto, com as peças do brinquedo na forma de dois cones congruentes, como mos-tra a figura a seguir.

Qual a superfície total dessa peça?

(considere π = 3,14 e 5 = 2,2)

Volume de

um cone

@MAT1309


Comparando o volume entre o cilindro e o cone de mesma altura e de mesmo raio na base:

a) Escreva a expressão que representa o volume do cilindro:

b) O que se pode concluir sobre o volume do cone em relação ao volume do cilindro? Justifique.

Vcone = Vpirâmide

Vcone = 1

3⋅ ⋅A hb

Como Ab é área da base, então:

O volume do cone é dado por:

Vcone = 1

32⋅πr h

Assim, determine o volume do sorvete, em mililitros (mL) (considere π = 3,14 e 10 = 3,162).

Lembre-se de que 1 cm3 = 1 mL.


FÍSICA

25

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Um cone reto é denominado equilátero quan-do a medida do diâmetro da base é igual à me-dida da geratriz, ou seja, g = 2r.

Determine o volume de um cone equilátero cujo diâmetro da base mede 4 cm (considere

3 = 1,7).

2. Uma fábrica produz sorvete na forma de cone com dois sabores: chocolate e baunilha, con-forme mostra a ilustração.

Nessas condições, determine (considere π = 3):

a) o volume total do sorvete.

b) o volume de chocolate nesse sorvete.

c) o volume de baunilha nesse sorvete.

3. Uma empresa produz chocolate guarda-chuva (foto). A parte do chocolate é um cone com raio da base igual a 1,5 cm e altura de 6 cm. (Use π = 3,14)

Divo. 2011. 3D.

Determine o volume de chocolate necessário para produzir 1 000 doces iguais a esse.

4. (MACKENZIE – SP) No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e AE = BE = 10. O volume desse sólido é:

a) 52π

b) 43π

c) 4πd) 5π e) 3π

5. (UPF – RS) Um cone reto é obtido pela rotação, em torno do maior cateto, do triângulo retân-gulo cujos catetos medem 5 cm e 12 cm. A área total do referido cone, em π cm2, é:

a) 165

b) 169

c) 90

d) 85

e) 60

6. (UFES) Um cilindro circular reto de altura h cm e raio da base r cm está inscrito em um cone circular reto de altura 20 cm e raio da base 5 cm, ambos com o mesmo eixo. Determine:

a) uma expressão de h em função de r.

b) uma expressão da área total do cilindro em função de r.

c) o valor de r para o qual a área total do cilin-dro seja máxima, e o valor dessa área máxi-ma. Justifique sua resposta.

1. Um copo tem a forma de um cone reto, com 6 cm de diâmetro e 12 cm de altura (medidas internas).

Determine a capacidade em mL. (considere π = 3,14)

Core

l.

2. (UEPG – PR) A respeito de uma pirâmide qua-drangular regular cuja altura vale 3 2 e cuja ares-ta lateral é igual à aresta da base, assinale o que for correto.

(01) A diagonal do quadrado da base mede 6 2cm.

(02) A área lateral da pirâmide vale 36 3 cm2.

(04) O volume da pirâmide é 36 2 cm3.

(08) A área da base é maior que a área lateral.

3. Um silo de armazenagem de grãos tem a forma composta de um cone e um cilindro.

© S

hutt

erst

ock/

Ulri

ch M

uelle

r

A parte cilíndrica tem 2 metros de raio e 5 me-tros de altura e a parte cônica tem 3 metros de altura. Determine a capacidade máxima de ar-mazenamento desse silo (considere π = 3,14).

4. (UNIFESP – SP) Um poliedro é construído a par-tir de um cubo de aresta a > 0, cortando-se em cada um de seus cantos uma pirâmide regular de base triangular equilateral (os três lados da base

a2

, a aresta lateral das pirâmides cortadas.

a) Dê o número de faces do poliedro construído.

b) a2

, para o qual

o volume do poliedro construído fique igual a cinco sextos do volume do cubo original. A al-tura de cada pirâmide cortada, relativa à base

equilateral, é x

3.

5. (UFMS) Considere duas pirâmides regulares, uma quadrangular (a base é um quadrado) e outra triangular (a base é um triângulo equilátero), de mesmo volume e com suas bases inscritas em um círculo de raio R cm, R um número real positivo. Assim, é correto afirmar que

(01) a área da base da pirâmide triangular é 3 3

42 2R cm .

(02) a área da base da pirâmide quadrangular é 2R2 cm2.

(04) as duas pirâmides têm a mesma altura.

(08) a diagonal do quadrado que é a base da pirâmide quadrangular mede 2R cm.

(16) se a altura da pirâmide triangular é H cm, então a altura da pirâmide quadrangular é 3 3

8H cm.



6. (UFLA – MG) Parte do líquido de um cilindro completamente cheio é transferido para dois co-nes idênticos, que ficam totalmente cheios.

A relação entre as alturas do líquido restante no cilindro (h1) e a altura (H) do cilindro é:

a) hH

1 4=

b) hH

1 2=

c) hH

1 2=

d) hH

1 3=

7. (UECE) Um cone circular reto, cuja medida da al-tura é h, é seccionado por um plano paralelo à base, em duas partes: um cone cuja medida da al-

tura é h5

e um tronco de cone, conforme a figura.

A razão entre as medidas dos volumes do cone maior e do cone menor é:

a) 15

b) 45

c) 90

d) 125

8. (UFPE) O tetraedro ABCD tem aresta AB medindo 12; a face ABD tem área 48, e a face ABC tem área 60. Se o ângulo entre as faces ABC e ABD mede 30°, qual o volume do tetraedro?

9. A base de um cone está inscrita em uma das fa-ces de um cubo de 6 cm de aresta e com vértice no centro da face oposta. Nessas condições, determi-ne o volume desse cone. (considere π = 3,14)

10. (ITA – SP) Qual o volume de um cone circular reto se a área de sua superfície lateral é de 24π cm2 e o raio da base mede 4 cm?

a) 163

20 π cm³

b) 244

π cm³

c) 243

π cm³

d) 83

24 π cm³

e) 13

20 π cm³

11. (UFSCar – SP) Retirando-se um semicilindro de uma paralelepípedo reto-retângulo, obtivemos um sólido cujas fotografias, em vista frontal e vista superior, estão indicadas nas figuras.

Se a escala das medidas indicadas na fotografia é 1:100, o volume do sólido fotografado, em m3, é igual a:

a) 2(14 + 2π) b) 2(14 + π) c) 2(14 – π) d) 2(21 – π) e) 2(21 – 2π)



Geometria espacial III2

A Terra ocupa a terceira posição mais próxima do Sol no Sistema So-lar. Apresenta forma aproximadamente arredondada a que os astrônomos denominam de geoide; os polos são levemente achatados e a Linha do Equador é mais dilatada em relação a eles.

1. A medida do raio no Equador é 6 378 km; e a do raio no Polo, 6 357 km. Dessa forma, calcule a diferença, em módulo, entre os dois raios:

A diferença entre os raios é um dos aspectos que faz com que a Terra não seja considerada uma esfera. O raio médio da Terra é 6 371 km e o seu formato é semelhante a uma esfera. Os pontos mais conhecidos da Terra são os polos (Sul e Norte) e as linhas imaginárias são os meridianos e paralelos.

Observe a seguir:

N

S

165o150o

135o

120o

105o

90o

75o

60o

45o

30o

15o

0o

Linha doEquador

N

S

10o

20o

30o40o

50o 60o 70o80o

90o

0 —o

10o

20o

30o

Meridiano deGreenwich

Meridianos Paralelos

Pode-se concluir, então, que a Linha do Equador é o único paralelo tido como círculo máximo.

2. Quais são os paralelos mais conhecidos na superfície da Terra e que têm denominações próprias?

IBGE. Atlas geográfico escolar. 4. ed. Rio de Janeiro, 2007. p. 18.

Meridianos: são linhas ima-ginárias que cortam a Terra no sentido norte-sul ligando um polo ao outro.Paralelos: são linhas imagi-nárias que circulam a Terra no sentido leste-oeste.

Div

o. 2

010.

3D

.

Latin

Stoc

k/SL

P/Eu

rope

an S

pace

Age

ncy

Superfície esférica e esfera


MATEMÁTICA

Esfera

Uma esfera pode ser gerada pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro. Observe:

O

R

Eixo

O

R

Esfera

Superfície esférica

Ao conjunto de todos os pontos do espaço, situados a uma distância R (raio da esfera) de um ponto fixo O (centro da esfera), denomina-se superfície esférica.

Uma superfície esférica pode ser gerada pela rotação de uma semicircunferência em torno de um eixo que contém o diâmetro.

O RO PR P

É o conjunto de todos os pontos do espaço, cuja distância ao ponto O (centro da esfera) é menor que ou igual a R (raio da esfera).


O comprimento de uma circunferência e a área de um círculo de raio R podem ser deter-minados, respectivamente, por:

C = 2 . . R e A = . R2

1. A medida do raio de uma esfera, que foi seccio-nada por um plano a 9 cm do centro, é 15 cm. Determine a área da secção plana determinada.

2. Duas esferas são concêntricas, isto é, têm o cen-tro no mesmo ponto e a medida do raio de uma delas é o triplo da outra. Um plano tangente à menor determina, na maior, uma secção cuja medida da área é 64 cm2. Dessa forma, deter-mine a medida dos raios dessas duas esferas.

3. Considerando a Terra uma esfera, um paralelo de 30o é uma circunferência cujos segmentos que unem os pontos dessa circunferência ao centro da Terra formam um ângulo de 30o com o plano do Equador.

Latitude

Norte

Sul

Se a Terra tem a medida do raio aproximada-mente 6 400 km, determine:

33

�

d

r

O

d

r

O

R

�

RO

Elementos de uma esferaEm uma esfera, um plano , que passa a uma distância d

(d ≠ 0) do centro O, determina uma secção que é um círculo.

Que relação pode ser estabelecida quando uma secção de raio r é feita a uma distância d do centro de uma esfera de raio R?

Se a distância d for nula (d = 0), o plano passa pelo cen-tro da esfera e a secção determina um círculo denominado círculo máximo.

Div

o. 2

008.

Dig

ital.


FÍSICA

31

FÍSICAMATEMÁTICA

a) o comprimento da circunferência máxima, ou seja, do Equador.

b) o comprimento da circunferência de um pa-ralelo de 30o. ( 3 1 7, e = 3,1)

4. Na figura a seguir, o segmento NS é um diâme-tro da esfera de centro O; e N, S e P são pontos na superfície esférica:

P

N

S

O

Sobre os segmentos determinados pelos pon-tos da figura, marque V para as alternativas ver-dadeiras e F para as falsas:

a) ( ) 2 . OS = OP

b) ( ) OP – NP = 0

c) ( ) OP < ON

d) ( ) OS > ON

e) ( ) NS = 2 . OP

5. Uma esfera cuja medida do raio é 20 2 cm é intersectada por um plano perpendicular a um diâmetro a uma distância d do centro. Deter-minar a distância d, de forma que a medida da área da secção formada seja a metade da área de um círculo máximo.

6. (ENEM) Um chefe de cozinha utiliza um instru-mento cilíndrico afiado para retirar o miolo de uma laranja. Em seguida, ele fatia toda a laranja em secções perpendiculares ao corte feito pelo cilindro. Considere que o raio do cilindro e da laranja sejam iguais a 1 cm e 3 cm, respectiva-mente. A área da maior fatia possível é

3 cm

a) duas vezes a área da secção transversal do cilindro.

b) três vezes a área da secção transversal do ci-lindro.

c) quatro vezes a área da secção transversal do cilindro.

d) seis vezes a área da secção transversal do ci-lindro.

e) oito vezes a área da secção transversal do ci-lindro.

7. (UFMS) Considerando a Terra como uma esfera perfeita, de raio R, a localização de um ponto na Terra é definida através de sua latitude e de sua longitude.

A latitude de um ponto sobre a superfície ter-restre é a medida do ângulo (em graus) entre o plano da Linha do Equador e o segmento de reta que liga o ponto ao centro do globo. A lati-tude varia de 0o a 90o N (norte: acima do Equa-dor) ou de 0o a 90o S (sul: abaixo do Equador). Os paralelos são círculos traçados paralelamen-te ao Equador e tais que todos os pontos de um mesmo paralelo têm mesma latitude.

A longitude de um ponto qualquer, num mes-mo paralelo, é a medida do ângulo (em graus) entre os segmentos, no círculo definido pelo paralelo, que ligam o eixo da Terra ao ponto e o eixo da Terra ao Meridiano de Greenwich. A longitude varia de 0o a 180oL (a leste do Meri-diano de Greenwich) ou de 0o a 180o W (a oeste do Meridiano de Greenwich). Qual é a distância, em quilômetros, entre duas cidades situadas no mesmo paralelo de latitude 60o N e que têm lon-gitudes 10o L e 5o W? (Considere R = 6 376 km e = 3)


Volume de uma esfera

O volume de uma esfera pode ser obtido com o auxílio de um sólido denominado anticlépsidra.

A anticlépsidra é o sólido resultante quando se retiram dois cones de um cilindro equilátero de raio R. Observe:

2R

R

R

R

R

Longitude 5 Wo

Equador

Meridiano deGreenwich

Paralelo delatitude 60 No

Longitude 10 Lo

Eixo da Terra

Desafio 8. Uma esfera e um cone estão sobre um plano

horizontal. As medidas dos raios da esfera e do cone são iguais, e a medida da altura do cone é o dobro da medida do raio e mede 10 cm. De-termine a distância d com o plano horizontal de maneira que as secções, em ambos os sólidos, tenham a mesma área:

d


FÍSICA

33

FÍSICAMATEMÁTICA

A seguir, há uma esfera cuja medida do raio é R e uma anticlépsidra cuja medida do raio da base é R e altura é igual a 2R. Um plano determina uma secção transversal em cada um desses sólidos a uma distância d do centro O:

d

r

O2R

R

A medida da área da secção na esfera é:

A = r2

Mas R2 = d2 + r2, então r2 = R2 – d2

Assim,

A = (R2 – d2)

A = R2 – d2

A secção transversal na anticlépsidra é uma coroa circular. Observe:

O triângulo representado no desenho é retângulo e isósceles, então a medida do raio do círculo interno da secção é d, logo a medida da área da secção é:

A = R2 – d2


Observe que a medida da área da coroa circular é igual à medida da área da secção feita na esfera. Dessa forma, de acordo com o Princípio de Cavalieri, esses dois sólidos possuem volumes iguais. Então:

Vesfera = Vanticlépsidra

Agora obtenha o volume da esfera pelo volume da anticlépsidra:

Área da superfície esférica

[...]A Central, situada no município de Angra dos Reis, foi assim denominada

em justa homenagem ao pesquisador pioneiro da tecnologia nuclear no Brasil e principal articulador de uma política nacional para o setor. Embora a cons-trução da primeira usina tenha sido sua inspiração, o Almirante, nascido em 1889, não chegou a ver Angra 1 gerando energia, pois faleceu em 1976. Mas sua obra persiste na competência e capacitação dos técnicos que fazem o Brasil ter hoje usinas nucleares classificadas entre as mais eficientes do planeta.

Atualmente estão em operação as usinas Angra 1 – com capacidade para geração de 657 megawatts elétricos, e Angra 2 – de 1 350 megawatts elétri-cos. Angra 3, que será praticamente uma réplica de Angra 2 (incorporando os avanços tecnológicos ocorridos desde a construção desta usina), está prevista para gerar 1 405 megawatts.

[...] Angra 2, sozinha, poderia atender ao consumo de uma região metropolitana do tamanho de Curitiba,

com dois milhões de habitantes. Como tem o maior gerador elétrico do Hemisfério Sul, Angra 2 contribui decisivamente com sua energia para que os reservatórios de água que abastecem as hidrelétricas sejam mantidos em níveis que não comprometam o fornecimento de eletricidade da região economicamente mais importante do país, o Sudeste.

[...]

ELETROBRAS ELETRONUCLEAR. A Eletrobras Eletronuclear. Disponível em: <http://www.eletronuclear.gov.br/tecnologia>. Acesso em: 24 jul. 2011.

A estrutura de Angra 2 assemelha-se a um cilindro com uma semiesfera ou hemisfério cujo diâmetro externo mede 60 m, aproximadamente. Determine o comprimento da circunferência máxima da semiesfera (π = 3,1):

Puls

ar Im

agen

s/M

auric

io S

imon

etti


FÍSICA

35

FÍSICAMATEMÁTICA

Para se calcular a área de uma superfície esférica, pode-se dividi-la em várias pirâmides. Juntas, as bases dessas pirâmides são, aproximadamente, a superfície esférica, e o vértice comum é o centro da esfera. Observe:

Área de umpolígono

R

Jack

Art

. 201

2. V

etor

.

Se a esfera for dividida em muitas pirâmides, a soma das áreas das bases irá se aproximar da área da superfície esférica. Quanto maior o número de pirâmides, melhor será essa aproximação. Desta forma:

Ve = Vpirâmide 1 + Vpirâmide 2 + Vpirâmide 3 + ... + Vpirâmide n

Ve = 1

3. Ab1

. R + 1

3. Ab2

. R + 1

3 . Ab3

. R + ... + 1

3 . Abn . R

Ve = 1

3. R . (Ab1 + Ab2 + Ab3 + ... + Abn)

Ae área da superfície esférica

4

33⋅ ⋅π R =

1

3. R . Ae

Ae = 4 . . R2

1. Em uma esfera, a área do círculo máximo é 225 cm2. Determine a área da superfície esfé-rica e o volume da esfera.

2. Em uma esfera, um plano passa a uma distância de 6 dm do centro formando uma área circular de 64 dm2. Determine a área da superfície es-férica e o volume da esfera. Caso a esfera fosse oca, quantos litros de água (aproximadamente) seriam necessários para enchê-la?

3. Escreva as relações da área da superfície esférica e do volume da esfera em função do diâmetro.

4. Com relação a uma esfera cujo raio mede r, res-ponda:

a) Se a medida do raio dobrar, o que ocorre com a sua superfície? E com o seu volume?

b) Qual é a medida do raio, para que a medida da superfície seja numericamente igual ao vo-lume?

Volume e

área da

superfície

de uma

esfera

@MAT1347

Dada uma esfera cuja medida do raio é R, a área da superfície esférica A é:

A = 4 R2

e o volume é:

V = 4

33πR


5. Dois tanques esféricos para armazenar nitrogê-nio têm volumes iguais a 400 m3 e 1 000 m3. Determine a razão entre as medidas do raio maior e o menor.

6. Um tanque de armazenamento de combustível do nitrogênio é constituído por uma parte ci-líndrica e duas partes semiesféricas. A medida do raio do cilindro é 5 m e a altura da parte cilíndrica é o triplo do raio. Determine o volume do tanque. (Use = 3)

Jack

Art

. 201

2. V

etor

.

7. Uma forma de medir o volume de um sólido (regular ou irregular) é mergulhá-lo inteira-mente em um recipiente com água (ou outro líquido) e observar a altura de água que subiu. Esse acréscimo de volume é equivalente ao vo-lume do sólido submerso.

Uma esfera sobre a qual se queira determinar a medida do raio foi mergulhada em um copo cilíndrico cuja medida do raio da base é 3 cm e a altura 15 cm. Esse copo tem água até uma altura de 8 cm. Ao mergulhar a esfera, o nível da água subiu 4 cm. Qual é a medida do raio da esfera?

4 cm

8. (ENEM) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes.

Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (figura 2).

No entanto, os noivos solicitaram que o vo-lume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual:

R = 3 cm

h

Figura 2Figura 1

R = 3 cm

Considere:

V R e V R hesfera cone= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅43

13

3 2π π

Sabendo que a taça com o formato de hemisfé-rio é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de:

a) 1,33

b) 6,00

c) 12,00

d) 56,52

e) 113,04

9. Uma laranja é constituída de aproximadamente 90% de água (suco). Considerando que uma la-ranja tenha um formato esférico com raio mé-dio de 4 cm e que três laranjas tenham suco suficiente para um copo de 300 mL, marque V (verdadeiro) e F (falso):

(Utilize = 3 e 1 L = 1 000 cm3)

( ) O volume de suco que se pode extrair de uma laranja é 100 cm3.

( ) O volume de água de uma laranja é 100 mL.

( ) Após extrair o suco de uma laranja, o baga-ço ainda tem 130,4 cm3 de água.

( ) O volume de suco extraído é 90% do volu-me total da laranja.

( ) O volume de água é igual ao volume de suco de uma laranja.

10. Dois sólidos são denominados sólidos equiva-lentes quando seus volumes são iguais. Logo, se uma esfera é equivalente a um cone cuja me-dida do raio da base é igual a 5 m e a altura é igual ao dobro do diâmetro da base, determine o raio da esfera.


FÍSICA

37

FÍSICAMATEMÁTICA

11. Em uma panela cilíndrica, há massa para doces que serão feitos no formato de pequenas esfe-ras de diâmetro igual a 4 cm, aproximadamente. Essa panela tem o raio da base igual a 12 cm e altura igual a 18 cm, porém há massa de doce até a metade da panela. Quantos doces, aproxi-madamente, podem ser feitos com a massa con-tida na panela?

© G

low

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es/A

lam

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reat

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Com

ons/

may

ch

12. (UFPR) Para testar a eficiência de um trata-mento contra o câncer, foi selecionado um paciente que possuía um tumor de formato esférico, com raio de 3 cm. Após o início do tratamento, constatou-se, através de tomo-grafias, que o raio desse tumor diminuiu a uma taxa de 2 mm por mês. Caso essa taxa de redução se mantenha, qual dos valores abaixo se aproxima mais do percentual do volume do tumor original que restará após cinco meses de tratamento?

a) 29,6%

b) 30,0%

c) 30,4%

d) 30,8%

e) 31,4%

13. (UFAM) Um tanque com água possui a forma de um prisma quadrangular reto, cuja aresta da base mede 8,0 cm. Mergulha-se nesse tanque uma es-

fera de aço e o nível da água sobe 43π cm, como

mostrado na figura a seguir. Podemos afirmar que área da superfície esférica é:

Antes Depois

43� cm

a) 260 cm

b) 60 cm

c) 64 cm

d) 64 cm2

e) 64 cm3

14. (UFPI) O raio de uma esfera sofre um aumento de 10%. Analise as afirmativas abaixo e assinale V para as verdadeiras ou F para as falsas.

(1) ( ) O volume aumenta 30% e a área super-ficial aumenta 20%.

(2) ( ) O volume aumenta 33% e a área super-ficial 21%.

(3) ( ) O volume aumenta 33,1% e a área su-perficial 21%.

(4) ( ) Após o aumento, o volume corresponde a 10% da área superficial da esfera.

15. (UDESC) Um cilindro circular reto e um cone reto possuem a mesma altura h e o mesmo raio r da base. Uma semiesfera é retirada do interior do cilindro e é acrescentada no topo do cone, gerando os sólidos S1 e S2, conforme mostra a figura:

S1

S2

Se os volumes desses sólidos são representa-dos, respectivamente, por Vol(S1) e Vol(S2), é correto afirmar que:

a) Vol(S1) = Vol(S2) se e somente se h = 2r.

b) Vol(S1) = Vol(S2) se e somente se r = 2h.

c) Vol(S1) = Vol(S2) para quaisquer valores de r e h.

d) Vol(S1) > Vol(S2) para quaisquer valores de r e h.

e) Vol(S1) < Vol(S2) para quaisquer valores de r e h.


Desafio

16. (UNICAMP) Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de ma-deira com duas tampas em formato de calota esférica.

Sabe-se que uma calota esférica tem volume

Vcal = πhR h

2

33( )− , em que h é a altura da ca-

lota e R é o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por Acal = 2 Rh.

Atenção: não use um valor aproximado para .

R

h

a) Supondo que h = R/2, determine o volume do anel de madeira, em função de R.

b) Depois de escavada, a peça de madeira rece-berá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, nova-mente, que h = R/2, determine a área sobre a qual o verniz será aplicado.

Sólidos inscritos e circunscritos

A seguir, são apresentadas as situações mais comuns de inscrição e circunscrição de sólidos.

De todas as descobertas de Arquimedes a que ele mais apreciava era a relação dos volumes e das áreas de uma esfera contida em um cilindro, mais precisamente, de uma esfera inscrita em um cilindro. Ele gostava tanto da propor-ção entre o cilindro e a esfera que pediu aos seus familiares que, quando morresse, tal proporção fosse representada em seu túmulo.

A figura de que Arquimedes tanto gostava está repre-sentada a seguir:

is

re-

LatinStock/Akg-Images/Album

Jack

Art

. 201

2. V

etor

.


Esfera inscrita em um cilindro

Nesta figura, a esfera é tangente às bases de um cilindro equilátero e a circunferência máxima da esfera está contida na superfície lateral do cilindro.

1. Qual é a condição para que um cilindro seja equilátero?

2. Que relação pode ser estabelecida com:

a) o raio da esfera e o raio da base do cilin-dro?

b) o raio da esfera e a altura do cilindro?

3. Represente, no desenho, essas relações e escreva as relações que determinam o volume e a área total de um cilindro cujo raio da base é r e a altura é h:

Es

f 4. Uma esfera cujo volume é 36 cm3 está inscrita em um cilindro. Determine o volume do cilindro:

5. Um cilindro cuja área total é 150 cm2 está circunscrito a uma esfera. Determine a área da superfície esférica:



Esfera circunscrita a um cilindro

Nesta figura, as circunferências das bases do cilindro estão contidas na superfície esférica:

1. Que relação pode ser estabelecida com o raio da esfera, o raio da base e a altura do cilindro? Repre-sente no desenho essas medidas:

2. Uma esfera cujo volume é 36 cm3 está circunscrita a um cilindro cuja altura é o dobro do raio da base. Determine o volume do cilindro:

3. Um cilindro cujo raio da base é 12 cm e a altura é 10 cm está inscrito em uma esfera. Determine a área da superfície esférica:

Esfera inscrita em um cuboE

Nesta figura, a esfera tem pontos de tangência nos centros das faces do cubo:

1. Que relação pode ser estabe-lecida entre o raio da esfera e a aresta do cubo? Represente, no desenho, essas medidas:

2. Escreva as relações que deter-minam a área total e o volume do cubo de aresta a:

A esfera inscrita

em um cubo

@MAT2245


FÍSICA

41

3. Uma esfera cujo volume é 288 cm3 está inscrita em um cubo. Determine o volume do cubo:

4. Um cubo cuja área total é 24 m2 está circunscrito a uma esfera. Determine a área da superfície esférica:

FÍSICAMATEMÁTICA

Esfera circunscrita a um cuboEs

Nesta figura, os vértices do cubo pertencem à superfície esférica:

1. Que relação pode ser estabelecida entre o raio da esfera e a aresta do cubo? Represente, no desenho, essas medidas:

2. Uma esfera cujo volume é 32 3 cm3 está circunscrita a um cubo. Determine o volume do cubo:


Esfera inscrita em um coneEs

Nesta figura, a esfera é tangente à base e à superfície lateral do cone:

1. Que relação pode ser estabelecida entre a esfera e o cone?

2. Escreva as relações que determinam o volume e a área total de um cone cujo raio da base é r e a altura é h:

3. Um cone circular reto está circunscrito a uma esfera cujo volume é 36 cm3. Se a altura do cone é 8 cm, determine:a) o raio da base e a geratriz do cone. b) a área total do cone.


FÍSICA

43

FÍSICAMATEMÁTICA

Esfera circunscrita em um coneEs

Nesta figura, a circunferência da base e o vértice do cone pertencem à superfície esférica:

1. Que relação pode ser estabelecida entre a esfera e o cone?

2. Um cone circular reto tem a medida da altura igual a 9 cm. Uma esfera cuja medida do raio é 5 cm é circunscrita a esse cone. Determine o volume do cone:

1. (UFMS) Um recipiente para perfume tem o for-mato de um cilindro circunscrito numa esfera (sendo essa esfera oca, de capacidade máxima de 32 mililitros), conforme figura a seguir. Se o espaço entre a esfera e o cilindro é preenchido com material translúcido, qual será o volume total, em cm3, gasto com esse material, despre-zando-se as espessuras das superfícies da esfera e do cilindro? (Considere = 3)

2. (UFC) Duas esferas de raios iguais a r são coloca-das no interior de um tubo de ensaio sob a for-ma de um cilindro circular reto de raio da base r e altura 4r. No espaço vazio compreendido entre as esferas, a superfície lateral e as bases superior e inferior do tubo de ensaio, coloca-se um líqui-do. Então, o volume desse líquido é:

a) 23

r3 b) 34

r3

c) 43

r3 d) 2 r3

e) 4 r3

3. Em um cilindro cujas medidas do diâmetro da base e da altura são d e h, respectivamente, e d + h = a, a área da secção meridiana do cilin-dro é b. Determine a área da superfície esférica circunscrita a esse cilindro em função de a e b.


4. (UECE) Como mostra a figura, o cilindro reto está inscrito na esfera de raio 4 cm:

Sabe-se que o diâmetro da base e a altura do cilindro possuem a mesma medida. O volume do cilindro é:

a) 18 2 cm3 b) 24 2 cm3

c) 32 2 cm3 d) 36 2 cm3

5. (UEPB) Uma esfera de raio 1 cm é inscrita em um cubo. O volume delimitado pela superfície esférica e pelas faces do cubo, em cm3, é:

a) 23

(6 – ) b) 13

(6 – )

c) 43

(6 – ) d) 53

(6 – )

e) 43

(6 + )

6. Uma loja de presentes pretende encomendar uma embalagem, para um enfeite de Natal, que tem a forma de uma esfera cuja medida do raio é 5 cm. O espaço interno entre o enfeite e a embalagem é preenchido com isopor. As op-ções de embalagem são uma caixa em forma de cubo ou uma caixa em forma de cilindro.

Embalagem 1 Embalagem 2

Considerando que o enfeite deve ficar ajustado a qualquer uma das embalagens e que o cus-to do material é proporcional à quantidade de material gasto nas embalagens. Podemos afir-mar que: (Utilize = 3,1)

a) o custo da embalagem 1 é menor que o cus-to da embalagem 2;

b) o volume da embalagem 2 é maior que da embalagem 1;

c) o volume ocupado pelo isopor é maior na embalagem 1 do que na embalagem 2;

d) a medida da aresta da embalagem 1 é 10 2 cm;e) na embalagem 2, a medida do raio da base é

igual à medida da altura.

7. (UFPE) Qual o volume do cubo que tem todos os vértices em uma superfície esférica de raio 3 cm?

a) 24 3 cm3 b) 18 3 cm3

c) 24 2 cm3 d) 28 2 cm3

e) 48 cm3

8. Um cubo tem, em uma de suas faces, a base de uma pirâmide quadrangular e, na face oposta, o vértice dessa pirâmide. Observe a figura:

Se o volume da pirâmide é 576 cm3, determine a medida da aresta do cubo.

9. Um octaedro está inscrito em um cubo, de for-ma que os vértices do octaedro estão nos pon-tos centrais das faces do cubo.

Se o cubo tem aresta igual a 6 cm, determine o volume do octaedro.


1. Arquimedes foi uma pessoa extremamente criati-va, físico, matemático, astrônomo e inventor dos mais competentes. Arquimedes desenvolveu mé-todos para determinar áreas e volumes e também provou que o volume de uma esfera corresponde a dois terços do volume do cilindro a ela circunscrito.

Sobre a Geometria espacial, marque V (verdadei-ro) ou F (falso):

a) ( ) A área de uma esfera de raio R é menor que a área total de um cubo de aresta R 2 .

b) ( ) O volume de um cubo de aresta a é maior que o volume de um cone circular reto cuja altura e o raio da base medem a.

c) ( ) Se um cilindro circular reto possui volume V1 e um cone com a mesma base e mesma

altura possui volume V2, então V1 = 13

. V2.

2. (UNIFEI – MG) Um cone de revolução e uma esfera são sólidos equivalentes e a altura do cone mede 1/3 do raio da esfera. Qual é a relação existente entre o raio desse cone (r) e o raio da esfera (R)?

3. (UFMG) Duas esferas de raio r fo-ram colocadas dentro de um cilin-dro circular reto com altura 4r, raio da base r e espessura desprezível, como nesta figura: Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pe-las esferas e o volume das esferas é:a) 1/5 b) 1/4c) 1/3 d) 1/2e) 2/3

4. (UERN) Uma peça de decoração da sala de espera de uma mater-nidade é um cilindro reto, de 8 cm de altura e 6 cm de diâmetro da base, inscrito em uma esfera.Considerando-se que o volume da esfera é x cm3, pode-se afirmar que o valor de x é:

(01) 2503

(02) 125

(03) 5003

(04) 500

5. (UEG) Um fabricante de bolas deseja adquirir uma caixa de forma cúbica para acondicionar uma bola de volume Vb. A razão entre os volu-

mes dessa bola e do menor cubo possível para acondicioná-la é:a) /4 b) /5 c) /3 d) /6

6. (IFPE) Uma esfera está circunscrita a um cubo, se e somente se, os vértices do cubo são pontos da superfície esférica. Considere um cubo de aresta 4 cm. A razão entre a área total do cubo e a área da superfície esférica circunscrita a esse cubo é:

a) 1π

b) 2π

c) 3π

d) 4π

e) 5π

7. (ENEM) Uma metalúrgica recebeu uma encomen-da para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura:

O raio da perfuração da peça é igual a:

a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm

d) 4 cm e) 5 cm

8. (ENEM) Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro em uma esfera.

Volume da esfera: Vesfera = 43

3πr

Analisando as características das figuras geomé-tricas envolvidas, conclui-se que o raio R da esfe-ra assim construída é igual a:

a) 5 b) 12 c) 24 d) 3 603 e) 6 303



Geometria espacial IV3

Tronco de pirâmide

Volume de tronco de pirâmide de bases

paralelasUma estátua tem um pedestal em concreto maciço.Esse pedestal tem a forma de um tronco de pirâmide de base quadrada.

Deseja-se saber o volume desse pedestal. Demonstra-se que:

O volume de um tronco de pirâmide de bases paralelas é dado por:

Vh

B B b b= ⋅ + ⋅ +( )3

Em que:B → área da base maior do tronco;b → área da base menor do tronco;h → medida da altura do tronco.

Core

l.


MATEMÁTICA

1. Uma peça tem a forma de um tronco de pirâ-mide de bases hexagonais regulares, conforme mostra a figura.

As arestas das bases medem 4 cm e 10 cm, res-pectivamente, e a peça possui 9 cm de altura. Determine o volume dessa peça.(Use 1,7 para 3)

2. Um obelisco situado em uma determinada ci-dade é constituído por um tronco de pirâmide quadrangular regular, cujas arestas das bases medem 12 metros e 9 metros, e uma pirâmide, conforme mostra a ilustração.

De acordo com as medidas indicadas no dese-nho, determine o volume total desse obelisco.

O desenho ao lado representa o pedestal da estátua.Qual o volume de concreto necessário para construir

esse pedestal?


Área lateral do tronco de pirâmide regularAs faces laterais do tronco de uma pirâmide regular são trapézios congruentes. Para determinar a

área lateral do tronco, multiplica-se a área de uma face pela quantidade de faces laterais. Observe:

L representa a medida da base maior do trapézio da face do tronco;ℓ representa a medida da base menor do trapézio da face do tronco;at representa a medida do apótema do tronco que coincide com a altura do trapézio da face.

A área do trapézio é dada por:

AB b

h= + ⋅2

Determinando a fórmula da área lateral do tronco de pirâmide regular:

A nL

at= ⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

ℓℓ

Em que n representa a quantidade de faces laterais do tronco de pirâmide.

Área total do tronco de pirâmideA área total do tronco de pirâmide é a soma da área lateral com a área de cada uma das bases.

Assim: At = Aℓ + B + b.

Determine a área lateral e a área total do tronco de pirâmide quadrangular regular a seguir:


FÍSICA

49

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Um tronco de pirâmide regular tem como bases paralelas quadrados de 5 cm e 10 cm de lado. Se o apótema do tronco tem 4 cm, determine:

a) a área lateral do tronco de pirâmide.

b) a área total do tronco.

2. Um tanque para criação de peixes tem a forma de um tronco de pirâmide regular cujas bases são qua-dradas e paralelas, conforme mostra a figura. Esse tanque será revestido por uma malha impermeável. (Considere 2 = 1,4.)

Determine a área que será revestida pela malha.

3. Determine a área total do tronco de pirâmide regular a seguir.

(Considere 3 = 1,7.)


4. Um tronco de pirâmide quadrangular regular tem arestas das bases medindo 30 m e 40 m, respectivamente. Sabendo que a distância en-tre as bases é de 15 m, determine:

a) o volume desse tronco.

b) a área lateral desse tronco.(Considere 10= 3,16.)

c) a área total desse tronco.

5. (FUVEST – SP) Na figura abaixo, o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H tem lado ℓ. Os pontos M e N são pontos médios das arestas AB e BC, respecti-vamente. Calcule a área da superfície do tronco de pirâmide cujos vértices são M, B, N, E, F, G.


FÍSICA

51

FÍSICAMATEMÁTICA

Tronco de cone

Volume do tronco de cone reto com bases

paralelasObserve a vasilha a seguir.

© S

hutt

erst

ock/

Sofia

wor

ld

Ela tem a forma de um tronco de cone reto.

Necessita-se determinar o volume da vasilha.Demonstra-se que:

O volume do tronco de cone reto, com bases paralelas, é dado por:

Vh

R R r r= ⋅ + ⋅ +⎡⎣ ⎤⎦π3

2 2 .

Em que:R → raio da base maior do tronco;r → raio da base menor do tronco;h → medida da altura do tronco.

Nessas condições, determine o volume, em litros, da vasilha a seguir. (Considere π = 3,14)


1. Um copo de vidro tem a forma de um tronco de cone. As medidas internas desse copo apresen-tam 4 cm e 6 cm de diâmetro de bases e 12 cm de altura.(Considere π = 3,14.)

© S

hutt

erst

ock/

Seku

lovs

ki E

mili

jan

Qual a capacidade máxima desse copo, em mL?

2. (ENEM) Alguns testes de preferência por bebe-douros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altu-ra igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três reci-pientes estão ilustrados a seguir.

A ESCOLHA do bebedouro. In: Biotemas, v. 22, n. 4, 2009. Adaptado.

Considerando que nenhum dos recipientes te-nha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3?

a)

b)

c)


FÍSICA

53

FÍSICAMATEMÁTICA

d)

e)

3. Uma caixa-d’água tem a forma de um tronco de cone com 2 m e 4 m de raios e 3 m de altura. Determine o volume dessa caixa-d’água em litros. (Considere π = 3,14.)

4. (MACKENZIE – SP) Um frasco de perfume, que tem a forma de um tronco de cone circular reto de raios 1 cm e 3 cm, está totalmente cheio. Seu conteúdo é despejado em um recipiente que tem a forma de um cilindro circular reto de raio 4 cm, como mostra a figura.

Se d é a altura da parte não preenchida do re-cipiente cilíndrico e adotando-se π = 3, o valor de d é:

a) 106

b) 116

c) 126

d) 136

e) 146

Área lateral do tronco de cone

retoA área lateral do tronco de cone reto é dada pela diferen-

ça entre as áreas de dois setores circulares. Demonstra-se que:

Aℓ = πgt · (R + r)

Área total do tronco de cone

retoA área total do tronco de cone reto é dada pela soma da

área lateral com a área das bases do tronco.

A A R r

A g R r R rt

t t

= + += ⋅ + + +

π ππ π π

² ²

( ) ² ²ℓ


Determine a área lateral e a área total do tronco de cone a seguir. (Considere π = 3,14.)

1. Um vaso de barro tem a forma de um tronco de cone, conforme mostra a figura, e toda a sua superfície externa será pintada.

Determine a área do vaso que será pintada.(Considere π = 3,14.)

2. Calcule a área total de um tronco de cone cujas bases têm 3 cm e 5 cm de raio e geratriz com 2 cm.(Considere π = 3,14.)


1. (PUCPR) Necessita-se confeccionar uma peça me-tálica dotada de um furo troncocônico, a partir de um cubo de lado ℓ, conforme a figura. O vo-lume de material para confeccionar a peça é:

a) 3 1748

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

πℓ b) 7

48

3π ℓ c) 716

3π ℓ

d) π 3

16ℓ e) ℓ3 1

48− π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2. (UFG) A figura a seguir representa um tronco de cone, cujas bases são círculos de raios de 5 cm e 10 cm, respectivamente, e altura 12 cm.

Considerando esse sólido:

a) ( ) a área da base maior é o dobro da área da base menor;

b) ( ) o volume é menor que 2 000 cm3;

c) ( ) o comprimento da geratriz AB é 13 cm;

d) ( ) a medida da área da superfície lateral é 195π cm2.

3. (UFPA) Um arquiteto planeja uma catedral cuja forma é um tronco de cone reto com altura de 90 m, raio maior 90 m e raio menor 60 m. O tronco de cone é perfurado por um cilindro reto com raio 60 m, cujo eixo é o mesmo do cone. Calcule o volume do espaço limitado pelo tronco de cone, o cilindro e o piso.

4. (UNESP) Numa região muito pobre e com escas-sez de água, uma família usa para tomar banho um chuveiro manual, cujo reservatório de água tem o formato de um cilindro circular reto de 30 cm de altura e base com 12 cm de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo 12 cm e 6 cm, res-pectivamente, e altura 10 cm, como mostrado na figura:

Por outro lado, em uma praça de certa cidade há uma torneira com um gotejamento que provoca um desperdício de 46,44 litros de água por dia. Considerando-se a aproximação π = 3, determine quantos dias de gotejamento são necessários para que a quantidade de água desperdiçada seja igual à usada para seis banhos, ou seja, en-cher completamente seis vezes aquele chuveiro manual. (Dado: 1 000 cm3 = 1 litro)

5. (MACKENZIE – SP) Uma xícara de chá tem a for-ma de um tronco de cone reto, conforme a figura. Supondo π = 3, o volume máximo de líquido que ela pode conter é:

a) 168 cm3 b) 172 cm3

c) 166 cm3 d) 176 cm3

e) 164 cm3


56

Anotações


FÍSICA

57

FÍSICAMATEMÁTICA

Material de apoio I


FÍSICA

59

FÍSICAMATEMÁTICA

Pirâmide regular de base quadrada

Material de apoio IIPirâmide regular de base triangular


FÍSICA

61

FÍSICAMATEMÁTICA

Pirâmide regular de base hexagonal

Cone reto

Anotações


MATEMÁTICA

64

Anotações

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