números complexos, polinômios e equações...

Ensino Médio | Modular 1

MATEMÁTICA

APRESENTAÇÃO

Este módulo faz parte da coleção intitulada MATERIAL MODULAR, destinada às três

séries do Ensino Médio e produzida para atender às necessidades das diferentes rea-

lidades brasileiras. Por meio dessa coleção, o professor pode escolher a sequência que

melhor se encaixa à organização curricular de sua escola.

A metodologia de trabalho dos Modulares auxilia os alunos na construção de argumen-

tações; possibilita o diálogo com outras áreas de conhecimento; desenvolve as capaci-

dades de raciocínio, de resolução de problemas e de comunicação, bem como o espírito

crítico e a criatividade. Trabalha, também, com diferentes gêneros textuais (poemas,

histórias em quadrinhos, obras de arte, gráficos, tabelas, reportagens, etc.), a fim de

dinamizar o processo educativo, assim como aborda temas contemporâneos com o ob-

jetivo de subsidiar e ampliar a compreensão dos assuntos mais debatidos na atualidade.

As atividades propostas priorizam a análise, a avaliação e o posicionamento perante

situações sistematizadas, assim como aplicam conhecimentos relativos aos conteúdos

privilegiados nas unidades de trabalho. Além disso, é apresentada uma diversidade de

questões relacionadas ao ENEM e aos vestibulares das principais universidades de cada

região brasileira.

Desejamos a você, aluno, com a utilização deste material, a aquisição de autonomia

intelectual e a você, professor, sucesso nas escolhas pedagógicas para possibilitar o

aprofundamento do conhecimento de forma prazerosa e eficaz.

Gerente Editorial

Números complexos, Polinômios e Equações algébricas

© Editora Positivo Ltda., 2012Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.

DIRETOR-SUPERINTENDENTE: DIRETOR-GERAL:

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GERENTE DE ARTE E ICONOGRAFIA: AUTORIA:

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CRÉDITO DAS IMAGENS DE ABERTURA E CAPA:

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CONTATO:

Ruben FormighieriEmerson Walter dos SantosJoseph Razouk JuniorMaria Elenice Costa DantasCláudio Espósito GodoyJorge Luiz Farago / Lucio Nicolau dos Santos CarneiroÂngela Ferreira Pires da TrindadeÂngela Ferreira Pires da TrindadeMiriam Raquel Moro ConfortoAna Izabel Marques ArmstrongGiselle Alice Pupo / Tatiane Esmanhotto KaminskiTassiane SauerbierAngela Giseli de SouzaJack ArtO2 ComunicaçãoMarcos Devoyno© iStockphoto/Jorge Delgado; © iStockphoto/Dario Sabljak; LatinStock/Corbis/DK Limited; Mary Evans Picture Library; © 2001-2009 HAAP Media Ltd/Klaus Post; P. imagens/Pith Editora Positivo Ltda.Rua Major Heitor Guimarães, 17480440-120 Curitiba – PRTel.: (0xx41) 3312-3500 Fax: (0xx41) 3312-3599Gráfica Posigraf S.A.Rua Senador Accioly Filho, 50081300-000 Curitiba – PRFax: (0xx41) 3212-5452E-mail: [email protected]@positivo.com.br

Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)

(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)

F219 Farago, Jorge Luiz.Ensino médio : modular : matemática : números complexos, polinômios e equações

algébricas / Jorge Luiz Farago, Lucio Nicolau dos Santos Carneiro ; ilustrações Divanzir Padilha, Jack Art. – Curitiba : Positivo, 2012.

: il.

ISBN 978-85-385-6434-8 (livro do aluno)ISBN 978-85-385-6435-5 (livro do professor)

1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos. I. Carneiro, Lucio Nicolau dos Santos. II. Padilha, Divanzir. III. Jack Art. IV. Título.

CDU 373.33

Todos os direitos reservados à Editora Positivo Ltda.

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SUMÁRIO

Unidade 1: Números complexos

Números imaginários 5

O conjunto dos números complexos 7

Representação geométrica de um número complexo 14

Número complexo na forma trigonométrica 15

Unidade 2: Polinômios

Valor numérico de um polinômio 27

Igualdade de polinômios 29

Adição e subtração de polinômios 31

Multiplicação de polinômios 32

Divisão de polinômios 33

Unidade 3: Equações polinomiais

Equação polinomial 45

Teorema Fundamental de Álgebra 50

Teorema da Decomposição 50

Multiplicidade de uma raiz 51

Relações de Girard 55

Raízes imaginárias 60

Raízes racionais 61

4 Números complexos, Polinômios e Equações algébricas

Números complexos1

A álgebra não é senão a geometria escrita e a Geometria não é senão

a álgebra figurada.

EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. São Paulo: Unicamp, 2011. p. 525.


MATEMÁTICA

Números imaginários

Foi em 1545 que Girolamo Cardano (1501-1576) publicou, em sua obra intitulada Ars magna, a resolução de uma equação do 3.º grau na forma x3 + px + q = 0, com p, q R, por meio da fórmula resolutiva:

x = − + + + − − +q q p q q p

2 4 27 2 4 27

2 33

2 33

Essa é a fórmula de Cardano, que na realidade foi descoberta por Nicolo Fontana (1499-1557), cujo apelido era Tartaglia.

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ikim

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Com

mon

s/JC

Sant

os

Analisando o radicando D = q p2 3

4 27+ , temos 3 possibilidades quanto ao seu sinal:

se D > 0, a equação apresenta uma raiz real e duas raízes não reais;

se D = 0, a equação apresenta três raízes reais, das quais uma é repetida;

se D < 0, a equação apresenta três raízes reais e distintas.Esse é um fato surpreendente, pois, para que as raízes sejam todas reais e distintas, segundo a fórmula

de Cardano, devemos ter obrigatoriamente uma raiz quadrada de um número negativo.Em 1572, Rafael Bombelli (1526-1573) apresentou a equação x3 – 15x – 4 = 0, que, ao ser aplicada à

fórmula resolutiva de Cardano, resulta em:

x = 2 121 2 1213 3+ − + − −

Ao observar o número −121, percebe-se a impossibilidade de expressá-lo como número real, porém, se x for substituído por 4 na equação x3 – 15x – 4 = 0, a igualdade é verificada. Isso indica que x = 4 é uma solução real de uma expressão que apresenta números que não pertencem a R.

Dessa forma, Bombelli escreveu o número −121 como 11 ∙ −1 e considerou que x = 4 poderia ser

calculado pela soma de 2 + b ∙ −1 com 2 – b · −1 e que:

2 + b ∙ −1 = 2 1213 + −

Dessa forma, obteve b = 1, assim,

x = 2 + −1 + 2 – −1 = 4

Em 1777, Leonhard Euler foi quem representou −1 por i e chamou de unidade imaginária. Dessa forma, surgiu um novo tipo de número que pode ser representado por a + bi, em que a, b R e i é a unidade imaginária.

1. Considerando que i = –1 , determine:

a) i2

b) i3

c) i4

d) i5

e) i6

f) i7

g) i8

h) i9

2. O que se pode afirmar quanto aos valores das potências de i?

3. Agora determine:

a) i13

b) i22

c) i36

d) i145

6 Números complexos, Polinômios e Equações algébricas6

Um número complexo z está representado na forma algébrica quando estiver escrito na forma z = a + bi, com a, b R, sendo a parte real e b a parte imaginária de z. A parte real e a parte imaginária podem ser representadas por R(z) = a e Im(z) = b, respectivamente.

Alguns exemplos de números complexos na forma algébrica:

a) 2 + 3ib) 1 – 4ic) –7id) 5

Escreva a parte real e a parte imaginária de cada exemplo.

Quando, em um número complexo z = a + bi, a parte imaginária é igual a zero, ou seja, b = 0, tem-se que z é um número real e, quando a parte real é igual a zero, ou seja, a = 0 e a parte imaginária é diferente de zero, ou seja, b ≠ 0, tem-se que z é um número imaginário puro.

O conjunto dos números complexos

Os números complexos, bem como as operações realizadas com eles, formam uma base para o estudo da Engenharia Elétrica. O engenheiro elétrico/eletrônico trabalha com os números complexos relacionados à corrente elétrica e, em consequência disso, com a análise de redes elétricas senoidais, nas quais a corrente utilizada é a corrente alternada, na tensão, potência, impedância, análise de sistemas trifásicos e em circuitos eletrônicos. Dessa forma, sua aplicação se estende para outras áreas, como a Biomedicina, no processamento de imagens além de sistemas de comunicação.

Número complexo é todo número escrito na forma a + bi, em que a, b R ei = −1 é denominada unidade imaginária. Observe o diagrama a seguir:

C conjunto dos números complexosR conjunto dos números reais

Ensino Médio | Modular

FÍSICA

7

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Determine os valores de x e y, para que o nú-mero complexo z = (x + 3) + (y2 – 4)i seja:

a) real;

b) imaginário puro.

2. Sendo z = p + 6 + (q – 1)i, determine os valores de p e q para que z seja um número imaginário puro.

3. Dado o número complexo z = (x – 2) + (y2– 5y)i, calcule os valores de x e y de modo que:

a) seja um número real;

b) seja um imaginário puro.

4. Determine as raízes das equações a seguir, no universo dos números complexos:

a) x2 + 9 = 0

b) x2 – 4x + 5 = 0

c) x2 – 2x + 50 = 0

A fórmula resolutiva de uma equação do 2.º grau, na forma ax2 + bx + c = 0, denominada Fórmula de Bháskara, é:

x = –b ± b 4 a c

2 a

2 – ⋅ ⋅⋅

Para equações do 2.º grau com o universo definido como sendo o conjunto dos números reais, ao en-contrar b2 – 4 · a · c < 0 no desenvolvimento da Fórmula de Bháskara, não é possível determinar a solução.

Com o conjunto-universo ampliado para o conjunto dos números complexos, esse problema é solucio-nado e consegue-se, então, determinar a solução.


5. Determine o valor dos números complexos a seguir:

a) (5 + 5i)2

b) (3 – 2i)2

c) (1 + i)10

6. Considere N o conjunto dos números natu-rais, Z o conjunto dos números inteiros, Q o conjunto dos números racionais, R o conjun-to dos números reais, C o conjunto dos nú-meros complexos e i = −1. Marque V ou F, conforme a afirmação seja verdadeira ou falsa.

a) ( ) 5 C

b) ( ) 5i C

c) ( ) –5i R

d) ( ) 2i C – R

e) ( ) −1 R

f) ( ) i2 Z

g) ( ) i4 N

h) ( ) {1, –1, i, –i} R

i) ( ) R C

j) ( ) N C

k) ( ) Q C – R

7. (UFPI) Considere o número complexo z = i. Pode-se afirmar que o valor da soma z0 + z1 + z2 + ... + z2008 é:

a) −1 b) 0 c) 1

d) i e) −i

8. (UEG) A soma S = ij

j =∑

0

50

= i0 + i1 + i2 + + ...

+ i49 + i50, em que i é um número complexo, é igual a:

a) 1+ i b) –i

c) 1 – i d) i

9. (UFAM) Simplificando o número complexo

2

22

2i

2 010

–⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟obtemos:

a) 2i b) i

c) –i d) 1

e) –1

10. (PUCPR) Considere a multiplicação de matri-zes definida para números complexos e a uni-dade imaginária i tal que i= –1 .Determine

o produto das matrizes

2 i1 1 i

.0 1

1+i i− −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

a) –1+i –3

2 2+i⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ d)

− −−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1+i 2 2ii 2 i

b) i 1 2i2 2 i

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ e)

2 i 32 2+i− −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

c) –1 – 2i 3

1 2+i⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥


FÍSICA

9

FÍSICAMATEMÁTICA

Desafio

11. (UEMA) Sabendo-se que i2 = –1 e que S tem n parcelas, calcule o valor de

S = i4(n + 1) + i4(n + 2) + ... + i4(n + n)

Para estudar algumas operações com os números complexos, precisa-se entender o oposto e o conjugado de um número complexo.

Oposto e conjugado de um número complexoDado um número complexo z = a + bi:

o oposto do número complexo z representado por –z é –z = –a – bi;

o conjugado do número complexo z representado por z é z = a – bi. Nos exemplos a seguir escreva o oposto e o conjugado de cada número complexo:

a) z = 2 + 3i b) z = –1 + iOposto de z: Oposto de z: Conjugado de z: Conjugado de z:

c) z = 7i d) z = –5iOposto de z: Oposto de z: Conjugado de z: Conjugado de z:

Igualdade entre dois números complexosDois números complexos z1 e z2 são iguais quando as partes reais são iguais e as partes imaginárias

também são iguais.

Dados dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, escreva as condições para que eles sejam iguais, ou seja, z1 = z2.

Determine os valores de x e y para que os números complexos z1 = x –1 + (y + 2)i e z2 = 4 + i sejam iguais:


Operações entre números complexosDados dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di.

A soma de dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, representada por z1 + z2, é um complexo cuja parte real é a soma das partes reais de z1 e z2, ou seja, Re(z1 + z2) = a + c e a parte imaginária é a soma das partes imaginárias de z1 e z2, ou seja, Im(z1 + z2) = b + d.

Dados os números complexos z1 = 5 + 2i e z2 = –3 + 7i, determine:a) z1 + z2 b) z1 – z2

A multiplicação de dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, representada por z1 · z2, é um complexo cuja parte real e a parte imaginária são obtidas pelo desenvolvimento de (a + bi) · (c + di) e considerando que i2 = –1, ou seja, Re(z1 · z2) = ac – bd e Im(z1 · z2) = ad + bc.

Dados os números complexos z1 = 5 + 2i e z2 = –3 + 7i, determine z1 · z2:

A divisão de dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, representada por z1 : z2 ou z

z1

2

é um

complexo obtido multiplicando o numerador z1 e o denominador z2 pelo conjugado do denominador z2.

z

z1

2

= a b i

c d i

c d i

c d i

ac bd bc ad i

c d

ac bd

c d

bc+ ⋅+ ⋅

⋅ − ⋅− ⋅

= + + − ⋅+

= ++

+ −( ) (2 2 2 2

aad i

c d

) ⋅+2 2

Dados os números complexos z1 = 5 + 2i e z2 = –3 + 7i, determine:

a) z

z1

2

b) z

z2

1


FÍSICA

11

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Para qualquer número complexo z, em que Re(z) e Im(z) são a parte real e a parte ima-ginária respectivamente, mostre que: a) z + z = 2 · Re(z)

b) z – z = 2 · Im(z) · i

c) Se z = z, então z R

2. Determine os números complexos: a) (5 + 7i) · (3 – 2i)

b) (3 – i) + 9 – (5 – 2i)

c) (–4 + 3i) · (4 – 3i) + 5 – 6i

d) (2 + 3i) · (3 – 2i) + (2 + 5i) – (3 + 4i)

3. Determine os números m e n de forma que a igualdade, (3m + 6i) + (4 + 4ni) = 10 + 18i, seja verificada:

4. Determine os valores de p e q, de modo que p + (3q + 2)i = 1 + 8i.

5. Quais são os valores de e , para que

– 1 + i = (3 + i) · (1 + 3i).

6. A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a –8 – 6i. Determine o número z.

7. Qual o número complexo z, tal que 5z + z= 12 + 6i?


8. Determine as divisões:

a) 4 81 2

−+

ii

b) 1+ i1 i–

c) 10 3i2 i

––

d) 5 4i2i–

e) 1+ ii

9. Determine o inverso do número complexo z = 2 – i.

10. (UFPel – RS) Três números complexos somam 9 + 3i e formam uma progressão aritmética de razão 1 – 2i. Com base no texto, é correto afirmar que o décimo segundo termo é igual a:a) 14 – 21ib) 13 – 23ic) 14 – 25id) 16 – 19i e) 13 – 19i

11. (UEA) O complexo 3+i1 i−

é igual a:

a) 1+2i b) 1−2ic) 2+i d) 2−ie) 2

12. (IFMT) O conjugado do complexo z = 2 i1+ i

– é:

a) 2 + i

b) 12

+ 32

i

c) 32

– 12

i

d) 32

+ 12

i

e) 14

+ 34

i


FÍSICA

13

FÍSICAMATEMÁTICA

O matemático dinamarquês Caspar Wessel (1745--1818) publicou em 1797, em uma revista, a interpre-tação geométrica de um número complexo, porém essa publicação ficou praticamente desconhecida até que, em 1806, o matemático francês Jean-Robert Argand (1768-1822) divulgou um artigo sobre essa representação. O matemático Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) também teve uma participação nessa representação. Mesmo tendo trabalhado nela, publicou seu trabalho 30 anos após a publicação de Caspar Wessel.

Um número complexo z = a + bi pode ser asso-ciado a um ponto no plano cartesiano. Esse ponto é denominado afixo de z, e o plano cartesiano é denominado de plano de Argand-Gauss ou plano complexo. Nesse plano, a parte real representa a abscissa do ponto e a parte imaginária a ordenada. Dessa forma, o eixo das abscissas é denominado eixo real, e o eixo das ordenadas de eixo ima-ginário. Observe o número complexo z = a + bi no plano complexo.

A distância do ponto P à origem do plano com-plexo, também representada por | z |, é denominada módulo de z. Que relação se pode estabelecer com ρ, a e b? Escreva-a:

E o ângulo (0 < 2 ) formado pelo segmento OP e o sentido positivo do eixo real é denominado argumento de z. Usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo, escreva o seno, o cosseno e a tangente do ângulo em função de ρ, a e b.

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Jean-Robert Argand

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Caspar Wessel

Latin

Stoc

k/A

lbum

/Akg

-Imag

es

Johann Carl Friedrich Gauss

Representação geométrica de um

número complexo


Em um triângulo retângulo ABC, retângulo em A, cujas medidas dos catetos são b e c e a medida da hipotenusa é a, podem-se estabelecer as seguintes relações trigonométricas:

sen B =b

a sen C =

c

a

cos B =c

a cos C =

b

a

tg B = b

c tg C =

c

b

Essas relações serão utilizadas na representação trigonométrica dos números complexos.

Número complexo na forma trigonométrica

Considere um número complexo na forma algébrica z = a + b · i representado no Plano de Argand--Gauss.

Pode-se escrever que:

sen = b

ρ b = · sen

cos = a

ρ a = · cos

Substitua os valores de a e b no número complexo z = a + b · i:

A forma trigonométrica ou polar de um número complexo é: z = · (cos + i sen ), em que é o módulo, que corresponde à distância do afixo à origem do plano complexo, e é o argumento, que é o ângulo medido formado pelo sentido positivo do eixo real e o segmento cujos extremos são o afixo e a origem do plano complexo.


FÍSICA

15

FÍSICAMATEMÁTICA

1. O plano complexo ou Plano de Argand- -Gauss considera o plano cartesiano de René Descartes, em que o eixo das abscissas ou eixo x é o eixo real e o eixo das ordenadas ou eixo y é o eixo imaginário. Lembrando que os quadrantes são numerados no sentido anti-horário.

Um número complexo z = –a + bi em a < 0 e b 0 tem o afixo localizado no:

a) 4.o quadrante ou no eixo das abscissas;b) 3.o quadrante ou no eixo das abscissas;c) 4.o quadrante;d) 1.o quadrante ou no eixo das ordenadas;e) 2.o quadrante ou no eixo das ordenadas.

2. A posição de um submarino estava sen-do monitorada na tela de um computador cujo sistema de referência era o Plano de Argand-Gauss. O submarino estava inicial-mente no afixo de z1 = 2 + 3i e deslocou-se em linha reta para o afixo de z2 = –2 + i. De z2 deslocou-se para o afixo de z3 = –2 – i e finalmente deslocou-se para o afixo de z4 = 5 – i, onde permaneceu parado. Qual é a distância da posição inicial do submarino z1 até a posição em que permaneceu para-do em z4?

a) 5 uc b) 7uc c) 3uc

d) 4uc e) 6uc

3. O argumento principal de um número com-plexo z é o ângulo , medido no sentido an-ti-horário a partir do semieixo real positivo tal que 0 < 2 .

Observe a figura abaixo.

Qual o argumento principal do número complexo z = 3 + 3i ?

a) π3

b) π6

c) π4

d) π8 e)

π2

4. Os afixos dos números complexos z1 = 1 + i, z2 = i, z3 = –2, z4 = –i, z5 = 1 – i e z6 = 1, no Plano de Argand-Gauss, são vértices de:a) um triângulo;b) um quadrado; c) um pentágono;d) um hexágono;e) não forma polígono, pois os pontos es-

tão alinhados.

5. Determine o módulo e o argumento dos nú-meros complexos:a) z = 1 – i b) z = 3 + i

c) z = –3

2+

32

i d) z = 23

i

6. Escreva os números complexos na forma tri-gonométrica.a) z = 2 + 2i b) z = 1 – i 3

c) z= –12

32

i– d) z = –2

7. Escreva os números complexos na forma al-gébrica. a) z = 4 · (cos 45o + i · sen 45o)b) z = 2 · (cos 240o + i · sen 240o)

c) z = 2 3 cos56

+ i sen56

⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π

d) z = 2 cos32

+ i sen32

⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π


8. O ponto P da figura é afixo de um número complexo z = a + bi. Determine esse núme-ro complexo na forma algébrica:

9. (UFRGS) O argumento do número complexo z é π

6, e o seu módulo é 2. Então a forma

algébrica de z é:a) – i b) i c) 3 id) 3 –i e) 3 + i

Desafio

10. Sobrepondo o Plano de Argand-Gauss sobre o mostrador de um relógio analógico, os números complexos z1 = 2 + 2 3 i e z2 = – 3 – i indicam aproximadamente:

a) 9h05

b) 8h05

c) 1h40

d) 2h40

e) 3h05

Operações com números complexos na forma

trigonométricaEntre as operações com números complexos na forma trigonométrica, destacam-se a multiplicação,

a divisão, a potenciação e a radiciação.

Multiplicação de números complexos na forma trigonométricaDados dois números complexos z1 = 1 · (cos 1 + i · sen 1) e z2 = 2 · (cos 2 + i · sen 2), o

produto z1 · z2 é dado por:z1 · z2 = [ 1 · (cos 1 + i · sen 1)] · [ 2 · (cos 2 + i · sen 2)]z1 · z2 = 1 · 2 · (cos 1 + i · sen 1) · (cos 2 + i · sen 2)z1 · z2 = 1 · 2 · (cos 1 · cos 2 + i · sen 2 · cos 1 + i · sen 1 · cos 2 + i2 · sen 1 · sen 2)

Como i2 = –1, tem-se:

z1 · z2 = 1 · 2 · [cos 1 · cos 2 – sen 1 · sen 2 + i · (sen 1 · cos 2 + sen 2 · cos 1)]

cos ( 1 + 2) sen ( 1 + 2)

Assim,

z1 · z2 = 1 · 2 · [cos ( 1 + 2) + i · sen ( 1 + 2)


FÍSICA

17

FÍSICAMATEMÁTICA

Para dois arcos a e b, são válidas as seguintes identidades:sen (a + b) = sen a · cos b + cos a ∙ sen bsen (a – b) = sen a ∙ cos b – sen b ∙ cos acos (a + b) = cos a ∙ cos b – sen a ∙ sen bcos (a – b) = cos a ∙ cos b + sen a ∙ sen b

Divisão de números complexos na forma trigonométrica Dados dois números complexos z1 = 1 · (cos 1 + i · sen 1) e z2 = 2 · (cos 2 + i · sen 2), o quociente z

z1

2

é dado por:

z

z1

2

= ρ θ θρ θ θ

1 1 1 cos i sen

cos i sen

⋅ + ⋅⋅ + ⋅

( )

( )2 2 2

z

z1

2

= ρ θ θρ θ θ

1 1 1 cos i sen

cos i sen

⋅ + ⋅⋅ + ⋅

( )

( )2 2 2

. (cos )

(cos )

θ θθ θ

2 2

2 2

− ⋅− ⋅

i sen

i sen

z

z1

2

2 1 2 1=⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ρ θ θ θ θ θ1 1 cos cos i cos sen i sen cos ( θθ θ θ

ρ θ θ2

21 2

22

22 2

2

− ⋅ ⋅⋅ − ⋅

i sen sen

cos i sen ( )

Como i2 = –1, tem-se:

z

z1

2

= ρ θ θ θ θ θ θ1 1 [cos cos sen sen i ( cos sen s⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ +2 1 2 1 2 een cos

cos + sen

θ θρ θ θ

1 2

22

22

2

⋅⋅

)]

( )

z

z1

2

= ρ θ θ θ θ

ρ1 1 cos ( ) + i sen (

1

⋅ − ⋅ −⋅

2 1 2

2

)]

Assim,

z

z1

2 22 1 2= ⋅ − ⋅ −

ρρ

θ θ θ θ11cos ( ) + i sen ([ )]

Potenciação de números complexos na forma trigonométricaDado o número complexo z = · (cos + i · sen ), o número complexo zn (n N) é dado por:zn = · · · ... · · (cos + i · sen ) · (cos + i · sen ) · … · (cos + i · sen )

n vezes n vezes

Pela multiplicação de números complexos, tem-se:zn = n · [cos ( + + + ... + ) + i · sen ( + + + ... + )]

n vezes n vezes

Assim,

zn = n · [cos (n · ) + i · sen (n · )]

Essa relação é denominada de 1a. Fórmula de Moivre.


O matemático francês Abraham de Moivre (1667-1754) relacionou os números complexos com a Trigonometria. Estudou e publicou trabalhos sobre a distribuição normal utilizada na Estatística e a Teoria das Probabilidades. Foi um dos precursores do cálculo atual utilizado em seguros.

Latin

Stoc

k/A

lbum

/akg

/Nor

th W

ind

1. Dados os números complexos z1 = 2 · (cos 30o+ i · sen 30o), z2 = 6 · (cos 150o + i · sen 150o) e z3 = 15 · (cos 300o + i · sen 300o), deter-mine na forma trigonométrica:a) z1 · z2 b) z1 · z3 c)

zz2

1

d) zz

3

2

e) z z

z2 3

1

⋅

2. Dados os números complexos

z1 = 3 24 4

⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cosπ π

i sen e

z2 = 22 2

⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cosπ π

i sen , determine:

a) z1 · z2 b) zz

1

2

3. (UCMG) O produto dos três números com-plexos z1 = 2 · (cos 40º + i sen 40º), z2 = 3 · (cos 135º + i sen 135º) e z3 = (cos 125º + i sen 125º) é:

a) 3 – 3 ∙ i b) 3 – 3 3 ∙ ic) 2 – 2 2 ∙ i d) 6+ 3 ∙ ie) nda

4. Dado o número complexo z = cos

π π6 6

+ ⋅i sen , determine o valor de z12.

5. Considere o número complexo na forma tri-gonométrica:

z = 234

34

⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos π πi sen

Determine z6.

6. (UFRJ) No jogo Batalha Complexa são dados números complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente. O tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal que t · z = w.

| z | = 2

| w | = 4

Considere a mira z e o alvo w indicados na figura acima. Determine o tiro certeiro de z em w.


FÍSICA

19

FÍSICAMATEMÁTICA

7. (UFAM) Se z = cos 9° + i · sen 9°, então z10 é igual a:a) 9 + 9i b) 9i c) i d) 1 + i e) –1 + i

8. (UNESP) Considere o número complexo

z = cos π6

+ i senπ6

. O valor de z3 + z6 + z12 é:

a) –i

b) 12

32

+ i

c) i – 2

d) i

e) 2i

Desafio

9.(UFRGS) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número

complexo cos .π π8 8

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

i senn

é negativa é:a) 3b) 4c) 6d) 8 e) 9

Radiciação de números complexos na forma trigonométrica:O número zk é uma raiz enésima de um número complexo z = a + bi, quando (zk)

n = z, ou seja, quando zk elevado a n for igual a z, por exemplo:

x = –1 é uma raiz quadrada de 1;

x = 3 é uma raiz cúbica de 27;

x = 2i é uma raiz quarta de 16;

x = 5i é uma raiz quadrada de –25. Dado o número complexo z = ∙ (cos + i ∙ sen ), e zk uma das raízes enésimas de z. Como (zk)

n = z, tem-se:(zK)n = k

n · [cos (n ∙ k) + i · sen (n · k)] Assim,

kn · [cos (n · k) + i · sen (n · k)] = · (cos + i · sen )

Comparando o 1º. membro com o 2º., tem-se que:

kn =

cos (n · k) = cos

sen (n · k) = sen Dessa forma, o módulo e o argumento de uma raiz enésima de z é:

k = ρn módulo da raiz enésima de z

en · k = + 2 · k ·

k =θ π+ ⋅ ⋅2 k

n argumento da raiz enésima de z

Assim,

zk = ρn ∙ cosθ π θ π+ ⋅ ⋅⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ ⋅ + ⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2 2k

ni sen

k

n

Essa relação é denominada de 2ª. Fórmula de Moivre.


1. Determine as raízes quadradas de:a) 16

b) –9


FÍSICA

21

FÍSICAMATEMÁTICA

2. Determine as raízes quadradas do número complexo z em que z = i.

3. Determine as raízes cúbicas do número 2.


4. Determine as raízes cúbicas do número –4.

Desafio

5. Determine as raízes quadradas do número 1 – 3 i, em que i representa a unidade imaginária.


FÍSICA

23

FÍSICAMATEMÁTICA

Interpretação geométrica As raízes enésimas zk de um número complexo z podem ser

representadas no Plano de Argand-Gauss. Observe a seguir.As raízes quadradas zk do número –16 são: zk

2 = –16

Pela Equação de Moivre, tem-se:

zk = 16180 360

2

180 360

2⋅ + ⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ ⋅ + ⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

coso o o ok

i senk

z0 = 4i ez1 = –4i

A representação dessas raízes no Plano de Argand-Gauss é:

1. Na Antiguidade, quando as equações conduziam a raízes quadradas de números negativos, o pro-blema era simplesmente considerado sem solu-ção. Foi criado o conjunto dos números comple-xos em que eram considerados elementos que possuíam as raízes quadradas de números nega-tivos e, em consequência disso, o radical −1 . Mais tarde, Leonhard Euler criou a representação i2 = –1. Com essa representação, pode-se con-cluir, por exemplo, que:

− = ⋅ − =4 4 ( 1) 4iDe acordo com essas representações, quais são as raízes da equação x2 +9 = 0?

a) 3 e – 3 b) 3i e – 3i

c) i 3 e – i 3 d) 3 i e – 3 i

e) 3i e 3i

2. Escreva a forma algébrica do número complexo cujo módulo é 2 e o argumento é

π4

.

3. Qual o valor de i4 + i17?

a) 0

b) 1

c) 1 – i

d) 1 + i

e) – 1 + i

4. Qual é o módulo e o argumento do número complexo i3 + 2i2 – 3i + 2?

5. Qual o valor de (1 + i)8?a) 2 b) – 2 c) 16i d) –16i e) 16

Agora, observe as raízes cúbicas do número 8: zk3 = 8

Pela Equação de Moivre, as raízes cúbicas são:

zk = 80 360

3

0 360

33 ⋅ + ⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ ⋅ + ⋅⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

coso o o ok

i senk

z0 = 2z1 = –1 + 3 ⋅ iez2 = –1 – 3 ⋅ i

A representação dessas raízes no Plano de Argand--Gauss é:


6. (UFRR) Se i é a unidade imaginária, então i ii i

13 14

15 16+−

é igual a:

a) i d) 1

b) –i e) –1c) 0

7. Sejam z1 e z2 os números complexos z1 = 3 · (cos 30º + i · sen 30º ) e z2 = 5 · (cos 45º + i · sen 45º). O produto de z1 por z2 é o número complexo:a) 15 · (cos 1 350º + i · sen 1 350º) b) 8 · (cos 75º + i · sen 75º) c) 8 · (cos 1350º + i · sen 1350º) d) 15 · (cos 15º + i sen 15º)

e) 15 · (cos 75º + i sen 75º)

8. (UFRR) O produto das soluções da equação det

xx1

1−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 0 é igual a:

a) –1

b) 1c) 0

d) –2e) 2

9. (UFMT) Dados os números complexos não nulos z = a + bi e w = i · z. Sendo e os argumen-tos, respectivamente de z e w, com 0 < 2 e 0 < 2 , pode-se afirmar que − é igual a:

a) π4

b) c) π2

d) 32π e) 3

4π

10. (UNIFOR – CE) Seja o número complexo z = x + 3i, em que x é um número real negativo. Se |z| =6, en-tão a forma trigonométrica de z é:

a) 6 cos23

23

π π+ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

i sen

b) 6 cos56

56

π π+ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

i sen

c) 6 cos43

43

π π+ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

i sen

d) 6 cos53

53

π π+ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

i sen

e) 6 cos116

116

π π+ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

i sen

11. (UERJ) As seis soluções da equação z6 + z3 + 1 = 0 são números complexos que possuem módulos iguais e argumentos distintos.

O argumento θ, em radianos, de uma dessas so-

luções pertence ao intervalo π π2

,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

.

Determine a medida de θ.

12. (UFC) Os números complexos distintos z e w são tais que z + w = 1 e z · w = 1.a) Calcule |z|.b) Calcule o valor z4 + w4 sabendo-se que z está

no primeiro quadrante do plano complexo.

13. (UNESP – SP) O número complexo z = α + bi é vértice de um triângulo equilátero, como mostra a figura.

Sabendo que a área desse triângulo é igual a 36 3, determine z2.

14. (UFRJ) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do reló-gio forem representadas pelos números comple-xos z e w a seguir:

z i sen w z= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =α π π

cos . ,2 2

2

Sendo α um número real fixo, 0 < α < 1.

eixo imaginário

eixo real

Determine a hora do jantar.


FÍSICA

25

FÍSICAMATEMÁTICA


Polinômios2

Em uma indústria de piscinas de fibra, um dos modelos tem a forma que lembra um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas são indicadas, algebricamente, nesta figura.

Sabendo que x é um número real não negativo, responda:

1. Qual a função que determina a área total (A) de fibra usada nessa piscina?

2. Que tipo de função a área total representa na variável x?

A função quadrática é também denominada função polinomial do 2.º grau.

A(x) = 5x2 + 19x + 16

Polinômio do 2º. grau

O grau do polinômio é determinado pelo maior expoente da variável x de coeficiente não nulo.


MATEMÁTICA

De forma geral, tem-se:

Chama-se função polinomial ou, simplesmente, polinômio toda função na variável xP :� �→ , tal que:

P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … + a1x + a0Em que:

os coeficientes an, an – 1, an – 2, ..., a1, a0 são números complexos;

n, n – 1, n – 2, 1, 0 são números naturais;

anxn, an – 1xn – 1, an – 2xn – 2, …, a1x, a0 são os termos do polinômio ou monômios.Se an ≠ 0, o polinômio P(x) é de grau n.

Nessas condições, determine:

3. O polinômio que representa o volume da piscina.

4. Qual o grau do polinômio que representa o volume da piscina?

A seguir, têm-se alguns exemplos de polinômios. Escreva o grau de cada um.

P(x) = 4x + 1

G(x) = x5 + 12x4 – 3x3 – 2x2 – 1

H(x) = x4

T(x) = 11

Definição de

polinômio

@MAT1053

Valor numérico de um polinômio

Em um polinômio, ao substituírmos a variável x por um número complexo , o resultado P( ) encontrado é denominado valor numérico do polinômio para x = .

1. Dado o polinômio P(x) = x2 – 7x + 10, determine o valor numérico para:

a) x = 0

b) x = 2

c) x = 3

d) x = 5

Na Física, quando se abandona um corpo próximo ao solo, em que se considera desprezível a ação do ar, o movimento vertical desse corpo é denominado queda livre.

A aceleração de um corpo nesse movimento é denominado acelera-ção da gravidade (g). Como o movimento se realiza nas proximidades da superfície terrestre, a aceleração da gravidade é considerada constante, sendo g = 9,8 m/s2.

Galileu Galilei, ao completar 25 anos de idade, foi indicado para professor de Matemática da Universidade de Pisa, Itália. Consta que realizou várias experiências públicas sobre a queda de corpos, entre elas, a em que deixou cair, simultaneamente, perante uma multidão de estudantes, professores e religiosos, duas esferas de metal com massas diferentes, do alto da Torre de Pisa, e ambas chocaram-se contra o chão praticamente ao mesmo tempo.

Galileu determinou que a distância percorrida por um corpo em queda livre é proporcional ao quadrado do tempo de queda, simplificada na seguinte expressão:

s t g t( ) = ⋅ ⋅1

22

Em que:t é o tempo de queda, desde o abandono do corpo até chocar-se

contra o solo;g é a aceleração da gravidade da Terra;s é o espaço percorrido pelo corpo na queda livre. Supondo que a esfera abandonada por Galileu no topo da Torre de

Pisa levou aproximadamente 3,4 segundos para chocar-se contra o chão, qual a altura aproximada dessa torre?

e

ea

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hutt

erst

ock/

Sorin

Col

acTorre de Pisa

Galileu Galilei (1564-1643)

Valor numérico

de um polinômio

@MAT1055


O símbolo significa “para todo”. Assim:

∀ ∈x � lê-se: para todo

x pertencente ao conjunto

dos números complexos.

1. Dado o polinômio P(x) = (a2 – 1)x3 – (b + 2)x2 + 11x – 1, determine os valores reais para a e b, para que P(x) seja do:

2. Para quais valores de x o valor numérico é igual a zero?

O valor atribuído a x em um polinômio P(x), que, ao efetuar os cálculos, o valor numérico é zero, é denominado raiz do polinômio P(x).

3. Sendo assim, quais são as raízes do polinômio P(x) = x2 – 7x + 10?

Igualdade de polinômios

Dois polinômios, P(x) e G(x), são iguais (ou idênticos) quando resultam valores numéricos iguais para todo número x complexo, ou seja:

P G P x G x x= ⇔ = ∀ ∈( ) ( ), �

Nessas condições, sendo P(x) e G(x) dois polinômios idênticos, determine os valores de a, b e c.P(x) = 3x2 + 5x + 11 G(x) = ax2 + bx + c

a) 3.º grau b) 2..º grau

Polinômio nulo é uma função constante e igual a zero e o seu grau não é definido.Assim, um polinômio é nulo (ou identicamente nulo) quando assume valor numérico zero

para todo número x complexo, ou seja:

P x x( ) ,= ∈0 �


FÍSICA

29

FÍSICAMATEMÁTICA

c) Determine a área e o perímetro para x = 20 cm.

5. Dado o polinômio

P(x) = x20 + x19 + x18 + x17 + ... + x3 + x2 + x + 1, calcule:

a) P(0)

b) P(1)

c) P(–1)

6. Determine as raízes de P(x) = x4 – 12x2 + 27.

c) 1.º grau

2. Determine os valores de a, b e c para que o polinômio P(x) = (a – 8)x2 – (b + 7)x – c – 13 seja identicamente nulo.

3. Determine as condições para que

F(x) = (a – 2)x2 + 2bx + c e G(x) = 7x2 – bx – 5 sejam idênticos.

4. As medidas dos lados do retângulo estão em função de x.

a) Determine o polinômio P(x) que representa o perímetro desse retângulo.

b) Determine o polinômio A(x) que representa a área desse retângulo.


7. Um polinômio P(x) é do 2.º grau e apresenta os seguintes valores numéricos:

P(0) = –1 P(1) = 4 P(2) = 19

Nessas condições, determine P(x).

Adição e subtração de polinômios

A soma de dois ou mais polinômios é determinada adicionando os monômios semelhantes.Sendo assim, dados os polinômios P(x) = 2x3 + 3x2 – x – 1 e G(x) = –4x2 + 6x – 5, determine

P(x) + G(x).

A diferença entre polinômios é determinada pela adição do minuendo pelo polinômio oposto do

subtraendo, ou seja:P(x) – G(x) = P(x) + (–G(x))

Sendo assim, dados os polinômios P(x) = 2x3 + 3x2 – x – 1 e G(x) = –4x2 + 6x – 5, determine P(x) – G(x).

8. (UFG) Considere o polinômio

P(x) = (x − 1) · ( x − 3)2 · (x − 5)3 · (x − 7)4 · (x − 9)5 · (x − 11)6. O grau de P(x) é igual a:

a) 6 b) 21 c) 36 d) 720 e) 1 080

Adição e

subtração de

polinômios

@MAT1057


FÍSICA

31

FÍSICAMATEMÁTICA

Multiplicação de polinômios

O produto entre polinômios é determinado multiplicando-se os monômios de um polinômio por todos os monômios do outro polinômio.

Sendo assim, dados os polinômios P(x) = 2x3 + 3x2 – x – 1, G(x) = –4x2 + 6x – 5 e H(x) = 7x, determine:

a) P(x) · H(x)

b) Qual o grau do polinômio resultante?

c) P(x) · G(x)

d) Qual o grau do polinômio resultante?

e) O que se pode observar sobre o grau do polinômio resultante com relação aos graus dos poli-nômios que se multiplicam?

1. Determine os valores de a, b, e c de modo que a identidade a(x2 + x) +(b + c)x + c = 3x2 + 5x – 2 seja verdadeira.

1 Determine o

Multiplicação

de polinômios

@MAT1056


Divisão de polinômios

A divisão entre dois polinômios P(x) e D(x), sendo D(x) um polinômio não nulo, satisfaz a seguinte condição: P(x) = Q(x) · D(x) + R(x).

Em que:P(x) é o dividendo;Q(x) é o quociente;D(x) é o divisor;R(x) é o resto.O grau do polinômio resto R(x) é sempre menor que o grau do polinômio divisor D(x).

Método da chaveO método da chave é o processo utilizado na divisão que você já conhece.Exemplo:

13 : 4

13 4–12 3

1

2. Dados os polinômios:

P(x) = 3x4 – 2x3 + 5x – 2,G(x) = –x3 + x2 – 11x + 7 eH(x) = 8x2 – 6x + 5.

Calcule:

a) (P + G)(x)

b) (G – H)(x)

c) (P – G)(x)

3. Dados os polinômios P(x) = (x2 + ax + b)(x – 3) + 1 e G(x) = x3 – 6, determine o valor de a e b para que sejam idênticos.

4. Dados os polinômios

D(x) = x2 + x + 1, Q(x) = x2 – x e R(x) = –x + 7, determine P(x) = Q(x) · D(x) + R(x).

Divisão de

polinômios

@MAT1058


FÍSICA

33

FÍSICAMATEMÁTICA

Tem-se que:13 é o dividendo;4 é o divisor;3 é o quociente;1 é o resto.

Logo: 13 = 4 · 3 + 1.

Acompanhe a resolução de P(x) : D(x), sendo P(x) = 5x4 – 4x3 + x2 – 12x + 1 e D(x) = x2 – x + 2.

5x4 – 4x3 + x2 – 12x + 1 x2 – x + 2

1.º) Determinamos o quociente entre o monômio de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor: 5x4 : x2 = 5x2.

Em seguida, multiplicamos o monômio obtido pelos termos do divisor e subtraímos o resultado obtido do dividendo. Observe:

5x4 – 4x3 + x2 – 12x + 1 x2 – x + 2

–5x4 + 5x3 – 10x2 5x2

0 + x3 – 9x2

2.º) “Descemos” o próximo termo do dividendo e obtemos um novo dividendo.

5x4 – 4x3 + x2 – 12x + 1 x2 – x + 2

–5x4 + 5x3 – 10x2 5x2

0 + x3 – 9x2 – 12x

Repete-se o processo até ser obtido um polinômio de grau menor que o divisor, que será o resto da divisão. Observe:

5x4 – 4x3 + x2 – 12x + 1 x2 – x + 2

–5x4 + 5x3 – 10x2 5x2 + x – 8

x3 – 9x2 – 12x qa Q(x)aa –x3 + x2 – 2x

–8x2 – 14x + 1

8x2 – 8x + 16

–22x + 17R(x)

Logo, Q(x) = 5x2 + x – 8, com R(x) = –22x + 17.


1. Divida P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 5x + 4 por

D(x) = x2 – 2x + 1.

2. Quais são o quociente e o resto da divisão de P(x) = x5 + 2x4 + 3x3 – 4x2 – 5x + 6 por

D(x) = x3 – 2x2 + 3x + 4?

3. Verifique se o polinômio P(x) = x3 – 2x2 – 2x – 3 é divisível por D(x) = x – 3. Justifique sua res-posta.

4. Sendo P(x) = x3 + ax + b e D(x) = x2 + x – 3, para que valores de a e b, P(x) dividido por D(x) tem resto zero?

5. Simplifique a fração algébrica x

x

8

4

1

1.

6. O polinômio P(x) = 2x3 + 3x2 + 2x – 7 pode ser expresso pelo produto dos polinômios G(x)= x – 1 e H(x) = ax2 + bx + c. Determine os valores de a, b e c.


FÍSICA

35

FÍSICAMATEMÁTICA

Dados os polinômios P(x) = 4x3 + 5x – 2 e D(x) = x + 2, determine pelo método da chave P(x) : D(x).

Acompanhe, a seguir, como é a resolução pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini.

Em uma divisão entre polinômios, em que o divisor é um polinômio do 1.º grau na forma x – a, sendo a ∈� , o quociente pode ser obtido por um processo mais rápido conhecido por dispositivo prático de Briot-Ruffini. Esse dispositivo foi desenvolvido pelos matemáticos Charles August Briot e Paolo Ruffini.

O italiano Paolo Ruffini foi médico e matemático, graduado pela Universidade de Modena, onde obteve grau de doutor.

Charles August Briot (1817-1882), matemático francês, graduou-se na Escola Normal Superior de Paris, onde obteve o grau de doutor e passou a lecionar. Paolo Ruffini (1765-1822)

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©Wikimedia Com

mons/Fotógrafo Desconhecido

Dispositivo prático de Briot-Ruffini


1.º) Escrevem-se os coeficientes de todos os monômios, desde o maior grau até o termo inde-pendente.

p(x) = 4x3 + 5x – 2 = 4x3 + 0x2 + 5x – 2

4 0 5 –2

2.º) Escreve-se a raiz do polinômio divisor à esquerda dos coeficientes:x + 2 = 0x = –2

–2 4 0 5 –2

3.º) Copia-se o primeiro coeficiente abaixo dele.

–2 4 0 5 –2

4

4.º) Em seguida, escreve-se abaixo de cada coeficiente o produto entre a raiz do divisor e o número abaixo do coeficiente anterior, somado com o próprio coeficiente.

–2 4 0 5 –2

4 –8

–2 4 0 5 –2

4 –8 21

–2 4 0 5 –2

4 –8 21 –44(resto)

O último número obtido é o resto da divisão e os anteriores são os coeficientes do quociente. Assim, Q(x) = 4x2 – 8x + 21 e R(x) = –44.

x +

x +

x +


FÍSICA

37

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Determine o valor de a + b + c no dispositivo prático de Briot-Ruffini a seguir.

3 2 a –7 3 –1

2 6 11 b c

2. Qual o quociente e o resto da divisão de P(x) = x4 – 3x3 + 2x2 – 5x + 1 por D(x) = x – 1?

3. Determine o valor de a no polinômio P(x) = 2x3 + 5x2 – 11x + a para que esse polinômio seja divi-sível por D(x) = x + 2.

4. Determine o quociente Q(x) e o resto R(x) da divisão P(x) : D(x), sendo P(x) = 2x5 + 2 e D(x) = x – 2.

5. Divida o polinômio P(x) = 9x3 + 3x2 + 2x – 4 por D(x) = x + 13

.


Teorema de D’Alembert

Jean-Le-Rond d’Alembert (1717-1783)Je

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Jean-Le-Rond d’Alembert foi filósofo, matemático e físico francês. Fez importantes contribuições para o estudo da Álgebra e da Dinâmica. Participou da edição da Encyclopédie, a primeira enciclopédia publicada na Europa. Um comentário famoso feito por d’Alembert é: “A álgebra é generosa; ela muitas vezes nos dá mais do que lhe é solicitado”.

Teorema do Resto

O resto R da divisão de um polinômio P(x), de grau maior ou igual a 1, por x – a é igual a P(a).

Demonstração:Da divisão de polinômios, tem-se:P(x) = Q(x) · (x – a) + RPara x = a:P(a) = Q(a) · (a – a) + RP(a) = Q(a) · 0 + RP(a) = RPelo dispositivo prático de Briot-Ruffini, a divisão de P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1 por D(x) = x – 2.

Pelo Teorema do Resto, determine o resto da divisão de P(x) por D(x).


FÍSICA

39

FÍSICAMATEMÁTICA

Divisibilidade pelo produtoTeorema:

Se um polinômio P(x) é divisível separadamente por x – a e x – b, com a ≠ b, então P(x) é divisível pelo produto (x – a) · (x – b).

Demonstração:Tem-se que: P(x) = Q(x) · D(x) + R(x) e que D(x) = (x – a) · (x – b).Então: P(x) = Q(x) · (x – a) · (x – b) + R(x).

Sendo R(x) = c · x + dP(x) = Q(x) · (x – a) · (x – b) + c · x + d

Determinando o valor numérico para x = a, tem-se:P(a) = Q(a) · (a – a) · (a – b) + c · a + dP(a) = Q(a) · 0 · (a – b) + c · a + dP(a) = c · a + d

Um polinômio P(x) é divisível por x – a se, e somente se, P(a) = 0.

Demonstração:Pelo Teorema do Resto, tem-se que P(a) = R.Então:R = 0 ⇔ P(a) = 0Ou seja, se a divisão entre polinômios for exata (resto zero), a é a raiz de P(x).Nessas condições, verifique se P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 é divisível por x + 1.

Divida P(x) por x + 1 pelo método prático de Briot-Ruffini.


1. Determine o valor de a no polinômio P(x) = x4 – 2x3 + ax2 – 3x + 1 para que seja divisível por x – 1.

2. Determine o resto da divisão de P(x) = x80 – 1, por:

a) D(x) = x + 1

b) D(x) = x – 1

3. Para que valores de a e b o polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx – 8 é divisível por D(x) = x2 – 4?

4. Determine os valores de a e b para que o polinômio P(x) = 2x3 + 3x2 + ax + b seja divisível por D(x) = x2 – 1.

5. Determine os valores de a e b em P(x) = x3 + ax + b para que seja divisível por D(x) = x2 – 6x + 8.

6. (UEL – PR) O resto da divisão de um polinômio P(x) por (x − 2) é 7 e o resto da divisão de P(x) por (x + 2) é −1.Desse modo, o resto da divisão de P(x) por (x – 2) (x + 2) é

a) 6 b) 8 c) 7x – 1 d) 2x + 3 e) 3x + 2

Determinando o valor numérico para x = b, tem-se:P(b) = Q(b) · (b – a) · (b – b) + c · b + dP(b) = Q(b) · (b – a) · 0 + c · b + dP(b) = c · b + d

Se P(x) é divisível por x – a e por x – b, pelo Teorema de D’Alembert, tem-se que P(a) = P(b) = 0. Assim, tem-se o seguinte sistema:

c a d

c b d

⋅ + =⋅ + =

⎧⎨⎩

0

0

Resolvendo o sistema, tem-se c = 0 e d = 0, portanto R(x) = 0.Nessas condições, dado o P(x) = x4 + ax3 + bx2– x – 3, determine os valores de a e b para que P(x)

seja divisível por x2 + 2x – 3.


FÍSICA

41

FÍSICAMATEMÁTICA

Matemática

O curso de graduação em Matemática divide-se em Licenciatura e Bacharelado.A Licenciatura em Matemática tem por objetivo formar professores dessa área do conhecimento.

Quem tem essa licenciatura pode atuar na rede pública ou privada de instituições de ensino para o Ensino Fundamental e Médio. Com cursos de pós-graduação, mestrado e/ou doutorado, pode-se seguir a carreira acadêmica como professor universitário nas áreas de Matemática, Matemática Aplicada, Estatística, Educação Matemática, Programação Linear, entre outras.

O bacharel em Matemática necessita de uma formação continuada para atuar em áreas em que o conhecimento matemático é fundamental e estratégico, como engenharia, economia, computação, mercado financeiro, telecomunicações, institutos de pesquisas, corretoras de seguros e indústria eletrônica.

1. (UFRN) O resto da divisão do polinômio

P(x) = det

1

1

1

2

2

2

x x

a a

b b

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

por x – b é:

a) o polinômio nulo

b) x – a

c) a – b

d) b – a

e) a – x

2. (PUCRS) O polinômio

p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, com coeficien-tes em R, é divisível por x. O valor de e é:

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) 0

3. (FGV – SP) Sabe-se que o polinômiof = x4 – x3 – 3x2 + x + 2 é divisível por x2 – 1.

Um outro divisor de f é o polinômio:

a) x2 – 4

b) x2 + 1

c) (x + 1)2

d) (x – 2)3

e) (x – 1)2

4. (PUC Minas – MG) O polinômio p(x) = 2x3 + ax + 3b é divisível por q(x) = x2 – 3x + 9. O valor de 3a + b é:

a) 6 b) 12

c) 18 d) 24

e) 54

5. (UDESC) A relação entre a e b, para que o polinô-mio P(x) = x5 − 2x4 + 4x3 − 8x2 + ax − b tenha resto R(x) = 3, quando dividido por D(x) = x − 2, é:

a) 2a − b = 3

b) 2a − 2b = 3

c) 2a + b = 3

d) 2a + 2b = 3

e) a − b = 0


6. (UNEB – BA) Dividindo-se x4 – x2 + 12

por x – 2,

obtém-se:

a) quociente x3 + 3x – 6 e resto 34

b) quociente x3 + 2x2 + 3x + 6 e resto 252

c) quociente x3 + 3x2 + 5 e resto 12

d) quociente 7x2 – 25x e resto 3

e) quociente –3x2 + 4x – 6 e resto –2

7. (MACKENZIE – SP) Se o polinômio P(x) = x2 + bx + c é divisível por x – 3 e P(P(3)) = 6, então o resto da divisão de P(x) por x – 1 é:

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

8. (UFMG) Os polinômios P(x) = px2 + qx – 4 e Q(x) = x2 + px +q são tais que P(x + 1) = Q(2x) para todo x real. Os valores p e q são:

a) p = 1 e q = – 4

b) p = 2 e q = 4

c) p = 4 e q = – 4

d) p = 4 e q = 0

e) p = – 4 e q = 0

9. (UFC) Se a divisão do polinômio x3 + 2x2 + x + m pelo polinômio x2 + 1 apre-senta resto zero, então o valor de m é:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

10. (UNIP – SP) O polinômio x3 + ax2 + 3x + 4 é divisível por x – 1. O resto da divisão de x3 + ax2 + 3x + 4 por (x – 1)2 é:

a) –10x + 10

b) 10x – 10

c) 10x

d) 10

e) –10


FÍSICA

43

FÍSICAMATEMÁTICA


1. O paralelepípedo retângulo a seguir tem as me-didas das arestas iguais a 2 dm, 4 dm e 6 dm.

Qual é o valor de x que, somado a cada aresta, resulta em um novo paralelepípedo cujo volume é 4 vezes o volume original?

2. Duas esferas são fundidas e o volume resultante é de 324 cm3. O raio de uma delas é 3 cm maior que da outra. Determine a medida dos raios de cada esfera.

Equações polinomiais3


MATEMÁTICA

As fórmulas que determinam o volume de um paralelepípedo retângulo e da esfera são, respectivamente:

V = a ∙ b ∙ c e Ve = 4

33⋅ ⋅π r

Em que a, b e c são as medidas das dimensões do paralelepípedo e r é a medida do raio da esfera.

Equação polinomial

Equação polinomial ou equação algébrica é toda equação escrita na forma:

an ∙ xn + an – 1 ∙ xn – 1 + an – 2 ∙ x

n – 2 + … + a2 ∙ x2 + a1 ∙ x + a0 = 0

Em que:an, an – 1, an – 2, an – 3, … a2, a1, a0 ∈ C, e an ≠ 0 são os coeficientes e x ∈ C é a variável.n N*

Exemplos:

x3 + 12x2 + 44x – 144 = 0

2x4 – 5x3 + x2 – x + 13 = 0

x6 – 1 = 0

– x5 + x4 – x3 + x2 – x + 1 = 0

Grau de uma equação polinomialO grau de uma equação polinomial é o maior expoente da variável nos termos (com coeficientes

não nulos).

Dos exemplos de equações polinomiais dados anteriormente, escreva o grau de cada equação.

Raiz de uma equação polinomialResolver uma equação algébrica P(x) = 0 é determinar as raízes, ou seja, os valores de x (x C)

que verificam a igualdade P(x) = 0.

Dispositivo práticoOs matemáticos Charles August Briot (1817-1882) e Paolo Ruffini (1765-1822) criaram um método

prático para determinar o quociente e o resto de um polinômio de grau n por um polinômio do 1.° grau. Porém esse dispositivo prático pode ser útil para obter as raízes de uma equação polinomial.

1. Dada a equação x4 + 2x3 – 5x2 + 3x – 1 = 0.

a) Qual é o grau dessa equação?

b) Verifique se 1, 0 e –2 são raízes da equação.

2. A equação x3 – kx2 – x + k2 – 6 = 0 admite –2 como raiz. Determine o(s) valor(es) de k.


1. A equação x4 + 2x3 + x2 + 8x – 12 = 0 admite as raízes 1 e –3. Determine as outras raízes.

2. A equação x3 – kx2 – x + k2 – 6 = 0 admite –2 como raiz. Determine o(s) valor(es) de k.

Observe o exemplo a seguir.Dada a equação polinomial 2x3 – x2 – 5x – 2 = 0 e sabendo-se que 2 é uma das raízes, determine

as outras raízes.

raiz coeficientes da equação

2 2 –1 –5 –2

2 2 –1 –5 –2

2 3 1 0

2x2 + 3x + 1 = 0

Pela Fórmula de Bháskara, tem-se:

x = − 1

2

x = − ± − ⋅ ⋅

⋅=

− ±= − ±3 3 4 2 1

2 2

3 1

4

3 1

4

2( )

x = –1


FÍSICA

47

FÍSICAMATEMÁTICA

1. A equação x5 + x4 – 5x3 – 5x2 + 4x + 4a = 0 admite a raiz –1. Qual o valor de a?

2. Determine o valor de k na equação

x3 – 5x2 + kx – 6 = 0, sabendo que –3 é raiz.

3. Determine o valor de m na equação

x4 – 2mx3 + 3x2 – x + 6 = 0, sabendo que 2 é raiz.

4. A equação 2x4 – 4x3 – 26x2 + 28x + 48 = 0 admite as raízes –1 e –3. Determine as outras raízes.

5. A equação x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0 admite a raiz 5. Determine as outras raízes.

6. A equação polinomial

ax4 + bx3 + cx2 + dx + 5 = 0 admite as raízes 2, –1, 5 e 1. Determine:

a) –a + b – c + d b) a + b + c + d

7. Resolva a equação polinomial x3 – 5x2 – 6x = 0.


8. Foi utilizado o método prático para resolver uma equação em que uma das raízes é –2:

–2 a b c 10

1 –4 5 r

Dessa forma:

a) Qual é o grau dessa equação?

b) Quais os valores de a, b, c e r?

c) Quais são as raízes desconhecidas?

9. (UFSCAR – SP) A figura mostra um prisma re-tangular reto de base quadrada com um cilin-dro circular reto inscrito no prisma. O lado da base do prisma mede 4 dm e a altura é dada por h(x) = (x3 – 5x2 + 8x) dm, com x > 0.

a) Calcule o volume do prisma para x = 3 dm.

b) Para x = 1 dm o volume do cilindro inscrito é 16 dm3. Encontre os outros valores de x para os quais isto acontece.

10. (UNIOESTE – PR) O capital livre para investi-mentos, ou o capital de giro, de uma empre-sa (C) em função dos anos (t) de sua existên-cia no mercado pode ser descrito pela função C(t) = t3 – 14t2 + 56t – 64. Sabe-se que no 4.° ano a empresa apresentou um capital de giro igual a zero. Os demais anos nos quais a em-presa apresentou um capital de giro também igual a zero somam:

a) 8

b) 5

c) 10

d) 7

e) 11


FÍSICA

49

FÍSICAMATEMÁTICA

Teorema Fundamental da Álgebra

O matemático Karl Friedrich Gauss demonstrou em sua tese de doutorado o Teorema Fundamental da Álgebra, no qual toda equação

Karl Friedrich Gauss

Em sua tese de doutorado, na Universidade de Helmstädt, escrita aos vinte anos de idade, Gauss deu a primeira demonstração plenamente satisfatória do Teorema Fundamental da Álgebra (que uma equação polinomial, com coeficientes complexos e de grau

D’Alembert e Lagrange haviam feito tentativas frustradas de

A separação a seguir das partes real e imaginária na equação resultante

Introdução à história da Matemática .

tese deação

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Teorema da Decomposição

Todo polinômio da forma:

P(x) = an · xn + an – 1 · xn – 1 + an – 2 · x

n – 2 + … + a2 · x2 + a1 · x + a0

em que r1, r2, r3, ... rn são as raízes de P(x), pode ser escrita na forma:

com an ≠ 0.

P(x) = an · (x – r1) · (x – r2) · (x – r3) · ... · (x – rn)


1. Escreva uma equação de 4º. grau cujas raízes sejam 2, –1, 3 e –2.

2. Dada a equação (x – 7)2 · (x + 1)4 · (x – 2)3 · (x + 5) = 0.

a) Qual é o grau da equação?

b) Quantas e quais são as raízes dessa equação?

Multiplicidade de uma raiz

Uma raiz r de uma equação P(x) = 0 tem multiplicidade k (com k N*), quando no polinômio decomposto P(x) existem k fatores iguais a (x – r), ou seja, o polinômio P(x) é divisível por (x – r)k.

Exemplo:(x + 2)3 . (x – 3)5 . (x – 1)2 = 0Essa equação admite as raízes –2, 3 e 1 em que:

a raiz –2 tem multiplicidade 3;

a raiz 3 tem multiplicidade 5;

a raiz 1 tem multiplicidade 2.Ensino Médio | Modular

FÍSICA

51

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Resolva as equações a seguir.

a) x3 + 3x2 – 4x = 0

b) (x + 2) . (x – 1) . (x – 3)2 = 0

1. Escreva uma equação cujas raízes sejam 2, 1, –3 com multiplicidades 3, 2 e 2, respectivamente.

2. Considere a equação (x – 7)2 . (x + 1)4 . (x – 2)3 . (x + 5) = 0. Quais são as raízes dessa equação e suas respectivas multiplicidades?

c) x3 + x2 – 4x – 4 = 0

d) x3 + 2x2 + x + 2 = 0

Raízes das equações

polinomiais

@MAT1073

Raízes de uma

equação polinomial

@MAT1033


e) x3 – 2x + 1 = 0

2. Se a equação x3 + x2 – 8x – 12 = 0 tem a raiz –2 com multiplicidade 2, qual é a outra raiz dessa equação?

3. Escreva uma equação do 3.o grau cujas raízes são 2, 3i e –3i.

4. Escreva uma equação do 4.o grau cujas raízes são –2, 3, 1 + i e 1 – i.

5. A equação x4 – 9x3 + 30x2 – 44x + 24 = 0 admite a raiz 2 que tem multiplicidade 3. De-termine a outra.


FÍSICA

53

FÍSICAMATEMÁTICA

6. (UFG) Considere o polinômio:

p(x) = (x − 1) · (x − 3)2 · (x − 5)3 · (x − 7)4 · · (x − 9)5 · (x − 11)6

O grau de p(x) é igual a:

a) 6

b) 21

c) 36

d) 720

e) 1 080

7. (CEFET – RJ) As soluções da equação x3(x – 1)(x – 2) – x2(x + 4)(x – 1) = 0 são:

a) –1, 0, 1, 2

b) 0, 1, 2, 4

c) –1, 0, 1, 4

d) –1, 0, 2, 4

Desafio

8. (UFES) Um polinômio p(x) = x3 – ax2 – x + a2 – 6 tem x = –2 como raiz.

a) Determine os valores de a.

b) Para cada valor de a obtido no item a deter-mine as outras raízes de p(x).

c) Para cada valor de a obtido no item a fatore o polinômio p(x) como produto de polinô-mios do primeiro grau.


Girard foi um matemático que estabeleceu relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação. Observe essas relações para uma equação de grau 2.

Dada a equação ax2 + bx + c = 0 que admite as raízes r1 e r2, tem-se:Pelo Teorema da Decomposição:

ax2 + bx + c = a · (x – r1) · (x – r2)

ax2 + bx + c = a . (x2 – x · r2 – x · r1 + r1 · r2)

ax2 + bx + c = a · x2 – a · x · r2 – a · x · r1 + a · r1 · r2

ax2 + bx + c = ax2 – a(r2 + r1)x + a · r1 · r2Pela igualdade entre os polinômios:

– a(r2 + r1) = b r rb

a1 2+ = −

ea · r1 · r2 = c r r

c

a1 2⋅ =

Para uma equação de grau 3 em que ax3 + bx2 + cx + d = 0 que admite as raízes r1, r2 e r3, tem-se:Pelo Teorema da Decomposição:ax3 + bx2 + cx + d = a · (x – r1) · (x – r2) · (x – r3)ax3 + bx2 + cx + d = a · (x2 – x · r2 – x · r1 + r1 · r2) · (x – r3)ax3 + bx2 + cx + d = a · (x3 – x2 · r3 – x2 · r2 + x · r2 · r3 – x2 · r1 + x · r1 · r3 + x · r1 · r2 – r1 · r2 · r3)ax3 + bx2 + cx + d = ax3 – a(r1 + r2 + r3)x2 + a(r1 · r2 + r1 · r3 + r2 · r3)x – a · r1 · r2 · r3Pela igualdade entre os polinômios:

– a(r1 + r2 + r3) = b r r rb

a1 2 3+ + = −

a(r1 · r2 + r1 · r3 + r2 · r3) = c r r r r r1 2 1 3 2 3rc

a⋅ + ⋅ + ⋅ =

e–a · r1 · r2 · r3 = d r1 · r2 · r3 =

d

a

Relações de Girard

o mais antigo uso das abreviações sin, tan e sec

Introdução à história da Matemática .


FÍSICA

55

FÍSICAMATEMÁTICA

De uma forma análoga, para uma equação de grau 4 em que ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, que admite as raízes r1, r2, r3 e r4, tem-se:

r r r rb

a1 2 3 4+ + + = −

r r r r r r r r r r r rc

a1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

r r r r r r r r r r r rd

a1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = −

r r r re

a1 2 3 4⋅ ⋅ ⋅ =

1. Dada a equação 2x3 + x2 – 7x – 6 = 0, determine:

r r r1 2 3+ +

r1 ∙ r2 + r2 ∙ r3 + r1 ∙ r3

r1 ∙ r2 ∙ r3

2. Dada a equação 2x4 – 3x3 – 12x2 + 15x – 8 = 0, determine:

r r r1 2 3+ + + r4

r r r r r r r r r r r r1 2 1 3 1⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅4 2 3 2 4 3 4

r r r r r r r r r r1 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4r r

r r r r1 2 3 4

3. Dada a equação x3 – 6x2 + 3x = 10 = 0, determine a média aritmética das raízes.

4. Na equação x3 – 4x2 + x + 6 = 0, uma das raízes é igual à soma das outras duas. Determine as raízes.


1. O matemático francês Albert Girard (1595-1632) demonstrou a relação entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica. Para uma equação algébrica do 3.o grau ax3 + bx2 + cx + d = 0 (com a 0), com raízes , e , têm-se as relações:

+ + = ba

+ + = ca

∙ ∙ = da

Assim, para a equação 3x3 – 13x2 + 11x – 8 = 0, com raízes , e , qual é o valor da expressão:

y = ( ) ( )α β γ αβ βγ αγα β γ αβ βγ αγ

+ + + + + + + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 1 1 1 1 1

a) y = 3 b) y = –13 c) y = 13 d) y = 11 e) y = 8

2. O volume de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são a, b e c pode ser calculado por:

V = a ∙ b ∙ c

a área da superfície desse sólido por:

S = 2 ∙ (ab + ac + bc)

e a diagonal por:

D = a + b + c2 2 2

As dimensões a, b e c de um paralelepípedo retângulo, em metros, são dadas pelas raízes da equação x3 – 14x2 + 56x – 64 = 0.

a) Determine, em metros cúbicos, o volume desse paralelepípedo.

b) Determine, em metros quadrados, a área da superfície desse paralelepípedo.


FÍSICA

57

FÍSICAMATEMÁTICA

3. Em um paralelepípedo retângulo cujas dimen-sões são a, b e c e que a superfície do sólido é S e a diagonal é D, mostre que:

(a + b + c)2 = D2 + S.

4. A equação x3 + rx2 + sx + t = 0 tem as raízes 1, 2 e –3, determine r, s e t.

5. A equação x3 + 15x2 + 66x + 80 = 0 tem raízes que formam uma progressão aritmética. Determine essas raízes.

6. A equação x3 + 7x2 + 14x + 8 = 0 tem raízes que formam uma progressão geométrica. De-termine essas raízes.

7. Na equação 2x3 – 5x2 + kx – 1 = 0, a média aritmética de duas raízes é igual ao dobro da terceira raiz. Determine o valor de k.

8. (UFSC) As dimensões, em metros, de um para-lelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do polinômio x3 – 14x2 + 56x – 64. Determine, em metros cúbicos, o volume desse paralelepípedo.


9. (UEA) Quanto vale a soma dos quadrados das raízes de x3 + 2x + 1 = 0?

a) –4

b) –2

c) 0

d) 2

e) 4

10. (CEFET – CE) Sejam x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6 x + P – 2 = 0.

Se (x1 + x2)2 = x1 ∙ x2, então P é igual a:

a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 8

11. (FGV – SP) Se a média aritmética entre dois nú-meros é 15 e sua média geométrica é 12, en-tão, uma equação cujas duas raízes reais sejam esses dois números é:

a) 2x2 – 60x + 37 = 0

b) x2 – 30x + 120 = 0

c) x2 – 30x + 144 = 0

d) x2 + 6x + 120 = 0

e) 2x2 + 12x – 15 = 0

12. (UFPR) Sabendo-se que x = 2 é um zero do po-linômio p(x) = 9x3 − 21x2 + 4x + 4, é correto afirmar que a soma das outras duas raízes é igual a:

a) 1/3

b) 3/7

c) 1

d) 4/21

e) 4/9

Desafio

13. Na equação x3 – 6x2 – kx – 30 = 0, a soma de duas raízes é 1. Determine o valor de k.


FÍSICA

59

FÍSICAMATEMÁTICA

Raízes imaginárias

Se uma equação polinomial, com coeficientes reais, admite uma solução imaginária z = a + b . i, então o conjugado z – = a – b . i também é raiz da equação.

Escreva o conjunto-solução da equação x2 – 2x + 5 = 0.

Consequências do teoremaPara uma equação polinomial com coeficientes reais tem-se:

O número de raízes não reais é sempre par.

Se a equação tiver grau ímpar, então, pelo menos, uma das raízes é real.

Se uma raiz não real a + b . i tem multiplicidade n, então a raiz a – b . i também tem multiplicidade n.

Sejam 1 + i, 5i, –1 – i e 7 raízes de uma equação com coeficientes reais e de grau n:

a) Qual é o mínimo grau de n?

b) Escreva as raízes conjugadas das raízes imaginárias.

Raízes

imaginárias

@MAT1068


Raízes racionais

Se uma equação polinomial, com coeficientes inteiros, admite uma solução racional da forma p

q, p Ω, q Ω*, com p e q primos entre si, então p e q são divisores do termo independente e

do coeficiente do termo de maior grau, respectivamente.

Dada a equação 2x3 – 3x2 – 2x + 3 = 0:

a) escreva os coeficientes do termo independente e do termo de maior grau.

b) escreva os divisores do termo independente e do coeficiente do termo de maior grau.

c) escreva todos os números na forma p

q em que p pertence ao conjunto dos divisores inteiros do

termo independente e q ao conjunto dos divisores do coeficiente do termo de maior grau.

O conjunto formado pelos números na forma p

q são as prováveis raízes racionais da equação dada.


FÍSICA

61

FÍSICAMATEMÁTICA

d) utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini verifique, das prováveis raízes racionais, quais são realmente raízes.

1 –1

1/2 –1/2

3/2 –3/2

3 –3

1. Determine as raízes da equação x3 + 25x = 0.

2. Se uma das raízes da equação x3 – 5x2 + 8x – 6 = 0 é 1 + i, determine qual é a raiz real.


3. Determine as raízes da equação

2x3 – x2 + 2x – 1 = 0.

4. Determine as raízes da equação

9x3 – 3x2 – 7x + 5 = 0.

5. São raízes de uma equação polinomial com coeficientes reais: 1 + i, 2, –3, –2 – i.

Qual é o mínimo grau dessa equação?

6. (PUC-Campinas – SP) Sabe-se que a equação 2x3 + x2 – 6x – 3 = 0 admite uma única raiz racional e não inteira. As demais raízes dessa equação são

a) inteiras e positivas.

b) inteiras e de sinais contrários.

c) não reais.

d) irracionais e positivas.

e) irracionais e de sinais contrários.

7. (UFJF – MG) Sobre o polinômio f(x) = 9x3 + + 15x2 − 32x + 12, pode-se dizer que:

a) possui uma raiz real e duas raízes complexas que não são reais.

b) a soma de suas raízes é igual a 15.

c) o produto de suas raízes é igual a 12.

d) uma de suas raízes é positiva de multiplici-dade 1.

e) nenhuma de suas raízes é um número natural.

8. (CEFET – PI) Dado um polinômio com coeficien-tes reais da forma P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a 0 , é correto afirmar:

a) Possui três raízes complexas e não reais.

b) Possui duas raízes complexas e não reais.

c) Possui uma única raiz complexa e não real.

d) Possui pelo menos uma raiz real.

e) O gráfico da função polinomial não toca o eixo real.


FÍSICA

63

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Um paralelepípedo retângulo tem as medidas das dimensões, em cm, iguais a a, b e c e as raí-zes da equação x3 – 15x2 + 71x – 105 = 0 são numericamente iguais às dimensões do paralele-pípedo. Nessas condições, pode-se afirmar que:

a) a área do paralelepípedo é 142 cm2.

b) o volume do paralelepípedo é 15 cm3.

c) a área do paralelepípedo é 15 cm2.

d) o volume do paralelepípedo é 71 cm3.

e) a área do paralelepípedo é 71 cm2.

2. O gráfico do polinômio P(x), do terceiro grau de coeficientes reais, está representado a seguir no plano cartesiano.

a) Quais são as raízes da equação P(x) = 0?

b) Escreva uma equação com as raízes de P(x).

3. Dada a equação x3 – 5x2 + 6 = 0, determine as raízes.

4. Sejam x1 e x2 as raízes da equação

10x2 + 33x – 7 = 0. Qual é o valor de

4(x1 + x2) + 3(x1 · x2)?

5. A soma e o produto das raízes da equação de segundo grau (4m + 3n)x2 – 5nx + (m – 2) = 0

são, respectivamente, 58

332

e . Então m + n é

igual a:

a) 9

b) 8

c) 7

d) 6

e) 5

6. (UEA) A soma dos quadrados das raízes da equa-

ção x + 4x

= 6 é:

a) 28

b) 24

c) 16

d) 18

e) 12

7. (UPE) Sabendo que o polinômio

P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx , onde a, b, c e d são números reais, admite x = 2 + i e x = 2 – i como raízes e que as outras raízes são reais e estão em progressão aritmética cuja soma dos termos é 6, e razão 2, é correto afirmar que:

( ) o produto das outras raízes é igual a 8.

( ) a soma das raízes é igual a 10.

( ) P(x) = (x2 – 4x + 5) · (x – 2) · (x – 3) · (x – 1).

( ) os coeficientes equidistantes dos extremos são simétricos.

( ) o produto das raízes é igual a zero.

8. (UFGD – MS) Dado um polinômio

P(x) = 2x3 + 2x2 – 20x + 16 e sabendo que uma das raízes é x = 1, então a média aritmética das demais raízes é:

a) –3/2

b) 3/2

c) –2

d) –1

e) 1/2

9. (UFERSA – RN) As raízes do polinômio

P(x) = 2x3 + ax2 + bx + c são x1 = 1, x2 = 2 e x3 = 3. Nessas condições, conclui-se corretamente que:

a) a + b + c = –2

b) a = b + c

c) a² = b² + c²

d) a > b + c

10. (UFC) Se a identidade 3x+2x 4

=a

x 2+

bx+22 – –

é ver-

dadeira para todo número real x diferente de 2 e –2, então, os valores de a e b são, respectiva-mente:

a) 1 e –1

b) 2 e –1

c) 2 e 1

d) 3 e 2

e) 3 e 3


números complexos, polinômios e equações...

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