�

Resolução das atividades complementares

MatemáticaM23 — Polinômios p. 68

2 Seja o polinômio P(a 1 2) 5 2a2 2 3a 1 1.a) Calcule P(21) e P(4). b) Determine P(a).

3 (UnB-DF) Considere um polinômio P(x) do 3o grau com coeficientes reais. Dado que 2 é raiz de P(x) e que o seu gráfico contém os pontos (0, 2), (1, 1) e (3, 5), calcule P(5).

1 Considere o polinômio P(x)3x

.52 2

1

x

x x

2 1

1 Determine os valores de P(1) e P(22).

P(21) 5 28 e P(4) 5 3 P(a) 5 2a2 2 11a 1 15

P(1) 5 0; P(22) 5 221

57

Resolução:P(x) 5 (x2 2 3x) ? x 1 (x 1 1) 5 x3 2 3x2 1 x 1 1P(1) 5 13 2 3 ? 12 1 1 1 1 5 0P(22) 5 (22)3 2 3 ? (22)2 1 (22) 1 1 5 28 2 12 2 2 1 1 5 221

Resolução:a) a 1 2 5 21 ⇒ a 5 23 Substituindo a 5 23 no polinômio dado, temos: P(23 1 2) 5 P(21) 5 2 ? (23)2 2 3(23) 1 1 5 2 ? 9 1 9 1 1 5 28 a 1 2 5 4 ⇒ a 5 2 Substituindo a 5 2 no polinômio dado, temos: P(2 1 2) 5 P(4) 5 2 ? 22 2 3 ? 2 1 1 5 3b) a 1 2 5 x ⇒ a 5 x 2 2 P(x) 5 2 ? (x 2 2)2 2 3(x 2 2) 1 1 5 2x2 2 11x 1 15 Fazendo x 5 a, temos: P(a) 5 2a2 2 11a 1 15.

Resolução:P(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 dP(2) 5 8a 1 4b 1 2c 1 d 5 0 (I)P(0) 5 d 5 2P(1) 5 a 1 b 1 c 5 21 (II)P(3) 5 27a 1 9b 1 3c 5 3 (III)

De I, II e III, vem:8a 4b 2c

a b c

27a 9b 3c

1 1 5 2

1 1 5 2

1 1 5

2

1

3

Daí: a 5 1, b 5 23 e c 5 1.P(x) 5 x3 2 3x2 1 x 1 2P(5) 5 53 2 3 ? 52 1 5 1 2 5 57

�

4 (Uniube-MG) O grau do polinômio q(x) 5 (x 2 1)(x 2 2)2 (x 2 3)3 ... (x 2 100)100 é igual a:a) 100 b) 100! c) 5 050 d) 10 100

5 Qual é o polinômio que, subtraído de A(x) 5 2x3 2 x2 2 4x 1 5, resulta no polinômio B(x) 5 x2 1 3x 2 1?

6 (UERN) Se A(x) 5 x2 2 x 1 1, B(x) 5 (x 2 2)2 e C(x) 5 23x, então A(x) 1 B(x) ? C(x) vale:a) 23x3 1 13x2 2 13x 1 1 c) 23x3 1 15x2 2 15x e) 3x3 2 15x2 1 15xb) 23x3 1 13x2 1 13x 1 1 d) 23x3 2 15x2 2 15x

7 Sabendo que P(x) 5 x3 1 (a 2 2)x2 1 (b 2 4)x 2 3 admite as raízes 1 e 21, calcule os valores de a e b.

8 Dados A(x) 5 (a 1 1)x2 1 (b 2 1)x 1 c e B(x) 5 ax2 1 bx 2 3c, calcule a, b e c, para que A(x) 1 B(x) 0.

a 5 5 e b 5 3

2x3 2 x 1 4

a 5 2 5 512

; b 12

; c 0

Resolução:C(x) 2 A(x) 5 B(x) C(x) 5 2x3 2 x2 2 4x 1 5 1 x2 1 3x 2 1C(x) 5 A(x) 1 B(x) C(x) 5 2x3 2 x 1 4

Resolução:A(x) 1 B(x) ? C(x) 5 (x2 2 x 1 1) 1 (x 2 2)2 ? (23x) 5 x2 2 x 1 1 1 (x2 2 4x 1 4)(23x) 55 x2 2 x 1 1 2 3x3 1 12x2 2 12x 5 23x3 1 13x2 2 13x 1 1

Resolução:P(1) 5 13 1 (a 2 2)12 1 (b 2 4)1 2 3 5 0a 1 b 2 8 5 0 (I)P(21) 5 (21)3 1 (a 2 2)(21)2 1 (b 2 4)(21) 2 3 5 0a 2 b 2 2 5 0 (II)

a b

a ba

1 5

2 5

5 5 5

8

23

2a 10 5 e b⇒

Resolução:O grau do polinômio é dado pela sooma dos termos da PA (1, 2, 3, ..., 100).

Snn 100

)n2

S(1 )

2gr(q)5

15

1 ?5 5

(a an1 100 1005 050 5 0 550

Resolução:

a 1 a 2a

b 1 b 2b

1 1 5 1 5 5 2

2 1 5 5

0 1 0 12

0 1

⇒ ⇒

⇒ ⇒

a

bb

c

5

2 5 2 5 5

12

0 0c 3c 0 2c⇒ ⇒

�

12 (Fuvest-SP) Considere o polinômio não-nulo P(x) tal que [P(x)]3 5 x2[P(x)] 5 x[P(x2)], para todo x real.a) Qual é o grau de P(x)? b) Determine P(x).

9 Ache a, b e c de modo que o polinômio P(x) 5 (a 1 1)x2 1 (3a 2 2b)x 1 c seja identicamente nulo.

10 (UFPA) O polinômio P(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d é idêntico a Q(x) 5 5x2 2 3x 1 4. Então, podemos dizer que a 1 b 1 c 1 d é igual a:a) 6 c) 4 e) 23b) 5 d) 0

11 (UFJF-MG) Determine as constantes reais A, B e C que satisfazem à igualdade

2x 25x5)(x )

Bxx

, para x2

2 22 2

2 15

21

1

1

291 5 1(x

Ax

C IR e x 5.

P(x) 5 x ou P(x) 5 2x

A 5 24; B 5 6 e C 5 5

1

Resolução:

a a c1 5 5 2 2 5 5 5 2 51 0 1 0 32

0⇒ ⇒ ⇒3a 2b 3a 2b b

Resolução:

P(x) Q(x) ax bx cx d 5x 3x 03 2 2 1 1 1 2 1 54 a ;; 5; 3 e dLogo, a b 6.

b cc d

5 5 2 5

1 1 1 5

4

Resolução:Reduzindo ao mesmo denominador, teemos:2x 25x(x 5)(x 1)

A(x 1) (Bx C)(2

2

22 2

2 15

1 1 129 xx )(x 5)(x 1)

2x 25x(x 5)(x 1)

Ax A

2

2

2

2

2

2 1

2 2

2 15

1

5

29 11 2 1 2

2 1

2 2

2

Bx 5Bx Cx 5C(x 5)(x 1)

2x 25x(x 5)(x

2

2

2 2922

2

21)(A B)x 5B C)x A 5C

(x 5)(x 1)15

1 1 2 1 1 2

2 1

(

Igualando os coeficientes, temos:A

5B

1 5

2 1

B

C

2

55 2

2 5 2

5 2

5

5

25

29

4

6

5A 5C

⇒A

B

C

Resolução:

a) grau [P(x)] [P(x)]grau

3 5 ? ?3 grauxx [P(x)] grau [P(x)]

grau x [P(x )] 2

2

2

? 5 1

? 5 1

21 ggrau [P(x)]

3 grau [P(x)] grau [P(x)]3 gr

5 12aau [P(x)] grau [P(x)] 2

Então, grau [P(x)]2 5

5 11.b) Como grau [P(x)] 1, então: P(x) b.

(5 5 1ax

aax (ax b)

x (ax x(ax b)(ax) 3

2 2

3

1 5 1

1 5 1

1

b x

b

)

)

3 2

((ax) 3axb ax

ax ax xb

2 3

3 3

2 3 2

2

? 1 1 5 1

1 5 1

b b bx

bx

a x 3a x 3axb ax bx (I)

bx bx 0

3 3 2 2 2 3 2

2

1 1 1 5 1

2 5 5

b b

b

3

0 ⇒Substituindo em (I), temos:a x axa x

3 3 3

3 3

5

22 5

2 5

2 5 5 5

5

axax (a 1)

ax 0 e a

Co

3

3 2

3

00

1 0 01

2a oua

mmo é grau 1, então: 1 e bP(x) x ou P

a 5 5

5

0.((x) 5 21x

a 5 2 5 2 51; b e c32

0

�

15 (UFG) Seja f uma função definida por f(x)x(x 1)

.511

a) Determine os números A e B de modo que f(x)x 1

.5 11

Ax

B

b) Considerando o resultado anterior, mostre que: f(1) f(2) f(100) 100101

1 1 1 5... .

13 (Faap-SP) Calcule a, b, c e d para que o polinômio P1(x) 5 a(x 1 c)3 1 b(x 1 d) seja idêntico aP2(x) 5 x3 1 6x2 1 15x 1 14.

14 (UFPE) Determine p e q reais tais que x(x 1 1)(x 1 2)(x 1 3) 1 1 5 (x2 1 px 1 q)2. Indique p2 1 q2.

p. 69

a 5 1; b 5 3; c 5 2 e d 5 2

10

A 5 1 e B 5 21

Resolução:P1(x) P2(x) ⇒ a(x 1 c)3 1 b(x 1 d) x3 1 6x2 1 15x 1 14ax3 1 3acx2 1 (3ac2 1 b)x 1 (bd 1 ac3) x3 1 6x2 1 15x 1 14

Igualando os coeficientes correspondentes, ttemos:

a

3ac

3ac

bd ac

2

3

5

5

1 5

1 5

1

6

15

14

b

Resolvendo o sistema, obtemos: a 5 1, b 5 3, c 5 2 e d 5 2.

Resolução:x(x 1 1)(x 1 2)(x 1 3) 1 1 5 (x2 1 px 1 q)2

x4 1 6x3 1 11x2 1 6x 1 1 5 x4 1 2px3 1 (p2 1 2q)x2 1 2pqx 1 q2

Igualando os coeficientes, temos:

2p

p 2q2

5

1

6

55

5

5

5

5

11

6

1

3

12pq

q2

⇒p

q

Portanto: p2 1 q2 5 9 1 1 5 10.

Resolução:

a) 1x(x 1)

Ax x 1

, ou seja, 1x(x1

5 11 1

B11)

(A B)xx(x 1)

(A B)x

Temos, então,

51 1

11 1

a A 1

oo sistema linear: 1 e B

b)

A B

AA

1 5

55 5 2

0

11

⇒

DDo resultado anterior, temos que:

f(1) 12

5 21 ;; f(2) 13

; f(3) 14

; ...; f(99) 15 2 5 2 5 212

13

199 1100

; f(100)

Logo:

f(1) f(2) f(

5 2

1 1 1

1100

1101

... 1100) 5 2 1 2 1 2 1 1 21 12

12

13

13

14

199

1100( ) ( ) ( ) ( )... 11 21

1001

101( )A segunda parcela de cada parênntese, exceto a do último, cancela com a prrimeira parcela do parêntese

subseqüente: f((1) f(2) f(100)1 1 1 5 2 5... .1 1101

100101

�

16 (UFU-MG) Dividindo-se o polinômio p(x) por x2 1 4x 1 7, obtêm-se x2 1 1 como quociente e x 2 8 como resto. É correto afirmar que o coeficiente do termo de grau 2 é:a) 21 c) 8 e) 1b) 4 d) 5

17 (UFPel-RS) Para que o polinômio x3 1 2x2 2 3x 1 m dê resto 3 quando dividido por (x 1 1), m deve valer:a) 1 c) 3 e) 7b) 21 d) 27

18 (UFSM-RS) Dividindo-se o polinômio p(x) 5 x3 1 x2 1 x 1 1 pelo polinômio q(x) obtém-se o quocien-te s(x) 5 1 1 x e o resto r(x) 5 x 1 1. Pode-se afirmar que:a) q(2) 5 0 c) q(0) 0 e) q(1) 1b) q(1) 0 d) q(3) 5 0

19 (ITA-SP) A divisão de um polinômio P(x) por x2 2 x resulta no quociente 6x2 1 5x 1 3 e resto 27x. Qual o resto da divisão de P(x) por 2x 1 1?

p. 76

5

Resolução:p(x) 5 (x2 1 4x 1 7)(x2 1 1) 1 x 2 8 ⇒ p(x) 5 x4 1 x2 1 4x3 1 4x 1 7x2 1 7 1 x 2 8p(x) 5 x4 1 4x3 1 8x2 1 5x 2 1O coeficiente de x2 é igual a 8.

Resolução:p(x) 5 x3 1 22 2 3x 1 mPelo teorema do resto, P(21) 5 3; então: (21)3 1 2(21)2 2 3(21) 1 m 5 3 ⇒ m 5 21.

Resolução:p(x) 5 x3 1 x2 1 x 1 1; s(x) 5 1 1 x; r(x) 5 x 1 1p(x) 5 q(x) ? s(x) 1 r(x) e q(x) 5 ax2 1 bx 1 cx3 1 x2 1 x 1 1 5 (ax2 1 bx 1 c)(1 1 x) 1 (x 1 1)x3 1 x2 1 x 1 1 5 ax2 1 ax3 1 bx 1 bx2 1 c 1 cx 1 x 1 1x3 1 x2 1 x 1 1 5 ax3 1 (a 1 b)x2 1 (b 1 c 1 1)x 1 c 1 1

a 5 1a 1 b 5 1 ⇒ b 5 0b 1 c 1 1 5 1 ⇒ c 5 0Logo, q(x) 5 x2 ⇒ q(1) 5 1.

Resolução:P(x) (6x 5x 3)(x x)P(x) 6x

2 2

4

5 1 1 2 2

5 2

7xxx 2x 10x

2x

3 22 2

1 5 5 2

5 2 5 2 2 2

1 0 12

12

6 12

4

⇒

⇒

x

r p r( ) ( ) 112

2 12

10 12

6 116

18

12

5 5

3 2( ) ( ) ( )2 2 2 2

5 ? 1 2 1 5r

�

20 (UFOP-MG) Sejam os polinômios P(x) 5 x 2 3 e Q(x) 5 4(A 1 B)x2 1 2(B 1 C 2 A)x 1 (A 1 C).

a) Determine A, B, C IR, de modo que P(x 3)2 5 Q x2( ).

b) Determine o quociente e o resto da divisão de Q(x) por P(x).

21 (UFPE) Considere o polinômio p(x) 5 3x3 2 mx2 1 nx 1 1, em que m e n são constantes reais. Sabe-se que p(x) é divisível por g(x) 5 x 2 2 e que deixa resto igual a (212) quando dividido por h(x) 5 x 1 2.Nessas condições, tem-se:

a) 9 e n c) e n e)

b) e n

m m m n

m

5 2 5 5 5 5 5

5 5 2

74

9 5 6

74

99 74

74

d) e nm 5 2 5

p. 77

A B C5 2 5 5 273

73

113

; e

2 e 0

Resolução:a) P(x 3)

4(A B) 2(B

2 5 2

5 1 1

x

Q x x6

2 2

2( ) ( ) 11 2 1 1

5 1 1 1 2 1 1

C ) (A C)

(A B)x (B C A)x2

A x

Q x A C

A

2

2

( )( )

11 5 5 2

1 2 5 1 5

1 5 2 2 5

B A B

B C A C

A C C

0

1 1

6 6

⇒⇒

⇒2B (I)

B (II)

De (I) e (II), vem: B e C 113

Ent

5 5 273

.

ãão: A 73

b) A 73

B 73

5 2

1 5 2 5 1 2 5 2 1 5 5

.

B C A73

0 113

73

33

11

73

113

183

6A C

A

1 5 2 2 5 2 5 2

5 1 1 1 2Q(x) 4(A B)x 2(B C )2 xx Q(x) 6)

Q(x) 2x 2(x 3)Q(

1 1 5 ? 1 2

5 2 5 2

( ) (A C x⇒ ⇒⇒

2 1

6xx)

P(x)2(x 3)

x

Q(x) é divisível por P(x

52

25

32

)); portanto, o resto é zero.

Resolução:p(2) 4m 2np( 2)

5 2 1 1 5

2 5 2 2 2

0 24 1 012 24

⇒⇒ 44m 2n

Daí:4m

4m

m

2 1 5 2

2 1 5 2

2 2 5

5

1 12

2 25

2 11

7n

n

⇒ 449n 5 2

�

22 (Unimep-SP) O resto da divisão do polinômio (x2 1 x 2 1)60 1 (x 2 2)30 por x 2 1 é:a) 21 c) 1 e) nenhuma das alternativasb) 0 d) 2 anteriores

23 (UFPI) Seja R(x) o resto da divisão do polinômio P(x) 5 x5 2 10x3 1 6x2 1 x 2 7 porD(x) 5 x(x 2 1)(x 1 1). Então, pode-se afirmar que: a) R(1) 5 29 c) R(21) 5 8 e) R(x) 5 x2 2 8x 1 7b) R(0) 5 7 d) R(2) 5 2

24 (Uneb-BA) Se o polinômio ax3 1 3x2 2 8x 1 b é divisível por x2 2 4, então ab é igual a:a) 224 c) 2 e) 24b) 26 d) 6

25 (UFPA) O polinômio P(x) 5 x4 2 ax2 1 bx é divisível por x 1 3 e o resto de sua divisão por x 2 1 é a abscissa do ponto médio do segmento MN, em que M(29, 3) e N(215, 24).Encontre os valores de a e b. a 5 10 e b 5 23

Resolução:x 5 1: (1 1 1 2 1)60 1 (1 2 2)30 5 1 1 1 5 2

Resolução:Se p(x) 5 ax3 1 3x2 2 8x 1 b é divisível por x2 2 4, então é divisível por (x 1 2)(x 2 2). Logo:p(22) 5 0 ⇒ 28a 1 12 1 16 1 b 5 0p(2) 5 0 ⇒ 8a 1 12 2 16 1 b 5 0

Daí:8a

8a

2 1 5 2

1 5

5

5 2

b

b

a

b

28

4

2

12

⇒

Logo: ab 5 2(212) 5 224.

Resolução:

D(x) x(x 1)(x 1)0x 10x3

5 2 1 5 2

1 2 1

x xx

3

5 4 66x

9x 6x9x 9x

R(

2

3 2

3

1 2 2

2 1 2

2 1 1 2

1 2

x x x

x x x

x

7

9

7

3

5 3 2

xx) 6x 8xR(1)

25 2 2

5 ? 2 ? 2 5 2

76 1 8 1 7 92

Resolução:

x

x x

m 52 2

5 2

2 5 5

5 2

2

9 152

12

1 0 112

14

⇒P(1)

aa ba b

x

? 1 ? 5 2

2 1 5 2

1 5 5 2

1 1 1213

3 0 3

2

(I)x ⇒

P a bb

( ( ( (2 5 2 2 ? 2 1 ? 2 5

2 2 5 2

3) 3) 3) 3)3a (II)

4 20 027

⇒

DDe (I) e (II), vem:

3a4a

2 1 5 2

2 2 5 2

2

a b

b

13

27

55 2 5 5 240 1 3⇒ a 0 e b

�

26 (Vunesp-SP) Considere o polinômio p(x) 5 x3 2 mx2 1 m2x 2 m3, em que m IR.Sabendo-se que 2i é raiz de p(x), determine:a) os valores que m pode assumir;b) dentre os valores de m encontrados em a, o valor de m tal que o resto da divisão de p(x) por (x 2 1) seja 25.

27 (UnB-DF) O polinômio p(z) 5 z3 1 mz 1 n 1 p é divisível por z 1 i e deixa resto p na divisão porz 2 i, em que i é a unidade imaginária.Para m, n, p reais, determine o valor de m 1 n 1 p.

28 (Fuvest-SP) Determinar um polinômio P(x) de grau 4, divisível por (x 2 1)(x 1 1)(x 2 2), sabendo-se que P(0) 5 0 e que o resto da divisão de P(x) por x 1 2 é 48. P(x) 5 2x4 2 4x3 2 2x2 1 4x

2 ou 22

2

1

Resolução:a) Se 2i é raiz, temos: p(2i) 5 0 ⇒ (2i)3 2 m(2i)2 1 m2(2i) 2 m3 5 0 28i 1 4m 1 2m2i 2 m3 5 0 24(2i 2 m) 1 m2(2i 2 m) 5 0 ⇒ (2i 2 m) ? (m2 2 4) 5 0 Daí: 2i 2 m 5 0 ⇒ m 5 2i (não satisfaz, pois não é real) m2 2 4 5 0 ⇒ m2 5 4 ⇒ m 5 2 ou m 5 22b) m 5 2: p(x) 5 x3 2 2x2 1 4x 2 8 p(1) 5 1 2 2 1 4 2 8 ⇒ p(1) 5 25 m 5 22: p(x) 5 x3 1 2x2 1 4x 1 8 p(1) 5 1 1 2 1 4 1 8 ⇒ p(1) 5 15 Logo, o resto da divisão de p(x) por (x 2 1) é 25, se m 5 2.

Resolução:p(z) 5 z3 1 mz 1 n 1 p p(i) 5 i3 1 mi 1 n 1 p p(i) 5 pp(2i) 5 2i3 1 m(2i) 1 n 1 p p(2i) 5 0 2i 1 mi 1 n 1 p 2 p 5 0 i 2 mi 1 n 1 p 5 0 i(m 2 1) 1 n 5 0i 1 0 n 5 0 e p 5 0 i(1 2 m) 1 n 1 p 5 0i 1 0 m 1 n 1 p 5 1 1 0 1 0 5 1 i 2 m 5 0 ⇒ m 5 1 n 1 p 5 0 ⇒ n 5 2p

Resolução:P(x) 5 ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e De (I) e (II), vem: a 5 2c.P(0) 5 0 ⇒ e 5 0 De (III) e (IV), vem: 32a 1 8c 5 48.P(1) 5 0 ⇒ a 1 b 1 c 1 d 5 0 (I) Daí: a 5 2, c 5 22, b 5 24 e d 5 4.P(21) 5 0 ⇒ a 2 b 1 c 2 d 5 0 (II) Então: P(x) 5 2x4 2 4x3 2 2x2 1 4x.P(2) 5 0 ⇒ 16a 1 8b 1 4c 1 2d 5 0 (III)P(22) 5 0 ⇒ 16a 2 8b 1 4c 2 2d 5 48 (IV)

�

29 (FURRN) Um polinômio P, dividido por x 2 1 e x 1 3, dá restos 22 e 1, respectivamente. Então, o resto da divisão de P por (x 2 1)(x 1 3) é:

a) c) e)

b) d)

34

54

34

54

34

52

34

54

34

54

x x x

x x

1 2 2

2 1 2 2

30 (Furg-RS) Na divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x 2 a), ao usar o dispositivo prático Briot-Ruffini, encontrou-se:

Os valores de a, q, p e r são, respectivamente:a) 22, 1, 26 e 6 c) 2, 22, 22 e 26 e) 2, 1, 24 e 4b) 22, 1, 22 e 26 d) 2, 22, 1 e 6

31 (EEM-SP) O teorema da decomposição para polinômios afirma que:Todo polinômio p(x) 5 a0x

n 1 a1xn 2 1 1 ... 1 an 2 1x 1 a0 pode ser decomposto em n fatores de 1o grau

multiplicados pelo coeficiente a0, isto é, a0xn 1 a1x

n 2 1 1 ... 1 an 2 1x 1 a0 5 a0(x 2 x1)(x 2 x2) ... (x 2 xn), em que x1, x2, ..., xn são as raízes de p(x) 5 0.Com base nesse teorema, escreva:a) a expressão geral dos polinômios de grau 5 que admitem 1, 2, 3, 4 e 5 como raízes;b) a expressão, na forma fatorada, do polinômio cuja expressão geral foi obtida no item anterior e que

satisfaça p(0) 5 4!.

22 1 p 23 4 25

q 24 5 r 7

22 1 p 23 4 25

q 24 5 r 7

Resolução:Observando o dispositivo de Briot-Ruffini dado:

Resolução:

P(x) Q(x) (x 1)(x 3) axP(1) 2

5 ? 2 1 1 1

5 2

b⇒ aa b 2

P( 3) 1 3a b 1

Resolvendo o sistema:1 5 2

2 5 2 1 5⇒

a 34

; b 54

Portanto: R(x) ax 34

x 54

5 2 5 2

5 1 5 2 2b

Temos: a 5 22; q 5 1 q ? (22) 1 p 5 24 ⇒ p 5 22 5 ? (22) 1 4 5 r ⇒ r 5 26

Resolução:a) P(x) 5 a0(x 2 1)(x 2 2)(x 2 3)(x 2 4)(x 2 5) P(x) 5 a0(x

5 2 15x4 1 85x3 2 225x2 1 274x 2 120)b) Se P(0) 5 4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24, temos: P(0) 5 a0(0 2 1)(0 2 2)(0 2 3)(0 2 4)(0 2 5) 5 24

a a

x x

0 024 15

15

1

(

( )(

2 5 5 2

5 2 2

120)

Portanto: P(x)

⇒

22 2 2 22 3 4 5)( )( )( ).x x x

�0

32 (UERJ) A figura representa o gráfico de um polinômio e de uma reta r que lhe é secante nos pontos A(2, 23) e B(4, 15).a) Determine o resto da divisão de P(x) por x 2 4.b) Mostre que a reta r representa graficamente o resto da divisão de P(x) por (x 2 2)(x 2 4).

33 (UEL-PR) Considere os polinômios p(x) 5 2x 1 1 e q(x) 5 x3 2 x. É correto afirmar:a) Os polinômios p(x) e q(x) não possuem raiz em comum.b) O gráfico de p(x) intercepta o gráfico de q(x).c) O polinômio p(x) possui uma raiz dupla.d) O resto da divisão de q(x) por p(x) é diferente de zero.e) O polinômio q(x) possui uma raiz dupla.

2

4�3

15

A

B

ry

x

15

Resolução:Analisando o gráfico:a) P(4) 5 15; logo, o resto da divisão de P(x) por (x 2 4) é 15.b) P(x) 5 Q(x) ? D(x) 1 R(x); D(x) 5 (x 2 2)(x 2 4) gr(P) 5 3, pois o gráfico de P corta o eixo Ox em 3 pontos. gr(D) 5 2 e gr(R) < 1 ou R(x) 5 0 R(x) 5 ax 1 b

P(x) 5 (x 2 2)(x 2 4) ? Q(x) 1 ax 1 b

Pelo gráfico: P(2) 5 23 ⇒ (2 2 2)(2 2 4) ? Q(2) 1 2a 1 b 5 23 P(4) 5 15 ⇒ (4 2 2)(4 2 4) ? Q(4) 1 4a 1 b 5 15

2a 1)

4a2a 9 e b 21; log

1 5 2 2

1 5

5 5 5 2

b

ba

3

1518

(

⇒ oo, R(x) 9x (I)

Vamos encontrar a equação

5 2 21

dda reta que passa por (4, 15) e (2, ):23x y 11

4 15 1

2 3

0 9 21

2

5 5 2

1

(II)

Comparando (I) e (I

⇒ y x

II), verificamos que representa o resto dr aa divisão de P(x) por (x 2)(x 4).2 2

Resolução:p(x) 5 2x 1 1 q(x) 5 x3 2 xraiz: p(x) 5 0 raízes: x3 2 x 5 0 2x 1 1 5 0 x(x 1 1)(x 2 1) 5 0 x 5 1 x 5 0 ou x 5 21 ou x 5 1a) Não, pois p(x) e q(x) possuem a raiz 1 em comum.b) Sim, pois os gráficos de p(x) e q(x) se interceptam no ponto (1, 0).c) Não, pois p(x) possui uma única raiz.d) Não, pois q(x) 5 (2x2 2 x) ? p(x).e) Não, pois as três raízes de q(x) são simples.

��

34 (Vunesp-SP) Considere um polinômio da forma f(x) 5 x3 1 (cos u)x.Sendo i a unidade imaginária, demonstre que f(x) é divisível por x 2 i (sobre o corpo dos complexos) se, e somente se, u 5 2kp (k ⁄Z).

35 (Fuvest-SP) P(x) é um polinômio de grau > 2 e tal que P(1) 5 2 e P(2) 5 1.Sejam D(x) 5 (x 2 2)(x 2 1) e Q(x) o quociente da divisão de P(x) por D(x).a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x).b) Sabendo que o termo independente de P(x) é igual a 8, determine o termo independente de Q(x).

36 (Unifor-CE) Sejam os polinômios f(x) 5 (3a 1 2)x 1 2 e g(x) 5 2ax 2 3a 1 1 nos quais a é uma constante. O polinômio f ? g terá grau 2 se, e somente se:

a) 0 e a c) 0 e) 0 e a

b) 13

e a

a a a

a

2

2

13

23

233

23

d) a 2

2x 1 352

Resolução:f(x) 5 x3 1 (cos u)xf(i) 5 i3 1 i cos u ⇒ f(i) 5 2i 1 i cos u ⇒ f(i) 5 2i(1 2 cos u) (I) Se f(x) é divisível por (x 2 i), temos: f(i) 5 0, ou 2i(1 2 cos u) 5 0; como 2i 0, então: 1 2 cos u 5 0. Logo, cos u 5 1, ou seja, u 5 2kp (k ⁄Z). (II) Se u 5 2kp (k ⁄Z), então: cos u 5 1, ou seja, cos u 2 1 5 0. Logo, f(i) 5 0, isto é, f(x) é

divisível por (x 2 i).

Resolução:a) Seja R(x) o resto da divisão de P(x) por D(x).

Como D(x) é um polinômio de grau 2, podemos concluir que R(x) é da forma ax 1 b, em que a e b são constantes.

Então, temos:

P(x) (x 2) (x 1)

D(x)

Q(x) ax b

R(x)

2 ? 2 ? 1 1� ��� ��� ����

P(1)P(2) 2a

Resolvendo o sis

5 1 5

5 1 5

2 21 1

⇒⇒

a bb

ttema2a

a, obtemos:

a 1 e bPo

1 5

1 5

5 2 5

b

b

1

23

.rrtanto, o resto da divisão de P(x) por D(x)) é

2 1x 3.

Resolução:O polinômio f ? g terá grau 2 se: (3a 1 2) ? 2a 0.6a 4a 2a(3a 2)

2a 3a

2 1 1

1

2

0 00 2 0

0 23

⇒

a a

b) O termo independente de P(x) é 8, isto é, P(0) 5 8. Do item a, temos que:

P(x) (x 2)(x 1) Q(x) 3;então, P(0) (0 2)(

2 2 ? 2 1

5 2

x22 1) Q(0) 0 3,

ou seja, P(0) Q(0)

Logo,

2 ? 2 1

5 ? 12 3.

2 Q(0) Q(0)

Portanto, o termo inde

? 1 5 53 8 52

.

ppendente de Q(x) é 52

.

p. 78

��

37 (Unicamp-SP) O polinômio P(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 2 satisfaz as seguintes condições:P(

P(x) P( x

, qualquer que se3

2 5

2 2 5

1 0)

)

e

x

jja real. Então:x

a) P(1) 5 21 c) P(2) 5 0 e) P(2) 5 12b) P(1) 5 0 d) P(2) 5 28

38 (FGV-SP) Sendo P(x) 5 4x6 1 2x5 2 2x4 1 x3 1 ax2 1 bx 1 e G(x) 5 2x3 1 x2 2 2x 1 1, determine os valores de a, b e que tornam P(x) divisível por G(x) e também o polinômio Q(x), quociente da divisão de P(x) por G(x).

39 (MACK-SP) Se P(x) = 2x2 1 kx 1 2 é divisível por x 1 2, então 2k vale:a) 32 c) 8 e) 4b) 16 d) 64

Resolução:

P P a b c( ( ( ( (2 5 2 5 ? 2 1 ? 2 1 ?1) 1) 1) 1)3 20 ⇒ 22 1 5 2 1 2 5 2

2 2 5 1 1

1)P(x) x) (ax bx cx3 2

2 0 23

⇒⇒

a b cP x( 11 2 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 5

1

2) [a x) b x) c x) 2]

ax bx

3 2

3 2

( ( ( x3 ⇒⇒ 11 1 1 2 1 2 5

1 55 5

cx 2 ax bx cx x

2ax 2cx2a

3 2 3

3

2

13

⇒

⇒ ⇒⇒

xa 11

22c

Log

5 5

2 1 2 5 2 5 2 1 5 2

0 012

0 2 2 12

32

⇒

⇒

c

b b

( )oo, P(x) 2. Então:

P(1)

P

5 2 1

5 2 1 5

12

32

12

32

2 1

3 2x x

((2) P(2)5 ? 2 ? 1 5 2 1 5 512

8 32

4 2 4 6 2 0 0⇒

a 5 23; b 5 3; 5 21 e Q(x) 5 2x3 1 x 2 1

Resolução:Se P(x) é divisível por x 1 2, então P(22) 5 0:2 ? (22)2 1 k ? (22) 1 2 5 0 ⇒ 8 2 2k 1 2 5 0 ⇒ k 5 5, daí: 2k 5 25 5 32.

Resolução:

4x 2x 2x x x x 2x6 5 4 3 21 2 1 1 a 1 b 1 1 2 12 3 2x x 11

2 2 132 2 1 2 1 2 5

2 1 a 1 b

4x 2x 4x x Q(x)

2x x x x

6 5 4 3

4 3 2

x x

11

2 2 1 2

2 1 a 1 1 b 2 1

1

2x x x x

2x ( 2)x ( 1)x2x x

4 3 2

3 2

3 2

2

22 1

a 1 1 b 2 1 1

2

1

x 1

( 3)x ( 3)x

Se P(x) é divisível

2

por G(x), o resto é zero; logo:3 3a 1 5 b 2 50 0 1 5

a 5 2 b 5 5 2

13

03 1

��

40 (UFU-MG) Considere o polinômio P(x) 5 3x3 2 x2 1 ax 1 9, em que a é uma constante real. Se P(x) é divisível por x 1 3, então ele também é divisível por:a) x2 1 9 c) 3x2 1 10x 2 3 e) 3x2 2 9b) x2 2 9 d) 3x2 1 10x 1 3

41 (MACK-SP) Se o polinômio P(x) 5 x3 1 3x2 1 a 2 2b é divisível por (x 2 a)2 ? (x 2 b), então o produto dos números reais a e b é:a) 22 c) 23 e) 3b) 4 d) 2

Resolução:

Se P(x) é divisível por (x a) (x22 ? 22 b), suas raízes são , e . Aplicando aa a b ss relações de Girard, temos:a a b

a a a

1 1 5 2

? 1 ?

3

bb a b

a

b

a1 ? 5

5 2 1

1 5 2 5 2 2

10

3 32

a b 2b

2a b 2a

2a2

⇒⇒

bb

a b a 2b

Substituindo na segunda e

2

5

5 2 1

0

qquação, teremos:

a 2 2a) a 6a 4a2 2 21 2 2 5 2 2 5a( 3 0 0⇒ ⇒⇒⇒ ⇒ ⇒2 2 5 2 1 5 5 5 2

5 2

3a 6a 3a(a 2) 0 0 ou a

Com

2 0 22

aa

oo b 2a, teremos: b 2) 1.O prod

5 2 2 5 2 2 ? 2 53 3 2 ( ⇒ buuto a b será 2) 1, ou seja,? 2 ? 2( .2

Resolução:Se P(x) é divisível por x 3, P 31 2( )) 0:P 3) 3 3) 3) 3) 33 2

5

2 5 ? 2 2 2 1 ? 2 1 5 2 2 2( ( ( (a 9 0 81 9⇒ aaP(x) 3x x 27x

x 27x 9

3 2

1 5 5 2

5 2 2 1

2 2 1 1

9 0 279

3 3 2

⇒ a

x x 33

3 3

9

3 22 2 2 1

2 2 1

1

1

2

x 9x 3x 10x

10x 27x10x 30x

3x 9

2

2

2

33x 92

0

3 3 0100 3664

10 86

3

13

2x

x

x

x

2 1 5

D 5 2

D 5

5

5

5

5

10x

3 x2 22 1 5 2 2103

1x( ) ( )3(x 3) x 13

Portanto, P(x) é diviisível por 3(x 3)(x 3)

(x 9)

x2

1 2

2

2� ��� ���13( ).

PP(x) é divisível por x2 2 9.

��

42 (UA-AM) Se o polinômio P(x) 5 x3 1 2x2 1 mx 1 n é divisível por H(x) 5 x2 1 x 1 1, então o valor de m 1 m é:a) 1 c) 3 e) 8b) 2 d) 5

43 (FGV-SP) O gráfico representa a função polinomial P(x) 5 x3 2 2x2 2 49x 1 98.Sendo r, s, t e 2 as únicas intersecções do gráfico com os eixos,

o valor de rst

é:

a) 25 c) 23 e) 21b) 24 d) 22

r

s 2 t0

y

x

44 (Unifesp-SP) Dividindo-se os polinômios p1(x) e p2(x) por x 2 2, obtêm-se, respectivamente, r1 e r2 como restos.

Sabendo-se que r1 e r2 são os zeros da função quadrática y 5 ax2 1 bx 1 c, conforme o gráfico, o resto da divisão do polinômio produto p1(x) ? p2(x) por x 2 2 é:

a) 3 c) 8 e) 21 b) 5 d) 15

y

x0 3 5

y � ax2 � bx � c

Resolução:Se P(x) é divisível por H(x), o reesto da divisão é igual a zero, logo:

2xx3 1 22 mx

x

(m 1)x1

(

1 1 1 1

2 2 2 1

1 2 1

2 2 2

n x x

x x x

x nx x

2

3 2

2

2

1

1

mm 2)x

Então: m n

Portanto,

2 1 2

2 5 2 5

5 5

n

em n

1

2 0 1 02 1

m 1 5 1 5n 2 1 3.

Resolução:Do gráfico, s, 2 e t são raízes de P(x).P(0) 5 03 2 2 ? 02 2 49 ? 0 1 98 5 98 5 r

Por uma das relações de Girard: s ? ? 5 221

t r r⇒ss t?

5 22.

Resolução:Sendo r1 e r2 os zeros da função, e sabendo que a abscissa do vértice da parábola é 5, temos: r r

71 215 5

25 2⇒ r

Desse modo, podemos afirmar que r1 5 p1(2) 5 3 e r2 5 p2(2) 5 7, e também que o resto da divisão de p1(x) ? p2(x) por x 2 2 será p1(2) ? p2(2) 5 3 ? 7 5 21.

��

45 (MACK-SP) ax 5x ax 4 x 4Q(x)r(x)

4 2 21 2 1 2

Considerando o resto r(x) e o quociente Q(x) da divisão acima, se r(4) 5 0, Q(1) vale:a) 1 c) 25 e) 2b) 23 d) 24

46 (IBMEC) Um polinômio de 7o grau p(x), com coeficientes reais, é divisível pelos polinômiosq(x) 5 2x2 2 9 e r(x) 5 x2 1 3x 1 4. Se n é o número de raízes reais do polinômio p(x), então:a) n 5 3 ou n 5 5 c) 2 < n < 4 e) n > 5b) n 5 4 ou n 5 6 d) n < 3

Resolução:p(x) é divisível por q(x) (de grau 2), r(x) (de grau 2) e por s(x) de grau 3; q(x) tem duas raízes reais; r(x) não tem raízes reais (D , 0), apenas complexas e s(x) pode ter uma ou três raízes reais, pois o número de raízes complexas é sempre par (Teorema das Raízes Complexas).Assim, p(x) pode ter 3 raízes reais (se s(x) tiver apenas uma) ou 5 raízes reais (se s(x) tiver três raízes).

Resolução:Efetuando a divisão, encontraremoss:

5x

4ax ax (5 4a)

4a

2

2 2

ax ax x

ax

4 2

4

4 4

5

1 2 1 2

2 1 1 1

1( ))x ax4a)x 4(5 4a)

24 16aSe r(4)

2

2

2 1

2 1 1 1

2 1 1

45(

ax55 2 ? 1 1 5 5 2 5 20, temos: 16a 12a

Assima a4 24 0 24 2⇒ ⇒

:: Q(x) 2x 3, então Q(1) 325 2 2 5 2 ? 2 5 22 1 53 .

��

47 (MACK-SP) Se as três raízes reais, não necessariamente distintas, do polinômiop(x) 5 x3 2 a3x2 1 ax 2 1, a IR, formam uma progressão geométrica, então o valor de a 2 a3 é:a) 22 c) 0 e) 2b) 21 d) 1

48 (ITA-SP) Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 2 i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 10 e 240. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são:

a) 1936

, 3, 32

c) 4, 2, 8 e) 1, 2, 5

b)

32

1936

2 1 2 2

22 4 3 4 32 1 2, 2, 2 d) 2, 3, 8

Resolução:Se p admite 1 2 i como raiz dupla, também admitirá (como raiz dupla) o número 1 1 i (Teorema das Raízes Complexas). Se as três raízes reais restantes formam uma PA, podem ser escritas na forma x 2 r, x, x 1 r, em que r é a razão da PA.Sabendo que a soma de todas as raízes é 10, temos:(1 1 i) 1 (1 1 i) 1 (1 2 i) 1 (1 2 i) 1 (x 2 r) 1 x 1 (x 1 r) 5 10 ⇒ 4 1 3x 5 10 ⇒ x 5 2Sabendo também que o produto de todas as raízes é 240, temos:(1 1 i)2 ? (1 2 i)2 ? (2 2 r) ? 2 ? (2 1 r) 5 240 ⇒ (2i) ? (22i) ? (4 2 r2) ? 2 5 240 ⇒ ⇒ 4 2 r2 5 25 ⇒ 2r2 5 29 ⇒ r 5 3As raízes do polinômio são: 21, 2 e 5.

Resolução:

Se as três raízes do polinômio esttão em PG, podem ser escritas na forma xq

, x, x q, onde é a

razão da PG.

Por uma das

? q

relações de Girard, temos xq

? ? ? 522x x q ( )1

1;; logo, x 1 ou x

Como 1 é uma das raíze

3 5 5 1.

ss do polinômio p(x), então p(1) , desse m5 0 oodo:1 a 1 a3 3 2 32 ? 1 ? 2 5 2 1 5 2 5a a a a1 1 0 0 03⇒ ⇒