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APRESENTAÇÃO

Este módulo faz parte da coleção intitulada MATERIAL MODULAR, destinada às três

séries do Ensino Médio e produzida para atender às necessidades das diferentes rea-

lidades brasileiras. Por meio dessa coleção, o professor pode escolher a sequência que

melhor se encaixa à organização curricular de sua escola.

A metodologia de trabalho dos Modulares auxilia os alunos na construção de argumen-

tações; possibilita o diálogo com outras áreas de conhecimento; desenvolve as capaci-

dades de raciocínio, de resolução de problemas e de comunicação, bem como o espírito

crítico e a criatividade. Trabalha, também, com diferentes gêneros textuais (poemas,

histórias em quadrinhos, obras de arte, gráficos, tabelas, reportagens, etc.), a fim de

dinamizar o processo educativo, assim como aborda temas contemporâneos com o ob-

jetivo de subsidiar e ampliar a compreensão dos assuntos mais debatidos na atualidade.

As atividades propostas priorizam a análise, a avaliação e o posicionamento perante

situações sistematizadas, assim como aplicam conhecimentos relativos aos conteúdos

privilegiados nas unidades de trabalho. Além disso, é apresentada uma diversidade de

questões relacionadas ao ENEM e aos vestibulares das principais universidades de cada

região brasileira.

Desejamos a você, aluno, com a utilização deste material, a aquisição de autonomia

intelectual e a você, professor, sucesso nas escolhas pedagógicas para possibilitar o

aprofundamento do conhecimento de forma prazerosa e eficaz.

Gerente Editorial

Noções de Estatística

© Editora Positivo Ltda., 2013Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.

DIRETOR-SUPERINTENDENTE: DIRETOR-GERAL:

DIRETOR EDITORIAL: GERENTE EDITORIAL:

GERENTE DE ARTE E ICONOGRAFIA: AUTORIA:

ORGANIZAÇÃO:EDIÇÃO DE CONTEÚDO:

EDIÇÃO:ANALISTAS DE ARTE:

PESQUISA ICONOGRÁFICA:EDIÇÃO DE ARTE:

ILUSTRAÇÃO:PROJETO GRÁFICO:

EDITORAÇÃO:CRÉDITO DAS IMAGENS DE ABERTURA E CAPA:

PRODUÇÃO:

IMPRESSÃO E ACABAMENTO:

CONTATO:

Ruben FormighieriEmerson Walter dos SantosJoseph Razouk JuniorMaria Elenice Costa DantasCláudio Espósito GodoyJorge Luiz Farago / Lucio Nicolau dos Santos CarneiroÂngela Ferreira Pires da TrindadeÂngela Ferreira Pires da TrindadeRose Marie Wünsch / Paula Garcia da RochaGiselle Alice Pupo / Tatiane Esmanhotto KaminskiTassiane SauerbierAngela Giseli de SouzaDivo / Jack ArtO2 ComunicaçãoSérgio Roberto Gonçalves dos Reis© iStockphoto.com/Jorge Delgado; © iStockphoto.com/Dario Sabljak; LatinStock/Corbis/DK Limited Mary Evans Picture Library; © 2001-2009 HAAP Media Ltd/KlausPost; P. Imagens/PithEditora Positivo Ltda.Rua Major Heitor Guimarães, 17480440−120 Curitiba – PRTel.: (0xx41) 3312−3500 Fax: (0xx41) 3312−3599Gráfica Posigraf S.A.Rua Senador Accioly Filho, 50081300−000 Curitiba – PRFax: (0xx41) 3212−5452E-mail: [email protected]@positivo.com.br

Todos os direitos reservados à Editora Positivo Ltda.

Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)

(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)

Neste livro, você encontra ícones com códigos de acesso aos conteúdos digitais. Veja o exemplo:

Acesse o Portal e digite o código na Pesquisa Escolar.

@MAT809Cubos

@MAT809

F219 Farago, Jorge Luiz.Ensino médio : modular : matemática : noções de estatística / Jorge Luiz

Farago, Lucio Nicolau dos Santos Carneiro ; ilustrações Divo, Jack Art. – Curitiba : Positivo, 2013.

: il.

ISBN 978-85-385-7228-2 (livro do aluno)ISBN 978-85-385-7229-9 (livro do professor)

1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos. I. Carneiro, Lucio Nicolau dos Santos. II. Divo. III. Jack Art. IV. Título.

CDU 373.33

SUMÁRIO

Unidade 1: Estatística I

Variáveis 5

Frequência absoluta e relativa 6

Análise e interpretação de gráficos e tabelas 8

Medidas de tendência central 12

Medidas de dispersão 18

Unidade 2: Estatística II

Tabela de distribuição de frequência com dados

agrupados em intervalos de classe 24

Histograma 28

Medidas de tendência central para dados agrupados em classe 29

Medidas de dispersão para dados agrupados em classe 34

Noções de Estatística4

O grande livro da natureza foi escrito com símbolos matemáticos.

Galileu Galilei

In: STEWART, Ian. Incríveis passatempos matemáticos. Tradução de Diego Alfaro. Rio de Janeiro: Zahar, 2010. p. 108.

Estatística I1

Ensino Médio | Modular 5

MATEMÁTICA

A Estatística é a área da Matemática que trabalha com a coleta, a organização, o tratamento e a análise de dados coletados com o objetivo de observar tendências, realizar previsões e ajudar na tomada de decisões.

Variáveis

Um estudo estatístico começa pela escolha de uma população. Por motivos diversos (como falta de tempo ou uma população muito grande) restringe-se esse estudo a uma amostra, ou seja, a um subconjunto.

Depois disso, definem-se propriedades ou características a serem estudadas por meio da amostra, que deve conter elementos com os mesmos aspectos da população em números proporcionais aos existentes na população. A escolha dos elementos da amostra deve ser ampla e aleatória.

Essas propriedades ou características de uma amostra são denominadas de variáveis. Logo, as variáveis são os possíveis resultados de um fenômeno a serem investigados em uma população.

As variáveis podem ser:Qualitativas: são aquelas que apresentam uma característica, qualidade ou preferência dos elementos da população. Exemplos: sexo, raça, meio de transporte, etc.Quantitativas: são aquelas representadas por números. Altura, preço, etc.

As variáveis quantitativas podem ser divididas em:Contínuas: no intervalo de variação, essas variáveis podem assumir qualquer valor e relacionam--se, geralmente, a medições. Por exemplo: altura, tempo, massa, etc. Discretas: assumem apenas valores inteiros e relacionam-se, geralmente, a contagens. Por exemplo: número de pessoas, número de vezes por semana que uma pessoa pratica atividades físicas, número de carros, etc.

Variáveis

discretas e

contínuas

@MAT2255

A Estatística

[...]A palavra estatística surge, pela primeira vez, no século XVIII. Alguns autores atribuem esta origem

ao alemão Gottfried Achemmel (1719-1772), que teria utilizado pela primeira vez o termo statistik, do grego statizein; outros dizem ter origem na palavra “estado”, do latim status, pelo aproveitamento que dela tiravam os políticos e o Estado.

[...]Na sua origem, a Estatística estava ligada ao Estado. Hoje, não só se mantém esta ligação, como

todos os Estados e a sociedade em geral dependem cada vez mais dela. Por isso, em todos os Estados existe um Departamento ou Instituto Nacional de Estatística.

Na atualidade, a Estatística já não se limita apenas ao estudo da Demografia e da Economia. O seu campo de aplicação alargou-se à análise de dados em Biologia, Medicina, Física, Psicologia, Indústria, Comércio, Meteorologia, Educação, etc., e ainda a domínios aparentemente desligados, como estrutura de linguagem e estudo de formas literárias.

EDUC. A Estatística. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm24/introducao.htm#Historia>. Acesso em: 22 dez. 2011.

O estudo estatístico foi iniciado com a coleta, contagem e classificação dos dados de uma amostra. A seguir, será abordada uma forma de organizar esse estudo em tabelas. Elas são denominadas tabelas de distribuição de frequências, pois abordam dois tipos de frequências: a frequência absoluta e a frequência relativa.

O segundo turno das eleições no Brasil ocorre em cidades com mais de 200 000 eleitores e se nenhum candidato obtiver mais do que a metade dos votos válidos, ou seja, o total de votos excluindo-se os votos nulos e brancos.

No segundo turno das eleições presidenciais em 2010, os candidatos Dilma Rousseff e José Serra disputaram a preferência dos votos do eleitor brasileiro. A candidata Dilma Rousseff venceu a eleição. Observe o resultado da votação do segundo turno:

Qual a diferença de votos da Dilma Rousseff em relação a José Serra?

Qual a porcentagem que corresponde a essa di-ferença?

Número de votos Porcentagem

Dilma Rousseff 55 752 529 56,05

José Serra 43 711 388 43,95

Qual é o total de votos válidos do 2o. turno da eleição de 2010?


Frequência absoluta e relativa

Uma escola realizou uma eleição em uma turma do 9o. ano do Ensino Fundamental para escolher os oradores, que vão representar os alunos na solenidade de formatura. Para orador, concorreram João Pedro e Rafael, e, para oradora, concorreram Maria Eduarda e Giovana. Os alunos poderiam votar no período da manhã ou da tarde. Com isso, a escola dividiu a votação em dois horários com uma urna em cada horário: manhã e tarde.

Os alunos poderiam votar em um candidato e uma candidata em um dos períodos. Os resultados das urnas foram:

Manhã

João Pedro 18 votos

Rafael 12 votos

Maria Eduarda 14 votos

Giovana 16 votos

Tarde

João Pedro 9 votos

Rafael 11 votos

Maria Eduarda 16 votos

Giovana 4 votos

Ensino Médio | Modular

FÍSICA

7

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Escreva, na tabela a seguir, o número de votos de cada candidato e aponte os vencedores da eleição:

Orador

João Pedro

Rafael

Oradora

Maria Eduarda

Giovana

2. Quantos alunos participaram dessa eleição?

3. Determine a porcentagem de votos de cada candidato e complete a tabela:

Orador

João Pedro

Rafael

Oradora

Maria Eduarda

Giovana

Nas tabelas, foram colocados os números de votos e o percentual de cada candidato. O número de votos de cada candidato é denominado frequência absoluta e o percentual de cada candidato é a frequência relativa.

A frequência absoluta de uma variável, denominada fa, é o número de vezes em que ela ocorre.A frequência relativa de uma variável é o quociente entre a frequência absoluta e o total de dados da amostra.

É determinada por:

ff

total de dados da amostrara= ⋅ 100 (em porcentagem)

1. Em uma sala de 2a. série do Ensino Médio, no início e no final do ano foi feito um levanta-mento sobre as idades dos alunos e observa-ram-se os dados tabulados a seguir:

Início do ano

Idade (anos) Número de alunos

15 4

16 24

17 12

Fim do ano

Idade (anos) Número de alunos

16 16

17 18

18 6

a) Qual é o número de alunos dessa sala?

b) Determine a frequência relativa em cada ta-bela para cada idade.

2. Em um escritório, os salários dos funcioná-rios, em reais, foram dispostos conforme a seguir:

850, 850, 950, 1 000, 950, 850, 710, 950, 950, 850, 710, 1 250, 950, 850, 950, 1 250, 950, 850, 1 000, 710, 950, 1 000, 710, 1 250, 950.

Construa uma tabela com as frequências abso-luta e relativa.


Análise e interpretação de

gráficos e tabelas

A representação gráfica de um conjunto de dados é um recurso muito importante para analisar e interpretar um estudo estatístico.

3. Em uma pesquisa feita com as famílias sobre o número de filhos, constatou-se que:

Número de filhos por família Número de famílias

Mais de 3 filhos 2

3 filhos 42

2 filhos 120

1 filho 66

Nenhum filho 20

Determine a frequência relativa do número de famílias para cada classe.

4. (ENEM) No quadro seguinte, são informados os turnos em que foram eleitos os prefeitos das capitais de todos os estados brasileiros em 2004:

Cidade Turno

1 Aracaju (SE) 1.o

2 Belém (PA) 2.o

3 Belo Horizonte (MG) 1.o

4 Boa Vista (RR) 1.o

5 Campo Grande (MS) 1.o

6 Cuiabá (MT) 2.o

7 Curitiba (PR) 2.o

8 Florianópolis (SC) 2.o

9 Fortaleza (CE) 2.o

10 Goiânia (GO) 2.o

11 João Pessoa (PB) 1.o

12 Macapá (AP) 1.o

13 Maceió (AL) 2.o

14 Manaus (AM) 2.o

15 Natal (RN) 2.o

16 Palmas (TO) 1.o

17 Porto Alegre (RS) 2.o

18 Porto Velho (RO) 2.o

19 Recife (PE) 1.o

20 Rio Branco (AC) 1.o

21 Rio de Janeiro (RJ) 1.o

22 Salvador (BA) 2.o

23 São Luís (MA) 1.o

24 São Paulo (SP) 2.o

25 Teresina (PI) 2.o

26 Vitória (ES) 2.o

ALMANAQUE Abril, Brasil 2005. São Paulo: Abril, 2005.

Na Região Norte, a frequência relativa de eleição dos prefeitos no 2o. turno foi aproximadamente:

a) 42,86%

b) 44,44%

c) 50,00%

d) 57,14%

e) 57,69%

FÍSICAFÍSICAMATEMÁTICA

1. No jornal Gazeta do Povo de 10/12/2007, foi publicada uma matéria sobre obesidade. Parte dessa matéria está colocada a seguir.

Com base nas informações do infográfico, marque V ou F conforme os itens sejam verda-deiros ou falsos:

a) ( ) Uma pessoa com IMC igual a 20 não pode ter 180 kg.

b) ( ) Mais de 50% das pessoas que sofrem de obesidade mórbida têm doenças nas ar-ticulações.

c) ( ) O Sul, percentualmente, tem mais pes-soas com obesidade mórbida que a média nacional.

d) ( ) No Brasil, 1 entre cada 200 pessoas está abaixo do peso.

2. Em uma determinada universidade, de cada 200 alunos que são aprovados no vestibular, tem-se:

80%

20%

5%

% d

os a

lunos

Diplomadosna graduação

Diplomadosno mestrado

Diplomadosno doutorado

Nível de graduação

Com base no número de alunos que se formam na graduação, qual é a porcentagem que obtém o di-ploma de doutor?

Abaixo do peso

Peso normal

Sobrepeso

Obesidade leve

Obesidade moderada

Obesidade mórbida

5%

32%

51%

8,5%

0,6%

3%

Brasil

Abaixo do peso

Peso normal

Sobrepeso

Obesidade leve

Obesidade moderada

Obesidade mórbida

3%

32%

48%

9%

1,4%

5%

Sul

Felicidade

Peso normal

Sobrepeso

Obesidade leve

Obesidade mórbida

77%

82%

78%

29%

Estudo comprovou o que os especialistas já

desconfiavam. O ditado que diz que «os gordinhos

são mais felizes» é uma falácia.

Principais problemas de saúdepara o obeso mórbido

Hipertensão

Doença nas articulações

Doenças vasculares

Depressão

Colesterol elevado

70%

36%

34%

27%

24%

Pesonormal

Sobrepeso Obesidadeleve

Obesidademoderada

Obesidademórbida

IMC 18,5 25 30 35 40

Cálculo do Índice de Massa Corpórea para adultos (IMC)

Os indivíduos caracterizados como obesos mór-bidos são aqueles que apresentam o Índice de Massa Corpórea (IMC) acima de 39,9. Aqueles que possuem IMC acima de 35 e, ao mesmo tempo, sofrem de outras doenças associadas também são considerados obesos mórbidos.

IMCPeso

Altura x Alturaem kg

em metros em metros

= ( )

( ) ( )


GAZETA DO POVO, Curitiba, 10 dez. 2007.

10 Noções de Estatística

3. O gráfico a seguir mostra o valor de uma ação nos 10 primeiros dias de um mês:

1. De acordo com o gráfico a seguir, marque V para os itens verdadeiros e F para os falsos:

Fonte: ONU. World Urbanization Prospects. New York: ONU, 2008.

a) ( ) A Europa terá uma redução para menos

de 14

da população urbana no período

de 1950 a 2050.

b) ( ) A Oceania não teve e nem terá variação na população urbana no período consi-derado.

c) ( ) As Américas tiveram crescimento na po-pulação urbana em relação à população urbana mundial de 1950 para 2007.

d) ( ) As Américas em 2007 tinham 22% do total da população urbana.

e) ( ) O crescimento da população urbana na África diminuiu no período considerado.

Sobre o gráfico, marque V para verdadeiro e F para falso:

a) ( ) Uma pessoa que investiu nessa ação, no 1.o dia do mês, ao final de 10 dias teve lucro.

b) ( ) Uma pessoa que investiu nessa ação no 4.o dia e vendeu no 6.o dia não teve lucro, nem prejuízo.

c) ( ) Houve duas quedas do valor da ação nesses 10 dias.

d) ( ) Uma pessoa que investiu nessa ação no 1.o dia do mês e vendeu no 5o. dia teve prejuízo.

e) ( ) A ação valorizou mais de 300% nesses 10 dias.


FÍSICA

11

FÍSICAMATEMÁTICA

2. Uma matéria da revista Veja de 30 de julho de 2008 apresentava os seguintes dados:

Edito

ra A

bril/

Veja

*Os dados se referem a hospitais particulares no Brasil.

LOPES, Adriana Dias. Aos 60 com pique de 50. Veja, São Paulo, ed. 2071, 30 jul. 2008.

Com base nesses dados, julgue os itens a seguir com V para verdadeiro e F para falso:

a) ( ) O número de brasileiros com 75 anos que apresentam cinco doenças crônicas é maior que o número de brasileiros com 60 anos que apresentam pelo menos três doenças crônicas.

b) ( ) Dos 60 anos aos 75 anos, o aumento do percentual de mortes causadas por doen-ças crônicas é de 20%.

c) ( ) A quantidade de remédios ingeridos dia-riamente dobrou das pessoas que têm 60 anos para as pessoas que têm 75 anos.

d) ( ) Existem pessoas que têm 60 anos e que podem ter ficado internadas 8 dias e exis-tem pessoas que têm 75 anos e que po-dem ter ficado internadas 5 dias.

3. (ENEM) Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Do-micílios.

Supondo-se que, no Sudeste, 14 900 estudan-tes foram entrevistados nessa pesquisa, quan-tos deles possuíam telefone móvel celular?

a) 5 513 d) 8 344

b) 6 556 e) 9 536

c) 7 450

4. (ENEM) A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do nú-mero de medalhas de ouro que obteve na com-petição, tendo como critérios de desempate o nú-mero de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistados. Nas Olimpí-adas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir.

Classificação PaísMedalhas

de ouro

Medalhas

de prata

Medalhas

de bronze

Total de

medalhas

8.º Itália 10 11 11 32

9.º Coreia do Sul 9 12 9 30

10.º Grã-Bretanha 9 9 12 30

11.º Cuba 9 7 11 27

12.º Ucrânia 9 5 9 23

13.º Hungria 8 6 3 17

Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem altera-ção no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classi-ficação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004?

a) 13º. b) 12º. c) 11º. d) 10º. e) 9º.

5. (UFMG) Este gráfico representa o resultado de uma pesquisa realizada com 1 000 famílias com filhos em idade escolar:

7%

35%

13%

45%

Legenda

Apenas o pai

Apenas a mãe

O pai e a mãe, juntos

O pai, a mãe e outros, juntos

Responsáveis pela renda familiar

Considere estas afirmativas referentes às famí-lias pesquisadas:

I. O pai participa da renda familiar em menos de 850 dessas famílias.

II. O pai e a mãe participam, juntos, da renda familiar em mais de 500 dessas famílias.

Então, é correto afirmar que:

a) nenhuma das afirmativas é verdadeira;

b) apenas a afirmativa I é verdadeira;

c) apenas a afirmativa II é verdadeira;

d) ambas as afirmativas são verdadeiras.

6. (UNIR − RO) O gráfico abaixo apresenta o des-matamento mensal (em km2) da Amazônia.

A partir das informações contidas no gráfico, marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas.

( ) No período de nov/2007 a mar/2008, a quantidade de área desmatada foi sempre decrescente.

( ) Não houve alteração na quantidade de área desmatada no período de nov/2007 a dez/2007 e no período de abr/2008 a mai/2008.

( ) No período de ago/2007 a ago/2009, o mês em que mais se desmatou pertence ao pri-meiro semestre de 2008.

Assinale a sequência correta:

a) F, V, F

b) F, V, V

c) V, V, F

d) V, F, V

e) F, F, V

Medidas de tendência central

As medidas de tendência central são valores calculados, a partir de uma amostra de dados, que indicam uma tendência para a pesquisa, ou seja, são medidas que caracterizam uma amostra.

Média aritmética M

Em uma universidade, o professor Luis Fernando, que ministra a disciplina de Informática de um curso de Engenharia Civil, estuda a possibilidade de mudar a forma de avaliação dos seus alunos.

Ele realiza 4 provas bimestrais e por meio da média aritmética calcula a média anual de cada

aluno. Se o aluno atingir média maior que ou igual a 7, estará aprovado nessa disci-plina. Se a média for maior que ou igual a 4 e menor que 7, será convocado a fazer uma prova final e se obtiver uma média menor que 4, estará automaticamente reprovado na disciplina.

Para isso ele escolheu o aluno Rodrigo que obteve as notas:

1.o bimestre 2.o bimestre 3.o bimestre 4.o bimestre

8,5 6,5 8,0 5,0

Qual a média anual desse aluno? Ele está aprovado, reprovado ou vai ser convocado para fazer uma prova final?

Cálculo da média

aritmética

@MAT2266


Se um aluno tivesse obtido as notas:

1º. bimestre 2º. bimestre 3º. bimestre 4º. bimestre

9,5 9,5 9,0 0

ele teria sido aprovado?

Qual a sua opinião quanto às notas desse aluno?

A média aritmética, representada por x, de um conjunto de valores x1, x2, x3, ... , xn é deter-

minada por: x = x x x x

nn1 2 3 ...

A média aritmética é a razão entre a soma dos elementos do conjunto e o número de elementos.

O professor Luis Fernando considera que com o decorrer do ano o conteúdo se torna mais impor-tante para os alunos, visto que o aprendizado é fundamental para um bom aproveitamento do cur-

so, logo resolveu atribuir um peso a cada um dos bimestres. Ele atribuiu pesos 1, 2, 3, e 4 para o 1o. , 2o. , 3o. e 4o. bimestres, respectivamente. Dessa forma determine qual será a média anual de Rodrigo.

Qual seria a vantagem para o professor Luis Fernando se aplicasse essa média para avaliar o desempenho dos alunos?

Qual é o cuidado que um aluno deve ter para não ser reprovado ou ter que fazer uma prova final?

Para o aluno que tivesse obtido as notas:

1.o bimestre 2o. bimestre 3o. bimestre 4o. bimestre

9,5 9,5 9,0 0

ele teria sido aprovado?

Método para calcular

a média ponderada

@MAT2263

FÍSICASICAFÍSSMATEMÁTICA


Média ponderada


Se um aluno obtiver a nota 7 em cada um dos bimestres, qual será:

a média aritmética? a média ponderada?

A média aritmética ponderada, representada por xp, de um conjunto de valores x1, x2, x3, ... , xn e no qual cada valor tem o seu respectivo peso (ponderação), p1, p2, p3, ... , pn é determinada por:

xp =⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

+ + + +p x p x p x p x

p p p pn n

n

1 1 2 2 3 3

1 2 3

...

...

A média aritmética ponderada é a razão entre o somatório dos produtos de cada elemento com seu respectivo peso e o somatório dos pesos dos elementos.

Média geométrica

Se um aluno tivesse obtido as notas:


9,5 9,5 9,0 0

Qual seria sua média geométrica? Ele teria sido aprovado?

Qual a sua opinião quanto às notas desse aluno?

Carlos Alberto, um colega de Luis Fernando, sugeriu que ele avaliasse a possibilidade de usar a média geométrica. O professor Luis Fernando pensou em outra forma de avaliar seus alunos. Para as notas do aluno Rodrigo:


8,5 6,5 8,0 5,0

Determine a média geométrica e responda se o Rodrigo seria aprovado.


FÍSICA

15

FÍSICAMATEMÁTICA

A média geométrica, representada por xG, de um conjunto de valores x1, x2, x3, ... , xn é

determinada por: xG = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅x x x xnn

1 2 3 ...A média geométrica é a raiz enésima do produto dos n elementos do conjunto.

1. Em uma escola, cujo regime é trimestral, um alu-no obteve as seguintes notas em Matemática:

1.o trimestre 2.o trimestre

5,0 6,0

A média para aprovação é 7, então qual a nota que esse aluno deve obter no 3o. trimestre, se a média utilizada for:

a) aritmética;

b) aritmética ponderada na qual os pesos dos dois primeiros trimestres é 1 e do 3o. trimestre é 2;

c) geométrica.

2. (EAFA − RS) A média aritmética das idades dos 30 alunos de uma classe é 18 anos. Qual é a soma dessas idades?

a) 540 anos

b) 450 anos

c) 504 anos

d) 405 anos

e) 45 anos

3. Em um escritório de engenharia, o dono, que é en-genheiro, tem na folha de pagamento 20 operá-rios cujo salário é de R$ 800,00 mensais cada um, um mestre de obras cujo salário é R$ 3.000,00 e 4 pessoas que trabalham no setor administrativo e cada uma ganha R$ 2.500,00.

Determine o salário médio do escritório.

4. Um conjunto com 20 números possui a média aritmética igual a 45. Dos números que fazem parte do conjunto, são retirados os números 18 e 54. Qual a média dos números que restaram?

5. Em uma escola de Ensino Médio os 150 alunos da 2a. série, obtiveram média 7 na prova de Ma-temática. Os alunos da turma A tiveram média 6,5 e os alunos da turma B tiveram média 8. Quantos alunos há em cada turma?

6. (UFT − TO) A nota final para uma disciplina de uma instituição de ensino superior é a média ponderada das notas A, B e C, cujos pesos são 1, 2 e 3 respectivamente. Paulo obteve A = 3,0 e B = 6,0. Quanto ele deve obter em C para que sua nota final seja 6,0?

a) 7,0

b) 9,0

c) 8,0

d) 10,0

7. (FGV − SP) Se a média aritmética entre dois nú-meros é 15 e sua média geométrica é 12, então, uma equação cujas duas raízes reais sejam es-ses dois números é:

a) 2x2 – 60x + 37 = 0;

b) x2 – 30x + 120 = 0;

c) x2 – 30x + 144 = 0;

d) x2 + 6x + 120 = 0;

e) 2x2 + 12x – 15 = 0.

8. (URCA − CE) Define-se a média geométri-ca (MG) de n números positivos a1, a2, ..., an, como sendo a raiz n-ésima do produto desses n números, isto é, MG = a a an

n1 2. . ... . . A média

geométrica de 2, 6, 18, ... , 13 122 é:

a) 243

b) 54

c) 1 458

d) 162

e) 486


Moda e medianaM

Uma imobiliária pôs à venda 15 apartamentos cujas áreas estão escritas a seguir:

45 m2 35 m2 40 m2 35 m2 35 m2 40 m2 35 m2

32 m2 35 m2 45 m2 42 m2 41 m2 35 m2 40 m2 35 m2

Apartamentos que possuem a mesma área estão localizados no mesmo condomínio. Com base nos dados da tabela, responda:

a) Em média, a imobiliária está vendendo apartamentos com qual área?

b) Essa medida expressa a realidade quanto às medidas das áreas dos apartamentos vendidos? Justifique:

Agora considere que um apartamento com 950 m2 seja inserido nas ofertas de vendas dessa imobiliária. Determine a área média dos apartamentos vendidos:

Essa medida expressa a realidade quanto às medidas das áreas dos apartamentos vendidos? Justifique:

Em alguns casos a média aritmética não é uma medida conveniente para representar um conjunto de dados. Dessa forma, outras medidas de tendência central são estudadas: a moda e a mediana.

ModaEm um conjunto, a moda é o valor que possui a maior

frequência absoluta, ou seja, o elemento que aparece o maior número de vezes.

Das áreas dos 16 apartamentos ofertados pela imobiliária, determine a moda:

Essa medida expressa, melhor que a média, a realidade quanto à medida da área dos apartamentos vendidos?

Exemplo da

moda em uma

pesquisa

@MAT2271

Identificação da

mediana em uma

pesquisa

@MAT2273


FÍSICA

17

FÍSICAMATEMÁTICA

A moda, representada por mo , de um conjunto de valores x1, x2, x3, ... , xn é aquela que apresenta a maior frequência absoluta.

Quando um conjunto apresenta dois, três, quatro ou mais dados, cujas frequências absolutas sejam as maiores e iguais, o conjunto possui duas, três, quatro ou mais modas. Quando não há moda, é denominado amodal.

Mediana Em um conjunto, a mediana é o valor central quando os

elementos são colocados em ordem crescente (ou decres-cente). Se o número de dados for par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais. Das áreas dos 15 apartamentos ofertados inicialmente

pela imobiliária, determine a mediana:

Das áreas dos 16 apartamentos ofertados pela imobiliá-ria, com a inclusão do apartamento cuja área é 950 m2, determine a mediana:

Essa medida expressa, melhor que a média, a realidade quanto à medida da área dos apartamentos vendidos?

A mediana, representada por me , de um conjunto de valores x1, x2, x3, ... , xn é o valor central quando os dados estão dispostos em ordem crescente (ou decres-cente). Caso o número de dados seja par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais.

1. Para os conjuntos de dados:

a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

b) 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2

c) 8, 5, 1, 4, 8, 7, 6, 5, 9, 9, 1, 9, 0, 7, 3, 2, 6, 9, 4, 0

Determine a moda e a mediana.

2. Em uma loja de sapatos masculinos, há no esto-que 30 pares de tamanho 38, 50 pares de tama-nho 39, 60 pares de tamanho 40, 40 pares de tamanho 41 e 30 pares de tamanho 42. Dessa forma, determine a moda e a mediana.

3. Em uma empresa os salários dos funcionários es-tão apresentados na tabela a seguir.

Número de funcionários Salário (R$)

12 1.500,00

9 2.000,00

3 3.000,00

1 5.000,00

a) Determine a média, a moda e a mediana dos salários.

b) Quantos funcionários devem ser dispensados para que:

a mediana seja 2.500; a moda seja 2.000.

4. (ENEM) Na tabela, são apresentados dados da co-tação mensal do ovo extra branco vendido no ata-cado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

Mês Cotação Ano

Outubro R$ 83,00 2007

Novembro R$ 73,10 2007

Dezembro R$ 81,60 2007

Janeiro R$ 82,00 2008

Fevereiro R$ 85,30 2008

Março R$ 84,00 2008

Abril R$ 84,60 2008

De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nes-se período era igual a:

a) R$ 73,10 d) R$ 83,00

b) R$ 81,50 e) R$ 85,30

c) R$ 82,00

5. (UFRR) Os índices de desemprego constituem um importante indicador para os formuladores da política econômica do País. O gráfico a seguir mostra a evolução da Taxa Média de Desocupa-ção de outubro de 2006 a novembro de 2007, medida pelo IBGE, nas seis regiões metropoli-tanas: Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo e Porto Alegre. Taxa Média de Desocupação é a porcentagem das pessoas desocupadas em relação às pessoas economica-mente ativas.

Com base no gráfico apresentado, pode-se afir-mar que:

a) a média aritmética é igual a 9,4 e a moda é igual a 9,4;

b) a média aritmética é igual a 9,4 e a moda é igual a 8,4;

c) a média aritmética é igual a 9,2 e a moda é igual a 9,4;

d) a média aritmética é igual a 9,4 e a moda é igual a 10,1;

e) a média aritmética é igual a 9,0 e a moda é igual a 9,5.

Desafio

6. (UFJF − MG) Um professor fez o levantamento das notas de uma turma composta de 20 alu-nos. As notas foram obtidas em uma prova cujo valor era 10 pontos. Veja o gráfico a seguir:

Fre

quência

Notas

3 4 5 6 7 8 9

5

4

3

2

1

0

Depois de confeccionado esse gráfico, o pro-fessor percebeu ter errado a nota de um dos alunos e verificou que, feita a correção, a média das notas dessa turma aumentaria em 0,2 pon-to e a moda passaria a ser 7 pontos. A nota que estava errada era:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

O técnico de um time de futsal está acompanhando a sua equipe em um jogo importante, em que a vitória é imprescindível. O jogo está muito equilibrado e para isso ele tem que realizar uma substituição e colocar um jogador que tenha potencial de marcar gols. Há três alternativas de jogadores reservas para colocar no jogo: João, Fábio e Juliano.

O treinador tem os dados dos gols marcados por esses três jogadores nos últimos jogos e decidiu escalar o joga-dor que possui a maior média de gol dos 5 últimos jogos.

Jogador Número de gols dos últimos 5 jogos

1.o jogo 2.o jogo 3.o jogo 4.o jogo 5.o jogo

João 8 12 7 11 12

Fábio 10 10 10 10 10

Juliano 5 15 3 18 9

Medidas de dispersão



Dessa forma responda: Qual dos jogadores deve ser escalado para entrar na partida?

Na sua opinião, qual dos três deveria ser escalado?

Como o treinador não sabia qual deles escalar, foi preciso um critério de desempate. Um dos critérios para isso é medido pela variância e pelo desvio padrão.

Variância e desvio padrão Pode-se perceber que os três jo-

gadores têm a mesma média de gols, porém são resultados diferentes em cada jogo.

Na sua opinião, qual é o jogador mais regular? E o menos regular?

Na tabela a seguir escreva a diferença (em módulo) entre o número de gols de cada jogo e a média de gols.

João Fábio Juliano

Diferença Diferença Diferença

1.o jogo 1.o jogo 1.o jogo





A variância é uma medida de dispersão que indica qual conjunto de valores é mais ou menos regular. Ela é determi-nada utilizando-se as diferenças de cada dado do conjunto e a média.

A variância, representada por v, de um conjunto de valores x1, x2, x3, ... , xn é:

vx x x x x x

n

n=

− + − + + −( ) ( ) ... ( )12

22 2

em que x é a média aritmética dos valores, ou seja:

x = + + + +x x x x

nn1 2 3 ...

Determine a variância de cada jogador:

Qual o jogador com a maior variância? Qual o valor?

Quanto maior é a variância, mais os dados se afastam da média, logo, mais irregular é a amostra.

Qual é a unidade da variância para esse caso?

Para que se obtenha uma medida de dispersão com a uni-dade compatível com a amostra, define-se desvio padrão como sendo a raiz quadrada da variância. Determine o desvio padrão de cada jogador:

O desvio padrão, representado por , de um con-

junto de valores x1, x2, x3, ... , xn é: = v em que v

é a variância do conjunto dos valores.

Cálculo da

variância a partir

de um gráfico

@MAT2254

FÍSICAICAFÍSSMATEMÁTICA


1. Determine a variância e o desvio padrão da amostra: 2, 4, 5, 9.

2. Cinco jogadores que atuam no ataque serão se-lecionados para um importante jogo de decisão, e o técnico pretende colocar os dois jogadores mais regulares. Pelas estatísticas de gols marca-dos por esses 5 jogadores, nos jogos do cam-peonato, temos que o parâmetro que o técnico irá adotar é o do desvio padrão. A diretoria fez um estudo dos gols marcados por esses jogado-res e determinou cada desvio padrão. Os resulta-dos foram os seguintes:

Jogador Desvio padrão

João 2,667

Lucio 0,667

Fábio 4,667

Juliano 2

Luis Fernando 5,667

De acordo com a tabela, o técnico vai escalar:

a) Lúcio e Juliano.

b) João e Juliano.

c) Fábio e João.

d) Fábio e Luis Fernando.

e) Lúcio e Luis Fernando.

3. (ENEM) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Ge-rais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.

Marco Paulo

Matemática 14 8

Português 15 19

Conhecimentos Gerais 16 18

Média 15 15

Mediana 15 18

Desvio padrão 0,32 4,97

O candidato com pontuação mais regular, por-tanto mais bem classificado no concurso, é:

a) Marco, pois a média e a mediana são iguais.

b) Marco, pois obteve menor desvio padrão.

c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da ta-bela, 19 em Português.

d) Paulo, pois obteve maior mediana.

e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

4. (UFCG − PB) Em uma sala de aula do primei-ro ano do Ensino Fundamental, tem-se 1 aluno com idade de 5 anos, m alunos com 7 anos e n alunos com 8 anos. Se a média de idade dos alunos é de 7 anos e a variância das idades é igual a 3/2, determine a quantidade de alunos com idade de 7 anos e a quantidade de alunos com 8 anos.

5. (UFPR) O serviço de atendimento ao consumi-dor de uma concessionária de veículos recebe as reclamações dos clientes via telefone. Tendo em vista a melhoria nesse serviço, foram anota-dos os números de chamadas durante um pe-ríodo de sete dias consecutivos. Os resultados obtidos foram os seguintes:

Dia domingo segunda terça quarta quinta sexta sábado

Número

de

chamadas 3 4 6 9 5 7 8

Sobre as informações contidas nesse quadro, considere as seguintes afirmativas:

I. O número médio de chamadas dos últimos sete dias foi 6.

II. A variância dos dados é 4.

III. O desvio padrão dos dados é 2.

Assinale a alternativa correta.

a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.

b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.

c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

d) Somente a afirmativa I é verdadeira.

e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.


FÍSICA

21

FÍSICAMATEMÁTICA

2

É a área da Matemática que coleta, analisa e interpreta dados numéricos para o estudo de fenômenos naturais, econômicos e sociais. O estatístico planeja e coordena o levantamento de informações por meio de questionários, entrevistas e medições. Organiza, analisa e interpreta os resultados para explicar fenômenos sociais, econômicos ou naturais. Cabe a ele montar bancos de dados para os mais diversos usos, como controle de qualidade da produção de uma indústria, recenseamento populacional, pesquisa eleitoral ou lançamento de produtos no mercado de consumo. Na indústria, acompanha os testes de qualidade, ajuda a fazer previsão de vendas e desenvolve modelos matemáticos para ajustá-los a situações práticas. Em laboratório, cria tabelas para sistematizar os resultados de experimentos e pesquisas.

O mercado de trabalhoNos últimos anos, tem crescido muito a procura por estatísticos. “As empresas enxergaram a diferença que

esse profissional pode fazer. Ele passou a ser reconhecido tanto em órgãos públicos como em privados”, afirma a professora Stela Maris de Jesus Castro, coordenadora do curso de Estatística da UFRJ. A Região Sudeste concentra a maior parte do mercado de trabalho, mas há boas perspectivas também no Sul, especialmente no Rio Grande do Sul, e no Nordeste, na Bahia e em Pernambuco. O formado é contratado por bancos e instituições financeiras para atuar como analista de crédito. Em indústrias, no setor de controle de qualidade, controle orçamentário e contabilidade. Também há boa aceitação em órgãos públicos, em institutos de opinião pública, como o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), e em universidades, para trabalhar como pesquisador.

Salário inicial: R$ 2.000,00 (Rio de Janeiro), R$ 2.500,00 (São Paulo); fonte: Conselho Regional de Estatística 3ª. Região (SP-PRMT- MS).

O cursoConta é o que não falta no currículo, fundamentado em conhecimentos de Matemática, métodos estatísticos,

cálculo e teoria das probabilidades, entre outros. Para isso, é necessário que o estudante tenha raciocínio lógico e muita disposição para lidar com números. Há aulas, também, centradas em metodologia de pesquisa. Entre as matérias aplicadas estão atuária, demografia, sociometria, biometria e econometria. Algumas instituições exigem a apresentação de um trabalho de conclusão de curso (TCC).

Duração média: quatro anos.

O que você pode fazerBioestatísticaDeterminar os métodos e organizar os dados de pesquisas científicas nas áreas de ciências biológicas e da saúde.ComputaçãoElaborar programas de estudos estatísticos.IndústriaAnalisar amostras colhidas nas várias fases de produção, a fim de detectar eventuais erros, e escolher métodos

para aprimorar a qualidade de um produto. Realizar estudos de implantação e expansão de fábricas, controle de estoque e produtividade.

InternetElaborar e gerenciar programas de busca. Montar bancos de dados digitais.Perfil de consumidoresLevantar as características de consumidores de produtos e serviços para agências de publicidade e propaganda

e para departamentos de vendas.Pesquisa clínicaCoordenar e controlar testes de eficácia de medicamentos.PesquisaLevantar as características de consumo de determinada região, classe social ou idade. Montar e gerenciar

bancos de dados com as informações coletadas. Atuar em pesquisas eleitorais.Recursos humanosAnalisar salários e avaliar planos de saúde, fundos de pensão e planos de previdência.Setor financeiroAtuar na área de seguros, análise de risco e avaliação de investimentos e de fluxo de caixa.

GUIA DO ESTUDANTE. Estatística: bacharelado. Disponível em:<http://guiadoestudante.abril.com.br/profissoes/ciencias-exatas-informatica/estatistica-602499.shtml>. Acesso em: 18 set. 2011.

Estatística

Bacharelado

Noções de Estatística

1. (ENEM) Considere que as médias finais dos alu-nos de um curso foram representadas no gráfico a seguir.

Sabendo que a média para aprovação nesse cur-so era maior ou igual a 6,0, qual foi a porcenta-gem de alunos aprovados?

a) 18% b) 21% c) 36%d) 50% e) 72%

2. (FGV – SP) A média aritmética dos elementos do conjunto {17, 8, 30, 21, 7, x} supera em uma unidade a mediana dos elementos desse conjun-to. Se x é um número real tal que 8 < x < 21 e x 17, então a média aritmética dos elementos desse conjunto é igual a

a) 16.

b) 17.

c) 18.

d) 19.

e) 20.

3. (UEAP) Para um candidato ser classificado em um curso de informática, é necessário que ele obte-nha classificações parciais em três áreas. Certo candidato obteve na área A, 18 pontos; na área B, 26 pontos e na área C, 10 pontos. Sabendo-se que os pesos são 5 para a área A, 2 para a área B e 3 para a área C, esse candidato obteve classifi-cação final igual a:

a) 17,2 pontos.

b) 18,3 pontos.

c) 18,6 pontos.

d) 19,1 pontos.

e) 19,3 pontos.

4. (UFPA) A empresa A vende seu produto, a preços progressivos, de acordo com a seguinte tabela:

Número Valor Unitário

de 1 a 1000 R$ 2,00

de 1001 a 5000 R$ 1,80

acima de 5000 R$ 1,60

A empresa B vende o mesmo produto da empre-sa A pelo valor fixo de R$ 1,80.

Uma loja comprou 8 000 unidades da empresa A, então o valor médio unitário foi de:

a) R$ 1,64.

b) R$ 1,65.

c) R$ 1,70.

d) R$ 1,75.

e) R$ 1,76.

5. (IFMT) O gráfico abaixo representa as idades de 15, 16, 17 e 18 anos e as respectivas quantidades de alunos de uma sala de aula do Instituto Fede-ral de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso (IFMT).

A idade média dos alunos da sala de aula:

a) está entre 15 e 16 anos;

b) está entre 16 e 17 anos;

c) está entre 17 e 18 anos;

d) é exatamente 17 anos;

e) é exatamente 16 anos.

6. (UFPR) Um professor de Estatística costuma fazer duas avaliações por semestre e calcular a nota

22


final fazendo a média aritmética entre as notas dessas duas avaliações. Porém, devido a um pro-blema de falta de energia elétrica, a segunda prova foi interrompida antes do tempo previsto e vários alunos não conseguiram terminá-la. Como não havia possibilidade de refazer essa avaliação, o professor decidiu alterar os pesos das provas para não prejudicar os alunos. Assim que Aman-da e Débora souberam da notícia, correram até o mural para ver suas notas e encontraram os seguintes valores:

Nome 1.ª prova 2.ª prova Nota final da disciplina

Amanda 82 52 72,1

Débora 90 40 73,5

Qual foi o peso atribuído à segunda prova?

a) 0,25

b) 0,30

c) 0,33

d) 0,35

e) 0,40

7. (ENEM) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006.

A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilhei-ros das Copas do Mundo?

a) 6 gols.

b) 6,5 gols.

c) 7 gols.

d) 7,3 gols.

e) 8,5 gols.

8. (UNIR − RO) A tabela abaixo apresenta a distri-buição de frequência relativa dos salários de uma empresa com 40 funcionários.

Salário (em reais) Frequência relativa (%)

500 35

1.000 20

1.500 5

2.000 25

4.000 15

A partir dessas informações, é correto afirmar:

a) A Mediana dos salários é igual a R$ 1.650,00.

b) A Moda dos salários é igual a R$ 4.000,00.

c) Um quinto dos trabalhadores dessa empresa recebe salário de R$ 500,00.

d) A Média salarial é igual a R$ 1.550,00.

e) Mais da metade dos trabalhadores dessa em-presa recebem salário superior a R$ 1.500,00.

9. (FUVEST – SP) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positi-vos, é 16. O maior valor que um desses inteiros pode assumir é:

a) 16

b) 20

c) 50

d) 70

e) 100

10. (FGV – SP) O gráfico a seguir indica a massa de um grupo de objetos.

Acrescentando-se ao grupo n objetos de massa 4 kg cada, sabe-se que a média não se altera, mas o desvio padrão se reduz à metade do que era. Assim, é correto afirmar que n é igual a

a) 18.

b) 15.

c) 12.

d) 9.

e) 8.



Estatística II2

Tabela de distribuição de frequência com

dados agrupados em intervalos de classe

Nesta unidade será aprofundado o estudo da Estatística, abordando a construção de distribuições cujas amostras ou a própria população apresentam uma amplitude muito grande.

Em um conjunto residencial, foi feita uma pesquisa cuja finalidade era descobrir quantos dos mora-dores estão na faixa etária de 11 a 26 anos.

O quadro a seguir mostra os dados primitivos da pesquisa, ou seja, aqueles que ainda não foram organizados em uma determinada ordem. Os números representam as idades dos moradores que estão na faixa etária pesquisada.

20 18 13 23 15 24 26 12 18 12 21 14 24 13 17 12

18 12 22 19 12 18 23 16 12 26 11 19 12 15 26 19

23 14 26 11 17 25 12 18 24 14 17 13 22 12 21 14

12 17 12 18 19 14 26 12 26 22 26 18 26 14 18 12

16 13 24 12 23 12 24 17 11 18 24 23 12 25 12 18

22 11 18 16 12 26 18 14 19 12 26 12 18 16 24 13


MATEMÁTICA

Com base nesses dados, determine a quantidade de moradores na faixa etária de 11 a 26 anos, por idade, completando o quadro a seguir:

Idade

Frequência

Total

Para facilitar o trabalho estatístico, os dados foram organizados em ordem crescente, obtendo-se um rol.

11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

12 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 14 14 14

14 14 14 14 15 15 16 16 16 16 17 17 17 17 17 18

18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 19 19 19

19 20 21 21 22 22 22 22 23 23 23 23 23 24 24 24

24 24 24 24 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26

Rol é o arranjo de dados numéricos brutos em ordem crescente ou decrescente.

26 Noções de Estatística

Apresentando esses dados em uma tabela de distribuição de frequência de dados agrupados em intervalos de classe, tem-se:

i Faixa etária (em anos) f fr

1 11 |___ 13 24 25,00%

2 13 |___ 15

3 15 |___ 17

4 17 |___ 19

5 19 |___ 21

6 21 |___ 23

7 23 |___ 25

8 25 |___ 27

Total

Nessa tabela, há 8 classes.

Na segunda coluna, são apresentados os intervalos. A primeira classe é representada pelo intervalo 11 |___ 13. Essa notação indica que, nessa classe, estão computadas idades entre 11 e 13, podendo inclusive ser 11, ou seja, se as idades dos moradores forem representadas por x, 11 |___ 13 significa 11 ≤ x < 13. Diz-se que 11 é limite inferior da classe 1, que será represen-tado por ℓ1, e 13 o limite superior, o qual será representado por L1.

Na terceira coluna, tem-se a frequência absoluta ou, simplesmente, frequência, que será indi-cada por f. A frequência indica a quantidade de dados pertencentes a cada intervalo de classe. Contando no rol, há 24 moradores com idades pertencentes ao intervalo 11 |___ 13.

Na quarta coluna, tem-se a frequência relativa, que será indicada por fr. Frequência relativa é o percentual de dados pertencentes a cada intervalo. No intervalo 11 |___ 13, têm-se 24 dos 96 moradores.

Assim:

frequência 24fr 0,25 25%

total de dados 96= = = =

Sendo assim, preencha a tabela com os demais dados.

Amplitude total

A amplitude total (At) é definida como sendo a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados.

Qual é a amplitude do rol construído com as idades dos moradores do conjunto residencial?

Amplitude de classeAmplitude de classe (Ak) é a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe k.Na primeira classe (k = 1), o limite superior é 13 e o inferior, 11. Determinando sua amplitude de

classe, tem-se:A1 = 13 – 11A1 = 2


FÍSICA

27

FÍSICAMATEMÁTICA

Sendo assim, determine a amplitude das demais classes:

Comparando as amplitudes de classe, o que você observa?

Observação:

Em uma tabela de distribuição de frequências, as amplitudes de classes são sempre iguais.

1. A tabela a seguir representa a medida das alturas dos alunos de uma escola.

i Altura dos alunos (em cm) f fr

1 2,5%

2 120 |___ 140

3 140 |___ 160 40%

4 50

5 180 |___ 200 25

Total 200 100%

a) Complete a tabela com os dados faltantes.

b) Qual a quantidade de classes dessa tabela?

c) Determine a amplitude de classes.

2. O rol a seguir apresenta a amostra das rendas familiares mensais, em número de salários mínimos, de um determinado bairro.

1 1 1 2 2 2 3 3 3 3

4 4 4 4 4 5 5 5 5 5

5 5 5 6 6 6 6 6 6 6

6 6 6 6 7 7 7 8 8 8

8 8 8 8 8 9 9 9 9 9

Construa uma tabela de dados agrupados em 5 intervalos de classe com amplitude igual a 2, com frequências absolutas e frequências relativas.

Construção

de uma

tabela de

frequência

@MAT2122

Histograma

Em Estatística, a representação gráfica dos dados é muito importante, pois é uma das formas mais simples de representar as informações contidas em um conjunto de dados. Os gráficos permitem compreender, de forma rápida, simples e eficiente, diferentes aspectos e relações numéricas entre os dados pesquisados.

Um dos gráficos mais simples utilizados para indicar dados é o histograma, usado para representar as frequências de dados agrupados em classes.

Histograma é a representação gráfica de distribuição de frequências, composto de retân-gulos justapostos.

A tabela a seguir representa a quantidade de lixo semanal produzido por apartamento, em um prédio.

i Lixo descartado (em kg) f

1 0 |___ 5 2

2 5 |___ 10 4

3 10 |___ 15 8

4 15 |___ 20 6

5 20 |___ 25 1

Total 21

A seguir, tem-se o histograma que representa essa tabela.

No histograma:

a base de cada retângulo tem como extremidades os limites inferior e superior da classe cor-respondente.

a altura de cada retângulo é diretamente proporcional à frequência (absoluta ou relativa).

Histograma

da velocidade

da luz

@MAT2119



FÍSICA

29

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Construa o histograma que represente a tabela a seguir sobre o consumo mensal de sucos por pessoa em uma escola.

iConsumo mensal de

sucos (em L)f

1 5 |___ 10 4

2 10 |___ 15 8

3 15 |___ 20 14

4 20 |___ 25 6

Total 32

2. Construa a tabela de frequência que o histogra-ma a seguir representa.

3. Com base no histograma a seguir, responda:

a) Quantas classes há nessa distribuição?

b) Qual a amplitude de classe?

c) Em qual classe há a maior quantidade de funcionários?

d) Qual a quantidade total de funcionários re-presentados nesse histograma?

Medidas de tendência central para dados agrupados em classe

As medidas de tendência central, média, mediana e moda, já vistas em séries anteriores, serão agora estudadas considerando-se os dados agrupados em classes.

A tabela de distribuição de frequência de dados agrupados em classe, a seguir, que representa o tempo em minutos por ligação em uma central de teleatendimento, será o ponto de partida para esse estudo.

i Tempo de ligação (em min) f

1 0 |___ 3 20

2 3 |___ 6 4

3 6 |___ 9 8

4 9 |___ 12 12

5 12 |___ 15 12

6 15 |___ 18 24

Total 80

11111 C t h


MédiaQuando os dados estão agrupados em intervalos de classe, não é possível saber exatamente

como os valores estão distribuídos em cada intervalo. Nesse caso, supõe-se que os valores estejam distribuídos homogeneamente em cada intervalo. Sendo assim, é possível representá-los por meio do ponto médio (xi) da classe.

Ponto médio (xi)O ponto médio de uma classe é determinado pela média aritmética dos limites inferior e superior

dessa classe, ou seja:

xL

ii= + i

2ℓ

Determinando o ponto médio da primeira classe da tabela, tem-se:

x13 0

21 5= + = ,

Para organizar os dados, insere-se na tabela uma coluna para os pontos médios de cada classe.Complete a tabela com os pontos médios das outras classes:

i Tempo de ligação (em min) f xi

1 0 |___ 3 20 1,5

2 3 |___ 6 4

3 6 |___ 9 8

4 9 |___ 12 12

5 12 |___ 15 12

6 15 |___ 18 24

Total 80 –

Determinando a média ( x ) de tempo de ligação, tem-se:

x

x

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= + + +

1 5 20 4 5 4 7 5 8 10 5 12 13 5 12 16 5 24

8030 18 60 1

, , , , , ,

226 162 396

80792

80

9 9

+ +

=

=

x

x ,

O tempo médio é de 9,9 minutos ou 9 minutos e 54 segundos.De forma geral:

A média para dados agrupados em intervalos de classe é dada por:

x

x f

n

i ii

k

=⋅

=∑

1

Em que:fi é a frequência da classe;xi é o ponto médio da classe;n é a soma das frequências da distribuição de frequências.

Produção

média em um

experimento

@MAT2116


FÍSICA

31

FÍSICAMATEMÁTICA

Determine a média do consumo mensal de sucos apresentado na tabela a seguir:

i Consumo mensal de sucos (em L) f1 5 |___ 10 42 10 |___ 15 83 15 |___ 20 144 20 |___ 25 6

Total 32

DeD termine a

Mediana (Md)Em dados agrupados em intervalos de classe de forma ordenada, a mediana é o valor que separa a

metade inferior da metade superior da amostra. Logo, pode-se dizer que 50% dos dados estão abaixo da mediana e 50%, acima.

Uma das formas de se determinar a mediana é acrescentando a coluna de frequência relativa.

i Tempo de ligação (em min) f fr

1 0 |___ 3 20 25%

2 3 |___ 6 4 5%

3 6 |___ 9 8 10%

4 9 |___ 12 12 15%

5 12 |___ 15 12 15%

6 15 |___ 18 24 30%

Total 80 100%

Na classe 1, tem-se 25%.

Até a classe 2, tem-se 30% (25% + 5%).



Então, o valor mediano está na quarta classe, ou seja, está entre 9 e 12. Assim, pelo cálculo de proporção, tem-se:

M

M

M

d

d

d

−−

−

−

−

9

50 40

12 9

15

9

10

3

159

0 10

3

0 15

% % %

% %

, ,

=

=

=

0 15 1 35 0 3

1 65

0 15

11

, , ,

,

,

M

M

M

d

d

d

− =

=

=

Pode-se afirmar que 50% do tempo de ligações é inferior a, aproximadamente, 11 minutos. De forma geral:

A mediana, para dados agrupados por classe, é dada por:M

Fr

L

frd i

i

i i

i

−−

= −50%

ℓ ℓ

Em que:ℓi é o limite inferior da classe em que está a mediana;Li é o limite superior da classe em que está a mediana;fri é a frequência relativa da classe mediana;Fri é a soma das frequências relativas anteriores às da classe em que está a mediana.

Determine a mediana do consumo mensal de sucos apresentado na tabela a seguir:

i Consumo mensal de sucos (em L) f1 5 |___ 10 42 10 |___ 15 83 15 |___ 20 144 20 |___ 25 6

Total 32

Classe modalJá foi visto que a moda é o valor de maior frequência. Logo, a classe modal de uma tabela de

frequência com dados agrupados em intervalos de classe é aquela que tem maior frequência.

i Tempo de ligação (em min) f fr

1 0 |___ 3 20 25%

2 3 |___ 6 4 5%

3 6 |___ 9 8 10%

4 9 |___ 12 12 15%

5 12 |___ 15 12 15%

6 15 |___ 18 24 30%

Total 80 100%

Nessa tabela, a 6a. classe é a modal, pois apresenta a maior frequência. Logo, pode-se afirmar que a maioria das ligações de teleatendimento tem de 15 a 18 minutos de duração.



FÍSICA

33

FÍSICAMATEMÁTICA

1. A tabela a seguir apresenta a distribuição de salários de uma empresa com 200 funcionários.

i Salário (em R$) f1 1 000 |___ 1 500 802 1 500 |___ 2 000 503 2 000 |___ 2 500 404 2 500 |___ 3 000 205 3 000 |___ 3 500 86 3 500 |___ 4 000 2

Total 200

Nessas condições, determine:

a) o salário médio dos funcionários dessa empresa.

b) o salário mediano dos funcionários dessa empresa.

c) a classe modal.

2. O histograma apresenta o levantamento das ve-locidades captadas por um radar em uma ave-nida cujo limite de velocidade é 60 km/h.

a) Determine a velocidade média registrada pelo radar.

b) Qual a velocidade mediana registrada pelo radar?

c) Qual a classe modal de velocidade?

Medidas de dispersão para dados agrupados em classe

A tendência que os dados numéricos têm de se dispersar (se afastar) em relação ao valor médio (média aritmética) é conhecida como medida de variabilidade ou dispersão.

Serão estudadas duas medidas de dispersão para dados agrupados em classe: variância e desvio padrão.

VariânciaQuando os dados estão agrupados em intervalos de classe, pode-se determinar a variância por meio

do somatório dos quadrados das diferenças entre o ponto médio de cada classe e a média aritmética multiplicado pela frequência da classe. Por fim, esse somatório é dividido pela quantidade de dados:

Varx x f

ni i=− ⋅∑ ( )2



FÍSICA

35

FÍSICAMATEMÁTICA

Retornando ao exemplo sobre o tempo das ligações em uma central de teleatendimento, no qual já se sabe que x = 9 9, , temos condições de determinar a variância. Para isso, é acrescentada uma coluna na tabela.

i Tempo de ligação (em min) f xi (xi – x)2

1 0 |___ 3 20 1,5 (1,5 – 9,9)2 = (–8,4)2 = 70,56

2 3 |___ 6 4 4,5 (4,5 – 9,9)2 = (–5,4)2 = 29,16

3 6 |___ 9 8 7,5 (7,5 – 9,9)2 = (–2,4)2 = 5,76

4 9 |___ 12 12 10,5 (10,5 – 9,9)2 = (0,6)2 = 0,36

5 12 |___ 15 12 13,5 (13,5 – 9,9)2 = (3,6)2 = 12,96

6 15 |___ 18 24 16,5 (16,5 – 9,9)2 = (6,6)2 = 43,56

Total 80 –

Com base nos dados da tabela, determine a variância:

Desvio padrãoNo cálculo da variância, os dados são elevados ao quadrado como um artifício matemático para

que os desvios não sejam negativos. Porém, a unidade de medida é alterada. Por exemplo, se eles representam medidas em metros, sua variância será dada em metros quadrados. Ou seja, de medida de comprimento, a variância altera para medida de área.

Para corrigir essas distorções, determina-se a raiz quadrada da variância. Ao extrair a raiz quadrada da variância, determina-se o desvio padrão, ou seja:

DP Var=Nessas condições, determine o desvio padrão da central de teleatendimento:

Quando o desvio padrão é nulo, a distribuição não apresenta dispersão. Logo, quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, menos dispersos são os dados.

Comparando os desvios padrões de dois ou mais grupos de dados, será menos disperso (ho-mogêneo) aquele que apresentar o menor desvio padrão.


1. Determine a variância e o desvio padrão do consumo mensal de sucos apresentado na tabela a seguir, sabendo que a média de consumo é de 15,9 litros:

i Consumo mensal de sucos (em L) f

1 5 |___ 10 4

2 10 |___ 15 8

3 15 |___ 20 14

4 20 |___ 25 6

Total 32

2. A tabela a seguir apresenta a distribuição de salários de uma empresa com 200 funcionários, cuja média salarial é R$ 1.830,00.

i Salário (em R$) f

1 1 000 |___ 1 500 80

2 1 500 |___ 2 000 50

3 2 000 |___ 2 500 40

4 2 500 |___ 3 000 20

5 3 000 |___ 3 500 8

6 3 500 |___ 4 000 2

Total 200

a) Qual a variância dessa distribuição de salários?


FÍSICA

37

FÍSICAMATEMÁTICA

b) Determine o desvio padrão salarial dessa empresa.

3. Duas concessionárias de automóveis apresentaram os seguintes volumes de vendas em um determinado mês:

Concessionária A

i Valor do automóvel (em R$) f

1 20 000 |___ 30 000 5

2 30 000 |___ 40 000 15

3 40 000 |___ 50 000 25

4 50 000 |___ 60 000 20

5 60 000 |___ 70 000 10

6 70 000 |___ 80 000 5

Total 80

Concessionária B

i Valor do automóvel (em R$) f

1 20 000 |___ 30 000 10

2 30 000 |___ 40 000 12

3 40 000 |___ 50 000 22

4 50 000 |___ 60 000 10

5 60 000 |___ 70 000 4

6 70 000 |___ 80 000 2

Total 60

Qual das concessionárias obteve resultado mais homogêneo?

1. (FGV – SP) Um conjunto de dados numéricos tem variância igual a zero. Podemos concluir que:

a) a média também vale zero;

b) a mediana também vale zero;

c) a moda também vale zero;

d) o desvio padrão também vale zero;

e) todos os valores desse conjunto são iguais a zero.

2. (UFPR) Os dados representam o tempo (em se-gundos) para carga de um determinado aplicati-vo, num sistema compartilhado:

Tempo (s) Nº. de observações

4,5 |— 5,5 03

5,5 |— 6,5 06

6,5 |— 7,5 13

7,5 |— 8,5 05

8,5 |— 9,5 02

9,5 |— 10,5 01

Total 30

Com base nesses dados, considere as afirmativas a seguir:

1. O tempo médio para carga do aplicativo é de 7,0 segundos.

2. A variância da distribuição é aproximadamen-te 1,33 segundos ao quadrado.

3. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

4. Cinquenta por cento dos dados observados estão abaixo de 6,5 segundos.

Assinale a alternativa correta.

a) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verda-deiras.

b) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

c) Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.

d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

e) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verda-deiras.

3. (PUCSP) O histograma abaixo apresenta a dis-tribuição das faixas salariais numa pequena empresa.

Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média desses salários é, aproximadamente:

a) R$ 420,00

b) R$ 536,00

c) R$ 562,00

d) R$ 640,00

e) R$ 708,00

4. (FUVEST – SP) A distribuição das idades dos alu-nos de uma classe é dada pelo seguinte gráfico:

Qual das alternativas representa melhor a média de idades dos alunos?

a) 16 anos e 10 meses

b) 17 anos e 1 mês

c) 17 anos e 5 meses

d) 18 anos e 6 meses

e) 19 anos e 2 meses

5. (PUCSP) O histograma representa a distribuição das estaturas de 100 pessoas e as respectivas fre-quências. Por exemplo, na 3ª. classe (155 |___ 160) estão situadas 11% das pessoas com estatura de 1,55 m a 1,59 m. A 5ª. classe (165 |___ 170) chama--se classe mediana. Pelo ponto M situado na clas-se mediana, traça-se uma reta paralela ao eixo das frequências, de modo que divida a área da figura formada pelos nove retângulos das frequências



em duas regiões de mesma área. Determine a abs-cissa do ponto M (mediana das observações).

6. (UEA – AM) Em uma escola foi aplicado um teste de aptidão para um grupo de 100 alunos. O teste era composto de cinco questões objetivas, cada uma valendo um ponto. O gráfico indica o re-sultado dessa avaliação, considerando o número total de acertos de cada aluno.

Com base nos dados apresentados no gráfico, pode-se afirmar que:

a) 20 alunos obtiveram nota maior ou igual a 4;

b) 50% dos alunos que realizaram o teste obtive-ram nota 3;

c) todo aluno acertou pelo menos uma questão;

d) 15 alunos acertaram exatamente uma questão;

e) 30 alunos acertaram exatamente duas questões.

7. (UFG – GO) Os gráficos abaixo mostram a evolu-ção da produção de etanol no Brasil e nos Esta-dos Unidos, no período de 2004 a 2008.

De acordo com os dados apresentados nos grá-ficos acima,

a) a taxa de crescimento da produção dos Estados Unidos, de 2004 para 2008, foi de 265%;

b) no período de 2004 a 2006, a produção total americana foi superior à brasileira;

c) o aumento da produção no Brasil, de 2007 para 2008, representou 30% do aumento da produ-ção dos Estados Unidos, no mesmo período;

d) no período de 2004 a 2008, a produção média americana foi superior à produção média bra-sileira;

e) na safra de 2008, os dois países produziram juntos mais de 65 bilhões de litros.

8. (FUVEST – SP) Para que fosse feito um levanta-mento sobre o número de infrações de trânsi-to, foram escolhidos 50 motoristas. O número de infrações cometidas por esses motoristas, nos últimos cinco anos, produziu a seguinte tabela:

Nº. de infrações Nº. de motoristas

de 1 a 3 7

de 4 a 6 10

de 7 a 9 15

de 10 a 12 13

de 13 a 15 5

maior ou igual a 16 0

Pode-se, então, afirmar que a média do número de infrações, por motorista, nos últimos anos, para este grupo, está entre:

a) 6,9 e 9,0

b) 7,2 e 9,3

c) 7,5 e 9,6

d) 7,8 e 9,9

e) 8,1 e 10,2


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Anotações

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