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MATEMÁTICA

APRESENTAÇÃO

Este módulo faz parte da coleção intitulada MATERIAL MODULAR, destinada às três

séries do Ensino Médio e produzida para atender às necessidades das diferentes rea-

lidades brasileiras. Por meio dessa coleção, o professor pode escolher a sequência que

melhor se encaixa à organização curricular de sua escola.

A metodologia de trabalho dos Modulares auxilia os alunos na construção de argumen-

tações; possibilita o diálogo com outras áreas de conhecimento; desenvolve as capaci-

dades de raciocínio, de resolução de problemas e de comunicação, bem como o espírito

crítico e a criatividade. Trabalha, também, com diferentes gêneros textuais (poemas,

histórias em quadrinhos, obras de arte, gráficos, tabelas, reportagens, etc.), a fim de

dinamizar o processo educativo, assim como aborda temas contemporâneos com o ob-

jetivo de subsidiar e ampliar a compreensão dos assuntos mais debatidos na atualidade.

As atividades propostas priorizam a análise, a avaliação e o posicionamento perante

situações sistematizadas, assim como aplicam conhecimentos relativos aos conteúdos

privilegiados nas unidades de trabalho. Além disso, é apresentada uma diversidade de

questões relacionadas ao ENEM e aos vestibulares das principais universidades de cada

região brasileira.

Desejamos a você, aluno, com a utilização deste material, a aquisição de autonomia

intelectual e a você, professor, sucesso nas escolhas pedagógicas para possibilitar o

aprofundamento do conhecimento de forma prazerosa e eficaz.

Gerente Editorial

Trigonometria II

Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)

© Editora Positivo Ltda., 2010Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.

DIRETOR-SUPERINTENDENTE: DIRETOR-GERAL:

DIRETOR EDITORIAL: GERENTE EDITORIAL:

GERENTE DE ARTE E ICONOGRAFIA: AUTORIA:

ORGANIZAÇÃO EDIÇÃO DE CONTEÚDO:

EDIÇÃO:ANALISTAS DE ARTE:

PESQUISA ICONOGRÁFICA:EDIÇÃO DE ARTE:

CARTOGRAFIA:ILUSTRAÇÃO:

PROJETO GRÁFICO:EDITORAÇÃO:

CRÉDITO DAS IMAGENS DE ABERTURA E CAPA:

PRODUÇÃO:

IMPRESSÃO E ACABAMENTO:

CONTATO:

Ruben FormighieriEmerson Walter dos SantosJoseph Razouk JuniorMaria Elenice Costa DantasCláudio Espósito GodoyJorge Luiz Farago / Lucio Nicolau dos Santos CarneiroÂngela Ferreira Pires da TrindadeCintia Cristina Bagatin Lapa / Ângela Ferreira Pires da TrindadeMiriam Raquel Moro Conforto / Rose Marie WünschGiselle Alice Pupo / Tatiane Esmanhotto KaminskiCarla Lage da Silva / Tassiane SauerbierAngela Giseli de SouzaLuciano Daniel Tulio / Thiago Souza GranadoDivanzir Padilha / Deko / Eduardo Borges / Jack Art O2 ComunicaçãoRosemara Aparecida Buzeti© iStockphoto.com/Jorge Delgado; © iStockphoto.com/ Dario Sabljak; LatinStock/Corbis/DK Limited; Mary Evans Picture Library; © 2001-2009 HAAP Media Ltda/Klaus Post; P. Imagens/PithEditora Positivo Ltda.Rua Major Heitor Guimarães, 17480440-120 Curitiba – PRTel.: (0xx41) 3312-3500 Fax: (0xx41) 3312-3599Gráfica Posigraf S.A.Rua Senador Accioly Filho, 50081300-000 Curitiba – PRFax: (0xx41) 3212-5452E-mail: [email protected]@positivo.com.br

F219 Farago, Jorge LuizEnsino médio : modular : matemática : trigonometria II / Jorge Luiz Farago, Lucio Nicolau

dos Santos Carneiro ; ilustrações Divanzir Padilha, Jack Art. – Curitiba : Positivo, 2010.: il.

ISBN 978-85-385-6430-0 (livro do aluno)ISBN 978-85-385-6433-1 (livro do professor)

1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos. I. Carneiro, Lucio Nicolau dos Santos. II. Padilha, Divanzir. III. Jack Art. IV. Título.

CDU 373.33

Todos os direitos reservados à Editora Positivo Ltda.

Neste livro, você encontra ícones com códigos de acesso aos conteúdos digitais. Veja o exemplo:

Acesse o Portal e digite o código na Pesquisa Escolar.

Cubos

@MAT809

@MAT809

SUMÁRIO

Unidade 1: Funções trigonométricas I

Função seno 5

Função cosseno 10

Função tangente 15

Unidade 2: Funções trigonométricas II

Função cotangente 20

Função secante 21

Função cossecante 22

Relações trigonométricas 23

Unidade 3: Funções trigonométricas III

Adição e subtração de arcos para o seno, o cosseno

e a tangente 28

Duplicação de arcos para o seno, o cosseno e a tangente 33

Equações trigonométricas fundamentais 35

Trigonometria II4

Funções trigonométricas I1

Para Tales... a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos.

Aristóteles

BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo: Blucher, 1996. p. 30.

Ensino Médio | Modular 5

MATEMÁTICA

1. Uma pessoa, ao correr na esteira, seleciona um dos programas em que a velocidade aumenta e diminui em intervalo de tempo iguais. Ao acionar o seu funcionamento, a esteira atinge 10 km/h. Desconsidere o tempo necessário para alcançar essa velocidade, que, em km/h, oscila de acordo com a função trigonométrica a seguir, em que t é o tempo decorrido desde o início do movimento, em minutos:

v(t) = 10 + 2 · sen π10

· t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Função seno

© S

hutt

erst

ock/

Ale

ksan

dr M

arki

n

a) Dessa forma, complete a tabela a seguir com o valor da velocidade, em cada tempo dado:

Tempo (minutos) Velocidade (km/h)

05

10152025303540

Gráfico da

função seno

@MAT744

b) No plano cartesiano a seguir, localize os pontos obtidos na tabela e trace o gráfico da função.

12

10

8

6

4

2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Velocidade(km/h)

Tempo(min)

c) Qual é a máxima velocidade que a esteira atinge no programa selecionado? E a mínima?

d) Em que tempo ocorreu a velocidade máxima? E a mínima?

e) A partir do início do movimento, qual é o intervalo de tempo que decorre para que as velocidades comecem a se repetir?

f) Considerando que a esteira, em sua programação, repita as velocidades formando ciclos, em quanto tempo ocorre cada ciclo?

g) Após 40 minutos, quantos ciclos ocorreram?

Nessa situação, observa-se a função seno, utilizada para descrever a programação da velocidade de uma esteira, quando uma pessoa está praticando corrida.

Dado um número real x, no ciclo trigonométrico, tal que:

A ordenada do ponto P é o seno de x, ou seja, OP' = sen x. Dessa forma,

denomina-se função seno toda função f: R → R que associa cada x

real a OP' por meio da relação f(x) = sen x.

Trigonometria II6

2. A curva do gráfico da função seno, ou seja, quando f(x) = sen x, é denominada senoide, e sua representação no plano cartesiano é:

f(x)

x

1

–1

0�

2

32�

� 2�

Dessa forma, ao observar o gráfico da função, responda:

a) Em quais quadrantes ela é positiva? E negativa?

b) Em quais quadrantes ela é crescente? E decrescente?

c) Complete as tabelas com o valor do seno do ângulo x:

x y = sen x

0

π6

π4

π3

x y = sen x

π2

2

3

π

3

4

π

5

6

π

x y = sen x

π

7

6

π

5

4

π

4

3

π

x y = sen x

3

2

π

5

3

π

7

4

π

11

6

π

2π

Observe mais detalhadamente o gráfico da função seno, ou seja, para f(x) = sen x.

12

–

�

3–

�

4–

�

6–

�

3�

4�

6�

223� 3

4� 5

6�

76� 5

4� 4

3� 3

2� 5

3� 7

4� 11

6�

1

–1

� 2�

x

f(x)

12

3. De acordo com o gráfico, escreva os conjuntos domínio e imagem:

A função f(x) = sen x é periódica, pois sen x = sen (x + 2π), e seu período é 2π. Para uma função f(x) = sen (mx + n), o

período é igual a 2πm

.

Ensino Médio | Modular

FÍSICA

7

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Certa pessoa entra em uma gôndola de uma roda--gigante. A altura dessa gôndola em relação ao chão é dada pela função

π π5 2

t +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, para t em

minutos

a) Determine a altura da gôndola após:

I. 2 minutos e 30 segundos do início do movi-mento;

II. 5 minutos do início do movimento.

b) Determine o tempo em que essa roda-gigante completa uma volta e a medida do raio dela.

c) Trace o gráfico que representa essa função.

2. Qual o valor de Sπ3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

para a função definida por

S(x) 2 + 8(sen x)3?

3. O lucro mensal de uma empresa foi descrito, apro-ximadamente, por uma função trigonométrica. Na função a seguir, L é o lucro expresso em centenas de reais e t é o dia do mês (t = 0 é o último dia do

mês anterior). Considere o mês com 24 dias, isto é, excluindo-se os finais de semana.

π12

t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a) Determine o lucro máximo e mínimo da empresa.

b) Trace o gráfico que representa essa função.

c) Em quais dias do mês o lucro é nulo?

4. gráfico. Determine os valores de a e b.

Função ímparDenomina-se função ímpar toda função f: A → B, tal que:

para todo x ∈ A, tem-se f(−x) = −f(x), com f(x) ∈ B.

Observe o valor da função seno para x = π6

:

f π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= sen π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 1

2

Logo,

f(−x) = f −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π6

= sen −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π6

= sen 11

6

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − 1

2 = −f(x)

Observe outro exemplo da função seno para x = 2

3

π:

f 2

3

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= sen 2

3

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 3

2

Logo,

f (−x) = f −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − = −2

3

2

3

4

3

3

2

π π πsen sen f x ( )

Dessa forma, pela simetria dos arcos em relação ao eixo horizontal, pode-se afirmar que, para um arco cuja medida é x, tem-se:

sen (x) = −sen (−x) Assim, sen (−x) = −sen (x)Logo, a função seno é ímpar.

Propriedades da função seno

Quadrantes 1o. 2o. 3o. 4o.

Sinais + + – –

Flutuação crescente decrescente decrescente crescente

Domínio D = IR

Imagem Im = {y ∈ IR | −1 ≤ y ≤ 1} ou Im = [−1, 1]

Período 2π

Paridadeímpar

sen (−x) = −sen x

Trigonometria II8

5. b e os lados congruentes medem 10 cm. O ângulo formado pela

b um dos lados congruentes é α. Escreva a ex-pressão da área em função do ângulo α.

6. Determine o(s) valor(es) de a para que as igualda-des a seguir sejam verdadeiras:

a) sen x = a + 2

b) sen x = 2a 16−

c) sen x = 2 a

3−

7. (UFPR) Nesta figura está representado um perío- do completo do gráfico da função

πx4

:

Para cada ponto B f, fica deter-minado um triângulo de vértices O, A e B, como na figura. Qual é a maior área que um triângulo

a) 12 b) 3

c) 6π d) 8

e) 9

8. (UFMS) Uma gráfica que confeccionou material de campanha determina o custo unitário de um de seus produtos, em reais, de acordo com a lei

π · t2

, com t medido em ho-

mínimo desse produto são

a) 320 e 200.

b) 200 e 120.

c) 200 e 80.

d) 320 e 80.

e) 120 e 80.

9. -creva o conjunto-imagem e o período.

10. Dada a função f: R → R, definida por

f(x) = 1

4 2 · sen x−, determine o maior e o menor

valor de f(x).

11. Escreva o conjunto-imagem da função definida por

f(x) = 1

5 + 4 · sen x.

12. (UFPE) Esta ilustração é parte do gráfico da função πx) + c, com a, b e c sendo constantes

reais. A função tem período 2 e passa pelos pontos com coordenadas (0, 3) e (1/2, 5).

Determine a, b e c 2.

Desafio

13. Marque a opção que representa a função do gráfico:

a) y = sen x

b) y = 2sen x

2 c) y = 2 sen x

d) y = 2 sen 2x

e) y = sen 2x


FÍSICA

9

FÍSICAMATEMÁTICA

Função cosseno

O volume máximo de ar, nos pulmões e nas vias respiratórias, é de aproximadamente 5 litros para uma inspiração forçada e, após uma expiração forçada, resta nas vias aéreas 1,2 litro de ar. A frequência respiratória de uma pessoa que esteja em relativo repouso é da ordem de 10 a 15 movimentos por minuto. Como, normalmente, a respiração é um movimento periódico, pode-se representá-la por uma função trigonométrica. Observe:

Tempo (segundos)

Volume (litros)

0

1

2

3

4

5

6

v(t) = 3,1 + 1,9 · cos π2

· t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Nessa função, v é o volume de ar, em litros, nos pulmões e nas vias respiratórias; t é o tempo em segundos.

1. Complete, na tabela, os valores de v que estão faltando:D

ivan

zir P

adilh

a. 2

011.

Dig

ital.

Gráfico da

função cosseno

@MAT702

Trigonometria II10

2. Localize, no plano cartesiano, os pontos obtidos na tabela e trace o gráfico da função:

Tempo(segundos)

Volume(litros)

3. Qual é o máximo volume de ar que o pulmão suporta? E o mínimo?

4. Em que tempo ocorreu o volume máximo? E mínimo?

5. Qual é o intervalo de tempo necessário para que ocorra uma expiração e uma inspiração?

6. Cada ciclo de uma expiração e de uma inspiração ocorre em quanto tempo?

7. Após 20 segundos, quantos ciclos (expiração e inspiração) ocorreram?


FÍSICA

11

FÍSICAMATEMÁTICA

Nessa situação, observa-se a função cosseno sendo utilizada para descrever a respiração de uma pessoa em condições específicas.


A abscissa OP'' do ponto P é o cosseno de x, ou seja, OP'' = cos x. Dessa forma, denomina-se função

cosseno toda função f: R → R que associa cada x real, a OP'' por meio da relação f(x) = cos x.

O gráfico da função cosseno, ou seja, quando f(x) = cos x, é denominado de cossenoide, e sua representação no plano cartesiano é:

8. Dessa forma, ao observar o gráfico da função, responda:

x y = cos x

0

π6

π4

π3

x y = cos x

π2

2

3

π

3

4

π

5

6

π

x y = cos x

π

7

6

π

5

4

π

4

3

π

x y = cos x

3

2

π

5

3

π

7

4

π

11

6

π

2π

a) Em quais quadrantes ela é positiva? E negativa? b) Em quais quadrantes ela é crescente? E decrescente?

9. Complete as tabelas com o valor do cosseno do ângulo x:

Trigonometria II12

Função parDenomina-se função par toda função f: A → B, tal

que: para todo x ∈ A, tem-se f(−x) = f(x), com f(x) ∈ B.

Observe o valor da função cosseno para x = π3

rad:

f π π3 3

1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=cos

Logo,

f(−x) = f −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π3

= cos −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π3

= cos 5

3

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 1

2 = f(x)

Observe outro exemplo da função cosseno para x = 3

4

π :

f 3

4

3

4

2

2

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −cos

Logo,

f(−x) = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − =3

4

3

4

5

4

2

2

π π πcos cos ( )f x

Quadrantes 1o. 2o. 3o. 4o.

Sinais + – – +

Flutuação decrescente decrescente crescente crescente

Domínio D = IR

Imagem Im = {y ∈ IR | −1 ≤ y ≤ 1} ou Im = [−1, 1]

Período 2π

Paridadepar

cos (–x) = cos x

Observe, mais detalhadamente, o gráfico da função cosseno, para f(x) = cos x:

�

2–

�

3–

�

4–

�

6–

�

3�

4�

6�

2

23� 3

4� 5

6�

76� 5

4� 4

3�

32� 5

3� 7

4� 11

6�

1

–1

�

2� x

f(x)

12

–

12


A função f(x) = cos x é periódica, pois cos x = cos (x + 2π), e seu período é 2π. Para uma função f(x) = cos (mx + n), o

período é igual a 2πm

.

Dessa forma, pela simetria dos arcos em relação ao eixo horizontal, pode-se afirmar que, para um arco cuja medida é x, tem-se:

cos (x) = cos (−x)

Assim,

cos (−x) = cos (x)

Logo, a função cosseno é par.

Propriedades da função cosseno


FÍSICA

13

FÍSICAMATEMÁTICA

1. τ, realizado por uma força, pode ser calculado pela relação:

τ θ

em que F é a força (constante), d é a medi-da do deslocamento do corpo e θ é o ângulo formado pela direção da força e a direção do deslocamento.

Determine o ângulo θ para uma força F cons-tante e um deslocamento d, no qual o maior

2.

3. Determine o(s) valor(es) de b para que as igualdades a seguir sejam verdadeiras:

a)

b) cos x = 2b 14−

c) cos x = 1 b

2−

4. O fenômeno das marés ocorre devido à atra-ção gravitacional entre Sol, Terra e Lua. O nível das águas aumenta e diminui, em algumas re-giões, duas vezes por dia, atingindo um nível máximo e um mínimo. Em uma praia, foram

da curva, formada pelos níveis da água, em função da hora do dia: π

6t⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

em que h(x) é a medida da altura do nível da maré em determinada hora t do dia.

que:

( ) o nível

(

( ) o nível mais alto da maré é de 3,1 metros;

( ) às 6 horas, a maré atinge o nível máximo;

( ) às 12 horas, a maré atinge o nível mínimo.

5. Nas funções f: R → R a seguir, determine o con-junto-imagem e o período de cada uma delas:

a)

b)

6. Os desertos têm uma variação de temperatura

Considere que, em um deserto, em certa época do ano, a temperatura possa ser expressa por uma função trigonométrica em função da hora do dia pela expressão:

π12

t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Determine as temperaturas mínima e máxima e trace o gráfico que representa essa função.

7. Nas funções representadas a seguir, com x ∈ R, determine o maior e o menor valor de y:

a) y = 2

4 cos x−

b) f(x) = 1

3 + 4cos x

8. Esta figura representa o gráfico da função f: R → R, definida por f(x

Determine os valores de a e b.

9. Determine os valores de p e k, na função

π

Trigonometria II14

10. -trica:

y

x

2

0

�

2

32� 2�

1

�

Analise as afirmações:

I. O gráfico representa a função f(x) = 1 + cos x.

II. No intervalo do domínio de [0, 2π y = 0,5 intercepta o gráfico da função em valores que estão no 2o. e no 3o. quadrantes.

III. O período da função representada é igual a 2π radianos.

Pode-se concluir que:

a) as afirmações I, II e III são verdadeiras;

b) somente as afirmações I e III são verdadeiras;

c) somente as afirmações I e II são verdadeiras;

d) somente as afirmações II e III são verdadeiras;

e) as afirmações I, II e III são falsas.

11. (UNESP) Uma máquina produz diariamente x

o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milha-res de reais, respectivamente, pelas funções C(x) = 2 – cos

xπ6

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ e V(x) = 3 2. sen

xπ12

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ,

0 ≤ x ≤ 6.

-zenas de peças é:

a) 500 b) 750

c) 1 000 d) 2 000

e) 3 000

Função tangente


A medida do segmento AT é a tangente de x, ou seja, AT = tg x. Dessa forma, denomina-se função tangente toda

função f: R − π π2

+ ∈{ }k k, � → R que associa cada x real

à medida de AT, por meio da relação f(x) = tg x.

O gráfico da função tangente está representado neste plano cartesiano:

1. Ao observar o gráfico da função, responda: a) Em quais quadrantes ela é positiva? E negativa?

b) Em quais quadrantes ela é crescente? E decrescente?

Gráfico da

função tangente

@MAT960


FÍSICA

15

FÍSICAMATEMÁTICA

2. Complete as tabelas com o valor da tangente do ângulo x:

x y = tg x

0

π6

π4

π3

x y = tg x

π2

2

3

π

3

4

π

5

6

π

x y = tg x

π

7

6

π

5

4

π

4

3

π

x y = tg x

3

2

π

5

3

π

7

4

π

11

6

π

2π

�

2 �

3�

4�

6

2�

0�

116

�

74�

53�

76�

54�

43�

32�

56�

34�

23�

�3

3–

�3

3

�3

–�3

1

–1

Observe, mais detalhadamente, o gráfico da função tangente, ou seja, para f(x) = tg x:


A função f(x) = tg x é periódica, pois tg x = tg (x + π), e seu período é π. Para uma função f(x) = tg (mx + n), o período é igual a π

m .

Da circunferência trigonométrica, pode-se destacar o triângulo OAT:

4. Utilizando os catetos dos triângulos retângulos, estabeleça a semelhança entre eles.

Trigonometria II16

1. Determine o domínio das funções a seguir:

a)

b) x3

c) f(x) = tg 2x

2. Determine tg α, em que α ∈ 1o. quadrante, sa -

do que sen α = 13

e cos α = 2 2

3.

3. Determine tg β, em que β ∈ 2o. quadrante, -

do que sen β = 12

e cos α = −3

2 .

4. Determine tg θ, em que θ ∈ 3o. quadrante, -

do que sen θ 23

.

5. Determine tg γ, em que γ ∈ 4o. quadrante,

que sen γ 2

2.

6. S3

10 e que x ∈ 2o.

quadrante, determine o valor de tg x.

7. Qual é o valor numérico da função 2 o?

8. e registra, com um teodolito, as medidas dos ângulos α e β nas posições A e B de acordo com o desenho a seguir. Determine a distância H

A ao ponto B em função da distância D e das medidas dos ângulos α e β.

9. Se tg x = 13

e 0 < x < π2

, então determine

sen x + cos x.

10. Na circunferência trigonométrica a seguir, mar-

que, no eixo das tangentes, o valor de tg 45° e

tg 116π :

11. Na circunferência trigonométrica a seguir, mar-

que, no eixo das tangentes, o valor de tg 120° e

tg76π :

Desafio

12. Determine o valor da expressão A = 3 . tg

1+ tg2

αα

,

quando sen α 3

2 e π < α < 3

2

π .

i

FÍSICA

17

FÍSICAMATEMÁTICA

1. O gráfico representa a função: a)

b) y = cos x2

c) y = 2 sen x

d) y = sen x2

e) y = 2 sen 2x

Leia o trecho a seguir da música “Simples de coração”, da banda Engenheiros do Hawaii:

Volta voando (vinda do alto), derrete o chumbo do céuAntes que eu saia pela tangente no giro do carrosselFalta uma volta (ponteiros parados): tudo dança em torno de tiVolta pra casa... fim da viagem: bem-vinda à vida real.

GESSINGER, Humberto. Simples de coração. Intérprete: Engenheiros do Hawaii. In: Simples de coração. São Paulo: BMG Brasil, p1995. 1 CD, digital, estéreo. Faixa 3.

A expressão “sair pela tangente” é muito comum em nosso vocabulário, mas a verdadeira origem está na Física.

Segundo o conceito físico de inércia, um corpo tende a manter seu estado de movimento (repouso ou movimento retilíneo uniforme). Um motociclista, por exemplo, ao derrapar em uma curva, sem nenhuma força resultante agindo sobre ele, tende a continuar o seu movimento em linha reta, conforme mostra a ilustração.

Uma reta tangente é aquela que toca uma curva em um único ponto, sem cortá-la. Repare que a reta em vermelho atinge a curva em apenas um local, “escapando” dela em seguida. Por isso, diz-se que o corpo sai pela tangente.

Ao ler o trecho da letra da música, é possível supor que o autor anseia muito pela volta de sua amada, prevendo que, se ela não o fizer logo, ele pode mudar a trajetória de sua vida, saindo pela tangente.

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Boco

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nedi

ct

Trigonometria II18

2. (UPE) O gráfico representa uma função trigonomé-

É correto afirmar que:

a) A = 2, B = 3 e m = 2;

b) A = 3, B = 2 e m = 4;

c)

d)

e)

3. -minada cidade é dada por

T(x) = 14 sen[ 2360

π T é a

temperatura em graus centígrados e x é o número de dias decorridos desde o início do ano.

De acordo com essa função, a temperatura mé-dia diária nessa cidade oscila entre __________ e __________ graus centígrados, sendo que a temperatura média mais alta ocorre no mês de __________.

Assinale a alternativa que preenche correta e res-pectivamente as lacunas acima.

a) b)

c) 0; 11; janeiro. d)

e)

4.

Podemos afirmar que:

a) π2

b) π2

c) π2

d) π2

e)

5. Determine a forma mais simplificada da expressão 1+ sen x

cos x+

cos x1+ sen x

1cos x

− .

6. (PUCPR) Um terremoto de magnitude 8 graus da es-

de Samoa. O terremoto causou ondas de até 3 me-tros. A maré alta nesse local ocorreu à meia-noite. Suponha que o nível de água na maré alta era de

Supondo que a próxima maré alta seja exatamente ao meio-dia e que a altura da água é dada por uma

corresponde à fórmula para o nível da água na re-gião em função do tempo?

a) 1,515 + 1,485 . sen π6

t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b) 1,485 . cos π6

t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

c) 1,515 + 1,485 . cos π6

t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

d) 1,485 . sen π6

t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

e) 1,485 + 1,515 . cos (π t)

7. -fico da função f(x) = cos x, entre 0 e 2π, a reta que passa pelos pontos P e Q define com os eixos coor-denados um triângulo de área:

a) π2

b) π4 c) π d) π

8 e)

π6


FÍSICA

19

FÍSICAMATEMÁTICA

Trigonometria II20

Funções trigonométricas II2

Na figura, tem-se uma circunferência trigono-

métrica e uma reta r tangente a ela no ponto T,

de coordenadas (0, 1). O ponto C é o ponto de

intersecção da reta que passa pelos pontos O

e P e a reta r.

Define-se cotangente de x, representada por cotg x,

a abscissa do ponto C; e a reta r como o eixo das co-

tangentes.

Com base na figura e nas definições, responda:

a) Qual o ângulo formado por OT e a reta r? Justifique:

b) O que as medidas dos segmentos OP' e OP" re-presentam?

c) Os triângulos OCT e OPP" são semelhantes? Jus-tifique:

d) Represente os triângulos OCT e OPP" e expresse a medida do segmento CT em função das medidas dos segmentos OP' e OP" ?

Função cotangente


MATEMÁTICA

e) Escreva essa medida por meio de uma relação trigonométrica:

f) Com a relação trigonométrica encontrada, o que se pode afirmar sobre a cotangente em relação ao seno e ao cosseno? E em relação à tangente?

g) Para quais valores de x a cotangente está definida?

Função secante

Na figura, tem-se uma circunferência trigonométrica e uma reta r tangente a ela no ponto P, formando o arco AP cuja medida é x, e que intersecta o eixo das abscissas no ponto S: Define-se secante de x, representada por sec x, a abscissa do ponto S.

Com base na figura e nas definições, responda:

a) Qual o ângulo formado por OP e a reta r? Justifique:

b) O que as medidas dos segmentos OP' e OS repre-sentam?

c) Os triângulos OPS e OP’P são semelhantes? Justi-fique.

Função

cotangente

@MAT1541

d) Com base na resposta do item anterior, como é possível expressar a medida do segmento OS em função da medida do segmento OP'?

e) Escreva essa medida por meio de uma relação tri-gonométrica.

f) Com a relação trigonométrica encontrada, o que se pode afirmar sobre a secante em relação ao cosseno?

g) Para quais valores de x a secante está definida?

Função cossecante

Na figura, tem-se uma circunferência trigonométrica e uma reta r tangente a ela no ponto P, formando o arco AP cuja medida é x e que intersecta o eixo das ordenadas no ponto C:

Define-se cossecante de x, representada por cossec x, a ordenada do ponto C.Com base na figura e nas definições, responda:

a) Qual o ângulo formado por OP e a reta r? Justifique:

b) O que as medidas dos segmentos OP' e OC repre-sentam?

c) Os triângulos OPC e OP’P são semelhantes? Justifique.

Trigonometria II22

d) Como é possível expressar a medida do segmento OC em função da medida do segmento OP'?

e) Escreva essa medida por meio de uma relação trigonométrica.

f) Com a relação trigonométrica encontrada, o que se pode afirmar sobre a cossecante em relação ao seno?

g) Para quais valores de x a cossecante está de-finida?

Relações trigonométricas

As relações estabelecidas com as funções trigonométricas referentes a um mesmo arco são cha-madas de relações trigonométricas. Até o momento, foram estudadas as relações trigonométricas fundamentais. São elas:

sen2 x + cos2 x = 1 (com x ∈ R)

tg xsen x

x=

cos (com x k≠ +π π

2 e k ∈ Z)

cotcos

g xx

sen x= (com x ≠ kπ e k ∈ Z) ou cotg x

tg x= 1

(com x k≠ +π π2

e kπ ∈ Z)

seccos

xx

= 1 (com x k≠ +π π2

e k ∈ Z)

cossec xsen x

= 1 (com x ≠ kπ e k ∈ Z)

1. 35

e que x é um arco do 1o.

quadrante, determine o valor da expressão trigo-

nométrica 1 tg x1 cotg x

−−

.

2. Considerando que x ∈ 1o. quadrante e cos x = 1213

,

determine o valor da expressão 1+ sen xsec x + tg x

.

3. (IFECT – TO) O valor numérico da expressão sec 60° + cossec 30° – cotg² 30° é:

a) 0 b) 7

c) 1 d) 3

e) 2


FÍSICA

23

FÍSICAMATEMÁTICA

4. Qual é a forma mais simples da expressão trigono-métrica

–1?

5. (FURG – RS) As relações sen x = 12+ k e

tg x = 11

+−

kk

são satisfeitas para valores de k. O

produto desses valores de k é:

a) –2

b) –1

c) 0

d) 1

e) 2

6. Determine a forma mais simplificada da expressão

11

2 22+

cos . cosssec .

x ec xx−

7. 2 2 x e escreva a forma mais simplificada.

8. Determine o valor numérico da expressão

9. (UFAC) Seja x ∈ Rπ2

+ kπ, com k ∈ Z}.

Então, a expressão 2 x é

igual a:

a) 1 – sen π b) 1 + cos 3πc) 1 – cos π d) πe) π

Com base nas relações trigonométricas fundamentais, é possível definir outras relações impor-tantes que serão estudadas a seguir.

1. Na relação sen² x + cos² x = 1, divida ambos os membros por cos² x, determinando uma nova relação trigono-métrica e os valores de x para os quais ela está bem definida.

2. Na relação sen² x + cos² x = 1, divida ambos os membros por sen² x, determinando uma nova relação trigono-métrica e os valores de x para os quais ela está bem definida.

Trigonometria II24

1. -mine o valor do produto ab.

2. Determine a forma simplificada da expressão

sec x 1tg x+1

2

2− .

3. Toda igualdade envolvendo razões trigonomé-

tricas que se verifica para qualquer valor de x,

respeitadas as restrições, é uma identidade trigo-

nométrica. Sendo assim, demonstre a identidade

tg² x + sen² x = sec² x – cos² x.

4. (UE 2 x.

a) 2 b) 4

c) 6 d) 8

e) 10

5. (UECE) Para valores de x tais que cos x ≠ 0, a ex-

pressão sec2 x – tg2 x é igual a:

a) 0

b) 1

c) sen2 x

d) cos2 x

6. Demonstre a identidade cos x sec x

tg x= sen x

−.

7. Calcule o valor numérico da expressão

a=sec x 11+tg x

2

2− 1

2.

8. Simplifique a expressão numérica

1+ cotg x1+ tg x

coss ec x +12

22− .

1. (UEL – PR) O gráfico de uma função f, figura abaixo, mostra o deslocamento vertical de um surfista sobre uma onda, em função do tempo.

Com base no gráfico e nos conhecimentos sobre funções, considere as afirmativas a seguir.

I. Para todo t t , t3 7∈( ), f é constante.

II. Para todo t 0, t3∈ ⎡⎣ ), f t = cos t +2( ) ( ) .

III. Para todo t t , t7 10∈ ( ), f t = m t +b( ) ⋅ , onde m > 0.

IV. A função f assume seu valor máximo em t = t2.

Assinale a alternativa correta.a) Somente as afirmativas I e III são corretas. b) Somente as afirmativas I e IV são corretas.c) Somente as afirmativas II e III são corretas.d) Somente as afirmativas I, II e IV são corretas.e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.

2. (UDESC) Sendo x um arco do segundo quadrante

tal que sen x = 3

7, o valor de tg x é:

a) 10 10

3

b) 3 10

20

c) −2 3

5

d) −3 10

20

e) −10 10

33. (UFRR) Sabendo-se que tg x = −

1

3 e sen x < 0,

podemos afirmar que:

a) cossec x = 10−

b) cossec x = 10

c) cossec x = 3−

d) cossec x = 3

e) cossec x =3

2−


FÍSICA

25

FÍSICAMATEMÁTICA

Trigonometria II26

Funções trigonométricas III3

A Trigonometria surgiu por volta de 300 a.C. da necessidade de resolver problemas de Astro-nomia e agrimensura. Ao longo do tempo, as aplicações foram se estendendo de acordo com o desenvolvimento tecnológico, por exemplo, nas engenharias, na cartografia e na navegação. Por isso, nesta unidade, o estudo da Trigonometria será aprofundado.

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Tirolesa é uma atividade es-portiva de aventura. Originária da região de Tirol, na Áustria, a ativi-dade consiste em se deslocar en-tre dois pontos em uma cadeirinha com roldanas presa por um cabo.

Pessoa se deslocando em uma tirolesa

Latin

Stoc

k/Co

rbis

(DC)

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Mic

hael

Han

son


MATEMÁTICA

Em um hotel-fazenda, será construída uma tirolesa. O ponto de partida será em uma plataforma situada a 100 metros de altura em relação ao ponto de chegada. O cabo de aço dessa tirolesa deverá formar um ângulo de 15° em relação ao chão, como mostra a ilustração:

a) Qual é a expressão trigonométrica que deter-mina o comprimento do cabo dessa tirolesa?

b) Com auxílio da calculadora, determine a me-dida do cabo.

Jack

Art

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1. V

etor

.

Em situações como a da tirolesa, em que a medida do ângulo é diferente de 30°, 45°, 60° e 90°, o cálculo pode ser efetuado com auxílio da tabela trigonométrica, da calculadora científica e em alguns casos pela adição ou subtração de dois arcos que serão estudados a seguir.

Comparando as expressões cos (30° + 60°) e cos 30° + cos 60°, pode-se afirmar que elas são iguais?

De modo análogo, verifica-se:

sen (a + b) ≠ sen a + sen b

sen (a – b) ≠ sen a – sen b

cos (a + b) ≠ cos a + cos b

cos (a – b) ≠ cos a – cos b

tg (a + b) ≠ tg a + tg b

tg (a – b) ≠ tg a – tg b

1. Em relação ao triângulo retângulo ODC, responda:

a) Como é possível expressar a medida do ângulo DÔC?

b) Expresse, de forma simplificada, o cosseno do ângulo DÔC.

2. Em relação ao triângulo retângulo OEC, responda:

a) Qual é a medida do ângulo CÔE?

b) Expresse, de forma simplificada, o seno e o cosseno do ângulo CÔE.

Traçando o segmento CE perpendicular ao segmento OB, obtém-se o triângulo OEC, retângulo em E:

Adição e subtração de arcos para

o seno, o cosseno e a tangente

Nesta unidade, serão estabelecidas relações matemáticas que envolvem adição e subtração de dois arcos para as funções seno, cosseno e tangente.

Cosseno da adição de dois arcos

Na circunferência trigonométrica, considere os arcos BC e AB cujas medidas são b e a, respectiva-mente. Traçando o segmento CD, perpendicular ao eixo x, obtém-se o triângulo OCD, retângulo em D:

Seno e cosseno

da soma de

dois arcos

@MAT1041

Trigonometria II28

3. Por meio de razões trigonométricas no triângulo CFE, expresse a medida de EF, em função de sen a (lembre-se de que CE = sen b).

4. Do triângulo OHE, expresse a medida OH, em função de cos a (lembre-se de que OE = cos b).

5. É posível observar que EF = DH. Nessas condições, qual expressão trigonométrica representa OH = OD + DH?

Traçando o segmento EF perpendicular a CD, obtém-se o triângulo retângulo CFE, cujo ângulo reto é F. Observe que o triângulo OGD é semelhante ao triângulo CGE. Logo, a medida do ângulo ECF é a.

O cosseno da soma de dois arcos a e b, com a, b R, pode ser determinado por:cos (a + b) = cos a ∙ cos b – sen a ∙ sen b

1. Se -ção cos é válida para esses valores.

2. Calcule os valores de:

a) cos 75°

b) cos 105°

3. Determine o valor da sec 285°.

4. Desenvolva as expressões:

a) cos ( + x)

b) cos 32

+ x


FÍSICA

29

FÍSICAMATEMÁTICA

Cosseno da subtração de dois arcos

Determine o valor de cos (a – b).

1.

válida para esses valores.

2. Qual o valor do cos 15°?

3. Sendo sen a = 35

513

, com a e b

pertencentes ao 1.º quadrante, calcule:

a)

b)

4. Simplifique a expressão

y = cos (60° + x) + cos (60° – x)cos x

, com

cos x 0.

5. Desenvolva a expressão cos 2

– x .

6. A água utilizada para a irrigação da plantação

rio para uma caixa-d’água a 60 metros de dis-tância. A plantação está a 150 metros de dis-tância da caixa-d’água, e o ângulo formado pelas direções caixa-d’água/captação e caixa- -d’água/plantação é de 15º. Pretende-se fazer uma ligação direta da captação para a planta-ção. Para tanto, serão necessários aproximada-mente quantos metros de encanamento?

(Use: 2 = 1,4, 6 = 2,4 e 10 = 3,16)

Qual a expressão que determina

Para determinar essa expressão, pense que

a função cosseno é

x, pois a função seno

Dek

o. 2

011.

Dig

ital.

Edua

rdo

Borg

es. 2

011.

Vet

or.

30

Seno da adição e da subtração de dois arcos

Para obter a expressão para o seno da adição de dois arcos, ou seja, sen (a + b), lembre-se de que sen = cos

2 – .

Assim:

sen (a + b) = cos 2

– (a + b)

sen (a + b) = cos 2

– a – b

sen (a + b) = cos 2

– a – b

Dessa forma, obtenha a expressão que determina sen (a + b).

Agora, obtenha o seno da subtração de dois arcos, ou seja, sen (a – b):


FÍSICA

31

FÍSICAMATEMÁTICA


a) sen 15° b) cossec 105°

2. Para atender determinada região, existem A, B e

C. A está ligada com B, e B está ligada com Cfuncionar, toda a região ficará sem energia elétrica. Para evitar que isso ocorra, a solu-

A e C, assim elas

determine a distância da estação A para a C.

(Use: 2 = 1,4 e 6 = 2,4)

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Aro

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Subestação de energia elétrica

Edua

rdo

Borg

es. 2

011.

Vet

or.

3. Simplifique a expressão sen (120° + x) + sen (120° – x).

4. Se sen a = 15

14

, sendo a e b arcos

5. Desenvolva as seguintes expressões:

a) sen (2 + x) b) sen 2 – x

6.

Tangente da adição e da subtração de dois arcos

Dados dois arcos, a e b, tais que a 2

+ k · e b 2

+ k · , com k Z, tem-se:


a) tg 75°

b) tg 15°

2. A tangente da adição dos arcos a e b é –3. Determine tg a

3. Calcule tg (

4. Determine o valor da cotg de 105°.

5.

a) tg x b) tg y

Tangente de (a + b):

tg (a + b) = tg a + tg b1 – tg a · tg b

com (a + b) 2

+ k · , k Z,

a 2

+ k · , k Z,

b 2

+ k · , k Z

Tangente de (a – b):

tg (a – b) = tg a – tg b1 + tg a · tg b

com (a – b) 90°+ k · 180°, k Z,

a 2

+ k · , k Z,

b 2

+ k · , k Z

Trigonometria II32

P.Im

agen

s/Iv

onal

do A

lexa

ndre Em alguns postes de distribuição de energia elétrica, são

instalados transformadores. Eles têm a função de garantir que as residências recebam a voltagem correta. Por se tratar de um equipamento pesado, a companhia de energia elétrica instala ca-bos de sustentação nos postes, como mostra a ilustração a seguir.

O comprimento do cabo de sustentação varia de acordo com o espaço disponível para sua instalação. A maioria das instalações tem a extremidade do cabo distante a 30 metros da base do poste, utilizando o equivalente a 20 3 metros de cabo (aproximadamente 34,6 m). Em postes instalados em locais com pouco espaço, a extre-midade do cabo fica a 10 metros da base do poste, distância mínima permitida pela empresa, utilizando 20 metros de cabo, como mostra a ilustração ao lado.Nessas condições, responda:

a) Qual a medida do ângulo a?

b) Determine a medida do ângulo b.

c) O ângulo b tem quantos graus a mais que o ângulo a?

O que se pode concluir sobre a medida do ângulo b em relação à medida do ângulo a?

Duplicação de arcos para o seno,

o cosseno e a tangente

Edua

rdo

Borg

es. 2

011.

Vet

or.

Seno e

cosseno de

arco duplo

@MAT1042


FÍSICA

33

FÍSICAMATEMÁTICA

Com base na situação anterior, observe as seguintes figuras:

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Na figura 1, tem-se um arco de medida a. Acrescentando um arco de mesma medida, ou seja, a + a (figura 2), obtém-se um novo arco de medida 2a (figura 3), chamado arco duplo.

Utilizando as expressões que determinam o seno, o cosseno e a tangente da soma de dois arcos (a + b), sendo b = a, determine.

a) o seno de 2a.

b) o cosseno de 2a.

c) a tangente de 2a.

Para a R, tem-se: sen 2a = 2 · sen a · cos acos 2a = cos2 a − sen2 aPara a R, com a ≠

4 + k ·

2e a ≠

2 + k · e k Z, tem-se:

tg 2a = 2 · tg a1 – tg2 a

Trigonometria II34

1. Determine o valor de sen 2x + cos 2x para sen x = 0,6, com

2 < x < .

2. Desenvolva a expressão (sen x + cos x)².

3.

4. Se tg x + cotg x = 2, calcule o valor de sen 4x.

5. (UNESP) Um farol localizado a 36 m acima do

distância xângulo , conforme a figura a seguir.

a) Admitindo-se que sen = 35

, calcule a dis-tância x.

b) -

zada, na qual o ângulo passou exatamente para 2 , calcule a nova distância x a que o

Uma maneira de determinar a área de um triângulo quando são conhecidas as medidas de dois lados a e b e o ângulo compreendido entre eles é por meio da relação:

Equações trigonométricas

fundamentais

A = 12

· a · b · sen

Considere um triângulo cuja área é 6 cm2 e dois lados têm medidas iguais a 4 cm e 6 cm. Qual a medida do ângulo formado por esses lados?


FÍSICA

35

FÍSICAMATEMÁTICA

Nessas condições, responda:

a) A equação sen x – cos 2x = 0 é trigonométrica? Justifique.

b) Pode-se considerar que a equação x² – cos 60° ∙ (x – 2) = 10 é trigonométrica? Justifique.

c) Das equações abaixo, assinale somente as equações trigonométricas.

( ) sen x = cos 2x – 2

( ) x + tg 45° = 0,8

( ) tg2 x + cos x – 4

= 1

( ) x2

= sen 2

– 3

a) Qual a medida dos arcos AB, AC, AD e AE?

b) Sendo sen x = sen a, dada a equação sen x = 22

, responda:

Com base no ciclo trigonométrico, determine quan-tas e quais são as soluções dessa equação, no inter-valo [0°, 360°] (na primeira volta positiva).

Muitas das equações trigonométricas podem ser reduzidas a equações mais simples, denominadas equações fundamentais.

Observe o ciclo trigonométrico e responda às questões a seguir.

Equação trigonométrica: para que a equação seja trigonométrica, ela deve apresentar uma incógnita em uma razão trigonométrica.

Trigonometria II36

Para o intervalo ]– , + [, quantas soluções tem essa equação?

Escreva o conjunto-solução dessa equação para o intervalo ]– , + [.

c) Determine o conjunto-solução da equação sen x = – 22

.

d) Sendo cos x = cos a, dada a equação cos x = 12

, responda:

Com base no ciclo trigonométrico, determine quantas e quais são as soluções dessa equa-ção, no intervalo [0°, 360°] (na primeira volta positiva).


FÍSICA

37

FÍSICAMATEMÁTICA



e) Determine o conjunto-solução da equação cos x = – 12

no intervalo [0°, 360°].

f) Sendo tg x = tg a, dada a equação tg x = 3, responda:

Com base no ciclo trigonométrico, determine quantas e quais são as soluções dessa equação, no intervalo [0°, 360°] (na primeira volta positiva).



Trigonometria II38

1. Escreva o conjunto-solução das seguintes equações, para x R:

a) sen x = sen 60°

b) cos x = 22

c) tg x = tg 65

d) cossec x = cossec 25

2. Determine o conjunto-solução das equações:

a) sen x = – 2

2, para x

b) tg x = 1, para x [0, 2

c) sec x = 2, para x [0, 2

d) cos 2x = 3

2, para x

3. Determine o conjunto-solução das seguintes equações:

a) x 360°

b)

4. (UEL – PR) O conjunto-solução da equação sen x = sen 2x no universo U = [0, 2

a) 0, 3

, 23

, , 2

b) 0, 3

, , 53

,2

c) 0, 3

, 2

, , 2

d) 0, 4

, 3

, 2

e) 0, 3

, , 2

5. (UTFPR) O valor de x para que

tg 3x2

+ = – 3, é:

a) –29

+ 2k3

, k Z

b) –23

+ 2k9

, k Z

c) 23

+ k9

, k Z

d) 32

+ k , k Z

6. (UFSCAR – SP) O conjunto-solução da equação

sen 89

+ 827

+ 881

... = cos x, com

x [0, 2 [, é:

a) 23

, 43

b) 56

, 76

c) 34

, 54

d) 6

, 116

e) 3

, 53

7. (FGV – SP) A soma das raízes da equação sen² x – sen (–x) = 0, no intervalo [0, 2 , é:

a) 72

b) 92

c) 52

d) 3

e) 32

Desafio

8. (FUVEST – SP) Um arco x está no terceiro qua-drante do círculo trigonométrico e verifica a

os valores de sen x e cos x.

9. Dada a equação sen4 x – cos4 x = 14

, deter-

x está no


FÍSICA

39

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Determine tg 105°.

2. Determine o valor de cos (x – 90°), sabendo que sen x = 0,6.

3. (UNICAMP – SP) Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras abaixo ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura:

a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação , tal que cos( ) = 0,99 . Su-ponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas.

b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na segunda figura. Com base nos dados da figura e sabendo que a mede 22 cm, calcule o compri-mento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais.

4. Se cos

2 + x + cos ( – x) + cos (2 – x)

sen 32

+ x – cos 2

– x + sen (2 + x) = 1,

então qual o valor de tg x no 1.º quadrante?

5. (UFG – GO) A figura abaixo representa uma quadra retangular inscrita num terreno semicircular cujo raio mede 10 m:

Nessas condições,

a) expresse a área da quadra em função do ângulo θ.b) determine as dimensões da quadra que possui

área máxima.

6. (CEFET – RJ) O maior valor possível da expressão (sen 3x + cos 3x)2 é:

a) 0

b) 1

c) 32

d) 2

7. (UNIR) Seja A = sen 20°sen 10°

+ cos 20°cos 10°

,

então 1A

é igual a:

a) sec 20o

b) cos 20o

c) tg 20o

d) sen 20o

e) cossec 20o

8. (UFSC) Na figura a seguir, determine a medida do segmento AB, em cm, sabendo que sen a = 0,6:

9. Determine a solução da equação

≤ x ≤ 90º.

10. Determine o conjunto-solução da equação

Trigonometria II40

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