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Sistemas de NumeraçãoDecimal e Binário

Números Naturais

▪ Os números naturais foram os primeiros a serem utilizados

▪ Objetivo: representar e quantificar valores

▪ Computadores utilizam números naturais para fazer posicionamento de uma informação em memória, bem como para gerenciamento de dados em disco rígido, além de outras aplicações

▪ Todas estas aplicações computacionais não fazem uso de números negativos

Professor Ariel da Silva Dias - www.arieldias.com - Obra Gratuita, proibida reprodução e venda

Representação dos Números Naturais

▪ O algarismo que está mais à esquerda tem maior valor do que os demais a direita, e isto depende da base numérica utilizada (veremos as bases logo mais)

▪ Um número natural pode ser representado do seguinte modo:

[ dt ... d2 d1 ]β

Onde:

▪ β – base numérica

▪ d1, d2,..., dt – dígitos da representação

▪ t – tamanho da representação


Representação dos Números Naturais

▪ O valor da representação gráfica do número é obtido pela soma das parcelas de acordo com a regra posicional, conforme abaixo:

N = dtβt-1 ... d3β2 + d2β1 + d1β0

▪ Note que o digito dt é o que possui maior valor significativo e está mais a esquerda


Sistema Decimal

▪ Para base 10, ou seja β = 10, os dígitos podem assumir os símbolos 0 1 ... 7 8 9

▪ Na base 10, as parcelas são chamadas de unidades, dezenas, centenas, etc, dependendo de cada posição, pois estão associadas respectivamente com 100, 101, ..., 10t-1

▪ Assim sendo:

▪ N = d3β2 + d2β1 + d1β0

▪ 347 = 3x102 + 4x101 + 7x100 ou 347 = 3x100 + 4x10 + 7x1

▪ 1241 = 1x103 + 2x102 + 4x101 + 1x100


Sistema Binário

▪ Para base 2, ou seja β = 2, os dígitos podem assumir os símbolos 0 1

▪ Os computadores trabalham internamente com dois níveis de tensão: 0v e 5v

▪ Com o sistema binário, o valor 0 (zero) indica falta de energia, enquanto o valor 1 (um) indica presença de energia

▪ Em sistema computacional chamamos os valores de 0 e 1 de bits (binary digit)▪ 8 bits é igual a 1 byte


Sistema Binário

▪ O sistema binário é a base para a Álgebra Booleana, a qual permite fazer operações lógicas e matemáticas utilizando apenas dois dígitos (0 e 1, falso e verdadeiro, desligado e ligado)

▪ Veremos a fundo a Álgebra Booleana, bem como os conceitos de circuitos eletrônicos digitais mais adiante no curso

▪ Assim sendo, a representação de um número binário é dado por:

▪ N = d2β1 + d1β0 CUIDADO!!!!

▪ 10 = 1x101 + 0x100 NÃO É O NÚMERO DEZ! É UM E ZERO!

▪ 11 = 1x101 + 0x100 NÃO É O NÚMERO ONZE! É UM E UM!


Conversão de Bases (Decimal para Binário) – MÉTODO 1

▪ No método 1, divide-se sucessivamente por 2 o valor da base 10

▪ O número binário será o quociente da última divisão seguido dos restos de todas as divisões na sequência em que foram realizadas.

▪ 810 = X2


8 20 4 2

0 2 20 1


▪ No método 1, divide-se sucessivamente por 2 o valor da base 10

▪ O número binário será o quociente da última divisão seguido dos restos de todas as divisões na sequência em que foram realizadas.

▪ 810 = X2


8 20 4 2

0 2 20 1

810 = 10002


▪ 710 = X2


7 21 3 2

1 1

710 = 1112


▪ 1310 = X2


13 21 6 2

0 3 21 1

1310 = 11012


▪ No método 2, considere a seguinte sequência

▪ Por exemplo, vamos obter 4510 = X2

▪ Para isso, começaremos da esquerda para a direta analisando e somando os termos da sequência acima até obtermos o número 45

▪ Neste caso, para obtermos o 45 precisamos somar:


256 128 64 32 16 8 4 2 1



▪ Por exemplo, vamos obter o número 45 em binário

▪ Para isso, começaremos da esquerda para a direta analisando e somando os termos da sequência acima até obtermos o número 45

▪ 256 é maior que 45, então não utilizaremos ele;

▪ 128 e 64 também são maiores que 45, então não utilizaremos ele


256 128 64 32 16 8 4 2 1



▪ Porém o número 32 é menor que 45, então vamos colocar um número 1 (um) em cima do número 32


256 128 64 32 16 8 4 2 1




▪ Agora vamos encontrar um segundo número que, ao somar com 32, tenhamos o valor 45

▪ 32 + 16 é igual a 48, e 48 é maior que 45, então não utilizaremos o 16

▪ Como não o utilizaremos, deixamos com 0 (zero) em cima dele


256 128 64 32 16 8 4 2 11




▪ Agora vamos encontrar um segundo número que, ao somar com 32, tenhamos o valor 45

▪ 32 + 16 é igual a 48, e 48 é maior que 45, então não utilizaremos o 16

▪ Como não o utilizaremos, deixamos com 0 (zero) em cima dele


256 128 64 32 16 8 4 2 11 0



▪ Agora vamos somar 32 + 8, o que nos dá o valor 40, que é menor que 45, logo, colocaremos o número 1 em cima do número 8


256 128 64 32 16 8 4 2 11 0




▪ Somaremos agora o número 40 (que obtivemos da última soma) com o próximo valor, que é 4, totalizando 44. Note que 44 é menor que 45, então podemos utilizá-lo

▪ Vamos colocar o número 1 em cima do número 4


256 128 64 32 16 8 4 2 11 0 1




▪ Somaremos agora o número 40 (que obtivemos da última soma) com o próximo valor, que é 4, totalizando 44. Note que 44 é menor que 45, então podemos utilizá-lo

▪ Vamos colocar o número 1 em cima do número 4


256 128 64 32 16 8 4 2 11 0 1 1



▪ Temos agora o valor 44, vamos somar este valor com o próximo número da sequência que é 2

▪ 44 + 2 é igual a 46, que é maior que 45, logo não poderemos utilizá-lo, colocaremos o 0 em cima dele


256 128 64 32 16 8 4 2 11 0 1 1






256 128 64 32 16 8 4 2 11 0 1 1 0





▪ Por fim, somaremos o último valor da sequência que é 1 com o valor atual da soma que é 44, obtendo 45, ou seja, o número esperado. Colocaremos o número 1 em cima dele.


256 128 64 32 16 8 4 2 11 0 1 1 0 1



▪ Deste modo, podemos dizer que 4510 = 1011012


256 128 64 32 16 8 4 2 11 0 1 1 0 1

Conversão de Bases (Binário para Decimal) – MÉTODO 1

▪ Neste método, vamos escrever cada número que compõe o bit multiplicando-o pela base dois, elevando-o a posição que ocupa

▪ A soma de cada multiplicação de cada digito binário resultará no número decimal, veja exemplo

▪ 1012 = X10 ➔ 1x2² + 0x2¹ + 1x2° = 1x4 + 0x2 + 1x1 = 4 + 0 + 1 = 510

▪ 1112 = X10 ➔ 1x2² + 1x2¹ + 1x2° = 1x4 + 1x2 + 1x1 = 4 + 2 + 1 = 710

▪ 10112 = X10 ➔ 1x2³ + 0x2² + 1x2¹ + 1x2° = 1x8 + 0x4 + 1x2 + 1x1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 1110

▪ CUIDADO!!! ➔ Neste último exemplo, o valor final é ONZE, e não um um!



▪ No método 2, utilizaremos a mesma sequência já apresentada anteriormente

▪ Agora, vamos dispor a sequência de bits em cima da sequência

▪ Atenção para que o último algarismo a esquerda dos bits deve ficar sobre o último algarismo a esquerda da sequência apresentada

▪ 1001012 = X10

▪ Agora somaremos todos os valores da sequência que possui o valor 1 em cima, no nosso caso somaremos 32 + 4 + 1, totalizando 37, podemos dizer que 1001012 = 3710


256 128 64 32 16 8 4 2 11 0 0 1 0 1


▪ 11110112 = X10

▪ Agora somaremos todos os valores da sequência que possui o valor 1 em cima, no nosso caso somaremos 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1, totalizando 123, podemos dizer que 1001012 = 3710


256 128 64 32 16 8 4 2 11 1 1 1 0 1 1

Atividades

▪ As atividades estão no site


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