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Sistema de numeração

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Sistema de numeração

Você já pensou sobre:

a) O modo como surgiram os números?

b) Como foram as primeiras formas de contagem?

c) Como os números foram criados, ou, será que eles sempre existiram?

d) Como se dá uma representação numérica?

e) Quais os símbolos numéricos?

f) O que é um número? Qual a sua importância?

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Símbolos numéricos Representação numérica é utilizada para representar quantidade.

.

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I II III IIII IIIII IIIIII IIIIIII IIIIIIII IIIIIIIII

1 2 3 4 5 6 7 8 9


Sistema de numeração É um conjunto de regras que permite escrever todos os números naturais através de palavras e sinais. É a palavra ou símbolo que expressa quantidade, grandeza, intensidade, ordem, etc.

Um sistema de numeração deve: •Representar uma grande quantidade de números úteis (ex.: todos os números inteiros, ou todos os números reais);

•Dar a cada número representado uma única descrição (ou pelo menos uma representação padrão);

•Refletir as estruturas algébricas e aritméticas dos números.

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Qualquer sistema de numeração pode ser representado por:

N = dnbn +... + d3b3 + d2b2 + d1b1 + d0b0

Onde: N = representação do número na base n = valor posicional d = representa o peso da potencia b = representa a base do sistema Exemplos: a) 1210 = 1.101 + 2.100 = 1210 b) 1116 = 1.161 + 1.160 = 1710 c) 11002 = 1.23 + 1.22 + 0.21 + 0.20 = 1210 d) 148 = 1.81 + 4.80 = 1210

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Há muitos sistemas de numeração em uso na tecnologia digital. Os mais comuns são: decimal, binário e hexadecimal.

No cotidiano usa-se o sistema decimal, enquanto os sistemas digitais operam usando números binários.

O hexadecimal é um sistema de numeração que torna mais fácil para os humanos lidar com os números binários.

Os três sistemas funcionam e são definidos da mesma forma.

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Sistema decimal

É composto por 10 símbolos ou números:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Usando esses símbolos, pode-se expressar qualquer quantidade.

O sistema decimal também é chamado de sistema de base 10, por ter 10 dígitos.

A palavra “digito” é derivada da palavra “dedo” em latim.

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O sistema decimal é um sistema de valor posicional, no qual cada dígito depende de sua posição no número.

Ex.

Em essência o dígito 2 é o de maior peso entre os 4. ele é denominado de dígito mais significativo (Most siginificant digit – MSD)

O dígito 6 é o de menor peso, sendo denominado de digito menos significativo (Least significant digit – LSD)

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Os números decimais são representados usando potências de 10, multiplicadas pelos coeficientes apropriados, por isso é denominado de base 10.

Ex.

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Considere o exemplo: 27,35

Como sabemos a virgula é utilizada para separar a parte inteira da fracionária do número.

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Em geral, qualquer número é a soma de produtos do valor de cada dígito pelo seu valor posicional.

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Contagem decimal A contagem no sistema decimal começa com o zero na posição da unidade e passa-se, progressivamente, pelos símbolos (dígitos) até chegar ao 9. Então, soma-se 1 na próxima posição de maior peso e recomeça-se com o zero na próxima posição. Esse processo vai até 99. Em seguida soma-se 1 na terceira posição e recomeça-se a contagem com zero nas duas primeiras posições.

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É interessante notar que com duas posições decimais é possível contar 100 (102) números diferentes.

Com 3 posições pode-se contar até 1000 (103) números.

Em geral, com n posições ou dígitos, pode-se contar até 10n números diferentes, começando pelo zero e incluindo-o. O maior número será então 10n – 1.

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Infelizmente, o sistema de numeração decimal não é conveniente para ser implementado em sistemas digitais.

É muito difícil projetar um equipamento eletrônico para que ele opere com 10 níveis diferentes de tensão (cada um representando um caractere decimal – 0 a 9)

Por outro lado, é muito fácil projetar um circuito eletrônico, simples e preciso, que opere com apenas dois niveis de tensão.

Por esse motivo, quase todos os sistemas digitais utilizam o sistema binário para suas operações. Outros sistemas de numeração digital também utilizam, para interpretar ou representar quantidades binárias, para conveniencias de quem trabalha e usa sistemas digitais.

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Sistema binário

No sistema binário há apenas dois símbolos:

0 e 1.

Esses símbolos também podem ser utilizados para representar qualquer quantidade que pode ser representada no sistema decimal ou outro sistema de numeração.

Logo, é comum que o sistema binário utilize um número maior de dígitos para representar o número.

Ex. 10012 = 910

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Tudo que foi dito para o sistema decimal é válido para o sistema binário, que também é de valor posicional, em que cada dígito binário tem um valor. Nesse caso, expresso em potencia de dois.

10102= 1x23+0x22+1x21+0x20

= 1x8 + 0x4 + 1x2 +0x1

= 8+0+2+0 = 1010

10102 = 1010

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No sistema binário, o termo digito binário é quase sempre abreviado com o uso do termo bit.

Portanto, 10102 tem 4 bits.

Ex.101,1012=1x22+0x21+1x20+1x2-1+0x2-2+1x2-3 = 1x4+0x2+1x1+1x0,5+0x25+1x0,125 = 4+0+1+0,5+0+0,125

= 5,62510

O bit mais significativo tem peso 2

O bit menos significativo tem peso -3

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É costume agrupar os números decimais de 3 em 3 dígitos.

Ex. 999.999

Nos números binários optou-se por agrupar de 4 em 4 dígitos, para facilitar a conversão.

O agrupamento de 4 dígitos binários dá-se o nome de nible.

Já o processamento feito pelos computadores está baseado em agrupamentos de 8 dígitos (bits), cada um desses recebendo o nome de byte.

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Sistema Octal

No sistema Octal há 8 dígitos (0 a 7).

Esses 8 dígitos são representados pelas combinações possíveis de 3 bits, desde

010 = 0002 até

710 = 1112 .

Por essa razão, um número na base 2 pode ser representado em base 8 fazendo corresponder a cada grupo de 3 bits, pois 8 = 23.

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Sistema Hexadecimal No sistema hexadecimal há 16 símbolos (dígitos). Utiliza-se os 10 símbolos do sistema decimal (0 a 9) e mais 6 símbolos extra, que por simplicidade são as 6 primeiras letras do alfabeto latino (A,B,C,D,E,F).

Como 16 = 24 cada dígito do sistema hexadecimal é representado por um conjunto de 4 bits Da mesma forma, o sistema hexadecimal é posicional.

Ex. 1E216 = 1x162 + Ex161 + 2x160

= 1x 256 + (14)x 16 + 2 x 1 = 256 + 224 + 2 = 48210

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Representação de quantidades.

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Conversão de sistema de numeração

A conversão entre os sistemas de numeração se dá devido a necessidade de várias representações .

Conversão de decimal para binário e vice-versa.

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Conversão: Binário para decimal Sendo os números determinados por valor posicional, utiliza-se dessa posição para a conversão.

11012 = 1x23 + 1x22 + 0x21+ 1x10 = 8+4+0+1 = 1310

112 = 1x21+1x20 = 310

101,112 = 1x22+0x21+1x20+1x2-1+1x2-2

1x4 + 0x2 + 1x1 + 1x0,5 + 1x0,25 = 5,7510

Observe que o procedimento resume-se em descobrir os pesos, ou seja, as potências de 2, para cada posição preenchida com um bit de valor absoluto igual a 1, e então somar os valores obtidos.

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Conversão: decimal para binário. O primeiro processo é inverso ao método binário para decimal, ou seja, utiliza-se dos valores posicionais.

Outro método: utilizando divisão sucessiva.

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12,2 10 = ? 2

12,2 10 = 1100,001102

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Converte os números:

a) 50 10 = x 2

b) 27,4 10 = y 2

c) 175,4 10 = z 2

d) 111012 = w 10

e) 100100,110012 = k 10

f) 11001102 = h 10

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Converter de octal para decimal

Para converter de octal para decimal utiliza-se as potências de 8.

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Converter de decimal para octal

Divisão sucessiva

9910 = 1438

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Converter de octal para binário

Basta verificar que cada digito octal corresponde a 3 digitos binários. Para fazer a conversão de octal para binário, basta fazer a conversão digito a digito.

730 8 = ?2

logo, 730 8 = 1110110002

E a conversão inversa, como se faz?

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