lógica matemática e elementos de lógica...

Lógica Matemática e

Elementos de Lógica Digital

Curso: Ciência da Computação

Lívia Lopes Azevedo

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LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL

Apresentação

Plano de ensino

Curso

Conceitos básicos de lógica – lógica proposicional

Comportamento analógico e digital

Álgebra booleana e circuitos lógicos

Circuitos combinacionais

Circuitos seqüenciais

Circuitos de memória

Introdução ao Microprocessador

plano ensino logica 2016.pdf


O que é lógica? Embora existam muitas definições para o campo de

estudo da lógica, essas definições não diferem essencialmente umas das outras; há um certo consenso entre os autores de que a Lógica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensamento, e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigação da verdade.

Lógica é a análise de métodos de raciocinio.

A lógica é uma Ciência de índole matemática fortemente ligada à Filosofia. Um sistema lógico, por sua vez, é um conjunto de axiomas e regras de inferência que visam representar, formalmente, um raciocínio válido.

Breve Retrospecto

PERÍODO ARISTOTÉLICO (± 390 a.C. a ± 1840 d.C.)

A história da Lógica tem início com o filósofo grego Aristóteles (384 - 322a.C.) na Macedônia.

Aristóteles criou a ciência da Lógica cuja essência era a teoria do silogismo (certa forma de argumento válido).

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) merece ser citado, apesar de seus trabalhos terem tido pouca influência nos 200 anos seguidos e só foram apreciados e conhecidos no século XIX .

LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL

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Breve Retrospecto

PERÍODO BOOLEANO :(± 1840 a ± 1910)

George Boole (1815-1864) e Augustus De Morgan

(1806-1871).

Gotlob Frege (1848-1925) – suas ideias foram

reconhecidas depois de 1905 – avanço lógica

Giuseppe Peano (1858-1932) - simbologia matemática -

escola


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Breve Retrospecto

PERÍODO ATUAL: (1910- ........)

Bertrand Russell (1872-1970) e Alfred North Whitehead

(1861-1947)

David Hilbert (1862-1943) e sua escola alemã com von

Neuman, Bernays, Ackerman e outros

Kurt Gödel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983)


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Há outros pontos de vista para a lógica?

Clássica, baseada em linguagem natural

Matemática ou simbólica

Booleana

Circuitos

Modal

Plurivalente

Nebulosas (fuzzy)

Probabilisticas

Intucionista


Linguagem natural

« o produto de um número pela soma de dois outros é igual ao produto do primeiro pelo segundo somado ao produto do primeiro pelo terceiro »

Linguagem simbólica ou formal

« Se x, y, z são números, arbitrários,

x.(y+z) = x.y + x.z »

Objetivo da linguagem simbólica é exprimir com correção e exatidão o pensamento e os resultados do conhecimento científico.


No estudo desses métodos a lógica esta interessada, principalmente, na forma e não no conteúdo dos argumentos.

«Todo molusco é invertebrado. O caracol é um molusco. Logo, o caracol é invertebrado. »

« Todo cão late.

Totó é um cão.

Portanto, Totó late. »

Do ponto de vista da lógica, esses argumentos têm a mesma estrutura e forma.

« Se todo X é Y. Z é um X. Logo Z é Y ».


Toda linguagem necesssita de um alfabeto e uma fórmula ou expressão.

Alfabeto – formado por todo os simbolos matematicos e letras do alfabeto latino e grego. (α, a, +, є, V, F)

Expressão – formada pela concatenação de simbolos do alfabeto

Ex. a + y

3 є (3, 5, 7)

Linguagem de programacão

Abce não se refere a palavra do alfabeto

+ 3 = є 7 x ou objeto matematico, logo não é

uma expressão


O conceito mais elementar no estudo da lógica é o de Proposição.

Proposição “vem de propor” que significa submeter à apreciação; requerer um juízo. Trata-se de uma sentença declarativa – algo que será declarado por meio de termos, palavras ou símbolos – e cujo conteúdo poderá ser considerado verdadeiro ou falso.

Ao afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estamos diante de uma proposição cujo valor lógico é verdadeiro.

Quando falarmos em valor lógico estaremos nos referindo a um dos dois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição:

verdadeiro (V) ou falso (F)


Chama-se de proposição ou enunciado a expressão que

correlaciona objetos ou descreve propriedade desse

objeto.

Uma proposição exprime um pensamento de sentido

completo

Ex. A lua é satelite da terra

3x5 = 5x3

Pedro estuda e trabalha


Expressões da forma:

Que dia lindo!

Qual o seu nome? Feliz Ano Novo.

Escreva um artigo.

Não são consideradas proposições

Em lógica consideramos apenas as proposições que são

declarativas e que só admitem dois valores:

verdadeiro (V) ou falso (F), um excluindo o outro.

Ex.

« duas retas de um plano são paralelas ou concorrentes »

« Os humanos precisam de água para sobreviver »


Considere o seguinte:

a. Dez é menor do que sete.

b. Como vai você?

c. Ela é muito talentosa.

d. Existem formas de vida em outros planetas do universo.

A frase (a) é uma proposição porque é falsa.

Como o item (b) é uma pergunta, não pode ser considerado nem verdadeiro nem falso. Não tem valor-verdade e, portanto, não é uma proposição.

Na frase (c) a palavra ela é uma variável e a frase não é verdadeira nem falsa, pois ela não está especificada; portanto, (c) não é um enunciado.

A frase (d) é um enunciado porque é verdadeira ou falsa; independentemente de sermos capazes de decidir qual dos dois.


A lógica matematica adota como regras fundamentais três princípios ou axiomas:

Princípio da identidade

Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa.

Princípio da Não-Contradição

Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Ou seja, não é possível afirmar e negar o mesmo predicado para o mesmo objeto ao mesmo tempo; ou ainda, de duas afirmações contraditórias, uma é necessariamente falsa.

Princípio do Terceiro Excluído

Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade.


Exemplos de proposições

1 – O Brasil ganhou a copa de 2014 (F)

2 – Jorge Amado escreveu « mar morto » (V)

3 – ¾ é um numero inteiro (F)

4 – Brasilia é capital do Brasil (V)

5 – O maior jogador do mundo é Maradona (F)

6 – O número 2 é primo (V)


Argumentos lógicos

Se eu ganhar sozinho na Mega Sena, serei rico

Eu ganhei na Mega Sena

Logo, sou rico

Como a conclusão “sou rico” é uma decorrência lógica das

duas premissas, esse argumento é considerado válido.

A validade do argumento está diretamente ligada à

forma pela qual ele se apresenta.

premissas

conclusão


Se eu ganhar na Loteria, serei rico

Não ganhei na Loteria

Logo, não sou rico

Embora seja semelhante ao anterior, tem outra forma, e, nessa forma, a conclusão não se segue logicamente das premissas, e, portanto, não é um argumento válido.

Se jogamos bem, ganhamos. Ganhamos, logo, jogamos bem.

Na verdade jogamos mal, mas o adversário jogou pior e o juiz nos ajudou.

premissas

conclusão


A Lógica dispõe de duas ferramentas que podem ser utilizadas pelo pensamento na busca de novos conhecimentos: a dedução e a indução

Dedução - Os argumentos dedutivos pretendem que suas premissas forneçam uma prova conclusiva da veracidade da conclusão.

Um argumento dedutivo é válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão.

Um argumento dedutivo é dito inválido quando for impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa.

Tvs antigas são preto e branco

Pinguins são preto e branco

Logo, Pinguins são tvs antigas


Indução - Os argumentos indutivos não pretendem que suas premissas forneçam provas cabais da veracidade da conclusão, mas apenas que forneçam indicações dessa veracidade.

Joguei uma pedra no lago, e a pedra afundou;

Joguei outra pedra no lago e ela também afundou;

Joguei mais uma pedra no lago, e também esta afundou;

Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar.

Os termos “válidos” e “inválidos” não se aplicam aos argumentos indutivos; eles costumam ser avaliados de acordo com a maior ou menor possibilidade com que suas conclusões sejam estabelecidas.

Os argumentos indutivos partem do particular para o geral, isto é, a partir de observações particulares, procura estabelecer regras gerais.

LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTOS LÓGICA DIGITAL

Analise a proposição

p: Essa sentença é falsa.

A frase é verdadeira ou falsa?

Se p for falsa, a proposição é verdadeira

Se p for verdadeira, a proposição é falsa

Estamos diante de um paradoxo, pois a sentença não

pode ser verdadeira e falsa simultaneamente

Paradoxos – são proposições que não admitem um único

valor lógico, apesar de serem declarativas.

LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTOS LÓGICA DIGITAL


p: Pedro é analista ou não é analista

Qual o valor lógico dessa proposição?

As proposições ( r ) e ( s ) são contraditórias

Ou seja, se uma for verdadeira a outra é falsa.

Uma proposição simples ou composta que apresenta

sempre o valor lógico (V), independente dos valores

lógicos de suas proposições componentes, é

denominado de Tautologia

r s


Uma proposição logicamente verdadeira é aquela cuja

verdade depende exclusivamente do arranjo de certas

expressões, ditos vocábulos lógicos, e não de um texto

empírico ou observacional. Esses vocábulos são:

e, ou, não, se ... então, ... se somente se ..., todo.

Ex.

« Sócrates é mortal e Zeus é um deus. »

« João é cuiabano ou João não é cuiabano. »

« Se todo homem é mortal e Sócrates é homem, então

Sócrates é mortal. »


As partículas (vocábulos) lógicas: e, ou, não, se ... então,

... se somente se ..., desempenham importante papel no

estabelecimento das disciplinas, pois a partir de

proposições simples podem ser formados proposições

compostas.

Normalmente as proposições são representadas por

letras do alfabeto latino ou grego (p, q, t, α, β...)


Proposições simples

p: 5 < 8 VL(p) = V

q: o novo papa é alemão vl(q) = F

r: João é médico vl(r) = F

s: Pedro é analista vl(s) = V

proposições compostas

w= junção de r e s: (João é médico e Pedro é analista)

vl(w) = ???

t: comprarei um carro se e somente se ganhar dinheiro

vl(t) = ???

v: Paulo é matogrossense ou é goiano vl(v) = ????


A veracidade de uma proposição simples é imediata,

enquanto a veracidade de uma proposição composta

depende de duas coisas:

1) do valor lógico das proposições compostas,

2) do tipo de conectivo lógico que as une.

Conectivos a serem estudados:

e, ou, não, se ... então, se somente se,


Conectivos Lógicos



p: Cuiabá é capital de Mato Grosso

É uma proposição cujo valor lógico é verdadeiro

A negação dessa proposição ~p seria:

~p: não é verdade que Cuiabá é capital de Mato Grosso

~p: Cuiabá não é capital de Mato Grosso

Cujo valor lógico da negação é falso

r: Computação está na área de humanas

~r: Computação não está na área de humanas

~r: Não é verdade que computação está na área de humanas.


Negação de p

¬p ou ∼p

lê-se: “não p”

Semântica da negação

se p é verdadeira, então ¬p é falsa

se p é falsa, então ~p é verdadeira

Tabela Verdade

descreve os valores lógicos de uma proposição em termos

das combinações dos valores lógicos das proposições

componentes e dos conetivos usados

Tabela verdade negação

p ~p

V F

F V


Conectivo « e » (^) and ( . ) – conjunção

Definição

Chama-se conjunção de duas proposições p e q a

proposição representada por « p^q », cujo valor lógico é

a verdade (V) quando as proposições p e q forem ambas

verdadeiras, e falsidade (F) nos demais casos.

Simbolicamente é representada por:

« p^q », « p.q », « p and q »

Reflete uma noção de simultaneidade


Ex. « Eu te darei uma bola e eu te darei uma chuteira »

p: eu te darei uma bola q: eu te darei uma chuteira

Valor lógico das proposições:

Eu te darei uma

bola

p

Eu te darei uma chuteira

q

Eu te darei uma bola e eu te darei uma

chuteira

p ^q

V V V

V F F

F V F

F F F

Se as proposições p e q forem

representadas como conjuntos,

por meio de um diagrama, a

conjunção " p e q " corresponderá

à interseção do conjunto p com o

conjunto q.


Exercício: Conjunção

1) Suponha que p e q são respectivamente V e F.

Qual o valor lógico?

p ∧ ~q

~p ∧ q

~p ∧ ~q

2) Determine o V(p), sabendo que

V(q) = V e V(p ∧ q) = F


Conectivo « ou » (v) or ( + ) – disjunção

« p ∨ q », « p + q », « p or q »

Definição

Chama-se disjunção de duas proposições p e q a

proposição representada por « p v q », cujo valor lógico

é a falso (F) quando as proposições p e q forem ambas

falsas, e verdadeiras (V) nos demais casos.

lê-se: “p ou q”

Reflete a noção de “pelo menos uma”


«Eu te darei uma bola ou eu te darei uma chuteira »

Valor Lógico da proposição


Eu te darei uma

bola (p )

Eu te darei uma

chuteira ( q )

Eu te darei uma bola ou eu te darei

uma chuteira (p v q )

V V V

V F V

F V V

F F F


representadas como

conjuntos, por meio de um

diagrama, a disjunção “p e q"

corresponderá à união do

conjunto p com o conjunto q.


Exercício: Disjunção

1) Suponha que p e q são respectivamente V e F.

Qual o valor lógico?

p ∨ ~q

~p ∨ ~q

~~p ∨ ~q

p ∧ (¬p ∨ q)


V(q) = F e V(p ∨ q) = F


Condição de duas proposições p e q

p → q

lê-se: “se p então q”

Definição

Chama-se condição de duas proposições p e q a proposição representada por « p q », cujo valor lógico é a falso (F) quando a premissa é verdadeira e a conclusão é falsa, e verdadeiras (V) nos demais casos.

Reflete a noção de implicação


«Se eu te der uma bola então eu te darei uma chuteira »

Valor Lógico da proposição

p: eu te der uma bola q: eu te darei uma chuteira

Eu te darei uma

bola (p )

Eu te darei uma

chuteira ( q )

Se eu te der uma bola então eu te darei

uma chuteira (p q )

V V V

V F F

F V V

F F V


representadas como

conjuntos, por meio de um

diagrama, a condicional “p e

q" corresponderá à inclusão

do conjunto p no conjunto q. A proposição p é condição suficiente para q.

A proposição q é condição necessária para p.


Exercício: Condição


V(q) = F e V(p → q) = F

V(q) = F e V(q → p) = V

2) Determine o V(p) e V(q), sabendo que

V(p → q) = V e V(p ∧ q) = F

V(p → q) = V e V(p ∨ q) = F


Bicondição de duas proposições p e q

p q

lê-se: “ p se somente se q”

Definição

Chama-se bicondicional uma proposição

representada por « p se e somente se q » ou

« p ↔ q », cujo valor logico é verdade (V) quando p

e q sao ambas, verdadeiras ou falsas.


Eu te darei uma bola se, somente se eu te der uma chuteira »


•p é condição necessária e

suficiente para q.

* q é condição necessária e

suficiente para p

Portanto p ↔ q é (pq ) e (q p)

• verdadeira, quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas

• falsa, quando p e q possuem valor verdade distintos

Eu te darei uma bola

(p )

Eu te darei uma chuteira

(q )

Eu te darei uma bola se somente se eu te der

uma chuteira (p ↔ q )

V V V

V F F

F V F

F F V


Exercício: Bicondição

Determine o V(p), sabendo que

V(q) = V e V(p ↔ q) = F

V(q) = F e V(q ↔ p) = V

2) Determine o V(p) e V(q), sabendo que

V(p ↔ q) = V e V(p ∧ q) = V

V(p ↔ q) = V e V(p ∨ q) = V

V(p ↔ q) = F e V(¬p ∨ q) = V

Exercícios

Antes de iniciarmos o estudo sistemático da Lógica, exercitemos desde já nosso raciocínio, e apelemos ao velho e útil bom senso para resolver os seguintes problemas:

Se eu não tenho carro, a afirmação “meu carro não é azul” é verdadeira ou falsa ?

Existe um ditado popular que afirma que “toda regra tem exceção”. Considerando que essa frase é, por sua vez, também uma regra, podemos garantir que é verdadeira ? Ou que é falsa ?

Durante uma expedição, um explorador encontra uma caverna com três deuses: o deus da sinceridade, que sempre fala a verdade; o deus da diplomacia, que às vezes diz a verdade, às vezes, não; e o deus da falsidade, cujas declarações são sempre mentirosas. O deus A diz: “B é o deus da sinceridade”, mas o deus B retruca: “Não, eu sou o deus da diplomacia”, e o deus C completa: “Nada disso, B é o deus da mentira”. Afinal, quem é quem ?

Havia três garotas, Sueli, Marcia e Diana. Suponha que

os seguintes fatos são dados:

a) Paulo ama ao menos uma das garotas;

b) Se ele ama Sueli mas não Diana, então também ama

Marcia;

c) Ou ele ama Diana e Marcia ou nenhuma das duas;

d) Se ele ama Diana, entao também ama Sueli;

Qual das garotas voce conclui que Paulo ama?

Exercícios

1) Construção da tabela verdade para:

a) p ∨ ¬q

b) p ∧ ¬q → F

c) p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

d) ¬(p ∨ ¬q)

e) ¬(p → ¬q)

f) p ∧ q → p ∨ q

g) ¬p → (q → p)

h) (p → q) → p ∧ q

i) q ↔ ¬q ∧ p

j) p → (q → (q → p))

k) ¬(p → (¬p → q))

l) p ∧ q → (p ↔ q ∨ r)

m) ¬p ∧ r → q ∨ ¬r

n) p → r ↔ q ∨ ¬r

o) p → (p → ¬r) ↔ q ∨ r

p) (p ∧ q → r) ∨ (¬p ↔ q ∨ ¬r)

2) Verifique se as informações dadas são suficientes

para determinar o valor lógico da expressão:

a) (pq) r , para V (r) = V

b) (p +r) +((s q) , para V(q) = F

c) ((p+q)↔(p.q) ((r.p)+q)) , para V(q) = V

d) ((p↔ q) p) , para V(q) = V

3. Existe um ditado popular que afirma que “toda regra

tem exceção”. Considerando que essa frase é, por sua

vez, também uma regra, podemos garantir que é

verdadeira ? Ou que é falsa ?

4. Durante uma expedição, um explorador encontra uma

caverna com três deuses: o deus da sinceridade, que

sempre fala a verdade; o deus da diplomacia, que às

vezes diz a verdade, às vezes, não; e o deus da

falsidade, cujas declarações são sempre mentirosas. O

deus A diz: “B é o deus da sinceridade”, mas o deus B

retruca: “Não, eu sou o deus da diplomacia”, e o deus

C completa: “Nada disso, B é o deus da mentira”.

Afinal, quem é quem ?


Referência:

Daghlian, J. , Lógica e Álgebra de Boole, Atlas, São Paulo, 2001.

Cesar, A. Mortari, Introdução à Lógica, Ed. Unesp, São Paulo, 2011.

Sousa, J. N., Lógica para a Ciência da Computação, Ed. Campus,

São Paulo, 2012.

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