representação do conhecimento -...

Cálculo proposicional

O estudo da lógica é a análise de métodos de raciocínio.

No estudo desses métodos, a lógica esta interessada principalmente na forma e não no conteúdo dos argumentos.

“ Lógica: conhecimento das formas gerais e regras gerais do pensamento correto e verdadeiro, independentemente dos conteúdos pensados; regras para demonstração científica verdadeira; regras para pensamento não científicos; regras sobre o modo de expor o conhecimento; regras para verificação da verdade ou falsidade de um pensamento etc.” (Chauí, 2002, apud Souza, 2002)

Abordagens introdutórias:

Lógica proposicional

Lógica de predicados

1

Cálculo proposicional Argumento: sequência de afirmações para demonstrar a validade de uma

asserção.

Forma de um argumento: conceito central da lógica dedutiva.

Como saber que a conclusão obtida de um argumento é válida?

As afirmações que compõem o argumento

– são aceitas como válidas, ou

– podem ser deduzidas de afirmações anteriores.

Em lógica, forma de um argumento é diferente de seu conteúdo.

“Análise lógica” não determina a validade do conteúdo de um argumento.

“Análise lógica” determina se a verdade de uma conclusão pode ser obtida da verdade de argumentos propostos.

Lógica: Ciência do Raciocínio

2


Argumento (definição): - Um argumento é uma sequencia de afirmações; - Todas as afirmações, exceto a última, são chamadas de premissas

ou suposições ou hipótese; - A última afirmação é chamada de conclusão.

Alguns fatos sobre argumentos do ponto de vista da

matemática e da lógica: - Um argumento não é uma disputa; - Um argumento é uma sequencia de comandos que termina

numa conclusão; - Um argumento válido significa que a conclusão pode ser obtida

necessariamente das afirmações que o precedem; Em geral utiliza-se o símbolo ( - “de onde se conclui”), para

indicar a conclusão.

3


Forma de um Argumento x Seu Conteúdo Se a sintaxe de um programa esta errada ou Se a execução do programa resulta numa divisão por zero, então o computador irá gerar uma mensagem de erro. Computador não gera uma mensagem de erro ↓ Sintaxe do programa está correta e Execução do programa não resulta em divisão por zero.

4


Formas de um argumento x seu conteúdo Nos exemplos, temos que o conteúdo dos argumentos é diferente. No

entanto, a “forma lógica” é a mesma.

Argumentos na forma lógica são normalmente representados por letras minúsculas do alfabeto.

Ex.: p, q. r, ...

Em geral, as definições da lógica formal estão de acordo com a lógica natural ou intuitiva das pessoas de bom senso.

O formalismo é introduzido para evitar ambiguidades e garantir consistência.

5


Proposições.

Em toda teoria matemática, usam-se termos já definidos na concepção de novas definições.

Mas como fazer com os termos mais “primitivos”?

- termos “primitivos” ou iniciais não são definidos.

- em lógica, os termos primitivos são: sentenças, verdadeiro, e falso.

Definição:

Uma afirmação ou proposição é uma sentença que é verdadeira (V) ou falsa (F), mas não ambas.

6


Proposições.

7


Proposições compostas. Usaremos as letras minúsculas (ex.: p, q, r, ...) para representar proposições.

Os seguintes símbolos podem ser usados para definir expressões lógicas mais complexas, a partir de expressões mais simples:

a) ¬ ou ~ ou “barra sobre a letra” ou “linha”: representam o “não”

¬y: lê-se “não y” outras formas “~y”, “y’ “ e ȳ

a) Λ: representa o conectivo “e”, conjunção de p e q

p Λ q: lê-se “p e q”

a) “v” : representa o conectivo “ou”, disjunção de p e q

p v q: lê-se “p ou q”

Usaremos o termo fórmula (indicado por : α, β, ...) para as proposições simples (p, q , r) e compostas (p v q; ~p; p→r, [(p v q) →q]...). Ao resultado do valor lógico atribuído a cada fórmula, denominaremos interpretação e indicaremos por I.

8

Cálculo proposicional Proposições compostas.

Tradução da linguagem natural para a algébrica

9


Para uma sentença ser uma proposição é necessário ter um valor-verdade bem definido, isto é, V ou F.

10


Construa a tabela verdade para a expressão:

.

O ponto fundamental em assinalar “valores-verdade” para proposições compostas é permitir o uso da lógica para decidir a verdade de uma proposição usando somente o conhecimento das partes.

A lógica não ajuda a determinar a verdade ou falsidade de uma afirmação em si, ou seja, seu conteúdo.

11


Equivalência lógica.

Definição: duas proposições p e q são equivalentes logicamente se e somente se os valores-verdade obtidos forem idênticos para cada combinação possível das variáveis que formam as proposições.

Exemplo:

Como verificar se duas proposições são equivalentes logicamente?

12

Cálculo proposicional Sejam as afirmações:

- p = João é alto.

- q = José é ruivo.

A proposição (p Λ q) é verdadeira se somente se os componentes forem verdadeiras.

Quando a proposição é falsa?

- quando um dos componentes ou ambos forem falsos, ou seja, quando:

Mostre as seguintes equivalências:

Essas equivalências ( ) são conhecidas como Lei de De Morgan, que foi o primeiro a expressá-las em termos matemáticos.

13


Apesar das leis da lógica serem extremamente úteis, elas devem ser usadas como uma ajuda ao raciocínio e não como um substituto mecânico a inteligência.

Equivalência lógica é muito útil na construção de argumentos.

14


Proposição condicional ou implicação.

- “Se p então q” (ou p implica q) é representado simbolicamente por p q ,

- onde p é chamado de hipótese e q de conclusão. Essa sentença é denominada de condicional.

Esse tipo de sentença é usado tanto na linguagem natural quanto em raciocínio matemático para dizer que a verdade da proposição q (conclusão) está condicionada a verdade da proposição p (hipótese).

- Ex. se (48 é divisível por 6)=[p] , então (48 é divisível por 3)=[q] .

- Se João estuda=[p] , então sai bem na prova=[q].

15


Proposição condicional.

16


Por equivalência mostre:

17


Mostre por equivalência lógica, usando tabela verdade, que é possível representar :

a) b)

c) A proposição contrapositiva de

ou

Atenção:

18


Bicondição de duas proposições p e q

p ↔ q, lê-se: “ p se somente se q”

Definição

Chama-se bicondicional uma proposição representada por « p se e somente se q » ou

« p ↔ q », cujo valor logico é verdade (V) quando p e q sao ambas, verdadeiras ou falsas.

A sentença “bicondicional” entre p e q é expressa por p ↔ q, tem a seguinte tabela da verdade:

19


Por equivalência mostre que:

20


Definição: a) Admitindo que uma fórmula tenha um valor V numa certa

interpretação. Nesse caso, diz-se que a formula é verdadeira nessa interpretação.

b) Admitindo que uma fórmula seja verdadeira segundo alguma interpretação. Nesse caso, diz-se que a fórmula é satisfatível (ou consistente).

c) Admitindo que uma fórmula tenha um valor F numa interpretação. Neste caso, diz-se que a fórmula é falsa segundo essa interpretação.

d) Uma fórmula é válida quando é verdadeira em todas as suas interpretações.

As fórmulas válidas no cálculo proposicional são denominadas – tautologias.

21

Cálculo proposicional Definição: e) Uma formula será insatisfatível (ou inconsistente) quando for falsa

segundo qualquer interpretação. As fórmulas insatisfatíveis do cálculo proposicional são também chamadas de

contradições. Note que uma contradição é a negação de uma tautologia. e) Uma fórmula será inválida quando for falsa segundo alguma

interpretação. Conclusões: 1. Uma fórmula é válida sss sua negação for insatisfatível; 2. Uma fórmula é insatisfatível (inconsistente) sss sua negação for válida; 3. Uma fórmula é inválida sss existir pelo menos uma interpretação em que

ela é falsa; 4. Uma fórmula é satisfatível (consistente) sss existir pelo menos uma

interpretação segundo a qual ela é verdadeira; 5. Se uma fórmula for válida, então é satisfatível; 6. Se uma fórmula for insatisfatível, então é inválida. 22

Cálculo proposicional Argumentos válidos e inválidos Ex.: “Se Sócrates é um ser humano então Sócrates é mortal; Sócrates é um ser humano; Sócrates é mortal.” Escrevendo em termos de variáveis: p = Sócrates é um ser humano; q = Sócrates é mortal

Em forma simbólica teríamos:

Se p então q; p; q.

A forma de um argumento é válida se, somente se:

- Para todas as combinações de argumentos que levam as premissas verdadeiras então a conclusão também é verdadeira.

A verdade da conclusão é obtida analisando os valores-verdade da forma lógica em si.

23


Como analisar a validade dos argumentos?

A validade da forma de um argumento pode ser feita seguindo os seguintes passos:

1. Identifique as premissas e conclusão do argumento.

2. Construa a tabela da verdade identificando as colunas das premissas e da conclusão.

3. Identifique as linhas onde todas as premissas são verdadeiras (linhas críticas).

4. Para cada linha crítica verifique se a conclusão do argumento é verdadeira.

(a) Se for verdadeira para todas as linhas críticas então a forma do argumento é válida.

(b) Se existir pelo menos uma linha crítica com conclusão falsa então a forma do argumento é inválida.

24


Ex.: Analise a validade dos argumentos:

Tabela verdade das proposições:

Para todas as linhas criticas a conclusão é verdadeira. Logo o argumento é válido. (Tautologia)

Todas as linhas, exceto as críticas, são irrelevantes para verificar a validade dos argumentos.

25


Para o exemplo: “Se Sócrates é um ser humano então Sócrates é mortal; Sócrates é um ser humano; Sócrates é mortal.” Tabela verdade das proposições Em lógica: Se p então q; p; q. Para todas as linhas criticas a conclusão é verdadeira. Logo o

argumento é válido. (Tautologia) 26

premissas conclusão

p q p→q p q

1 V V V V V

2 V F F V

3 F V V F

4 F F V F


Analise a validade dos argumentos: Tabela verdade das proposições Para todas as linhas críticas, exceto a 4, a conclusão é verdadeira.

Logo o argumento é inválido. A fórmula é satisfatível segundo as interpretações: I1, I7 e I8

27


Analise a validade dos argumentos: Tabela verdade dos argumentos: Existem duas linhas críticas, em uma delas a conclusão é falsa.

Logo o argumento é inválido. A fórmula é satisfatível segundo a interpretação I1

28


Analise a validade dos argumentos: (p → p v q) ~ (p → p v q) Tabela verdade das proposições

Para todas as linhas criticas a conclusão é falsa. Logo o argumento é uma contradição. (Insatisfatível)

29

premissas conclusão

p q p v q p→q v q ~(p→q v q)

1 V V V V F

2 V F V V F

3 F V V V F

4 F F V V F

30


Validade de sentenças pode ser verificada de duas maneiras

• Tabelas-Verdade

• É uma representação para todos os valores lógicos possíveis para

uma proposição simples e a combinação de várias proposições

simples. É utilizada para verificar o valor lógico de uma proposição

composta, a partir de proposições simples.

• Regras de inferência

• capturam padrões de inferências (sintáticos!!!)

• sempre que algum fato nas premissas casar com o padrão da

sentença acima, a regra de inferência conclui o padrão da sentença

abaixo.

• uma regra de inferência preserva a verdade, se a conclusão é

verdade, em todos os casos onde as premissas são verdadeiras.


Ex.: Mostre que: a) (p →q) Λ (p→ ~q) → ~p é uma tautologia.

Algumas equivalências lógicas:

31


Consequência lógica é o elo entre o que o agente “acredita” e aquilo que é explicitamente representado e sua base de conhecimento.

A tabela verdade é um método semântico que permite verificar

consequências lógicas. Este método tem a vantagem de ser conceitualmente simples; mas

como o número de linhas da tabela verdade cresce exponencialmente em função do número de proposições na formula, seu uso nem sempre é viável.

O raciocínio automatizado vem como uma alternativa mais eficiente para verificação de consequência lógica, isto é, a validação de argumentos.

32

representação do conhecimento -...

Documents