Estatística GeralEstatística Geral(Somatórios e Produtórios)(Somatórios e Produtórios)

ICET/CUA/UFMTICET/CUA/UFMTProfºProfº: Glauco Vieira de Oliveira: Glauco Vieira de Oliveira

Cap VII – Princípios de estatística

SomatórioMuitos processos estatísticos exigem cálculo as soma. Para simplificar a operação de adição nas expressões algébricas, utiliza-se a notação ∑ (letra grega sigma maiúscula)– Partes e símbolos dos somatórios

Último elemento a

i

n

1ix

=∑

1º elemento dos termos a serem somados

Instrução para somar

Último elemento a ser somado

Termos a serem somados

Observação individual da série (indexador)

SomatórioExemplo 1: Lê-se: a soma de X ao i variar de 1 até 8

Exemplo 2: Lê-se: a soma de i ao i variar de 2 até 7

Exercícios Resolvidos – (onde a variável é o próprio indexador i):

iX8

1i=∑

i7

2=∑i

=∑=

23

1i

i

a) = 12 +22 + 32 = 1 + 4 + 9 = 14

=∑=

ii

45

2

b) = 4 . 2 +4 . 3 + 4 . 4 +4 . 5 = 8 + 12 + 16 + 20 = 56

=∑=

4) - 2(8

3i

ic) = (2 . 3 – 4) + (2 . 4 – 4) + (2 . 5 – 4) + (2 . 6 – 4) +

+ (2 . 7 – 4) + (2 . 8 – 4)

= 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42

SomatórioExemplo 2:

Considere as variáveis x e y que representam respec tivamente, as notas de duas disciplinas para um grupo de 6 alunos

X = {90, 95, 97, 98, 100, 60} e Y= {60, 70, 80, 60, 90, 75}Calcule os somatórios abaixo:

ni

n

ixxxx +++=∑

=...21

1a) Soma simples = 540

nnii

n

iyxyxyxyxyx ++++=∑

=....332211

1

2222

1....

21 nxxxxi

n

i+++=∑

=

( )221

2

1.... ni

n

ixxxx +++=

∑=

)....).(....( 212111

mnj

m

ji

n

iyyyxxxyx ++++++=∑∑

==

b) Soma de quadrados (SQ)

c) Quadrado da Soma

d) Soma de Produtos (SP)

e) Produto das somas

= 49.738

= 291.600

= 39.190

= 234.900

SomatórioPropriedades dos somatórios

nccn

1i=∑

=

1ª- somatório de uma constante

2ª- somatório do produto de uma constante por uma variável

Constatação das propriedades

X1=5; X2=3; X3=-2; X4 = 0

Y1 = 2 ;Y2=3; Y3=-3; Y4=1

Observações:

a) Qdo não houver possibilidade de duvidas, pode -se eliminar os

i

n

1ii

n

1ixccx

==∑=∑

i

n

1ii

n

1iii

n

1iyx)y(x

===∑±∑=±∑

constante por uma variável

3ª- Somatório de uma soma ou subtração de variáveis

de duvidas, pode -se eliminar os índices

b) ∑x2 ≠ ((((∑x)∑x)∑x)∑x)2222

c) A operações em frente de um ∑ são realizadas 1º para depois aplicar suas propriedades.

Ex: ∑ (3x + 2)2 → ∑ (9x2 + 12x + 4)

→ ∑ 9x2 + ∑12x +∑ 4

→ 9∑ x2 + 12∑x + n4

SomatórioSomatório Duplo

- Muito utilizado em tabelas de dupla entrada (ex: es tado civil e sexo, escolaridade x faixas de renda)

- Notação: x ij é um elemento pertencente à i-ésima linha e à j-ési ma coluna da tabela abaixo

Assim:

Somatório DuploExemplo:

Dado a tabela acima calcule:

ij

43

xa) ∑∑a) ∑∑xij = x11 + x12 + x13+ ...+ x34 =

2ij

3ij

4

3j

3

2i

i4

3

1i

3j

4

1j

ij1j1i

1)(xe)

xd)

xc)

xb)

xa)

−∑∑

∑∑

∑

∑

∑∑

==

=

=

== = 5 + (-2) + 0 + 1 .....+3 = 15

b) ∑x3j = x31 + x32 + x33+ x34

= 1 + 2 + 4 + 3 = 10

c) ∑x i4 = x14 + x24 + x34 = 1 + (-2) + 3 = 2

d) = (x23)3+ (x24)3 + (x33)3 +(x34)3 = 03 + (-2)3 + 43 + 33 = 83

e)

SomatórioExercíciosLivro: Princípios de EstatísticaCapítulo 7 Série 1

SomatórioExercíciosLivro: Princípios de EstatísticaCapítulo 7 Série 1

Exercício adicional

Seja uma variável X, assumindo os seguintes valores:

X = {5, 2, 3, 0, 1, 2, 6, 9, 4, 8}Calcule: 10

∑==

==

=

=

===

−

−∑−∑−∑

−

∑

−∑

∑∑∑

10

1ii

2i

10

1i2i

10

1ii

10

1i

2

i

10

1i2i

10

1i2

i

10

1i

2i

10

1ii

10

1i

xh)

110

4)(xg)4)(xf)4)(xe)

11010

xx

d)xc)xb)xa)

ProdutórioA notação π (letra grega pi maiúscula) é utilizada para representação dos produtos de um conjunto de variáveis.– Partes e símbolos dos somatórios

Último elemento a

i

n

1ix

=∏

1º elemento dos termos a serem multiplicados

Instrução para multiplicar

Último elemento a ser multiplicado

Termos a serem multiplicados

Observação individual da série (indexador)

ProdutóriosPropriedades dos produtórios

=

=

∏==∏

=∏=

∏=

nn

n

nn

i

i

n

i

XccXcXcXcXcX

bbbbb

bbnbbb

fatos

1

1321

......3

..2

.......)1

)

)

∑==

=

==

=

==

=+++=∏

==∏

∏

∏=

==∏

∏==∏

n

iini

n

i

n

i

i

n

ii

n

i

nnnnii

n

i

ii

nni

i

XXXXX

nni

YX

YYYXXXYXYXYXYX

XccXcXcXcXcX

121

1

1

11

212122111

1321

1

loglog...logloglog)6

!....3.2.15

)....).(....(......4

......3

)

)

)

ProdutóriosExemplo numérico

i

n

i

ni

n

iXccX

11 ==∏=∏

1ª Propriedade: Uma constante K em um produtório (c onsiderando k=3)

2ª Propriedade: Produtório de um produto

∏

∏=∏===

i

n

ii

n

iii

n

iYXYX

111