sem0104 sem0104 - aula 13 aula 13 cinemática e cinética de ... · sem0104 sem0104 - aula 13 aula...

SEM0104 SEM0104 -- Aula 13Aula 13Cinemática e Cinética de Corpos Cinemática e Cinética de Corpos RígidosRígidosRígidosRígidos

Prof. Dr. Marcelo Prof. Dr. Marcelo BeckerBeckerSEM - EESC - USP

•• IntroduçãoIntrodução

• Cinemática de Corpos Rígidos

• Cinética de Corpos Rígidos

Sumário da AulaSumário da Aula


• Métodos Newton-Euler

• Exemplos

EESC-USP © M. Becker 2009 2/67

IntroduçãoIntrodução• Conceito de corpo rígido: é um

conjunto de infinitas partículas de

massa infinitesimal;

• Existem algumas situações onde as • Existem algumas situações onde as

dimensões de um corpo rígido não

podem ser desprezadas;

• Aparece a rotação de corpo rígido.


IntroduçãoIntrodução• Apresentação de algumas grandezas

físicas importantes:

– v* e a* - velocidade e aceleração linear;

– ω e - velocidade e aceleração ω&– ω e - velocidade e aceleração

angular;

– J e H – quantidade de movimento linear e

angular.

ω&


IntroduçãoIntrodução• Equações diferenciais que descrevem o

movimento de um corpo:

– Newton (sistema Inercial):

n

⋅+⋅=⋅=

– Euler (sistema móvel Bn solidário ao corpo):

oBnBnBnoBnBn

Bndtd

oBn

n

ioBnBnoBndt

dioBn

axmIx

IHxHM

*0

1

).(

)(.)(

ρω

ω

+Ω

+∑ =Ω+==

***)(1

amvmvmF IIIdtd

n

iiI ⋅+⋅=⋅=∑

=

&



•• Cinemática de Corpos RígidosCinemática de Corpos Rígidos





• Exemplos


Cinemática de Corpos RígidosCinemática de Corpos Rígidos• Quando existem forças que não estão

aplicadas no centro de massa de um

corpo, deve-se considerá-lo corpo

rígido.rígido.

• No estudo dos corpos rígidos,

trabalha-se:

– 3D: seis eq. de equilíbrio: 3R e 3T;

– 2D: três eq. de equilíbrio: 1R e 2T.


Cinemática de Corpos Cinemática de Corpos RígidosRígidosSistema móvel B fixo ao corpo (translação e rotação em torno de Z)

T00 θω &= T

I 00 θω &=


Cinemática de Corpos RígidosCinemática de Corpos Rígidos

• As velocidades e acelerações (lineares e angulares) podem ser obtidas por diferenciação direta das equações de deslocamento:equações de deslocamento:

)( OBIdtd

BI rv = )(2

2

OBIdt

dBI ra =



• Utilizando sistemas móveis de referência:

– Velocidade:

vrvv +×+= ω

– Aceleração:

lIlIIABIIIABIIAIBI avrraa ReRe2 +×⋅+××+×+= ωωωω&

lIABIIAIBI vrvv Re+×+= ω



• Corpo rígido significa, matematicamente, que a distância entre dois pontos A e B pertencentes a um corpo permanece constante.um corpo permanece constante.

• Considerando:

0)(Re =⋅= ABBdtdT

lI rTv θ0)(

2

2

Re =⋅= ABBdt

dTlI rTa θ


Cinemática de Corpos Cinemática de Corpos RígidosRígidos



• No caso de um corpo flexível, a distância não permanece mais constante e passa a ser descrita em função da elasticidade do material do função da elasticidade do material do corpo.

• A velocidade relativa e a aceleração relativa não são nulas.


Cinemática de Corpos Cinemática de Corpos RígidosRígidos



• Então, as equações que descrevem, com auxílio do sistema móvel solidário ao corpo, são:

rvv ×+= ω ABIIAIBI rvv ×+= ω

ABIIIABIIAIBI rraa ××+×+= ωωω&




•• Cinética de Corpos RígidosCinética de Corpos Rígidos




• Exemplos


Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos Rígidos

• Já sabemos que corpo rígido pode ser idealizado como um conjunto de partículas;

• Então, faremos a dedução das equações

Introdução

• Então, faremos a dedução das equações para forças e momentos resultantes;

• Serão introduzidos conceitos de quantidade de movimento linear e angular.



• Para achar o centro de massa:

Quantidade de Movimento Linear

∑

∑=⇒=∑ ∑=

=

=

= =ni i

ni iIi

III

n

i

n

iiiIi

m

rmrrmrmrm

1

1

1 1

)(***)(

• Usando o centro de massa para obter o vetor de

quantidade de movimento linear:

( )**)(11

rmdt

drm

dt

drm

dt

dJ I

n

iIi

n

iiIiI =

∑=

∑=

==

∑ ===

n

iIiIiI vmvmJ

1

*)(


Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos RígidosQuantidade de Movimento Linear

Partículas livres Corpo rígidoEESC-USP © M. Becker 2009 19/67


• Baseado na segunda Lei de Newton, temos que a quantidade de movimento linear de um corpo rígido só se altera se for aplicado a ele forças externas.

Variação da Quantidade de Movimento Linear

a ele forças externas.

∑ ==

s

jIjI vm

dt

dF

1

*)(



• Expandindo-se a equação anterior, tem-se:

Variação da Quantidade de Movimento Linear

***)(*)( amvmvdt

dmvm

dt

dF III

s

IjI +=∑ += &

• Quando não se tem variação de massa ao

longo do tempo, a equação se resume a:

***)(*)(1

amvmvdt

mvmdt

F IIIj

IjI +=∑ +==

&

*1

amF I

s

jjI∑ =

=



• A quantidade de movimento angular de uma

partícula i, em relação a um ponto A qualquer, é

o produto vetorial entre o vetor ρi e o vetor de

quantidade de movimento linear J:

Quantidade de Movimento Angular

quantidade de movimento linear J:

)()( iIiiIiIiIAI vmJH ×=×= ρρ


Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos RígidosQuantidade de Movimento Angular

Uma única partícula Sistema de partículasEESC-USP © M. Becker 2009 23/67


• Quando se tem um sistema com npartículas, a equação fica:


∑ ×=n

vmH )]([ ρ

• Cuja equação de velocidade linear de cada partícula é dada por:

∑ ×==i

iIiiIAI vmH1

)]([ ρ

3210

Re

=

+×+= lIiIIAIiI vvv ρω



• A quantidade de movimento angular para o caso de rotação e translação simultânea fica:


n

• Expandindo:

)]([1

iI

n

iIAIiiIAI vmH ρωρ ×∑ +×=

=

∑ ××∑ +××===

n

iiIIiiI

n

iAI

massadecentro

iiIAI mvmH11

)]([][ ρωρρ43421



• Re-escrevendo a equação:


∑ ××+×==

n

iiIIiiIAIaIAI mvmH

1

*)]([ ρωρρ

• Colocando o sistema móvel de referência sobre o centro de massa do sistema:

=i 1

∑ ××+×==

=

n

iiIIiiIAIaIAI mvmH

10

*)]([ ρωρρ

43421



• Então, a equação fica:


∑ ××==

n

iiiIIiIAI mH

1

)( ρωρ

• Representando no sistema móvel:

=i 1

∑ ××==

n

iiiBnBniBnABn mH

1

)( ρωρ



• Descrevendo o vetor ρi nos sistemas inercial e móvel:


x

==

)(

)(

)(

tz

ty

tx

rIiI ρ

==

z

y

x

rBniBn ρ


• Descrevendo o vetor velocidade angular ωi nos sistemas inercial e móvel:



=

z

y

x

I

ω

ω

ω

ω

=

z

y

x

Bn

ω

ω

ω

ω


• Para um corpo rígido, trocam-se os símbolos de somatório para integral e de mi por dm. Então, as equações nos sistemas inercial e móvel ficam:



móvel ficam:

∫ ××= dmrrH IIIAI )( ω

∫ ××= dmrrH BnBnBnABn )( ω

dzdydxdVdm µµ ==


• Substituindo os valores de Bnr , Bnω e dm

na equação da quantidade de movimento angular, tem-se:



∫∫∫

×

= dzdydx

zyx

kji

z

y

x

H zyx

nnn

ABn µωωω


• Efetuando-se o produto vetorial, tem-se:



kji

∫∫∫

−−−−

= dzdydx

xyxzyz

zyx

kji

H

yxzxzy

nnn

ABn µ

ωωωωωω )()()(


• Que também pode ser descrito como:



−+− xzzxyy ωωωω )(22

∫∫∫

+−+−

+−−−

−+−

= dzdydx

yzyxzx

yzzxyx

xzzxyy

H

zyzx

zyyx

zxyx

ABn µ

ωωωω

ωωωω

ωωωω

)(

)(

)(

22

22

22


• Re-ordenando os termos do vetor de quantidade de movimento angular:



∫∫∫

+−−

−+−

−−+

= dzdydx

yxzyzx

yzyxyx

xzxyzy

H

z

y

x

ABn µ

ω

ω

ω

)(

)(

)(

22

22

22


• Mas as velocidades angulares ωx, ωy e ωz independem de x, y e z. Colocando a integral pra dentro da matriz, tem-se:



se:

∫∫∫ +∫∫∫−∫∫∫−

∫∫∫−∫∫∫ +∫∫∫−

∫∫∫−∫∫∫−∫∫∫ +

=

z

y

x

ABn

dzdydxzxdzdydxzydzdydxzx

dzdydxyzdzdydxzxdzdydxyx

dzdydxxzdzdydxxydzdydxzy

H

ω

ω

ω

µµµ

µµµ

µµµ

)(

)(

)(

22

22

22


• Efetuando-se a integral de cada termo da matriz, chega-se:



ω

ω

ω

ω

BnABnABn

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ABn IH

III

III

III

H =⇒

−−

−−

−−

=


• Onde aparecem:

– Os momentos de inércia de massa:



– Os momentos de inércia de massa:

• Ixx , Iyy e Izz

– Os produtos de inércia de massa:

• Ixy , Ixz e Iyz


• Em que:



∫∫∫=

∫∫∫ +=

dzdydxxyI

dzdydxzyI xx

µ

µ)(22

∫∫∫ += dzdydxzxI yy µ)(

22

∫∫∫=

∫∫∫=

dzdydxxzI

dzdydxxyI

xz

xy

µ

µ

∫∫∫=

∫∫∫=

∫∫∫

dzdydxyzI

dzdydxyxI

yz

yx

yy

µ

µ

∫∫∫=

∫∫∫=

∫∫∫ +=

dzdydxzxI

dzdydxzyI

dzdydxyxI

zx

zy

zz

µ

µ

µ)(22



• Quando deseja-se obter informações sobre os momentos e produtos de inércia em relação a um determinado ponto D, distante do centro de massa de D , D e D .

Teorema dos Eixos Paralelos

distante do centro de massa de Dx, Dy e Dz.

• Utiliza-se o Teorema dos Eixos Paralelos ou Teorema de Steiner.



• Equações dos momentos e produtos de inércia ficam:


22 ++= DDmII +=

)(

)(

)(

22''

22''

22''

yxzzzz

xzyyyy

zyxxxx

DDmII

DDmII

DDmII

++=

++=

++=

zyyzzy

zxxzzx

yxxyyx

DDmII

DDmII

DDmII

+=

+=

+=

''

''

''



• Assim, o novo tensor de inércia calculado em relação ao ponto D fica:


−−

−−

−−

=

''''''

''''''

''''''

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

DBn

III

III

III

I



• Quando o corpo tiver simetria em relação à distribuição de massa, tem-se a seguinte equação de inércias diagonais:

Direções Principais de Inércia

diagonais:

=

zz

yy

xx

OBn

I

I

I

I

00

00

00



• Diz-se que o sistema móvel escolhido coincide com os três eixos principais de inércia do corpo.

• Usando a teoria dos Auto-valores e Auto-


• Usando a teoria dos Auto-valores e Auto-vetores, tem-se a seguinte equação:

0

)(

)(

)(

=

−−−

−−−

−−−

λ

λ

λ

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

III

III

III



• Chega-se a uma equação polinomial de terceira ordem em λ:


0012

23

3 =+++ CCCC λλλ

• Resolvendo a equação:

00123 =+++ CCCC λλλ

=+

3

2

1

1

00

00

00

λ

λ

λ

oBn I



• Para o cálculo da direção Bns1

(usando o maior momento de inércia de massa λ1), resolve-se a equação:


=

−−−

−−−

−−−

0

0

0

)(

)(

)(

1

1

1

1

1

1

c

b

a

III

III

III

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

λ

λ

λ



• Obtém-se valores a1, b1 e c1 diferentes da solução trivial. Então, o vetor Bns1

fica:


1a

++

++

++

=

21

21

21

1

21

21

21

1

21

21

21

1

1

cba

c

cba

b

cba

a

sBn




(usando o momento de inércia de massa intermediário λ2), resolve-se a equação:


equação:

=

−−−

−−−

−−−

0

0

0

)(

)(

)(

2

2

2

2

2

2

c

b

a

III

III

III

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

λ

λ

λ




fica:


2a

++

++

++

=

22

22

22

2

22

22

22

2

22

22

22

2

2

cba

c

cba

b

cba

a

sBn




(usando o menor momento de inércia de massa λ3), resolve-se a equação:


=

−−−

−−−

−−−

0

0

0

)(

)(

)(

3

3

3

3

3

3

c

b

a

III

III

III

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

λ

λ

λ




fica:


3a

++

++

++

=

23

23

23

3

23

23

23

3

23

23

23

3

3

cba

c

cba

b

cba

a

sBn



• Então, a matriz de transformação de coordenadas T entre as bases móveis Bn

e Bn+1 (onde se tem as direções principais) pode ser dada por:


principais) pode ser dada por:

STS

cba

c

cba

b

cba

a

cba

c

cba

b

cba

a

cba

c

cba

b

cba

a

T BnBn =⇒

++

++

++

++

++

++

++

++

++

= +1

23

23

23

3

23

23

23

3

23

23

23

3

22

22

22

2

22

22

22

2

22

22

22

2

21

21

21

1

21

21

21

1

21

21

21

1



• Baseado na Lei de Euler, temos que a quantidade de movimento angular de um corpo rígido só se altera se for aplicado a ele momentos externas.

Variação da Quantidade de Movimento Angular

aplicado a ele momentos externas.

∑ =×Ω+==

s

iABnBnABnABn HH

dt

dM

1

)(


Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos RígidosVariação da Quantidade de Movimento Angular

=×+×Ω+×+= )()(**

vmIvmId

ρωρω

• Explicitando melhor a equação anterior, chega-se:

=×+×Ω+×+= )()(**

ABnABnBnABnBnABnABnBnABn vmIvmIdt

dρωρω

+×+×++=

===

ABnABnABnABnBnABnBnABn vdt

dmvm

dt

d

dt

dII

dt

d

43421321434210

**

00

)()()()( ρρωω

=×+×Ω+×+ )()(**

ABnABnBnABnBnABnABn vmIvdt

dm ρωρ


Cinética dos Corpos RígidosCinética dos Corpos RígidosVariação da Quantidade de Movimento Angular

4444 34444 21ABnBnABnABnBnABnBnBnABn vv

dt

dmI

dt

dI

×Ω+×+×Ω+= )()()(

*ρωω

• Cujo resultado pode ser visto abaixo:

4444 34444 21ABn a

dtdt

ABnABnBnABnBnBnABn

s

iABn amI

dt

dIM

i×+×Ω+=∑

=

*

1

)()( ρωω

• Simplificando:







•• Métodos Métodos NewtonNewton--EulerEuler

• Exemplos


Métodos NewtonMétodos Newton--EulerEuler

• Os produtos finais do método são as equações diferenciais de movimento e as reações dinâmicas;

• Existem algumas etapas básicas a serem seguidas:



Cinemática:

1. Definição de sistemas de referência (I e Bn);

2. Definição das matrizes de transformação dos sistemas móveis para o inercial e vice-

2. Definição das matrizes de transformação dos sistemas móveis para o inercial e vice-versa;

3. Cálculo das grandezas físicas: (velocidade e angular e aceleração absoluta dos sistemas móveis):

iBniBn e ΩΩ &



Cinemática:

4. Determinação das equações de vínculo com base em equações vetoriais fechadas;

5. Cálculos das grandezas físicas:

(velocidade e aceleração angular absoluta dos corpos)

iBniBn e ωω &



Cinemática:

6. Cálculo das grandezas físicas (velocidade e aceleração linear absoluta do centro de massa dos corpos, na base inercial e na base móvel)base móvel)

iIiI aev iBiiBi aev



Cinética ou Dinâmica:

7. Determinação das propriedades geométricas dos vários corpos (massa total mi e o tensor inércia IO);

8. Cálculo dos vetores de quantidade de movimento linear J (função de mi e Bnvi);

9. Cálculo dos vetores de quantidade de movimento angular H (função Biωi e I);




10. Determinação de todas as forças exercidas atuantes;

11. Newton (no sistema I ou no Bn):

12. Euler (necessariamente no sistema Bi):

iIiiIiiIidtd

iIdtd

p

jjI amvmvmJF ⋅+⋅=⋅==∑

=

&)()(1

∑ ×⋅+⋅×Ω+⋅==

m

jOBiOBiiBiOiBiBidt

dOOBi iiiii

armIIM1

)()( ωω




13. Cálculo das equações diferenciais de movimento e das reações dinâmicas pelo método Newton-Euler;

14. Resolução numérica das equações de movimento e análise dos movimentos com grande amplitudes;




15. Linearização das equações diferenciais de movimento e obtenção das matrizes de massa, rigidez e amortecimento. Análise dos movimentos com pequenas dos movimentos com pequenas amplitudes: análise de vibração, estabilidade, análise modal, etc.







•• Métodos Métodos NewtonNewton--EulerEuler

•• ExemplosExemplos


ExemplosExemplos

• Geometria simples Momento de inércia:

∫ += dmzyI xx )(22

∫ += dVzyI xx ρ)(22

∫ dVzyI xx )(

Onde:

222

2xrrdx

rdV o

o −=⇒=π

dxxr

dV2

)(22 −

=π


ExemplosExemplos

• Geometria simples Equação da esfera:

Resolvendo a integral:

22222222xrzyzyxr −=+⇒++=

Resolvendo a integral:

=∫ −= −

r

rxx dxxrI ρπ2

222)(

=∫ −=r

dxxr0 2

222)(2 ρπ

=∫ +−=r

dxxxrr0

4224)2(ρπ

=

+−= 5

0

5324

15

8

53

2r

xxrxr

r

ρπρπ


ExemplosExemplos

• Geometria simples Substituindo-se ρ:

2

3

4r

m

π

ρ =

67/67

Então, o momento de

inércia fica:

2

5

2mrII yyxx ==

EESC-USP © M. Becker 2009

sem0104 sem0104 - aula 13 aula 13 cinemática e cinética de ... · sem0104 sem0104 - aula 13 aula...

Documents