aula 13 - rnp

13Aprendendo a calcular a média

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e-Tec Brasil – Estatística Aplicada

META

OBJETIVO

PRÉ-REQUISITOS

Introduzir o conceito de medidas de tendência central e apresentar os cálculos de média aritmética.

Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de:

1. calcular média aritmética simples;

2. calcular média aritmética ponderada;

3. calcular a média de dados agrupados.

Para esta aula é importante que você reveja os conceitos de população, amostra e freqüência que foram apresentados nas Aulas 6 e 7. Também é importante ter uma calculadora à mão para fazer as atividades propostas.

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FAZENDO UMA MÉDIA

Como Técnico em Segurança do

Trabalho você está apto a sugerir e implantar

programas de prevenção de acidentes no

trabalho. Para tanto, é importante que

você seja capaz, entre outras coisas, de

analisar informações contidas em grá-

ficos e tabelas.

Imagine que você já é um Técnico

em Segurança no Trabalho. Ao chegar

ao trabalho, encontrou sobre sua mesa a

tabela a seguir.

Tabela 13.1: Valores ano a ano, durante três décadas (70, 80 e 90), do número total de trabalhadores; de ACIDENTES ocorridos (tanto TÍPICOS quanto ocorridos durante o trajeto para o trabalho); de doenças relacionadas ao trabalho; de acidentes relacionados ao trabalho; de acidentes ocorridos a cada 100 mil trabalhadores; de óbitos relacionados ao trabalho; de óbitos a cada 100 mil trabalhadores e de óbitos a cada 10 mil acidentes ocorridos.

ACIDENTES TÍPICOS

Todos os acidentes que ocorrem no

desenvolvimento do trabalho, na própria

empresa ou a serviço dela.

Fonte: http://www.pucsp.br/cipa/

artigos/seguranca_trabalho.html

Ano Trabalha-dores

AcidentesDoenças Total

Acidentes

Acidentes/ 100mil

trabalhadoresÓbitos

Óbitos /100 mil

trabalhadores

Óbitos/10mil acidentesTípico Trajeto

1970 7.284.022 1.199.672 14.502 5.937 1.220.111 16.750 2.232 31 18

1971 7.553.472 1.308.335 18.138 4.050 1.330.523 17.614 2.587 34 19

1972 8.148.987 1.479.318 23.389 2.016 1.504.723 18.465 2.854 35 19

1973 10.956.956 1.602.517 28.395 1.784 1.632.696 14.900 3.173 29 191974 11.537.024 1.756.649 36.273 1.839 1.796.761 15.573 3.833 33 21

1975 12.996.796 1.869.689 44.307 2.191 1.916.187 14.743 4.001 31 21

1976 14.945.489 1.692.833 48.394 2.598 1.743.825 11.667 3.900 26 22

1977 16.589.605 1.562.957 48.780 3.013 1.614.750 9.733 4.445 27 28

1978 16.638.799 1.497.934 48.511 5.016 1.551.461 9.324 4.342 26 28

1979 17.637.127 1.388.525 52.279 3.823 1.444.627 8.190 4.673 26 32Média anos 70 12.428.828 1.535.843 36.497 3.227 1.575.66 13.696 3.604 30 23

1980 18.686.355 1.404.531 55.967 3.713 1.464.211 7.835 4.824 26 33

1981 19.188.536 1.215.539 51.722 3.204 1.270.465 6.620 4.808 25 38

1982 19.476.362 1.117.832 57.874 2.766 1.178.472 6.050 4.496 23 38

1983 19.671.128 943.110 56.989 3.016 1.003.115 5.099 4.214 21 42

1984 19.673.915 901.238 57.054 3.233 961.575 4.887 4.508 23 47

1985 21.151.994 1.010.340 63.515 4.006 1.077.861 5.095 4.384 21 41

1986 22.163.827 1.129.152 72.693 6.014 1.207.859 5.449 4.578 21 38

1987 22.617.787 1.065.912 64.830 6.382 1.137.124 5.027 5.738 25 50

Número de acidentes e doenças do trabalho no Brasil de 1970 a 2004

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Analisando as informações contidas na tabela apresentada,

você diria que, com o passar das décadas, o número de acidentes que

ocorrem no trajeto do trabalhador de sua casa ao local de trabalho e o

número de óbitos (mortes) relacionados ao trabalho está aumentando

ou diminuindo? Com base em que informação da tabela fica fácil tirar

essa conclusão?

Se você não conseguiu responder à pergunta, não se preocupe.

Ainda nesta aula vamos voltar a esse ponto, e você, com certeza, vai

descobrir a resposta.

AS MEDIDAS DA ESTATÍSTICA

Olhe atentamente para a Tabela 13.1, com sua grande quantidade

de linhas e colunas. Essa tabela, como você já aprendeu, representa um

grande conjunto de dados. Agora pense em como analisar todos os valores

existentes nesse grande conjunto e compará-los entre si, para então se

chegar a uma conclusão a respeito do que eles estão informando. Parece

trabalhoso, não é mesmo?

Por isso, é indispensável sintetizar adequadamente os dados

estatísticos para termos maior e mais fácil compreensão das informações

sobre o fato ou fenômeno que está sendo estudado. É isso que você vai

aprender nesta aula e na Aula 14 (a próxima). Você aprenderá algumas

formas de resumir os dados de um conjunto por meio de medidas

estatísticas chamadas de medidas de posição.

Tais medidas informam sobre o comportamento da variável que

as originou, isto é, as medidas, sendo um único número, dão a idéia

1988 23.661.579 926.354 60.202 5.025 991.581 4.190 4.616 19 47

1989 24.486.553 825.081 58.524 4.838 888.443 3.628 4.554 18 51

Média Anos 80 21.077.804 1.053.909 59.937 4.220 1.118.071 5.388 4.672 22 42

1990 23.198.656 632.012 56.343 5.217 693.572 2.990 5.355 23 77

1991 23.004.264 579.362 46.679 6.281 632.322 2.749 4.527 20 72

1992 22.272.843 490.916 33.299 8.299 532.514 2.391 3.516 16 66

1993 23.165.027 374.167 22.709 15.417 412.293 1.780 3.110 13 75

1994 23.667.241 350.210 22.824 15.270 388.304 1.641 3.129 13 81

1995 23.755.736 374.700 28.791 20.646 424.137 1.785 3.967 17 94

1996 23.830.312 325.870 34.696 34.889 395.455 1.659 4.488 19 113

1997 24.104.428 347.482 37.213 36.648 421.343 1.748 3.469 14 82

1998 24.491.635 347.738 36.114 30.489 414.341 1.692 3.793 16 92

1999 24.993.265 326.404 37.513 23.903 387.820 1.552 3.896 16 100

Média Anos 90 23.648.341 414.686 35.618 19.706 470.210 1998 3.925 17 85

Fonte: BEAT, INSShttp://www.protecao.com.br/novo/imgbanco/imagens/Re-Anuario%202006/20_Estatisticas_Tabelas.pdf

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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: NA METADE DO CAMINHO, OU BEM PRÓXIMA DELA...

Entre os vários tipos de medidas de posição, as medidas de tendência

central são as mais comuns. O nome já nos dá uma dica de sua função.

Esse tipo de medida determina em torno de que valor os dados tendem

a ser encontrados.

Veja um exemplo para ficar mais claro. Durante o primeiro se-

mestre do ano passado, Clara gastou, por mês, em suas compras de

supermercado, os seguintes valores:

Fonte: www.sxc.hu

Figura 13.1: As medidas de posição são medidas que representam, de forma resumida, um conjunto de dados.

Sanj

a G

jene

ro

da tendência de todo um conjunto de dados. As medidas estatísticas

de posição mais utilizadas são: a média, a moda e a mediana. Todas

funcionam como uma “medida-resumo”, pois passam a idéia do

comportamento geral dos dados estudados. É possível, ainda, dizer que

tais medidas são como valores de referência, em torno dos quais os outros

valores se distribuem.

As médias são as medidas de posição mais populares; já a mediana

é definida como o valor que ocupa a posição central em um conjunto

de dados ordenados; portanto, tem a propriedade de dividir um conjunto de

observações em duas partes iguais. A moda é o valor que aparece mais vezes,

ou seja, é aquele que apresenta a maior freqüência observada. Mas não se

preocupe, você será apresentado, com detalhes, a cada uma delas.

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Em janeiro – R$ 82,00

Em fevereiro – R$ 79,00

Em março – R$ 81,00

Em abril – R$ 80,00

Em maio – R$ 102,00

Em junho – R$ 80,00

Observe que os valores são todos

próximos a R$ 80,00, ou seja, os valores

tendem a estar perto desse valor. Se

colocarmos os valores em ordem crescente,

fica fácil visualizar que R$ 80,00 é um valor

mais central nessa distribuição. Veja:

79,00 80,00 80,00 81,00 82,00

102,00

Mesmo existindo um valor distante de

R$ 80,00, que é R$ 102,00, todos os outros

cinco estão perto dele. Por isso, dizemos que

Clara costuma gastar em torno de R$ 80,00

em compras, porque todos os outros valores

estão próximos desse valor.

Fonte: www.sxc.hu

Mac

iek

PELC

Fonte: www.sxc.hu

Figura 13.2: A medida de tendência central é o valor em torno do qual os outros valores de um conjunto de dados estão posicionados.

Sanj

a G

jene

ro

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No exemplo anterior, determinamos o valor de R$ 80,00 como

sendo o valor central, usando nosso bom senso. Mas há métodos mais

confiáveis de se chegar ao valor central. Existem três tipos de medidas

de tendência central: média, mediana e moda.

Cada uma dessas medidas possui uma maneira específica de

estabelecer o valor central de um conjunto de dados. Nesta aula, você

vai aprender sobre as médias.

MÉDIA: UM POR TODOS E TODOS POR UM!

Existem vários tipos de média, como, por exemplo,

média aritmética, média geométrica e média harmônica.

Você vai estudar apenas a média aritmética, que é a mais

utilizada.

Existem dois tipos de média aritmética: média aritmética

simples e média aritmética ponderada. Vamos começar pela

média aritmética simples.

MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES

Vamos voltar ao exemplo da Clara e ao valor de

suas compras durante os seis primeiros meses do ano. Ela

agora está querendo colocar uma parte do seu salário na

poupança. Para isso, ela tem que calcular quanto, aproximadamente,

vai gastar durante o mês, para saber o que conseguirá poupar.

Figura 13.3: Clara quer poupar, mas para isso ela deve ter uma idéia de quanto vai gastar durante o mês.

Joha

nna

Ljun

gblo

m

Fonte: www.sxc.hu

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Mas como saber os valores das contas que ela ainda não recebeu?

Uma boa idéia para resolver esse problema é fazer a média simples dos

valores pagos nos últimos meses. Assim, ela pode ter a idéia aproximada

de quanto serão suas despesas.

A média aritmética simples é o valor obtido quando somamos

todos os valores de um determinado conjunto de dados e dividimos esse

valor total pela quantidade de dados (valores).

Entendeu? Não? Vamos voltar aos valores das compras da Clara.

Veja como se faz o cálculo da média das compras que Clara fez nos

últimos seis meses:

Veja que Clara gastou em média R$ 84,00 nas compras de

supermercado. O X = + + + + + =82 79 81 80 102 806

84 (lê-se X barra) é o símbolo de média.

Fonte: www.sxc.hu

Figura 13.4: Que estratégia Clara deve utilizar para prever quanto vai gastar? Uma boa idéia é calcular a média aritmética simples dos últimos gastos que teve.

Yosh

i Aka

X = + + + + + =82 79 81 80 102 806

84

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Lembra que, apenas utilizando o bom senso, tínhamos concluído

que Clara gastava aproximadamente R$ 80,00 por mês em compras?

Chegamos a esse valor sem fazer nenhuma conta, ou seja, observamos que

esse era o valor mais próximo de todos os outros. Ao fazermos essa análise

descartamos o valor R$ 102,00 porque era muito diferente dos outros.

Quando calculamos a média, levamos em consideração todos os

valores; por isso, o valor encontrado foi maior (R$ 84,00). Neste caso, o

valor R$ 102,00 influenciou o resultado, pois fez com que a média ficasse

maior. Veja como ficaria a média se o valor R$ 102,00 não existisse:

O valor encontrado foi R$ 80,00, exatamente o que tínhamos

concluído sem fazer qualquer tipo de cálculo. Agora, sem o valor distante,

a média fica próxima de todos os valores do conjunto de dados.

A média é utilizada quando desejamos obter um valor geral que

represente diversos resultados dentro de um conjunto.

X = + + + + ≅82 79 81 80 805

80

Fonte: www.sxc.hu

MULTIMÍDIA

A estatística dos ETs

Que tal uma história de ficção científica que

mistura boa dose de suspense e uma pitada de...

estatística?

No livro Vultos sobre o Sol, de Chad Oliver,

você vai conhecer um antropólogo americano

que, ao fazer um levantamento demográfico

dos Estados Unidos, fica intrigado com uma

pequena cidade do sul do Texas. A tal cidade, à

primeira vista, passaria despercebida já que seus índices

são absolutamente normais: taxa de natalidade, número de idosos, infra-estrutura, postos de serviços,

distribuição etária e de sexo, tudo exatamente na média.

No entanto, como ele descobre mais tarde, tudo era normal demais. Parecia que os dados haviam

sido manipulados para que parecessem ideais, exatamente para que a cidade não chamasse atenção.

O personagem então vai até a cidade e descobre coisas estranhas que envolvem inclu-

sive a existência de vida extraterrestre.

Este é um livro bem antigo, talvez você só o encontre em um SEBO, mas vale a pena tentar.

Rena

ude

Hat

seda

kis

Fonte: www.sxc.hu

SEBO

Lojas que vendem livros usados.

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Vamos ver mais um exemplo? Observe a Tabela 13.2, que apresenta

o número de acidentes, a incapacidade temporária e as mortes em

vários setores de atividade econômica do Estado de São Paulo no ano

de 2005:

Acidentes de trabalho por setor de atividade econômicaTrabalho realizado pelo INST-CUT – São Paulo, abril de 2005

SetorNº Médio de vínculos

Total de acidentes

Incapacidade temporária

Nº de mortes

Faixa etária: 16 a 34 anos

Indústria de transformação 4.959.814 110.130 79.315 437 58.046

Comércio de reparação de veículos automotores, objetos pessoais e domésticos 4.734.552 40.674 39.460 471 27.594

Agricultura, pecuária e serviços relacionados com essas atividades 1.332.974 29.754 28.871 207 15.594

Atividades imobiliárias, aluguéis e serviços prestados às empresas 2.980.400 27.878 25.025 253 16.032

Saúde e serviços sociais 960.580 25.202 12.800 21 12.952

Transporte, armazenagem e comunicações 1.404.873 23.399 21.349 419 11.435

Construção 1.088.177 21.972 20.030 310 10.676

Outros serviços coletivos, sociais e pessoais 1.265.481 14.692 12.507 85 7.518

Administração pública, defesa e seguridade social 1.956.510 6.942 6.311 54 2.397

Alojamento e alimentação 792.363 6.799 6.631 38 4.154

Intermediação financeira 550.251 4.160 3.636 16 1.266

Educação 762.539 3.834 2.885 9 1.618

Produção e distribuição de eletricidade, gás e água 188.434 2.773 2.245 46 836

Indústrias extrativas 112.628 2.260 1.632 27 1.125

Pesca 23.108 911 944 10 507

Tabela 13.2: Apresenta as colunas: diversos setores de atividade econômica (primeira coluna); número médio de vínculos empregatícios, ou seja, de pessoas empregadas (segunda coluna); total de acidentes relacionados ao trabalho (terceira coluna); número de trabalhadores incapacitados temporariamente (quarta coluna); número de mortes relacionadas ao trabalho (quinta coluna) e número de trabalhadores com idades entre 16 e 34 anos (sexta coluna). Os valores referentes a cada coluna estão divididos por vários setores de atividade econômica do estado de São Paulo (primeira coluna).

Fonte: Previdência Social – Anuário Estatístico 2005

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A coluna destacada em cinza traz o número de mortes de

trabalhadores em diversos setores de atividade econômica. Veja como é

feito o cálculo da média dos valores dessa coluna.

X15 1= + + + + + + + + + + + + + + =10 27 46 9 16 38 54 85 310 419 21 253 207 471 43715

660 2, mortes

Ou seja, somamos todos os valores e dividimos pelo número de

valores que foram somados. Podemos dizer, então, que, em 2005, no

estado de São Paulo, morreram em média 160,2 trabalhadores devido

a acidentes de trabalho.

Volte agora à Tabela 13.1 e veja se você consegue responder àquelas

perguntas. Comece observando as colunas de número de acidentes no

trajeto (quarta coluna) e a de número de óbitos (oitava coluna). Note que,

ao final de cada dez anos (uma década), existe uma média dos valores.

Essa média funciona como um resumo do período. Compare o valor de

uma década com a outra. Esse valor está aumentando ou diminuindo?

Você acha que isso torna a análise mais fácil?

Fonte: www.sxc.hu

Figura 13.5: A média é um valor que representa um conjunto de dados.

Ilker

ATENÇÃOATENÇÃO

Atente para o fato de que a média pode ser um valor

diferente de qualquer um dos valores existente no

conjunto de dados. Neste caso, dizemos que a mé-

dia não tem existência concreta.

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Mas nem tudo na média aritmética é simples. Calma, não é que vá

ficar muito complicado! É porque existe outro tipo de média aritmética

chamada de ponderada. É nosso próximo assunto.

Agora que você viu como se calcula a média aritmética simples,

chegou a hora de praticar. Leia atentamente os exercícios a seguir e faça

os cálculos. É bom que você tenha uma calculadora à mão, para ajudá-lo

nas contas.

ATIVIDADE 1

Atende ao Objetivo 1

Uma aplicação financeira rendeu, em três dias, os seguintes valores:

Primeiro dia: R$ 58,50

Segundo dia: R$ 61,10

Terceiro dia: R$ 57,10

Calcule a média aritmética simples de rendimento dos três dias dessa aplicação.

ATIVIDADE 2


Um time de futebol jogou sete partidas durante o campeonato. Veja, a seguir, os resultados

de cada partida:

Primeira partida – 3 X 1

Segunda partida – 4 X 2

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Terceira partida – 1 X 1

Quarta partida – 0 X 0

Quinta partida – 3 X 2

Sexta partida – 2 X 1

Sétima partida – 1 X 0

Fonte: www.sxc.hu

Raw

ku5'

Sabendo que o time não perdeu nenhuma das partidas, calcule:

a. A média aritmética simples dos gols marcados pelo time.

b. A média aritmética simples dos gols sofridos pelo time.

ATIVIDADE 3


Um técnico do INMETRO (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade

Industrial), ao visitar uma indústria de produtos químicos, pesou 16 potes de soda cáustica

para conferir se as massas eram iguais.

Após a pesagem (em gramas), ele montou no computador (com o auxílio de uma planilha

eletrônica) uma tabela com a massa dos potes. Ao imprimir a tabela, a impressora falhou

e o último número não apareceu. Veja, a seguir, como ficou a tabela.

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Por sorte, ele tinha em mãos a média aritmética simples dos 16 números. A média era

183,75. Com essa informação é possível achar o valor que não apareceu. Ajude o técnico a

calcular o número que está faltando.

Este exercício é um pouco mais desafiador. Para que você possa realizá-lo,

vamos dar algumas dicas:

a. Monte a equação para calcular a média aritmética simples.

b. Substitua pela letra X o número que você não conhece.

c. Ao montar a equação, ela será igual a 183,75 (lembre-se: ele sabe qual é o valor da

média, ela é igual a 183,75).

173 241 184 174 191 178 181 175

177 174 169 215 166 187 173

Fonte: www.sxc.hu

Sigu

rd D

ecro

os

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA

Seu garçom faça o favor de me trazer depressa Uma boa média que não seja requentadaUm pão bem quente com manteiga à beçaUm guardanapo e um copo d’água bem gelada...

(Música: "Conversa de Botequim"

Compositores: Francisco Alves, Noel Rosa e Vadico)

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Cristina comprou o jornal para conferir o gabarito das provas

que fez para o concurso de Técnico em Segurança do Trabalho da

CODEVASF (Companhia de Desenvolvimento dos Vales de São Francisco

e Parnaíba).

Ela fez prova de Língua Portuguesa, Legislação da CODEVASF,

Conhecimentos Gerais e Conhecimentos Específicos (de Segurança no

Trabalho). Ao reler o EDITAL, Cristina verificou que as diversas provas

tinham pesos diferentes. É comum as provas terem valores diferentes

quando o domínio de determinados conhecimentos é mais importante

para o desempenho da função do que outros. Assim, as matérias de maior

importância têm peso maior.

Fonte: www.sxc.hu

Figura 13.6: Em concursos é comum encontrarmos pesos diferentes para os diversos tipos de provas.

Clin

ton

Car

dozo

Veja, a seguir, a tabela com as provas, o número de questões e o

peso de cada prova:

EDITAL

Conjunto de informações e normas a respeito da realização de um

concurso público.

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Tabela 13.3: Provas aplicadas no concurso da CODEVASF para nível médio, com o número de questões e o peso de cada prova.

TABELA – NÍVEL MÉDIO(Para todas as áreas de formação do cargo de Assistente Técnico em

Desenvolvimento Regional – ATDR, EXCETO para Designer Gráfico e Técnico em Informática)

Provas Nº de questões Peso de cada prova

Língua Portuguesa 10 2,5

Matemática 5 2,5

Legislação da CODEVASF 5 2,0

Conhecimentos Gerais 5 1,5

Conhecimentos Específicos 15 3,0

TOTAL DE QUESTÕES 40 questões

PONTUAÇÃO MÁXIMA 100 pontos

Ter pesos diferentes significa que algumas provas valem mais que

outras. Observando a Tabela 13.3, você pode perceber que a prova de

Conhecimentos Específicos vale mais do que todas as outras (tem peso

3), enquanto a prova de Conhecimentos Gerais vale menos do que as

outras (tem peso 1,5).

Ao conferir o gabarito, Cristina verificou que tinha acertado sete

questões da prova de Língua Portuguesa, três questões da prova de

Matemática, quatro questões da prova de Legislação da CODEVASF,

três questões da prova de Conhecimentos Gerais e onze questões da

prova de Conhecimentos Específicos. O que devemos fazer para calcular

a nota de Cristina?

É fácil! Devemos multiplicar o número de questões de cada prova

pelo respectivo peso da prova. Veja como ficam os cálculos:

ATENÇÃOATENÇÃO

Fique atento para o fato de que ter um peso maior

significa que as questões daquela prova valem

mais pontos do que as questões das provas com

pesos menores.

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Notas das provas

Ou seja, de um total de 100 pontos,

Cristina fez 68 pontos no concurso.

Para entender o que é média ponderada,

é importante que você tenha entendido que

alguns valores podem ter peso, ou seja, que alguns

valores podem ser mais ou menos importantes

do que outros.

Utilizamos a média ponderada quando

queremos calcular a média de valores que têm

peso. Isso é muito comum quando queremos

calcular a média de nossas notas na escola.

Muitas vezes os professores colocam pesos

para as notas que você tirou em cada bimestre.

Vamos ver mais um exemplo.

Fonte: www.sxc.hu

Figura 13.7: A média ponderada é utilizada quando temos valores com pesos diferentes. É muito comum para calcular a nota final do ano letivo.

Henrique é professor de história em uma escola e vai calcular as

notas finais de quatro alunos. Ele determinou que a nota de cada bimestre

terá um peso diferente e a nota final será a média das notas que o aluno

tirou em cada um dos quatro bimestres do ano letivo.

Sigu

rd D

ecro

os

= × + × + × + × + × = + + + + =7 2 5 2 2 5 4 2 3 1 5 11 3 17 5 5 0 8 0 4 5 33 68, , , , , , ,

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Para calcular a nota final, Henrique vai ter que tirar uma média

ponderada, e não uma média simples, já que as notas terão pesos

diferentes. Veja a tabela que ele montou:

Tabela 13.4: Notas de quatro alunos nos quatro bimestres do ano letivo. Cada bimestre tem um peso específico.

Notas de história do ano letivo

Aluno 1º bimestre(peso 1)

2º bimestre(peso 2)

3º bimestre(peso 3)

4º bimestre(peso 3) Nota Final

1 5 5 6,5 72 5 6 8 9

3 2,5 4 4 6,5

4 4,5 5 5,5 7

A nota final de cada aluno, que é a média ponderada das suas

notas, é resultado da nota total dividida pela soma dos pesos. A nota

final deve ser calculada da mesma forma que o cálculo feito por Cristina

para achar sua nota no concurso. O cálculo fica assim:

Nota final do aluno 1

Nota final do aluno 2

Viu como é fácil? Calcule, no espaço a seguir, a nota final dos

alunos 3 e 4 e complete a Tabela 13.4.

25 1 6 2 8 3 9 3

1 2 3 35 12 24 27

9689

7 5= × + × + × + ×+ + +

= + + + = ≅ ,

15 1 5 2 6 5 3 7 3

1 2 3 35 10 19 5 21

955 5

96 2= × + × + × + ×

+ + += + + + = ≅, , ,

,

Fonte: www.sxc.hu

Ad

am C

iesi

elsk

i

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MULTIMÍDIA

Na Aula 7, você aprendeu que dados repetidos podem ser agrupados

em uma tabela de distribuição de freqüências. Lembra?

Em todos os exemplos que vimos até agora os dados analisados

estão isolados uns dos outros, ou seja, cada valor é levado em consideração

separadamente; não foram agrupados. Então, como calcular a média

aritmética quando os dados estão agrupados? É o que você vai ver na

próxima seção.

Agora que você já aprendeu como calcular a média aritmética

ponderada, faça as atividades a seguir.

Lembra-se de quando foi falado, no começo da aula, que existem quatro tipos de

médias? As mais comuns são a média simples e a ponderada, que você já aprendeu; as outras

duas são as médias geométrica e harmônica.

As médias geométrica e harmônica são menos utilizadas. O cálculo dessas medidas é um pouco

mais complexo e lançamos mão dele em situações bastante particulares.

Ficou interessado em aprender sobre essas medidas? Então, corra para o computador mais

próximo e acesse a internet.

Se quiser entender a média geométrica, digite o endereço:

http://vestibular.uol.com.br/ultnot/resumos/ult2774u33.jhtm

Se quiser saber sobre média harmônica, o endereço é:

http://www.universitario.com.br/ufrgs/media_harmonica_ufrgs.php

Ilker

Fonte: www.sxc.hu

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Uma pequena empresa da área de segurança no trabalho emprega:

dez funcionários com salário de R$ 2.000,00 mensais;

doze funcionários com salário de R$ 1.500,00 mensais;

oito funcionários com salário de R$ 1.400,00 mensais.

Calcule a média de salários dessa empresa.

ATIVIDADE 4

Fonte: www.sxc.hu


Bruno é aluno do primeiro ano do Ensino Médio. Ele acabou de receber suas notas de

Biologia do primeiro bimestre. O professor da matéria estabeleceu as seguintes regras:

a nota da prova escrita tem peso 2;

a nota do trabalho em grupo tem peso 2;

a nota da pesquisa sobre reciclagem de lixo tem peso 3;

ATIVIDADE 5

Ann

-Kat

hrin

Reh

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Afo

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Lim

a

Fonte: www.sxc.hu

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a nota do debate sobre meio ambiente que foi realizado em sala de aula tem peso 1.

Sabendo que Bruno tirou as seguintes notas, ajude-o a calcular sua média do bimestre em

Biologia:

Prova escrita – 8,0

Trabalho em grupo – 5,0

Pesquisa – 7,0

Debate – 9,0

ATIVIDADE 6


Em duas turmas distintas do curso Técnico em Segurança no Trabalho foi aplicada uma

prova. Na primeira turma, que era formada por 30 alunos, a média aritmética das notas

foi 6,40. Na segunda turma, formada por 50 alunos, a média aritmética foi 5,20. Qual a

média aritmética das notas dos 80 alunos?

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DADOS UNIDOS TAMBÉM SERÃO MEDIDOS!

Também é possível calcular a média de dados que estão agrupados

em uma tabela de freqüência, o que pode ser feito, inclusive, quando os

valores da variável estão distribuídos em intervalos de classes. Veja, a

seguir, como isso é possível.

Média de dados agrupados: sem intervalos de classe

Para entender como funciona o cálculo da média aritmética em

dados que estão dispostos numa tabela de freqüência, vamos utilizar

um exemplo.

A secretaria da escola de música NA FREQÜÊNCIA DO SOM

queria traçar um perfil dos alunos da escola. Uma das perguntas era se

havia diferença, entre os sexos, na preferência por determinado tipo de

instrumento.

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Decidiram começar pelo curso de violão, calculando a média

da presença masculina entre as turmas formadas para o estudo desse

instrumento. O curso tem 34 turmas de violão, e cada uma tem, no

máximo, quatro alunos. O primeiro passo foi montar a seguinte tabela

(Tabela 13.5):

Tabela 13.5: As 34 turmas de violão da escola (total da freqüência). A tabela relaciona a quantidade de homens que pode haver em cada turma (variável), com o número de turmas (freqüência) que possuem a respectiva quantidade de homens.

Turmas de violão

Nº de homensQuantidade de turmas

(freqüência)

0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

TOTAL 34

Observando atentamente a tabela, é possível perceber que a idéia

de quantidade de alunos homens por turma é a mesma questão abordada

na questão dos diferentes pesos para cada prova da seção anterior.

A freqüência funciona como o peso. Então, para calcular a média

de dados distribuídos em freqüências, basta calcular a média ponderada.

Veja como fica o cálculo:

O resultado da média aritmética ponderada foi, aproximadamente,

2,3. Isso significa dizer que existem 2,3 homens em cada turma. Mas não

existem 2,3 homens, não é mesmo? Pessoas só podem ser representadas

por números inteiros positivos, então como interpretar esse resultado?

X = × + × + × + × + ×+ + + +

= + + + + = ≅0 2 1 6 2 10 3 12 4 42 6 10 12 4

0 6 20 36 1634

7834

2 3,

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A primeira conclusão que podemos tirar, levando em consideração

a informação de que as turmas têm no máximo 4 alunos, é que a maioria

delas tem, em média, 2 alunos homens e 2 alunas mulheres.

A outra conclusão a que podemos chegar é que as turmas de violão

têm, em média, mais homens do que mulheres. Isso porque 2,3 é maior

do que a metade de alunos que cada turma pode ter (a metade de 4 é 2) e

o número de alunos que falta para completar a turma (4 − 2,3 = 1,7) é de

mulheres, que é um número menor do que 2.

Figura 13.8: Não existe meia pessoa. Quando temos uma média referente ao número de pessoas que não é um número inteiro, consideramos que o resultado tende a ser maior que a parte inteira do número.

MULTIMÍDIA

Fonte: www.sxc.hu

Você já parou para pensar de que

forma a estatística se encaixa na sua área?

Então, entre no site www.segurancaetra-

balho.com.br. Este é um PORTAL TEMÁTICO

sobre Segurança no Trabalho. O site, entre

outras coisas, oferece legislação a respeito

desse tema e um banco de dados com

vários indicadores estatísticos relacionados

à área de segurança no trabalho.

Jozs

ef S

zoke

Fonte: www.sxc.hu

Jayl

opez

PORTAL TEMÁTICO

Um site que oferece vínculos, organizados por temas, a outros sites ou serviços.

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Média de dados agrupados: com intervalos de classe

Você aprendeu sobre dados agrupados em intervalos de classe na

Aula 7, lembra? Quando os dados são apresentados sob essa forma, eles

ficam “escondidos” dentro de subconjuntos que chamamos de classes.

Como fazer para calcular a média aritmética desses valores? Se você

entendeu como calcular a média quando os dados estão agrupados em

freqüências, não vai ter dificuldade aqui. O cálculo dos dados agrupados

em intervalos de classes é um pouco mais trabalhoso, mas você não terá

dificuldade em aprender se utilizarmos um exemplo.

Você já deve ter ouvido falar dos problemas causados pelo excesso

de barulho. O grau do risco para a saúde que o ruído (barulho) pode

causar depende do tempo que a pessoa fica exposta ao ruído. Algumas

profissões sofrem com o problema quando o ruído é inerente ao trabalho.

É o caso, por exemplo, de quem trabalha numa serralharia. Nestes casos,

o barulho faz parte do cotidiano do trabalhador.

Pensando nisso, Eduardo, que é um técnico em segurança do tra-

balho, resolveu fazer uma pesquisa sobre o tempo durante o qual alguns

trabalhadores ficam expostos, por dia, a ruídos. O primeiro conjunto

de dados que ele levantou foi em uma das indústrias de montagem de

automóveis de sua cidade. Veja, a seguir, a tabela que ele montou.

Tabela 13.6: Tempo, em horas, durante o qual os trabalhadores de uma montadora de automóveis ficam expostos a ruídos. As horas estão distribuídas em intervalos de classes, e a freqüência é o número de trabalhadores referente a cada intervalo.

Tempo de exposição a ruídos dos trabalhadores da montadora carro forte

ClassesTempo de exposição a ruídos

(intervalos de classes)Número de trabalhadores

(freqüência)

13 4

2

24 5

3

35 6

7

46 7

8

57 8

14

68 9

12

7 9 10

8

Total 54

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Para facilitar o cálculo, devemos montar uma tabela auxiliar.

A tabela deve ser igual à Tabela 13.6, mas com mais duas colunas.

A quarta coluna será para o ponto médio de cada intervalo de

classe. O ponto médio de um intervalo de classe é a média aritmética

simples entre o limite inferior e o limite superior de cada intervalo de

classe. Por exemplo, o ponto médio da primeira classe é:

A quinta coluna será o resultado da multiplicação da freqüência,

no caso o número de trabalhadores, pelo ponto médio. Veja como ficou

a tabela auxiliar:

3 42

72

3 5+ = = ,

Classes Tempo de exposição a

ruídos (intervalos de classes)Nº de trabalhadores

(freqüência)Ponto médio

Freqüência X

Ponto médio

13 4

2 3,5 7,0

24 5

3 4,5 13,5

35 6

7 5,5 38,5

46 7

8 6,5 52,0

57 8

14 7,5 105,0

68 9

12 8,5 102,0

79 10

8 9,5 76,0

Total 54 394,0

Agora, para calcularmos a média de dados agrupados em intervalos

de classes, basta dividir o total (soma) dos valores encontrados na quinta

coluna pelo total (soma) dos valores da terceira coluna (freqüência).

Veja o cálculo:

Esse resultado nos diz que os trabalhadores dessa indústria ficam,

em média, expostos diariamente a 7,3 horas de ruídos.

x_

,= =39454

7 30

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Nosso dia-a-dia está recheado de informações que envolvem o

cálculo de média aritmética. A temperatura diária que os jornais nos

informam é, na verdade, uma média das temperaturas que foram medidas

durante todo o dia. A inflação do mês é uma média das variações diárias.

O número de acidentes de trânsito geralmente é informado como uma

média dos valores mensais, e assim por diante.

Por esse motivo, ter entendido os cálculos apresentados nesta aula

é muito importante. Não deixe de testar se você entendeu o conteúdo

fazendo as atividades a seguir.

Fonte: www.sxc.hu

Figura 13.9: É possível calcular a média de dados que estão distribuídos em freqüência e os que estão agrupados em classes. Nos dois casos, o cálculo que fazemos é a média ponderada.

Sigu

rd D

ecro

ss

ATIVIDADE 7


Flávia é professora de matemática de uma escola no município de Trabalhópolis (nome

imaginário). Ela ensinou média aritmética aos alunos de uma de suas turmas. Para testar

se eles entenderam, ela passou uma tarefa. Pediu que eles calculassem a média aritmética

das estaturas (alturas) de todos os alunos da turma.

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Depois que todos os alunos tinham sido medidos, ela pediu que fosse montada uma

tabela. Na primeira coluna, ela definiu quatro intervalos de classe em que as alturas

medidas poderiam ser encontradas. Na segunda coluna, eles colocaram a freqüência, ou

seja, o número de alunos com alturas que se encaixavam naquele intervalo. Veja, a seguir,

como ficou a tabela montada por ela:

Estatura dos alunos – em centímetros (classes)

Número de alunos(freqüência)

150,5 156,5 4

156,5 160,5 5

160,5 168,5 8

168,5 178,5 3

Estatura dos alunos – em centímetros

(classes)

Ponto médio da classe

Número de alunos(freqüência)

150,5 156,5 4

156,5 160,5 5

160,5 168,5 8

168,5 178,5 3

Você aprendeu, nesta aula, a calcular média aritmética de dados agrupados. Então, responda

às questões e ajude os alunos da turma de Flávia a realizar a tarefa.

a. Preencha a tabela a seguir com o ponto médio de cada classe.

b. Calcule a média aritmética das alturas dos alunos da classe de Flávia.

c. Quantos alunos existem na sala de Flávia?

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Esta atividade é um desafio, pois tem grau de dificuldade maior do que as outras. Não

deixe de fazê-la e, ao final, confira a resposta comentada. Boa sorte!

A tabela a seguir mostra as notas que o aluno de um determinado colégio tirou em algumas

disciplinas.

1° bim. 2° bim. 3° bim. 4° bim.

Matemática 6,0 7,5 5,0 6,0

Física 4,5 7,0 5,5 ?

Química 8,0 ? 6,5 5,5

ATIVIDADE 8

Você percebeu que estão faltando duas notas na tabela?

Calcule as notas que estão faltando. Para isso, você precisará das seguintes informações:

a. As notas que estão faltando são iguais.

b. A média final de Química foi 0,5 ponto maior do que a média final de Física.

c. Neste colégio, a média final de cada disciplina é calculada atribuindo-se os seguintes

pesos:

A nota do primeiro bimestre tem peso 1.

A nota do segundo bimestre tem peso 2.

A nota do terceiro bimestre tem peso 3.

A nota do quarto bimestre tem peso 3.

Fonte: www.sxc.hu

Bria

n La

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INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA

Na próxima aula, você vai aprender mais sobre as outras medidas de

posição: a mediana e a moda. Aprenderá a calculá-las tanto para dados

que não estão agrupados como para aqueles que estão agrupados.

Não perca. Até lá!

RESUMINDO...

• Medidas de posição são medidas estatísticas que representam um conjunto de dados mostrando-nosa posição da distribuição dos valores desse conjunto em relação à freqüência com que eles (os valores) aparecem. As medidas de tendência central são as medidas de posição mais comuns.

• As medidas de tendência central são: a média, a mediana e a moda.

• A média pode ser: aritmética, geométrica e harmônica.

• Existem dois tipos de média aritmética: simples e ponderada.

• A média aritmética simples é o valor obtido somando-se todos os valores existentes em um determinado conjunto e dividindo-se esse valor total pelo número de valores. É representada por (leia-se “x barra”).

• A média aritmética ponderada é o valor obtido somando-se todos os valores existentes em um determinado conjunto. Cada valor deve estar multiplicado pelo seu respectivo peso. Ao final, divide-se o resultado pela soma dos pesos.

• A média aritmética para dados agrupados sem intervalos de classe é uma média ponderada. Basta somar cada elemento do conjunto multiplicado pelo seu respectivo peso, que, no caso, é a freqüência com que esse elemento aparece na série. Depois, divida o resultado pela soma das freqüências (soma dos pesos).

• A média aritmética para dados agrupados em intervalos de classe é calculada com o auxílio de duas colunas na tabela de distribuição de freqüência: a primeira nova coluna com o ponto médio de cada intervalo de classe; a segunda coluna com o resultado da multiplicação do ponto médio pela freqüência. A média será a divisão da soma dos elementos dessa segunda coluna pela soma das freqüências.

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ATIVIDADE 1

Para calcular a média simples, você deve somar todos os rendimentos e dividir pela

quantidade.

Calculando a média aritmética (X = + + + + + + =3 4 1 0 3 2 17

2) entre essas três quantias, temos:

ATIVIDADE 2

O time não perdeu nenhuma das partidas jogadas, quer dizer: ou ele ganhou ou empatou

a partida. Então, o maior número de gols é sempre desse time, ou o número de gols é igual

(nos casos de empate).

a. Média dos gols marcados

b. Média dos gols sofridos

ATIVIDADE 3

Para resolver esta atividade, siga as dicas que foram dadas.

• Monte a equação para calcular a média aritmética simples e substitua, na equação, o

número que você não sabe pela letra X. Veja como fica:

RESPOSTAS DAS ATIVIDADES

X = + + + + + + =3 4 1 0 3 2 17

2

X = + + = =58 50 61 10 57 103

176 73

58 9, , , ,

,

X = + + + + + + =1 2 1 0 2 1 07

1

173 241 184 174 191 178 181 175

177 174 169 215 166 187 173

173 241 184 174 191 178 181 175 177 174 169 215 166 187 17+ + + + + + + + + + + + + + 3316

+ X

173 241 184 174 191 178 181 175 177 174 169 215 166 187 17+ + + + + + + + + + + + + + 3316

183 75+ =X

,

• Ao montar a equação, ela será igual a 183,75, pois ele sabe que esse é o valor da média.

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Portanto, o número que foi apagado é o 182.

ATIVIDADE 4

Usamos a média ponderada para calcular a média dos salários porque cada salário tem

uma quantidade diferente de empregados que o recebe.

Assim, o salário médio dos funcionários é de R$ 1.640,00.

ATIVIDADE 5

Para calcular a média aritmética ponderada das notas do aluno, basta fazer a seguinte

conta:

ATIVIDADE 6

Calculamos a média aritmética de todos os alunos somando todas as notas e dividindo pelo

número total de alunos. O problema é que não sabemos qual a soma das notas de cada turma.

Como temos o valor da média aritmética de cada turma, é possível encontrar esse valor.

É preciso saber que para cada turma temos a seguinte equação:

Assim, a soma das notas da primeira turma é:

X X= − ⇒ =2 940 2 758 182. .

X = × + × + × + ×+ + +

= + + + = =8 2 5 2 7 3 9 12 2 3 1

16 10 21 98

568

7

6 4030

192,_ _ _

_ _ _= ⇒ =NOTAS DA PRIMEIRA TURMANOTAS DA PRIMEIRA TURMA

2 75816

183 75 2 758 183 75 16 2 758 2 940.

, . , . .+ = ⇒ + = × ⇒ + =X

X X

x = × + × + ×+ +

=10 2 000 12 1 500 8 1 40010 12 8

1 640 00. . .

. ,

XSOMA DE TODAS AS NOTAS DA TURMA

NUMERO DE ALUNOS DA TURMA= _ _ _ _ _ _

_ _ _ _´

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A soma das notas da segunda turma é:

Portanto, a média de todos os alunos é:

ATIVIDADE 7

a. O ponto médio de cada classe é a média aritmética simples de cada intervalo.

b. Para calcular a média aritmética de valores agrupados em classes, devemos calcular

a média aritmética ponderada dos números 153,5; 158,5; 164,5 e 173,5 (ponto médio

de cada classe), com pesos respectivamente iguais a 4, 5, 8 e 3 (valores das freqüências).

Assim, temos:

Logo, a estatura média dos alunos da turma de Flávia é 162,15 cm.

c. A turma de Flávia tem 20 alunos, que é igual à freqüência total.

Estatura dos alunos – em centímetros (classes)

Ponto médio da classeNúmero de

alunos(freqüência)

150,5 156,5 4

156,5 160,5 5

160,5 168,5 8

168,5 178,5 3

5 2050

260,_ _ _

_ _ _= ⇒ =NOTAS DA SEGUNDA TURMANOTAS DA SEGUNDA TURMA

X = + = =192 26080

45280

5 65,

150 5 156 52

153 5, ,

,+ =

156 5 160 52

158 5, ,

,+ =

160 5 168 52

164 5, ,

,+ =

168 5 178 52

173 5, ,

,+ =

153 5 4 158 5 5 164 5 8 173 5 34 5 8 3

614 792 5 1 316 520, , , , , .× + × + × + ×+ + +

= + + + ,, .,

520

3 24220

162 15= =

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ATIVIDADE 8

No desenvolvimento da resposta a seguir, sempre que você encontrar a letra N ela estará

representando a palavra Nota (nota do aluno).

Dados a serem encontrados (pergunta da atividade): Nfísica e Nquímica

1ª informação: N4ºbimestre de Física = N2ºbimestre de Química as notas procuradas são iguais).

2ª informação: = + 0,5 (a média das notas de Química é igual à média das

notas de Física mais 0,5 pontos)

Calculando as médias aritméticas de Física e Química:

A 2ª informação nos diz que: Maritmética_Química = Maritmética_Física + 0,5.

Então:

MN

aritmØtica F sicabim

_”,

=+ ×35 0 3

94

MN

aritmØtica Qu micabim

_”, , ,

=× + × + × + ×1 8 0 2 3 6 5 3 5 5

92

MN


_”, , ,

=+ × + +8 0 2 19 5 16 5

92

MN


_”, ,

=+ × +8 0 2 36 0

92

MN


_”,

=+ ×44 0 2

92

44 0 29

35 0 39

0 52 4, ,,” ”+ ×

=+ ×

+N Nbim bim

Maritmética_Química

Maritmética_Física








MN N N N

aritmØtica Qu micabim bim bim bim

_” ” ” ”=

× + × + × + ×+

1 2 3 31 2

1 2 3 4

++ +3 3oooo

MN N N N

aritmØtica F sicabim bim bim bim

_” ” ” ”=

× + × + × + ×+ +

1 2 3 31 2

1 2 3 4

33 3+o o o o

o

o

o

o

o

o o

MN


_”, , ,

=× + × + × + ×1 4 5 2 7 0 3 5 5 3

94o

MN


_”, , ,

=+ + + ×4 5 14 0 16 5 3

94o


370


371

Au

la 13 • Ap

ren

de

nd

o a calcu

lar mé

dia

Como N2ºbim = N4ºbim (1ª informação), podemos substituir cada nota cujo valor não sabemos

pela variável y. Veja como fica a equação:

, multiplicando ambos os membros por 18, ficamos com:

, multiplicando ambos os membros por (-1)

Quer dizer, as duas notas que faltam na tabela são iguais a 4,5.

Obs. 1: 0 512

, = . Por isso ele foi substituído na segunda equação da série anterior.

Obs. 2: Quando temos duas ou mais equações com o mesmo denominador, podemos

multiplicar todas pelo mesmo valor desse denominador e ele desaparecerá. Isso foi feito na

quarta equação da série anterior.

44 29

35 39

0 5+ = + +y y

,

44 29

35 39

12

+ = + +y y

2 44 218

2 35 318

9 118

× + = × + + ×( ) ( )y y

88 418

70 6 918

+ = + +y y

88 4 70 6 9+ = + +y y

4 6 79 88y y− = −

− = −2 9y

y = 4 5,

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BUSSAB, Wilton O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. 5. ed.

São Paulo: Saraiva, 2003.

MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antonio C. P. Noções de pro-

babilidade e estatística. 6. ed. São Paulo: EDUSP, 2005.

MARTINS, Gilberto A. Estatística geral e aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas. 2005.

MILONE, Giuseppe. Estatística geral e aplicada. São Paulo: Thomson

Learning, 2003.

aula 13 - rnp

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