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Por que a matemática é importante

Ricardo Ferreira Paraizo

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Meta

Apresentar a matemática como poderosa ferramenta

de trabalho.

Objetivos

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:

1. ordenar o raciocínio lógico matemático;

2. identificar a presença da matemática no seu dia-

a-dia e na natureza;

3. aplicar recursos matemáticos em situações

do cotidiano.

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Viajando pelos caminhos da matemática

Vamos começar esta aula convidando você para ir a um lugar especial.

Ric

ardo

Fer

reira

Par

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Figura 1.1: Um convite à matemática.

Feche os olhos. Coloque sua imaginação para funcionar. Faça uma viagem...

Rica

rdo

Ferr

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Par

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Figura 1.2: Seja bem-vindo!

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Bem-vindo! Você acaba de chegar à fazenda do Zé. É um local muito bonito e

repleto de recantos e atividades típicas de uma fazenda produtiva. O Zé, como

todo fazendeiro, tem muito trabalho. Ele nasceu nessa fazenda e teve de dar

muito duro desde cedo. Por isso não pôde estudar muito, mas isso não impediu

que ele sempre resolvesse os problemas de forma INTUITIVA e criativa.

Por exemplo: na foto a seguir, está galinheiro da fazenda! Ele foi construído pelo

próprio Zé!

Ric

ardo

Fer

reira

Par

aizo

INTUIÇÃO

Segundo o dicionário Michaelis, é o conhecimento imediato, claro e espontâneo, sem recorrer ao raciocínio.

Figura 1.3: Muito espaço para poucas galinhas ou muitas galinhas para pouco espaço?

O galinheiro possui um formato retangular, tendo como fundo a parede de um galpão,

e foi todo cercado com tela metálica. Parece que ficou bastante espaçoso, mesmo

para as mais de 60 aves que devem ocupar o local. Será que o Zé calculou a área ideal

para a construção desse galinheiro a fim de que as galinhas circulem à vontade no seu

interior? Ou será que as medidas da construção foram feitas no “chute”?

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Agora, olhe a pocilga:

Rica

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Aqui são criados os porcos. Eles comem bastante ração, várias vezes por dia, e

se reproduzem rapidamente. Quanta ração é preciso comprar todo mês para que

nenhum animal passe fome? Quanto tempo será necessário para que os porquinhos

adquiram a massa corporal ideal para o abate?

Agora, vejamos o lago da fazenda:

Figura 1.4: Estes porquinhos estão com fome?

Figura 1.5: Esta paisagem poderia ficar mais bonita se as plantas aquáticas não estivessem

invadindo o lago.

Rica

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Infelizmente, as plantas aquáticas começaram a se proliferar muito rapidamente.

Será que o Zé tem idéia de quanto tempo o lago ficará coberto por essa vegetação?

É claro que o Zé não vai deixar as plantas tomarem conta de todo o lago, pois assim

os peixes e todos os animais que vivem nele poderão morrer por falta de oxigênio.

A matemática pode ajudar a calcular o custo da limpeza do lago e também o tempo

necessário para que a plantação o cubra. Neste curso, você vai aprender a resolver

esse tipo de problema e outras aplicações da matemática no seu dia-a-dia.

Razões do estudo da matemática. Utilidades e usos

A principal razão para você estudar matemática é a capacidade que a disciplina tem

de desenvolver o seu raciocínio lógico. Algumas pessoas gostam de sua característica

desafiadora, de sua clareza e do fato de que você pode saber se sua solução está correta

ou não. Neste curso, pretendemos mostrar todos esses aspectos da disciplina.

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PROFESSOR, PARA QUE SERVE ESSA MATEMÁTICA QUE ESTAMOS

ESTUDANDO?

A MATEMÁTICA DESENVOLVE SUA CAPACIDADE DE

RESOLVER PROBLEMAS...

ALÉM DE CRIAR EM VOCÊ O HÁBITO DE

INVESTIGAÇÃO.

ENFIM, ELA VAI TE AJUDAR A SER

MAIS CONSCIENTE E PENSANTE NO EXERCÍCIO

DA SUA CIDADANIA.

x y z

x y z

+ + =

= =

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112

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Usando a matemática para organizar suas idéias

Se é possível usar a matemática de maneira intuitiva e informal, por que, então,

é necessário estudá-la? Há várias respostas para isso.

Em primeiro lugar, quando você organiza seus conhecimentos de matemática, pode

utilizá-los com muito mais eficiência e empregá-los em situações novas. Você não

se limita a repetir procedimentos que guardou na memória sempre nas mesmas

situações. Pode enfrentar problemas imprevistos, que exijam métodos de solução

que você não conhecia.

Por exemplo, o Zé pode decidir criar gados de corte, e para isso precisará construir

um curral. Supondo que ele já possui algum conhecimento sobre a área, e com

esse conceito construiu o galinheiro, provavelmente ele não terá problemas em

calcular o tamanho do curral.

Fonte: www.sxc.hu

Figura 1.6: Usando a experiência do galinheiro na construção do curral.

C. K

irsc

h

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Em segundo lugar, conhecendo bem os métodos e a linguagem da matemática,

você não terá problemas para ler livros e manuais técnicos úteis para crescer em

sua profissão. Isso se torna necessário porque todas as profissões utilizam mais e

mais equipamentos sofisticados cujo funcionamento depende da matemática.

Em terceiro lugar, não pense que a matemática é somente um conjunto de técnicas,

de maneiras de resolver equações, de fórmulas para calcular coisas. Na realidade, o

que dá poder e encanto à matemática são as idéias. E é claro que, para enriquecer

nossas idéias, precisamos conhecer alguns fatos básicos para que a matemática cresça

de forma interessante e prazerosa. Quer ver um exemplo? Faça a atividade a seguir:

Figura 1.7: Investir em equipamentos modernos faz aumentar a

produção de leite, e com o uso da matemática é possível determinar

em quanto tempo todo esse investimento será recuperado.

Fonte: www.sxc.hu

Lia

ny C

aval

aro

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Atenção! Esta atividade é um desafio lógico, e a solução depende exclusivamente

da organização do seu raciocínio. Tente se colocar na situação proposta, com dois

colegas de trabalho, e lembre-se de que, se você não pensar logicamente, alguém

perderá a viagem e todos perderão dinheiro.

Uma equipe composta por três técnicos em agropecuária deve visitar uma fazenda.

Para isso, os três precisam atravessar um rio. O único barco à disposição no

momento suporta no máximo 130 quilos. Os técnicos pesam 60, 65 e 80 quilos.

Como devem proceder para atravessar o rio, sem afundar o barco?

Atende ao Objetivo 1Atividade 1

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Outra coisa que traz mais encanto ainda à Matemática é o fato de ela estar

presente na Natureza e na sociedade, onde menos esperamos...

Simetria: um conceito matemático na natureza

Uma das primeiras características geométricas encontradas na natureza é a

simetria. Na matemática, a simetria é a semelhança de uma figura, um objeto ou

animal em torno de uma determinada linha reta (eixo), ponto ou plano.

Jona

than

Ruc

hti

Fonte: www.sxc.hu

A borboleta é um perfeito exemplo da matemática na natureza. Observe a simetria

das suas asas. O único eixo de simetria da borboleta é o seu próprio corpo, pois

as duas asas se sobrepõem por dobragem.

Saiba mais...

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A matemática no seu dia-a-dia

Em casa, na rua, no comércio, nas várias profissões, na cidade, no campo e nas

várias culturas, o homem necessita contar, calcular, comparar, medir, localizar,

representar, interpretar etc., e o faz informalmente, à sua maneira.

Fonte: www.sxc.hu

Figura 1.8: Os números fazem parte do

nosso cotidiano.

Tory

Byr

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Davi

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O uso diário da aritmética (as tradicionais operações de

adição, subtração, multiplicação e divisão) e a apresen-

tação de informações complexas através de gráficos são

comuns em nosso cotidiano. A matemática é amplamente

usada nas mais diversas situações, mas muitas vezes de

modo invisível e inesperado.

A importância da matemática

Agora, vamos falar um pouco sobre a matemática aplicada em outras áreas do conhe-

cimento. Ela já foi chamada “a rainha das ciências”, porque desempenha papel funda-

mental no desenvolvimento científico e tecnológico de nossa sociedade.

Atividades profissionais tecnológicas como as da engenharia, física, agronomia,

zootecnia, veterinária e até mesmo agropecuária, entre outras, requerem matemática

para o desenvolvimento de suas teorias, seus estudos e a implementação de suas

técnicas e processos.

Outra área de interesse para a sociedade é a ESTATÍSTICA, que fornece teorias e métodos

para muitos tipos de DADOS, como, por exemplo, na medicina veterinária, para a análise

das causas de doenças e da utilidade de novas drogas para os animais. Normalmente, a

conclusão de um estudo estatístico é apresentada em forma de gráficos.

DE CASA AO TRABALHO DEMORO 20 MINUTOS. PORTANTO, TENHO 40

MINUTOS PARA TOMAR UM BANHO E COMER ALGUMA COISA.

Figura 1.9: Despertando com a matemática.

ESTATÍSTICA

Uma ciência que fornece à sociedade condições para coletar, organizar,

resumir, analisar e apresentar dados.

DADOS

Elementos, valores ou fatos utilizados para a

dedução de informações.

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Em ECOLOGIA, a matemática tem sido usada no estudo da dinâmica populacional,

fenômeno que estuda as variações nas quantidades de indivíduos das populações

de seres vivos.

Figura 1.10: Os gráficos são poderosas ferramentas utilizadas por profissionais de diversas áreas

para a análise de dados e para a tomada de decisão.

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Kra

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Fonte: www.sxc.hu

ECOLOGIA

Parte da Biologia que estuda as relações entre os organismos e entre os organismos e o ambiente, isto é, com o solo, o clima e os outros organismos que povoam determinada zona da Terra.

Figura 1.11: A ecologia faz

uso de modelos matemáticos

para explicar, por exemplo, o

ciclo de vida dos peixes.

Fonte: www.sxc.hu

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k H

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A COMPUTAÇÃO não teria sentido sem a matemática. A não ser que seja programado,

um computador nada mais é do que uma caixa de metal, vidro, SILÍCIO etc. A

matemática é essencial para o uso correto dos computadores na maioria das suas

aplicações. As necessidades matemáticas da computação têm originado muitas

questões novas e excitantes para os matemáticos.

COMPUTAÇÃO

A ação de computar, ou seja, calcular, contar,

orçar, avaliar.

SILÍCIO

Um elemento químico muito utilizado em

componentes eletrônicos.O computador e a matemática

Somar 2 + 2 é fácil, mas e quando precisamos multiplicar 752 por 914? Dá mais

trabalho, não é?

Desde o século XVII, o matemático alemão Leibniz sonhava com o dia em que o

raciocínio aritmético pudesse ser substituído pelo simples girar de uma alavanca.

Criou, então, um modelo capaz de multiplicar, dividir e extrair raízes quadradas.

Foi um imenso salto para o homem!

Muito tempo depois, o matemático e filósofo George Boole estimulou o estudo da

computação introduzindo os raciocínios de sua álgebra, chamada de álgebra booleana,

que tem muita semelhança com a teoria dos conjuntos

ensinada na escola.

Com base na álgebra booleana, pesquisadores da

Universidade de Harvard, nos EUA, criaram um

supercalculador, o Mark I, em 1943. Uma adaptação

do Mark I foi feita em 1946. Era o primeiro

cérebro eletrônico, como era chamado, na época,

o computador. Foi o imenso ENIAC, que ocupava

120 metros cúbicos, correspondentes ao tamanho

de uma garagem para dois carros. Tinha 18 mil

válvulas eletrônicas, 70 mil resistências e 6 mil

interruptores. O barulho de toda essa maquinaria

funcionando foi comparado ao som de 1 milhão de

agulhas de tricô em ação.

Nascia, então, a máquina com que o matemático

Gottfried Wilhelm Leibniz sonhou, capaz de libertar

os homens das tarefas desgastantes e de calcular.

(Fonte: Adaptado da Revista Superinteressante.)

Saiba mais...

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Com esses exemplos, podemos ver que a matemática está freqüentemente envolvida

com as questões da nossa vida. As aplicações na estatística, na ecologia, na

computação e em outras áreas do conhecimento têm sido desenvolvidas a partir

do estudo de idéias matemáticas gerais, como números, simetrias, área e volume,

forma, dimensão, aleatoriedade etc.

Agora é sua vez! Você consegue descobrir a matemática escondida no seu dia-a-

dia e na natureza? Pratique um pouco, fazendo a atividade a seguir!

As abelhas formam uma sociedade muito organizada. A rainha e algumas operárias

“estudam” a região na intenção de localizar alimentos e depois voltam à colméia.

Usando a dança como meio de expressão, essas abelhas operárias e a rainha fazem

uma coreografia, em forma de 8, que determina ângulos em relação ao Sol, indicando

as direções dos novos locais visitados. (Fonte: Adaptado da Revista Superinteressante.)

Analise a imagem a seguir:

Fonte: www.sxc.hu

Mat

eusz

Atr

oszk

o

ALVÉOLOS

Pequenas células onde as abelhas depositam o mel.

Você consegue identificar a matemática usada pelas abelhas? O que você percebeu

em relação à forma geométrica, à posição e ao tamanho dos ALVÉOLOS?

Atende ao Objetivo 2Atividade 2

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Por que aprender matemática num curso de agropecuária?

Entre as atribuições de um técnico em agropecuária estão:

• Atuar em empresas rurais e industriais, com foco na área de produção animal,

produção agrícola e agroindustrial.

• Atuar em empresas ligadas à área ambiental, com foco na preservação e na

recuperação do meio ambiente, e em empresas de assistência técnica.

Em todas essas áreas de atuação, sem dúvida, como técnico em agropecuária, você

vai aplicar a matemática em muitos momentos da sua vida profissional. Quando

falamos em aplicação da matemática, queremos dizer utilizar seus conceitos para

entender fenômenos do mundo real. E na agropecuária são utilizadas muitas

técnicas matemáticas capazes de gerar aproximação relativamente boa da verdade.

Essas técnicas também são conhecidas como “modelagem matemática”.

Figura 1.12: Modelos matemáticos são capazes de estimar e comparar a produção de ovos

utilizando registros parciais e análises mais detalhadas do ciclo de produção.

Lui

z Lo

pes

Fonte: www.sxc.hu

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A matemática no controle das aves

Pesquisadores da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), da Empresa

Brasileira de Pesquisa Agropecuária (Embrapa) e da Universidade do Vale do

Rio dos Sinos (Unisinos), no Rio Grande do Sul, desenvolveram um projeto de

monitoramento de aves migratórias com o objetivo de controlar a gripe aviária.

Fonte: www.sxc.hu

De acordo com os pesquisadores, milhares de aves de 62 espécies rumam para

o verão do hemisfério sul, até a Antártida, para reprodução, a chamada Rota

do Sul. O problema é que uma parte dessas aves passa antes por continentes

como África e Oceania, onde a gripe matou mais de 150 pessoas em 31 países

no período de um ano.

Através da modelagem matemática, os cientistas criaram um programa de computador

que simula o vôo das aves durante as migrações, permitindo testar ações efetivas

contra a gripe, como vacinar a população, visando à eliminação do vírus.

(Fonte: EPTV)

Saiba mais...

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Assim, depois de concluir seu Curso de Agropecuária, a matemática será para

você importante ferramenta para sua prática profissional, incluindo a resolução

de problemas cotidianos, como os que apresentamos nesta aula (por exemplo, em

quanto tempo terá retorno de um investimento).

Na última atividade, você irá trabalhar com uma aplicação da matemática. Para

solucionar tal questão, precisará organizar seus conhecimentos.

A ranicultura é a criação de rãs com técnicas específicas. Seu principal objetivo

é produzir carne de rã, muito apreciada pelo seu delicado sabor e baixíssimo

teor de gordura. Trata-se de um ramo da agropecuária nacional que apresentou

extraordinário desenvolvimento nos últimos anos.(Fonte: Adaptado da Revista da Terra.)

Um fazendeiro construiu um pequeno ranário com apenas um tanque

de reprodução em forma de quadrado e instalou em cada vértice (A,

B, C e D) um poste de iluminação. Algum tempo depois, o fazendeiro

resolveu aumentar o tanque, tornando-o duas vezes maior, sem alterar

sua forma, isto é, conservando a forma de um quadrado.

A B

D C

Fonte: www.sxc.hu

Josep Altarriba

Atende ao Objetivo 3Atividade 3

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Não esquecendo que em cada vértice do tanque, que é quadrado, há um poste de

iluminação (A, B, C e D).

Imagem de referência (visão superior):

Como aumentar o tanque sem alterar a posição dos postes, que continuariam

junto à borda?

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• A matemática faz parte do cotidiano das pessoas. A fazenda do Zé está

recheada de matemática. Por exemplo: o cálculo de área, a quantidade de

ração etc.

• O mundo utiliza a matemática nas mais diversas situações: em casa, na rua,

no trabalho, no esporte... O homem necessita contar, calcular, comparar, medir,

localizar, representar e interpretar.

• O estudo da matemática é importante no desenvolvimento do raciocínio

lógico, da criatividade, da capacidade de investigação e da solução de

problemas.

• A estatística, a ecologia e a computação são alguns exemplos de áreas

profissionais que utilizam a matemática como ferramenta.

• A agropecuária utiliza diversos modelos matemáticos na representação

de situações reais que possibilitam analisar e tomar decisão.

Informação sobre a próxima aula

Na próxima aula, vamos estudar os conjuntos numéricos.

Atividade 1

1º passo 2º passo

Margem 1 Margem 2

60

65

80

Margem 1 Margem 2

80

60

65

Margem 1 Margem 2

80

60

65

3º passo

Resumindo...

Respostas das Atividades

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5º passo 6º passo4º passo

Margem 1 Margem 2

60

65

80

Margem 1 Margem 2

80

60

65

Margem 1 Margem 2

80

60

65

Como o barco só agüenta 130 quilos, os técnicos de 60 e 65 quilos (total de

125 quilos) atravessam primeiro. Mas alguém tem de trazer o barco de volta;

então um deles retorna, o de 60 quilos. O que pesa 80 quilos atravessa sozinho,

porque o barco não o agüenta, com mais um (passaria dos 130 quilos). O barco

volta para buscar o técnico de 60 quilos com o técnico de 65 quilos que já havia

atravessado. Finalmente, os técnicos de 60 e 65 quilos atravessam, e os três

estarão do outro lado do rio.

Atividade 2

Os alvéolos têm a forma de hexágonos regulares (figura geométrica plana de seis

lados iguais) com perímetro (a soma dos lados de uma figura plana) reduzido e

área maximizada; por conseqüência, a capacidade de armazenamento também é

maximizada.

As abelhas constroem os favos com extrema regularidade, com um trabalho que

parece ser executado com cálculos prévios, em que a matemática é a grande

auxiliar. Os favos são construídos com cera fabricada pelas próprias abelhas.

Assim, elas precisam construir alvéolos com perímetros reduzidos e com área

maximizada. Alguns matemáticos demonstraram que apenas os hexágonos

regulares podem formar pavimentos de modo que não exista nenhum espaço

entre eles.

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Para a construção do novo tanque com mesma forma e área duplicada, os postes de

iluminação, que antes estavam situados nos vértices do quadrado menor (ABCD),

agora estão exatamente na metade de cada lado do novo quadrado (MPAS) indicado

na figura. E como verificar a duplicação da área? Faça o desenho da figura no papel

e dobre os triângulos ABM, BCP, ACD e ADS sobre o quadrado menor (ABCD). Esses

triângulos dobrados cobrirão todo o quadrado menor (ABCD), indicando que a soma

das áreas dos quatro triângulos é igual à área do quadrado menor (ABCD).

Referências bibliográficas

A RANICULTURA. Disponível em: <http://www.revistadaterra.com.br/ranicultura1.asp>.

Acesso em: 6 ago. 2008.

GELONEZE NETO, Antonio. Por que estudar matemática? Disponível em: <http:

//www.geocities.com/jcvmatem/porquemat.html>. Acesso em: 5 ago. 2008.

O COMPUTADOR: da simples calculadora desenvolvida por Blaise Pascal ao computador Eniac,

criado para armazenar programas diferentes. Disponível em: <http://super.abril.com.br/

superarquivo/1987/conteudo_110992.shtml>. Acesso em: 7 ago. 2008.

PESQUISADORES propõem monitoramento de aves. Disponível em: <http://imanet.

ima.mg.gov.br/noticias/outubro06/1810aves.htm>. Acesso em: 10 set. 2008.

REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. Rio de Janeiro: SBM, n. 27, 1995.

RUBINSTEIN, Cléa. Telecurso 2000; ensino fundamental. Rio de Janeiro: Fundação

Roberto Marinho, 2003. v. 1.

SUPERINTERESSANTE. São Paulo: Abril, ano 13, n. 4, abr. 1999.

A B

CD

M

A

S P

Atividade 3