resoluÇÃo de problemas e o software

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O SOFTWARE

GEOGEBRA: UM CAMINHO PARA O ENSINO DAS

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO E COSSENO

JULIANA MENEGHELLI JANAÍNA POFFO POSSAMAI

Blumenau

2018

Nome NomeNome NomeNome NomeNome NomeNome

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da FURB

M541r

Meneghelli, Juliana, 1994-

Resolução de Problemas e o software GeoGebra: um caminho para o ensino das funções trigonométricas seno e cosseno / Juliana Meneghelli. - Blumenau, 2018.

160 f. : il.

Orientador: Janaína Poffo Possamai. Produto Educacional (Mestrado em Ensino de Ciências Naturais e Matemática) -

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática, Universidade Regional de Blumenau, Blumenau.

Bibliografia: f. 158-160.

1. Matemática. 2. Matemática - Estudo e ensino. 3. Matemática - Problemas, questões, exercícios. 4. Funções trigonométricas. 5. Software educacional. 6. Aprendizagem baseada em problemas. I. Possamai, Janaína Poffo, 1985-. II. Universidade Regional de Blumenau. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática. III. Título.

CDD 510.7

CARTA AO LEITOR

Este caderno é resultado da dissertação “Resolução de Problemas e o software

GeoGebra: um caminho para ensino das funções trigonométricas seno e cosseno” do Programa

de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática (PPGECIM) da Universidade

Regional de Blumenau – FURB.

A seleção das atividades, que compõe este Produto Educacional, foi norteada pela

Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação através da Resolução de Problemas, sendo a

abordagem orientada pelos dez passos apontados por Allevato e Onuchic (2014). Nessa

concepção, a resolução de problemas não é usada para aplicar a Matemática ensinada, mas sim

para aprender um novo conceito ou procedimento.

Nesse sentido, faz-se necessário indicar que o entendimento de problema se dá na

concepção de Vila e Callejo (2006, p. 29, grifo do autor):

Reservaremos, pois, o termo problema para designar uma situação, proposta com

finalidade educativa, que propõe uma questão matemática cujo método de solução não

é imediatamente acessível ao aluno/resolvedor ou ao grupo de alunos que tenta

resolvê-la, porque não dispõe de um algoritmo que relaciona os dados e as incógnita

ou de um processo que identifique automaticamente os dados e a conclusão e,

portanto, deverá buscar, investigar, estabelecer relações e envolver suas emoções para

enfrentar uma situação nova.

Ainda, cabe ressaltar que as atividades propostas podem vir a não ser tratadas como

problemas, por outros professores que as utilizem em suas aulas, na medida que forem utilizadas

após a explicação do conteúdo, ou seja, não serem abordadas segundo a Metodologia indicada.

Aqui são apresentados problemas que propiciam a construção dos conceitos e

características relacionados ao estudo das funções trigonométricas seno e cosseno. Na resolução

de todas as atividades é utilizado o software GeoGebra como recurso tecnológico para auxiliar

no processo de construção e investigação.

Essa sequência de atividades, desenvolvidas para o estudo das funções seno e cosseno,

inicia-se com o Momento 01, denominado de Movimentos cíclicos. Neste Momento são

elaboradas e manipuladas construções no software GeoGebra, com o intuito de promover um

ambiente dinâmico onde as constantes são tratadas como parâmetros, podendo ser modificadas

e as hipóteses testadas na busca de padrões e relações que permitam caracterizar as funções

seno e cosseno. A proposta que consta no caderno é que seja inicialmente explorada a função

seno e na sequência a função cosseno. Porém, de forma a otimizar o tempo de aula, uma

sugestão é que as funções sejam trabalhadas juntas ou que se divida as funções entre os grupos

para um posterior comparativo. Assim, pretende-se que os estudantes construam, como

2

resultado da resolução dos problemas propostos, a identificação das funções seno e cosseno,

relacionando a lei de formação, parâmetros gráficos e suas principais características.

Esse tipo de manipulação no GeoGebra para funções seno e cosseno é verificada em

outros trabalhos (OLIVEIRA, 2010; PEDROSO, 2012; LOPES JUNIOR, 2013), porém o

diferencial dessa proposta está em problematizar a manipulação da construção no GeoGebra,

norteando para um pensamento reflexivo de modo que os estudantes aprendam os conceitos

enquanto buscam padrões.

O pensamento reflexivo certamente envolve alguma forma de atividade mental. É um

esforço ativo e não uma atitude passiva. Envolve tentar compreender algo ou conectar

ideias que pareçam estar relacionadas. Ocorre quando os estudantes tentam dar

sentido às explicações de outros, quando eles fazem perguntas, e quando eles

apresentam explicações ou justificam suas próprias ideias (VAN DE WALLE, 2009,

p. 49).

No Momento 02, denominado de Modelagem, a partir da coleta, análise e investigação

de dados, são construídas as leis de formação que descrevem o comportamento periódico de

três situações do mundo real (ondas de marés, duração do dia e temperatura do ar). Pretende-se

que os estudantes construam procedimentos, a partir da disposição dos pontos do gráfico, para

determinar os parâmetros da lei de formação que permitem ajustar o fenômeno à uma função.

Nesse sentido, são propostas questões que problematizam e norteiam a investigação dos

parâmetros, sendo o GeoGebra utilizado apenas para validar as conclusões obtidas e melhorar

a qualidade do ajuste. Nessas atividades acredita-se que os estudantes reconheçam pela

disposição dos pontos que se trata de uma função seno ou cosseno e que identifiquem qual

parâmetro deve ser inserido para ajustar à função aos pontos, sendo que a determinação do valor

desses parâmetros seja o novo procedimento a ser construído como resultado dos problemas

propostos.

No Momento 03, denominado de Analisando situações, o período, amplitude da curva,

domínio e conjunto-imagem são determinados tanto a partir da lei de formação, quanto do

gráfico da função, o que possibilita verificar a compreensão dos conceitos e procedimentos

construídos nas atividades anteriores. O que se pretende como novo procedimento é que os

estudantes consigam dar significado aos parâmetros no contexto de uma situação, bem como

que associem a medida de um ângulo também a variável dependente.

Esse conjunto de atividades em três Momentos teve ainda o intuito de possibilitar

olhares diferentes para a mesma função, fechando um ciclo que permite aos estudantes transitar

entre as diferentes representações por meio de tabelas, gráficos e descrição algébrica.

3

Este caderno busca proporcionar aos estudantes um contato mais próximo com

algumas situações do mundo real que podem ser descritas através das funções seno e cosseno,

para assim mostrar a importância destes conceitos em situações reais. Conforme é destacado no

documento Orientações Curriculares ao Ensino Médio, ao estudar as funções trigonométricas

os estudantes devem ter a oportunidade de construir gráficos, bem como, visualizar aplicações

destas funções em situações de natureza periódica na resolução de problemas (BRASIL, 2006).

Na sequência é apresentado um breve recorte do referencial teórico da dissertação que

norteia as atividades deste Produto Educacional, onde destacam-se as principais ideias e

perspectivas relacionadas ao uso da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação através

da Resolução de Problemas que são importantes para a abordagem do professor para a efetiva

prática desta metodologia em sala de aula.

Juliana Meneghelli

Janaína Poffo Possamai

4

Resolução de Problemas e o uso do software GeoGebra:

um caminho para o ensino das funções trigonométricas

seno e cosseno

Juliana Meneghelli

Profª Orientadora: Janaína Poffo Possamai

CADERNO DO PROFESSOR

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SUMÁRIO DO CADERNO DO PROFESSOR

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA ..................... 7

MOMENTO 1 – MOVIMENTOS CÍCLICOS ........................................................... 14

Parte 1 – Função seno ...................................................................................................... 15

Parte 2 – Função cosseno ................................................................................................ 21

Parte 3 – Comparando as funções seno e cosseno ........................................................... 26

Parte 4 – Generalizando ................................................................................................... 27

Parte 5 – Construindo gráficos ........................................................................................ 29

MOMENTO 2 – MODELAGEM ................................................................................. 44

Ondas de marés ................................................................................................................ 45

Duração do dia e da noite ................................................................................................ 54

Temperatura do ar ............................................................................................................ 64

MOMENTO 3 – ANALISANDO SITUAÇÕES ......................................................... 70

Ritmo oscilatório dos braços ........................................................................................... 71

Voo dos gafanhotos ......................................................................................................... 74

APÊNDICE 1 – ALTERANDO A JANELA DE VISUALIZAÇÃO DO

GEOGEBRA .................................................................................................................. 78

APÊNDICE 2 – ALTERANDO PROPRIEDADES DO GRÁFICO NO

GEOGEBRA .................................................................................................................. 78

APÊNDICE 3 – CÁLCULO DA MÉDIA NO EXCEL E GEOGEBRA .................. 79

APÊNDICE 4 – SUBTRAÇÃO DA MÉDIA NO EXCEL E GEOGEBRA ............. 81

APÊNDICE 5 – INSERINDO PONTOS NO GEOGEBRA ...................................... 83

APÊNDICE 6 – INSERIR FUNÇÃO E FORMATAR CONTROLE DESLIZANTE

NO GEOGEBRA ........................................................................................................... 84

APÊNDICE 7 – CÁLCULOS ENVOLVENDO HORAS .......................................... 85

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA

Resolver problemas é encontrar os meios desconhecidos para um fim nitidamente

imaginado. Se o fim por si só não sugere de imediato os meios, se por isso temos de

procurá-los refletindo conscientemente sobre como alcançar o fim, temos de resolver

um problema. Resolver um problema é encontrar um caminho onde nenhum outro é

conhecido de antemão, encontrar um caminho a partir de uma dificuldade, encontrar

um caminho que contorne um obstáculo, para alcançar um fim desejado, mas não

alcançável imediatamente, por meios adequados. Resolver problemas é a realização

específica da inteligência, e a inteligência é o dom específico do homem. (POLYA,

1997, p. 1-2)

O atual cenário escolar evidencia a necessidade de se buscar por caminhos e

metodologias de ensino que oportunizam uma participação mais ativa do estudante no processo

de construção do conhecimento. A literatura também mostra a importância do desenvolvimento

do protagonismo e autonomia do estudante durante este processo através de ambientes que

propiciam a investigação, a dinamicidade, a troca de informações, a discussão e o trabalho

colaborativo. Desta forma, a Resolução de Problemas se mostra como um dos possíveis

caminhos para propiciar estes ambientes de aprendizagem que sejam significativos para a

construção do conhecimento pelos estudantes.

A Resolução de Problemas enquanto tendência obteve aceitação pelos educadores

matemáticos muito recentemente. Ela surgiu como referência no ano de 1945 através da

publicação do livro How to solve it – A arte de resolver problemas – escrito por George Polya,

considerado o pai da Resolução de Problemas. Ganhou destaque mundial apenas no final dos

anos 70, quando iniciou-se o movimento a favor de um ensino de resolução de problemas. As

discussões começaram a ser amplamente divulgadas entre pessoas interessadas em uma melhor

educação matemática através da edição do documento An Agenda For Action:

Recommendations for School Mathematics of the 1980’s – Uma Agenda para Ação:

recomendações para a Matemática Escolar da década de 1980 - publicado em 1980 nos Estados

Unidos pelo Nacional Council os Teachers of Mathematics – Conselho Nacional de Professores

de Matemática (NCTM) (ONUCHIC, 1999).

A autora ressalta que o interesse em trabalhar na perspectiva do ensino através da

Resolução de Problemas “baseia-se na crença de que a razão mais importante para esse tipo de

ensino é a de ajudar os alunos a compreender os conceitos, os processos, e as técnicas

operatórias dentro do trabalho feito em cada unidade temática” (ONUCHIC, 1999, p. 208).

Resolução de Problemas como metodologia/estratégia de ensino deve começar pelo

estudante, ou seja, deve começar considerando os conhecimentos prévios, aqueles já existentes

na estrutura cognitiva do indivíduo e não da forma tradicional de ensino, aquela que tem como

7

ponto de partida a compreensão do professor sobre determinado conceito matemático. Desta

forma, considera-se o ensino através da Resolução de Problemas como um dos caminhos para

a promoção da aprendizagem significativa da Matemática, e segundo Van de Walle (2009, p.

58) “A aprendizagem é um resultado do processo de Resolução de Problemas”.

Para se colocar como foco da sala de aula o protagonismo do estudante na construção

do seu próprio conhecimento, Onuchic (1999) aponta algumas considerações importantes:

✓ o ponto de partida é o problema e não a definição;

✓ um problema não é uma atividade para a aplicação de algoritmos;

✓ as aproximações construídas em relação ao novo conceito podem ser utilizadas para

resolver novos problemas;

✓ o novo conceito não é construído como resposta ao problema proposto, mas construído

de forma que faça sentido em um ambiente de resolução de problemas;

✓ a resolução de problemas deve ser utilizada como orientação para a aprendizagem, e

não em paralelo a abordagem do conteúdo em sala de aula, ou somente como aplicação

do conceito estudado.

Com relação a aprendizagem, bem como a compreensão de conceitos matemáticos

como o resultado do processo de resolução de um problema, Vila e Callejo (2006, p. 25)

destacam que:

Os problemas são um meio para pôr o foco nos alunos, em seus processos de

pensamento e nos métodos inquisitivos; uma ferramenta para formar sujeitos com capacidade

autônoma de resolver problemas, críticos e reflexivos, capazes de se perguntar pelos fatos, suas

interpretações e explicações, de ter seus próprios critérios, modificando-os, se for necessário, e

de propor soluções.

Outra característica importante de uma abordagem de ensino nas perspectivas da

Resolução de Problemas diz respeito a avaliação. Segundo Allevato e Onuchic (2014, p. 47) a

avaliação do progresso dos estudantes deve ser realizada durante o processo de resolução do

problema, ou seja, integrada ao ensino e a aprendizagem, uma vez que “nessa metodologia o

professor tem a oportunidade de perceber constantemente as condições e conhecimentos que os

alunos possuem, ajudando-os durante o processo, bem como os próprios alunos se percebem e

se ajudam, sendo eliminado o caráter sancionador das avaliações somativas (ditas

tradicionais)”.

Van de Walle (2009) também corrobora com este pensamento quando afirma que a

avaliação deve ser considerada um instrumento para ampliação da aprendizagem, fornecendo

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uma retroalimentação contínua do progresso tanto para o professor como para os estudantes,

informando aos mesmos, características sobre o desenvolvimento do potencial matemático,

bem como da habilidade de resolver problemas, sem manter o foco apenas no domínio que os

estudantes apresentam em relação as habilidades processuais.

Com relação aos erros durante o processo de resolução, os mesmos não devem ser

considerados como insucesso do estudante, pelo contrário, o professor enquanto mediador deve

encorajá-los a buscar por novas alternativas que possam conduzi-los a um novo caminho para

encontrarem uma solução. Conforme destaca Echeverría (1998), os erros devem ser

considerados como “fonte de informação” para a avaliação da aprendizagem pelo professor,

assim como para a auto avaliação dos próprios estudantes.

Uma abordagem de ensino nas perspectivas da Resolução de Problemas exige, do

professor e dos estudantes, novas atitudes em sala de aula. O papel do professor não é mais de

transmitir conteúdos, e sim, mediar a aprendizagem, por meio de questionamentos, fazendo

com que os estudantes assumam o papel de protagonistas do processo de ensino e

aprendizagem, a partir da investigação, tomada de decisões e validação da solução.

O ensino através da Resolução de Problemas, quando comparado com o método

tradicional, é uma tarefa que exige muita dedicação e criatividade do professor. No início, até

que se estabeleça uma cultura de sala de aula com base nas perspectivas desta metodologia, sua

utilização pode parecer difícil. Para Onuchic e Allevato (2009) as tarefas de ensino através da

Resolução de Problemas precisam ser selecionadas e planejadas a cada aula, tendo em vista o

currículo, bem como o nível de compreensão dos estudantes, exigindo desta forma, um

planejamento diferenciado.

Todavia, Onuchic e Allevato (2009), assim como Van de Walle (2009), destacam

algumas razões pelas quais deve-se insistir e prosseguir no ensino através da Resolução de

Problemas, das quais concordamos com as seguintes:

✓ ela concentra a atenção dos estudantes sobre as suas ideias e em dar sentido para as

mesmas;

✓ desenvolve nos estudantes o poder matemático, uma vez que ao resolver um problema,

os estudantes perpassam por todos os padrões de processo que são etapas de fazer

matemática, e permite que aos mesmos irem além da compreensão do conceito

construído;

✓ desenvolve nos estudantes a confiança de que são capazes de fazer Matemática e que a

Matemática faz sentido;

9

✓ fornece dados contínuos de avaliação que podem ser utilizadas para avaliar o progresso

do estudante, bem como para ajudá-lo no que não obteve êxito;

✓ oportuniza diferentes pontos de partida para uma grande diversidade de estudantes dado

que um problema pode apresentar múltiplos caminhos que levam a solução, o que

permite a interpretação do problema fazendo uso de suas próprias ideias, ampliando-as

e ainda, desenvolvendo a própria compreensão a partir da reflexão sobre as estratégias

tomada pelos demais estudantes;

✓ a Resolução de Problemas permite que a formalização teórica do conceito tenha mais

sentido e significado para o estudante após ele ter construído este conceito pela

resolução de um problema.

Desta forma, pode-se dizer que o envolvimento dos estudantes com o processo de

resolução de problemas é uma maneira de propiciar uma experiência significativa no estudo da

Matemática, visto que na maioria das vezes ela é apresentada na sua forma abstrata, sendo

posteriormente avaliada a compreensão dos estudantes em relação aos conceitos estudados

através de avaliações.

De modo a orientar o trabalho do professor na utilização deste metodologia, Allevato

e Onuchic (2014) apresentam um roteiro composto de 10 etapas:

1) Preparação do problema – deve ser selecionado um problema que propicie a construção

de um novo conceito, sendo este chamado de problema gerador.

2) Leitura individual – cada estudante deve receber uma cópia do problema e fazer a

leitura.

3) Leitura em conjunto - os estudantes devem formar grupos e fazer uma nova leitura,

agora coletivamente. Caso os estudantes encontrarem dificuldades na leitura, o

professor pode fazer a leitura do problema e no caso de existir palavras desconhecidas

no enunciado do problema, surge então um problema secundário que deve ser

esclarecido.

4) Resolução do problema – depois de compreendido o enunciado do problema, os

estudantes devem buscar resolvê-lo de forma cooperativa.

5) Observar e incentivar – o professor deixa de ser o transmissor de conhecimento, e passa

a observar e analisar o comportamento dos estudantes durante a resolução do problema,

bem como estimular um trabalho colaborativo e levar seus estudantes a pensarem e

trocarem ideias.

10

6) Registro das resoluções na lousa – um estudante de cada grupo deve registrar na lousa

a solução encontrada para o problema. Soluções corretas, erradas, ou então encontradas

por diferentes caminhos devem ser todas registradas a fim de discuti-las.

7) Plenária – todos os estudantes devem ser convidados a discutirem as resoluções que

estão na lousa, a fim de defender os seus pontos de vistas e esclarecer as dúvidas

existentes. O professor deve mediar essa discussão e incentivar a participação de todos

os estudantes.

8) Busca do consenso – após analisadas todas as soluções apresentadas pelos grupos, e

sanada as dúvidas, o professor deve buscar junto a todos os estudantes um consenso

sobre a solução correta para o problema proposto.

9) Formalização do conteúdo – o professor deve registrar na lousa uma apresentação

formal, em linguagem matemática, os conceitos e procedimentos que foram construídos

ao longo do processo de resolução do problema, ressaltando os diferentes métodos

utilizados para chegar a solução.

10) Proposição e resolução de novos problemas – após a formalização novos problemas –

relacionados ao problema gerador, ou seja, uma extensão do problema inicial – devem

ser propostos com o intuito de analisar a compreensão dos estudantes em relação ao

conceito construído a partir da resolução do problema gerador.

Além deste roteiro, uma característica importante, refere-se a atuação do professor

durante uma abordagem de ensino através da Resolução de Problemas. Cabe destacar que são

as ações do professor que efetivam uma prática baseada na Metodologia de Ensino-

Aprendizagem-Avaliação através da Resolução de Problemas. Desta forma, buscou-se

sistematizar alguns indícios destas ações, conforme ilustra a Figura abaixo.

11

Destacamos uma concepção apresentada por Van de Walle (2009, p. 73, grifo do autor)

a qual diz que o professor deve pensar em atividades a partir de uma visão do que é provável

que aconteça na mente dos estudantes enquanto estes estão resolvendo-as, uma vez que “Boas

tarefas são atividades ‘minds-on’ (ativadoras de mentes) e não apenas ‘hands-on’ (ativadoras

de mãos)”. Assim, percebe-se a importância que deve ser dada a seleção de atividades

apropriadas a fim de que a aprendizagem seja construída de forma significativa pelos estudantes

que a resolvem.

Diante disso, este Produto Educacional busca oportunizar aos estudantes um momento

de aprendizagem por compreensão, onde os mesmos serão os protagonistas de sua própria

aprendizagem. Desta forma, o conjunto de atividades propostas em três Momentos tem o intuito

de possibilitar olhares diferentes para a mesma função, fechando um ciclo que permite aos

estudantes transitar entre as diferentes representações por meio de tabelas, gráficos e descrição

algébrica, conforme é apresentado na Figura abaixo.

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Diversos fenômenos do mundo são de natureza periódica, ou seja, existe um movimento que volta a

se repetir em determinado intervalo de tempo, estabelecendo um padrão, ou seja, em algum momento o

movimento volta a se repetir a partir do ponto inicial. Esse intervalo de tempo para completar um ciclo

completo é denominado período.

Vejamos alguns exemplos de movimentos cíclico:

• A Terra leva, aproximadamente, 365 dias e 6 horas para dar uma volta completa ao redor do sol.

• Num relógio de pêndulo, o movimento de repetição do pêndulo depende do comprimento da haste.

Agora é com você!

Cite movimentos que você acredita ser de natureza cíclica.

Fonte: Só Geografia 1

Fonte: Kukos 2

Sugestão: Para que os estudantes se

sintam mais familiarizados com a ideia

de movimentos cíclicos, sugere-se que

o professor apresente um vídeo com

alguns movimentos cíclicos nos quais

seja possível identificar as “repetições

de fase” dos mesmos. Como sugestão,

tem-se o vídeo “Movimentos Cíclicos”

elaborado pelas autoras que está

disponível em

https://www.youtube.com/watch?v=pVr

WtvQs51s&feature=youtu.be

MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS

Espera-se que a partir dos exemplos observados os estudantes

consigam citar outros movimentos/fenômenos que são de

natureza cíclica.

14

Quando construímos gráficos que relacionam duas variáveis, esses também podem apresentar

comportamentos periódicos. Lembrando do que você já estudou de funções ou pesquisando, escreva o que

você entende por:

Domínio de uma função: é o conjunto de números reais para os quais a função pode ser definida, ou

seja, é o conjunto de todos os números reais que podem ser colocados no lugar de x na lei de formação da

função, de modo que o valor resultante seja um número real. No gráfico cartesiano, o domínio de uma

função é o conjunto de abscissas (eixo x) para os quais a função pode ser definida.

Conjunto-imagem de uma função: é o conjunto de números reais que são resultados da substituição

de x por um valor real na lei de formação da função. No gráfico cartesiano o conjunto-imagem de uma

função é obtido a partir do intervalo valores da função verificados no eixo y .

Período de uma função: é o intervalo onde o gráfico da função volta a se repetir. No gráfico, o

período de uma função é obtido a partir da análise no eixo x.

Utilizando o software GeoGebra vamos analisar esses aspectos para algumas funções.

PARTE 1 - FUNÇÃO SENO

1. Digite no Campo de Entrada a função 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙).

1.1. Analise o gráfico e determine: o domínio D(f), o conjunto-imagem Im(f) e o período P dessa função.


Professor(a) esta atividade tem como objetivo ativar os conhecimentos prévios dos estudantes com relação

a ideia de domínio e conjunto-imagem de uma função, bem como, estabelecer uma noção para o conceito

de período através dos exemplos mostrados e a partir da pesquisa em livros didáticos e na internet.

Destaca-se a importância da realização desta atividade, uma vez que o conhecimento prévio é uma das

ferramentas utilizadas para a construção da compreensão. Outro ponto importante, refere-se a abordagem

do professor dentro da perspectiva da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação através da

Resolução de Problemas de modo que as atividades sejam investigativas para os estudantes (não apenas

nesse Momento mas também nos demais).

Inicialmente altere a janela de visualização de modo que as dimensões do eixo x sejam de −2𝜋 até 2𝜋 e a

distância 𝜋 2 (conforme Apêndice 1).

15

Domínio da função: o conjunto dos números reais 𝐷 𝑓 = ℝ.

Conjunto-imagem da função: Im = −1, 1 .

Período da função: 2𝜋.

2. Considere um círculo centrado na origem de raio 1 e um ponto A (1, 0) em tal círculo. Partindo do

ponto A, se percorrermos o círculo no sentido positivo (anti-horário) até obter um arco cujo

comprimento é igual a x podemos determinar pela ordenada do ponto de parada no círculo o valor do

𝒔𝒆𝒏(𝒙). No primeiro quadrante, quando 𝟎 < 𝒙 <𝝅

𝟐; no segundo quadrante, quando

𝝅

𝟐< 𝒙 < 𝝅; no

terceiro quadrante, quando 𝝅 < 𝒙 <𝟑𝝅

𝟐; e no quarto quadrante, quando

𝟑𝝅

𝟐< 𝒙 < 𝟐𝝅, quais são os

sinais da função? Como podemos observar essa informação no gráfico construído?

Com base no círculo trigonométrico, tendo o eixo y como o eixo dos senos, temos que: Primeiro quadrante

quando 0 < 𝑥 <𝜋

2: função positiva; Segundo quadrante quando

𝜋

2< 𝑥 < 𝜋: função positiva; Terceiro

quadrante quando 𝜋 < 𝑥 <3𝜋

2: função negativa; Quarto quadrante quando

3𝜋

2< 𝑥 < 2𝜋: função negativa.

No gráfico construído essa informação pode ser observada considerando, por exemplo, o intervalo de

0, 2𝜋 . No intervalo de 0, 𝜋 a imagem da função é positiva 0, 1 , enquanto que no intervalo de 𝜋, 2𝜋 a

imagem da função é negativa 0, −1 .


Professor(a), admite-se que a introdução da trigonometria no círculo trigonométrico já foi estudada. Logo a

relação do valor de seno e cosseno com os eixos coordenados já foram entendidos. Sugere-se relembrar

esse aspecto antes do início dessa atividade.

Sugestão: Pode ser apresentado aos

estudantes um aplicativo do círculo

trigonométrico construído no software

GeoGebra para que os mesmos visualizem os

sinais da função seno para os 4 quadrantes ao

alterar o ângulo. Uma sugestão é o aplicativo

construído pelas autoras que está disponível

no link https://ggbm.at/ySFzCwR9

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Professor(a) no contexto das funções trigonométricas é importante ressaltar que o sinal da

função é avaliado com base na variável independente (x), logo o primeiro quadrante refere-se aos valores

de x contidos no intervalo de 0,𝜋

2, o segundo de

𝜋

2, 𝜋 , o terceiro de 𝜋,

3𝜋

2e o quarto de

3𝜋

2, 2𝜋 ,

conforme ilustra a figura abaixo.

3. Compare o gráfico das funções 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) e 𝒉 𝒙 = −𝒔𝒆𝒏(𝒙). O que você pode concluir?

Pode-se concluir que o gráfico da função f(x) = sen(x) é simétrico em relação ao eixo x ao gráfico da

função h(x) = −sen(x); os sinais da função nos quadrantes são alternados; o conjunto-imagem, o domínio

e o período são os mesmos.

Altere as configurações da função f(x) de modo a alterar sua cor para azul e deixá-la com linha tracejada.

Construa a função 𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 ∙ 𝑥 + c + d (conforme Apêndice 2).



trigonométrico construído no

software GeoGebra, que o relacione

com as funções seno e cosseno. Uma

sugestão é o aplicativo construído

pelas autoras que está disponível no

link https://ggbm.at/fhbqqvfz

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4. Deixe os seletores 𝒃 = 𝟏, 𝒄 = 𝟎 e 𝒅 = 𝟎 e movimente o seletor a. Observando o gráfico da função

determine, para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 𝒈(𝒙).

O domínio da função é o conjunto dos números reais 𝐷 𝑓 = ℝ; o conjunto-imagem se altera conforme é

movimentado o seletor a; e o período da função é 2𝜋.

4.1. Altere os valores da constante a, conforme os valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece

com o gráfico.

4.2. Qual a alteração que a constante a promove no gráfico da função? Analise as alterações para valores, em

módulo, entre 0 e 1 e maiores que 1.

A constante a amplia verticalmente o gráfico da função quando 𝑎 > 1 e comprime verticalmente quando

𝑎 < 1, desta forma, a constante a altera a amplitude do gráfico da função, alterando também seu conjunto-

imagem.

5. Deixe os seletores 𝐚 = 𝟏, 𝐜 = 𝟎 𝐞 𝐝 = 𝟎 e movimente o seletor b. Observando o gráfico determine,

para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função da 𝐠(𝐱).

O domínio da função é o conjunto dos números reais D f = ℝ; o conjunto-imagem é −1, 1 ; e o período da

função se altera conforme o seletor b é movimentado.

5.1. Altere os valores da constante b, conforme os valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece

com o gráfico.

Valor de a Alteração no gráfico

–2 Altera o conjunto-imagem para −2, 2

–0,5 Altera o conjunto-imagem para −0,5, 0,5

0,2 Altera o conjunto-imagem para −0,2, 0,2




2,0 Altera o conjunto-imagem para −2, 2


Professor(a), você pode orientar que os estudantes determinem estas informações com base no valor inicial

da constante que será movimentada (𝑎 = 1, 𝑏 = 1, 𝑐 = 0 e 𝑑 = 0) ou então que escrevam qual informação

é modificada quando tal constante é alterada.

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5.2. Qual a alteração, provocada pela constante b, no gráfico da função? Analise as alterações para valores,

em módulo, entre 0 e 1 e maiores que 1.

A constante b amplia o período da função se 𝑏 < 1 e comprime se 𝑏 > 1, com o novo período 𝑝 =𝑝𝑡

𝑏, no

qual 𝑝𝑡 corresponde ao período da função trigonométrica que está sendo analisada. Quanto maior o valor da

constante b menor é o período da função, e quanto menor o valor da constante b maior é o período.


Valor de b Alteração no gráfico

–2 Altera o período da função para 𝜋

–0,5 Altera o período da função para 4𝜋

0,2 Altera o período da função para 10𝜋



2,0 Altera o período da função para 𝜋


2

Professor(a), comente com os estudantes que existe uma “fórmula” que permite determinar o período de

uma função trigonométrica. Solicite que pesquisem pela fórmula em livros didáticos e na internet, e na

sequência, que eles determinem o período com base na fórmula e façam a comparação com o período

identificado através da movimentação do controle deslizante.

Valor de b Período da função

–2 𝑝 =2𝜋

−2=2𝜋

2= 𝜋

–0,5 𝑝 =2𝜋

−0,5=2𝜋

0,5= 4𝜋

0,2 𝑝 =𝑝𝑡𝑏

=2𝜋

0,2=2𝜋

0,2= 10𝜋

0,4 𝑝 =2𝜋

0,4=2𝜋

0,4= 5𝜋

0,5 𝑝 =2𝜋

0,5=2𝜋

0,5= 4𝜋

2,0 𝑝 =2𝜋

2= 𝜋

4,0 𝑝 =2𝜋

4=𝜋

2

19

6. Deixe os seletores 𝒂 = 𝟏, 𝐛 = 𝟏 e 𝒅 = 𝟎 e movimente o seletor c. Observando o gráfico determine,

para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 𝒈(𝒙).

O domínio da função é o conjunto dos números reais D f = ℝ; o conjunto-imagem é −1,1 ; e o período da

função é 2𝜋.

6.1. Altere os valores da constante c, conforme os valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece

com o gráfico.

6.2. Qual a alteração, provocada pela constante c, no gráfico da função?

A constante c translada o gráfico da função em𝑐

𝑏unidades para a esquerda se 𝑐 > 0 ou para a direita se 𝑐 <

0.

7. Deixe os seletores 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = 𝟏 𝐞 𝒄 = 𝟎 e movimente o seletor d. Observando o gráfico determine,


O domínio da função é o conjunto dos números reais 𝐷 𝑓 = ℝ; o conjunto-imagem da função se altera

conforme é movimentado o seletor d; e o período da função é 2𝜋.

7.1. Altere os valores da constante d, conforme valores indicados na Tabela, e descreva o que acontece com

o gráfico.


Valor de c Alteração no gráfico

–2 Desloca o gráfico para a direita


1 Desloca o gráfico para a esquerda


Valor de c Deslocamento horizontal

–2𝑐

𝑏=

−2

2𝜋=

2

2𝜋=

1

𝜋unidades para a direita

–1𝑐

𝑏=

−1

2𝜋=

1

2𝜋=

1

2𝜋unidades para a direita

1𝑐

𝑏=

1

2𝜋=

1

2𝜋unidades para a esquerda

2𝑐

𝑏=

2

2𝜋=

2

2𝜋=

1

𝜋unidades para a esquerda

Professor(a), comente com os estudantes que existe uma fórmula que permite expressar o deslocamento de

uma função trigonométrica em 𝜋 unidades. Solicite que pesquisem pela fórmula em livros didáticos e na

internet, e na sequência, que eles determinem esse deslocamento. Caso os estudantes não encontrarem a

fórmula, apresente a mesma na formalização do conteúdo.

20

.

7.2. Qual a alteração, provocada pela constante d, no gráfico da função?

A constante d translada o gráfico da função em 𝑑 unidades para cima quando 𝑑 > 0, ou para baixo quando

𝑑 < 0, desta forma, a constante d altera o conjunto-imagem da função.

PARTE 2 – FUNÇÃO COSSENO

1. Digite no Campo de Entrada a função 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙).


Domínio da função: o conjunto dos números reais 𝐷 𝑓 = ℝ.

Conjunto-imagem da função: Im = −1, 1 .

Período da função: 2𝜋.



comprimento é igual a x podemos determinar pela abscissa do ponto de parada no círculo do valor do

𝒔𝒆𝒏(𝒙). No primeiro quadrante, quando 𝟎 < 𝒙 <𝝅

𝟐; no segundo quadrante, quando

𝝅

𝟐< 𝒙 < 𝝅; no

terceiro quadrante, quando 𝝅 < 𝒙 <𝟑𝝅


𝟑𝝅

𝟐< 𝒙 < 𝟐𝝅, quais seriam os

sinais da função? Como podemos observar essa informação no gráfico construído?


Valor de d Alteração no gráfico

–2Desloca o gráfico da função em 2 unidades para baixo

e altera a imagem da função para −3,−1 .

–1Desloca o gráfico da função em 1 unidade para baixo e

altera a imagem da função para −2, 0 .

1Desloca o gráfico da função em 1 unidade para cima e

altera a imagem da função para 0, 2 .

2Desloca o gráfico da função em 2 unidades para cima e




21


Com base no círculo trigonométrico, tendo o eixo y como o eixo dos cossenos, temos que: primeiro

quadrante quando 0 < 𝑥 <𝜋

2: função positiva; segundo quadrante quando

𝜋

2< 𝑥 < 𝜋: função negativa;

terceiro quadrante quando 𝜋 < 𝑥 <3𝜋

2: função negativa; quarto quadrante quando

3𝜋

2< 𝑥 < 2𝜋: função

positiva. No gráfico construído essa informação pode ser observada considerando, por exemplo, o intervalo

de 0, 2𝜋 . No intervalo de 0,𝜋

2e no intervalo de

3𝜋

2, 2𝜋 a imagem da função é positiva 0, 1 , enquanto

que no intervalo de𝜋

2,3𝜋

2a imagem da função é negativa 0,−1 .

3. Compare o gráfico das funções 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙) e 𝒉 𝒙 = −𝒄𝒐𝒔(𝒙). O que você pode concluir?

Pode-se concluir que o gráfico da função f(x) = cos(x) é simétrico em relação ao eixo x ao gráfico da

função h(x) = −cos(x); os sinais da função nos quadrantes são alternados; o conjunto-imagem, o domínio e

o período são os mesmos.



trigonométrico construído no software

GeoGebra para que os mesmos visualizem

os sinais da função seno para os 4

quadrantes ao alterar o ângulo. Uma

sugestão é o aplicativo construído pelas

autoras que está disponível no link

https://ggbm.at/ySFzCwR9

22

4. Deixe os seletores 𝒃 = 𝟏, 𝒄 = 𝟎 e 𝒅 = 𝟎 e movimente o seletor a. Observando o gráfico da função,

determine, para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 𝒈(𝒙).


movimentado o seletor a; e o período da função é 2𝜋.


com o gráfico.

4.2. Qual a alteração que a constante a promove no gráfico da função? Analise as alterações para valores,


A constante a amplia verticalmente o gráfico da função quando 𝑎 > 1 e comprime verticalmente quando

𝑎 < 1, desta forma, a constante a altera a amplitude do gráfico, alterando também o conjunto-imagem da

função.


para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função da 𝐠(𝐱).

O domínio da função é o conjunto dos números reais D f = ℝ; o conjunto-imagem é −1, 1 ; e o período da

função se altera conforme o seletor b é movimentado.


com o gráfico.


Altere as configurações da função f(x) de modo a alterar sua cor para azul e deixá-la com linha tracejada.

Construa a função 𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑏 ∙ 𝑥 + c + d (conforme Apêndice 2).


–2 Altera o conjunto-imagem para −2, 2

–0,5 Altera o conjunto-imagem para −0,5, 0,5







Professor(a), a mesma orientação dada na questão número 4 da Parte 1 também é válida para estas

atividades.

23



A constante b amplia o período da função se 𝑏 < 1 e comprime se 𝑏 > 1, com o novo período 𝑝 =𝑝𝑡

𝑏, no

qual 𝑝𝑡 corresponde ao período da função trigonométrica que está sendo analisada. Quanto maior o valor da

constante b menor é o período da função, e quanto menor o valor da constante b maior é o período.





–2 Altera o período da função para 𝜋

–0,5 Altera o período da função para 4𝜋






2

Professor(a), relembre os estudantes da fórmula pesquisada para o cálculo do período da função seno.

Solicite que pesquisem pela fórmula que determina o período da função cosseno. Na sequência, peça que

eles determinem o período com base na fórmula e façam a comparação com o período identificado através

da movimentação do parâmetro. É interessante que os estudantes percebam que a fórmula é a mesma.


–2 𝑝 =2𝜋

−2=2𝜋

2= 𝜋

–0,5 𝑝 =2𝜋

−0,5=2𝜋

0,5= 4𝜋

0,2 𝑝 =𝑝𝑡𝑏

=2𝜋

0,2=2𝜋

0,2= 10𝜋

0,4 𝑝 =2𝜋

0,4=2𝜋

0,4= 5𝜋

0,5 𝑝 =2𝜋

0,5=2𝜋

0,5= 4𝜋

2,0 𝑝 =2𝜋

2= 𝜋

4,0 𝑝 =2𝜋

4=𝜋

2

24

O domínio da função é o conjunto dos números reais D f = ℝ; o conjunto-imagem é −1,1 ; e o período da

função é 2𝜋.


com o gráfico.


A constante c translada o gráfico da função em𝑐

𝑏unidades para a esquerda se 𝑐 > 0 ou para a direita se 𝑐 <

0.




movimentado o seletor d; e o período da função é 2𝜋.


o gráfico.








–2𝑐

𝑏=

−2

2𝜋=

2

2𝜋=

1

𝜋unidades para a direita

–1𝑐

𝑏=

−1

2𝜋=

1

2𝜋=

1

2𝜋unidades para a direita

1𝑐

𝑏=

1

2𝜋=

1

2𝜋unidades para a esquerda

2𝑐

𝑏=

2

2𝜋=

2

2𝜋=

1

𝜋unidades para a esquerda

Professor(a), comente com os estudantes que existe uma fórmula que permite expressar o deslocamento de

uma função trigonométrica em 𝜋 unidades. Solicite que pesquisem pela fórmula em livros didáticos e na

internet, e na sequência, que eles determinem esse deslocamento. É interessante que os estudantes

percebam que a fórmula é a mesma da função seno.

25


A constante d translada o gráfico da função em 𝑑 unidades para cima quando 𝑑 > 0, ou para baixo quando

𝑑 < 0, desta forma, a constante d altera o conjunto-imagem da função.

PARTE 3 – COMPARANDO AS FUNÇÕES SENO E COSSENO

1. Digite no Campo de entrada as funções 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) e 𝒈 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙).

1.1 Analisando os gráficos, como podemos identificar a curva referente à função seno e à função cosseno?

Qual a diferença entre elas?

Podemos identificar a curva referente à função seno e à função cosseno através da imagem da função para

𝑥 = 0. A função seno, para 𝑥 = 0, tem imagem zero, enquanto que a função cosseno, tem imagem 1.



–2Desloca o gráfico da função em 2 unidades para baixo

e altera a imagem da função para −3,−1 .

–1Desloca o gráfico da função em 1 unidade para baixo e

altera a imagem da função para −2, 0 .

1Desloca o gráfico da função em 1 unidade para cima e


2Desloca o gráfico da função em 2 unidades para cima e




Professor(a), por meio de questionamentos, você pode mediar uma discussão com os estudantes permitindo

que os mesmos consigam identificar que a função cosseno não é uma nova curva, mas trata-se da curva da

função seno deslocada𝜋

2unidades para a direita.

26

PARTE 4 – GENERALIZANDO

De modo geral as funções do tipo trigonométricas são escritas na forma:

𝑓 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑡𝑟𝑖𝑔 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 + 𝑑

Em que a, b, c e d são constantes (𝑎, 𝑏 ≠ 0) e “trig” indica uma das seis funções trigonométricas (seno,

cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente).

As funções do tipo 𝑓 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑡𝑟𝑖𝑔 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 + 𝑑 têm características que podem ser relacionadas com as

funções trigonométricas e seus gráficos padrões (quando 𝑎 = 1, 𝑏 = 1, 𝑐 = 0, 𝑑 = 0). Com base na

observação das atividades anteriores, vamos generalizar as alterações provocadas pelas constantes.

1. Digite no campo de entrada as funções 𝒇 𝒙 = 𝒂 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒃 ∙ 𝒙 + 𝒄 + 𝒅 e 𝐠 𝒙 = 𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒃 ∙ 𝒙 + 𝒄 + 𝒅

e a partir dos controles deslizantes descreva as alterações que são provocadas por cada uma das

constantes nas curva das funções.

1.1. Alteração provocada pela constante a: amplia verticalmente o gráfico da função quando 𝑎 > 1 e

comprime verticalmente quando 𝑎 < 1, desta forma, a constante a altera a amplitude do gráfico da função,

alterando também o seu conjunto-imagem.

1.2. Alteração provocada pela constante b: amplia o período da função se 𝑏 < 1 e comprime se 𝑏 > 1,

com o novo período 𝑝 =𝑝𝑡

𝑏, no qual 𝑝𝑡 corresponde ao período da função trigonométrica que está sendo

analisada. Quanto maior o valor da constante b menor é o período da função, e quanto menor o valor da

constante b maior é o período.


Professor(a), esta atividade é de suma importância, uma vez que permite com que os estudantes percebam

que as constantes provocam as mesmas alterações no gráfico das funções, sendo a diferença entre um

gráfico e outro a função trigonométrica seno ou cosseno.

27

1.3. Alteração provocada pela constante c: translada o gráfico da função em𝑐

𝑏unidades para a esquerda se

𝑐 > 0 ou para a direita se 𝑐 < 0.

1.4. Alteração provocada pela constante d: translada o gráfico da função em 𝑑 unidades para cima quando

𝑑 > 0, ou para baixo quando 𝑑 < 0, desta forma, a constante d altera o conjunto-imagem da função.

ORIENTAÇÕES PARA A FORMALIZAÇÃO

Caro(a) professor(a), finalizada as primeiras atividades do Momento 01, é chegado o momento da

formalização dos conceitos e características construídos. Seguindo os preceitos da Metodologia de Ensino-

Aprendizagem-Avaliação através da Resolução de Problemas conforme descreve Onuchic e Allevato (2011),

o(a) professor(a) deve registrar na lousa uma apresentação formal, em linguagem matemática, dos conceitos

e propriedades que foram construídos no decorrer do processo de resolução do problema.

Destaca-se a importância do uso figuras (gráficos) para a formalização destes conceitos, uma vez que

os mesmos podem ser melhor compreendidos visualmente. Desta forma, como os estudantes fizeram a

construção dos conceitos utilizando o GeoGebra, o professor pode utilizar do mesmo recurso para a

formalização, tornando-a mais dinâmica e colaborativa.

Na formalização, é importante que o professor verifique se as informações referentes ao domínio,

conjunto-imagem, período, sinais da função e alteração provocada por cada uma das constantes foram bem

compreendidas pelos estudantes, assim como a diferença entre a função seno e cosseno. Também, a noção de

que a função cosseno não é uma nova curva e sim a função seno deslocada𝜋

2unidades para a direita é um

ponto que precisa ser destacado e compreendido.

Após a formalização dos conceitos, é interessante que o(a) professor(a) proponha aos estudantes a

resolução de novos problemas, esta etapa consiste no 10º passo apresentado por Allevato e Onuchic (2014)

em seu roteiro de trabalho com a Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação através da Resolução de

Problemas. De acordo com as autoras, a proposição e resolução de novos problemas após a formalização dos

conceitos construídos a partir da resolução do problema gerador, possibilita que o(a) professor(a) analise o

nível de compreensão dos estudantes a respeito dos elementos essenciais a este conteúdo matemático e que

estes solidifiquem a aprendizagem que foi construída nas etapas anteriores e ainda que aprofundem e

ampliem as compreensões acerca do conteúdo que foi estudado.

MOMENTO 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS 28

Desta forma, com o objetivo de promover o entendimento de como seria a representação gráfica de

uma função trigonométrica, na qual, mais de uma constante está incluída, propõe-se a construção de alguns

gráficos.

É importante propor que os estudantes façam a construção dos gráficos das funções seno e cosseno

em etapas, para assim reforçar qual é a alteração de cada uma das constantes no gráfico. Como por exemplo,

se a função for 𝑓 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1, primeiro propor que se faça a construção do gráfico da função

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) , em seguida, 𝑓 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e para finalizar, o gráfico da função 𝑓 𝑥 = −2 ∙

𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1.

PARTE 5 – CONSTRUINDO GRÁFICOS

Visando a compreensão das alterações provocadas por cada uma das constantes no gráfico de uma função

trigonométrica, propõe-se a construção de 6 gráficos, sempre enfatizando que os estudantes façam uma

previsão inicial de como será sua representação com base nas constantes.

1. Analise as leis de formação abaixo, identifique qual a alteração provocada por cada uma das

constantes, faça a construção do gráfico e determine o domínio D(f), o conjunto-imagem Im(f) e o

período P para cada uma delas.

a) 𝒇 𝒙 = 𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟑

Quando as alterações provocadas pelas constantes 2 e 3, espera-se que os estudantes identifiquem que a

constante 2 promove uma alteração na amplitude do gráfico, alterando assim, o conjunto-imagem da função,

e que este será novamente alterado, uma vez que a constante 3 promove um deslocamento vertical da função

em 3 unidades para cima.

Construção do gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)


x 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

0 0

𝜋

21

𝜋 0

3𝜋

2

–1

2𝜋 0

29


Desta forma, os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: 0, 0 ,𝜋

2, 1 , 𝜋, 0 ,

3𝜋

2, −1 e 2𝜋, 0 .

Desenhando o traçado pelos pontos marcados, tem-se:

Domínio: 𝐷 𝑓 = ℝ

Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = −1, 1

Período: 2𝜋

Construção do gráfico da função 𝑓 𝑥 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥).

Para tanto faz-se necessário tomar ao valores de y calculados anteriormente para a função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e

multiplicá-los por 2.

Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: 0, 0 ,𝜋

2, 2 , 𝜋, 0 ,

3𝜋

2, −2 e 2𝜋, 0 .

x 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

0 0 0

𝜋

21 2

𝜋 0 0

3𝜋

2–1 –2

2𝜋 0 0

30




Período: 2𝜋

Construção do gráfico da função 𝑓 𝑥 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3.

Para tanto, faz-se necessário tomar os valores de y calculados para a função 𝑓 𝑥 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e somar 3

unidades a cada valor de y.


2, 5 , 𝜋, 3 ,

3𝜋

2, 1 e 2𝜋, 3 .


x 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3

0 0 0 3

𝜋

21 2 5

𝜋 0 0 3

3𝜋

2–1 –2 1

2𝜋 0 0 3

31

Desenhando o traçado pelos pontos, tem-se:


Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = 1, 5

Período: 2𝜋

b) 𝒈 𝒙 = 𝟒 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝒙)

Espera-se que os estudantes percebam que a constante 4 promove uma alteração na amplitude do gráfico da

função, alterando desta forma, o conjunto-imagem da função.

Construção do gráfico da função 𝑔 𝑥 = cos(𝑥).


x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙)

−𝜋 –1

−𝜋

20

0 1

𝜋

20

𝜋 –1

3𝜋

20

2𝜋 1

5𝜋

20

3𝜋 –1

Professor(a), é importante

ressaltar que como o

domínio da função são os

números reais, 𝐷 𝑓 = ℝ, a

variável x pode assumir

valores menores que 0 e

maiores que 2𝜋 . Faz-se

necessário que os

estudantes estendam os

ângulos notáveis para além

de uma volta no círculo

trigonométrico.

32

Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: −𝜋,−1 , −𝜋

2, 0 , 0, 1 ,

𝜋

2, 0 𝜋, −1 ,

3𝜋

2, 0 ,

2𝜋, 1 ,5𝜋

2, 0 e 3𝜋, 1 .




Período: 2𝜋

Construção do gráfico da função 𝑔 𝑥 = 4 ∙ cos(𝑥).

Para a construção do gráfico da função 𝑔 𝑥 = 4 ∙ cos(𝑥), toma-se os valores de y para a função 𝑔 𝑥 =

cos(𝑥) e multiplica-se cada um deles por 4.


x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒚 = 𝟒 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝒙)

−𝜋 –1 –4

−𝜋

20 0

0 1 4

𝜋

20 0

𝜋 –1 –4

3𝜋

20 0

2𝜋 1 4

5𝜋

20 0

3𝜋 –1 –4

33


2, 0 , 0, 4 ,

𝜋

2, 0 𝜋, −4 ,

3𝜋

2, 0 ,

2𝜋, 4 ,5𝜋

2, 0 e 3𝜋, −4 .




Período: 2𝜋

c) 𝒉 𝒙 = −𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝟐

Espera-se que os estudantes percebam que a constante –1 e 2 promovem alterações na amplitude do gráfico,

alterando assim, o conjunto-imagem da função, e que esta será novamente alterado, uma vez que a constante

2 promove um deslocamento vertical da função em 2 unidades para cima.

Construção do gráfico da função ℎ 𝑥 = cos 𝑥 .



0 1

𝜋

20

𝜋 –1

3𝜋

20

2𝜋 1

34


2, 0 , 𝜋, −1 ,

3𝜋

2, 0 e 2𝜋, 1 .




Período: 2𝜋

Construção do gráfico da função ℎ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 .

Para a construção do gráfico da função ℎ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 , toma-se os valores de y para a função ℎ 𝑥 =

𝑐𝑜𝑠 𝑥 e multiplica-se cada um dos valores por –1.


x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒚 = −𝐜𝐨𝐬(𝒙)

0 1 –1

𝜋

20 0

𝜋 –1 1

3𝜋

20 0

2𝜋 1 –1

35


Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: 0,−1 ,𝜋

2, 0 , 𝜋, 1 ,

3𝜋

2, 0 e 2𝜋, −1 .




Período: 2𝜋

Construção do gráfico da função ℎ 𝑥 = − cos 𝑥 + 2.

Para construir o gráfico da função ℎ 𝑥 = − cos 𝑥 + 2, toma-se os valores de y para a função ℎ 𝑥 =

− cos 𝑥 e soma-se 2 unidades a cada um dos valores, ou ainda


2, 2 , 𝜋, 3 ,

3𝜋

2, 2 e 2𝜋, 1 .

x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒚 = −𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒚 = −𝐜𝐨 𝐬 𝒙 + 𝟐

0 1 –1 1

𝜋

20 0 2

𝜋 –1 1 3

3𝜋

20 0 2

2𝜋 1 –1 1

36

Desenhando o traçado dos pontos marcados, tem-se:


Imagem: 𝐼𝑚 𝑓 = 1, 3

Período: 2𝜋

d) 𝒛 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)

Espera-se que os estudantes percebam que a constante 2 promove alterações no período da função, e que

como a constante é maior do que 1, o período da função será comprimido.

Cálculo do valor de x: 2𝑥 =𝜋

2

Isolando x, tem-se: 𝑥 =𝜋

2

2→ 𝑥 =

𝜋

4.

Repetindo este processo para os demais valores do arco 2𝑥, tem-se os seguintes valores de x e y.


Professor(a), neste caso, o arco da função seno é da forma 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0 e 𝑎 ≠ 1 ou 𝑎 = 1 e 𝑏 = 0,

desta forma, deve-se construir uma tabela com três colunas, sendo uma para o arco (𝑎𝑥 + 𝑏), uma para os

valores de x e uma para os valores de y. Para construir o gráfico da função 𝑧 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥), ao arco 2𝑥deve-se atribuir os valores desejados, para a partir deles determinar os valores de x e y. Para determinar os

valores de x a partir do arco 2𝑥 é necessário atribuir a x a metade do valor do arco, ou seja, isolar o x da

equação.

37


x 𝟐𝒙 𝒛 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)

−𝜋

2−𝜋 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙ −

𝜋

2→ 𝑠𝑒𝑛 −𝜋 = 0

−𝜋

4−𝜋

2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙ −

𝜋

4→ 𝑠𝑒𝑛 −

𝜋

2= −1

0 0 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙ 0 → 𝑠𝑒𝑛 0 = 0

𝜋

4

𝜋

2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙

𝜋

4→ 𝑠𝑒𝑛

𝜋

2= 1

𝜋

2𝜋 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙

𝜋

2→ 𝑠𝑒𝑛 𝜋 = 0

3𝜋

4

3𝜋

2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙

3𝜋

4→ 𝑠𝑒𝑛

3𝜋

2= −1

𝜋 2𝜋 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙ 𝜋 → 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 = 0

5𝜋

4

5𝜋

2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙

5𝜋

4→ 𝑠𝑒𝑛

5𝜋

2= 1

3𝜋

23𝜋 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2 ∙

3𝜋

2→ 𝑠𝑒𝑛 3𝜋 = 0

Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: −𝜋

2, 0 , −

𝜋

4, −1 , 0, 0 ,

𝜋

4, 1 ,

𝜋

2, 0 ,

3𝜋

4, −1 ,

𝜋, 0 ,5𝜋

4, 1 e

3𝜋

2, 0 .


38



Período: 𝜋

e) 𝒒 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 −𝝅

𝟒.

Espera-se que os estudantes percebam que a constante −𝜋

4provoca um deslocamento horizontal da função

em𝜋

4unidades para a direita.

Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são:𝜋

4, 1 ,

3𝜋

4, 0 ,

5𝜋

4, −1 ,

7𝜋

4, 0 e

9𝜋

4, 1 .


x 𝒙 −𝝅

𝟒 𝒒 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 −𝝅

𝟒𝜋

40 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠

𝜋

4−𝜋

4→ cos 0 = 1

3𝜋

4

𝜋

2 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠3𝜋

4−𝜋

4→ 𝑐𝑜𝑠

𝜋

2= 0

5𝜋

4

𝜋𝑦 = 𝑐𝑜𝑠

5𝜋

4−𝜋

4→ 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = −1

7𝜋

4

3𝜋

2 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠7𝜋

4−𝜋

4→ 𝑐𝑜𝑠

3𝜋

2= 0

9𝜋

4

2𝜋𝑦 = 𝑐𝑜𝑠

9𝜋

4−𝜋

4→ 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 = 1

Professor(a), para a construção deste gráfico, ao arco 𝑥 −𝜋

4deve-se atribuir os valores desejados, para a

partir deles determinar os valores de x e y. Para determinar os valores de x, atribui-se para x a soma de𝜋

4

aos valores dos arcos.

39




Período: 2𝜋

f) 𝒗 𝒙 = −𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝟏

Espera-se que os estudantes identifiquem que a constante –2 promove uma alteração na amplitude do

gráfico, alterando desta forma o conjunto-imagem da função. Além disso, que a constante –1 provoca um

deslocamento do gráfico da função em uma unidade para baixo, modificando novamente o conjunto-

imagem.

Construção do gráfico da função 𝑣 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .


x 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙)

−𝜋 0

−𝜋

2–1

0 0

𝜋

21

𝜋 0

3𝜋

2–1

2𝜋 0

5𝜋

21

3𝜋 0

40

Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: −𝜋, 0 , −𝜋

2, −1 , 0, 0 ,

𝜋

2, 1 , 𝜋, 0 ,

3𝜋

2, −1 ,

2𝜋, 0 ,5𝜋

2, 1 e 3𝜋, 0 .




Período: 2𝜋

Construção do gráfico da função 𝑣 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .

Para a construção do gráfico da função 𝑣 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , toma-se os valores de y para a função 𝑣 𝑥 =

𝑠𝑒𝑛 𝑥 e multiplica-se cada um dos valores por –2.


x 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒚 = −𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝒙)

−𝜋 0 0

−𝜋

2–1 2

0 0 0

𝜋

21 –2

𝜋 0 0

3𝜋

2–1 2

2𝜋 0 0

5𝜋

21 –2

3𝜋 0 0

41

Os pontos a serem marcados no plano cartesiano são: −𝜋, 0 , −𝜋

2, 2 , 0, 0 ,

𝜋

2, −2 , 𝜋, 0 ,

3𝜋

2, 2 ,

2𝜋, 0 ,5𝜋

2, −2 e 3𝜋, 0 .




Período: 2𝜋

Construção do gráfico da função 𝑣 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1.

Para a construção do gráfico da função v 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1, toma-se os valores de y para a função

v 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥), e subtrai-se de cada um dos valores 1 unidade.



x 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒚 = −𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒚 = −𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝟏

−𝜋 0 0 –1

−𝜋

2–1 2 1

0 0 0 –1

𝜋

21 –2 –3

𝜋 0 0 –1

3𝜋

2–1 2 1

2𝜋 0 0 –1

5𝜋

21 –2 –3

3𝜋 0 0 –1


2, 1 , 0, −1 ,

𝜋

2, −3 , 𝜋, −1 ,

3𝜋

2, 1 , 2𝜋,−1 ,

5𝜋

2, −3 e 3𝜋,−1 .




Período: 2𝜋

43

Caro(a) professor(a)

As atividades que são apresentadas a seguir, referem-se ao Momento 02 deste ciclo de atividades.

No Momento 02, denominado de Modelagem, a partir da coleta, análise e investigação de dados, são

construídas as leis de formação que descrevem o comportamento periódico de três situações do mundo real

(ondas de marés, duração do dia e temperatura do ar). Pretende-se que os estudantes construam

procedimentos, a partir da disposição dos pontos do gráfico, para determinar os parâmetros da lei de

formação que permitem ajustar o fenômeno à uma função. Nesse sentido, são propostas questões que

problematizam e norteiam a investigação dos parâmetros, sendo o GeoGebra utilizado apenas para validar as

conclusões obtidas e melhorar a qualidade do ajuste. Nessas atividades acredita-se que os estudantes

reconheçam pela disposição dos pontos que se trata de uma função seno ou cosseno e que identifiquem qual

parâmetro deve ser inserido para ajustar à função aos pontos, sendo que a determinação do valor desses

parâmetros seja o novo procedimento a ser construído como resultado dos problemas propostos.

As atividades propostas obedecem a seguinte ordem:

Ondas de marés – onde o novo conhecimento matemático a ser construído pelos estudantes está na

determinação de um procedimento que permite definir o valor efetivo da constante a, responsável

pela alteração na amplitude da função e consequentemente no conjunto-imagem.

Duração do dia e da noite – onde o novo conhecimento matemático a ser construído pelos

estudantes está na determinação de um procedimento que permite definir o valor efetivo da

constante d, responsável pelo deslocamento vertical da função.

Temperatura do ar - trata-se da proposição de um novo problema para verificar a compreensão

matemática.

44

Ao permanecer por um longo tempo na praia, você já deve ter observado que existe uma variação do

nível de água do mar sobre a faixa de areia (litoral). Em alguns momentos, a água recua deixando assim uma

maior faixa de areia e a impressão é de que o litoral ficou mais largo; já em outros momentos, a água avança

para a faixa de areia e a impressão é de que o litoral ficou um tanto mais estreito. Um dos principais

fenômenos responsáveis pela movimentação diária das águas dos mares e oceanos são as marés.

A maré é a oscilação vertical da superfície do mar sobre a Terra, ou seja, é a movimentação diária,

avanço e recuo, das águas oceânicas em relação ao litoral. O maior nível das águas do mar é chamado de

maré alta ou preamar e, o menor nível recebe o nome de maré baixa ou baixa-mar. Quando as águas

oceânicas avançam para o litoral diz-se que a maré é alta, quando recuam, diz-se que a maré é baixa.

As marés são provocadas pela atração gravitacional que a Lua exerce sobre o planeta Terra. A Lua dá

voltas em torno da Terra e, neste movimento a Terra é atraída pela Lua, assim como também a Lua é atraída

pela Terra pela força da gravidade. O Sol também exerce influência na movimentação das águas oceânicas,

no entanto a influência da Lua é muito mais forte por estar mais próxima da Terra. Outro fator que tem

influência nesta movimentação, é a rotação da Terra sobre o seu eixo, fazendo com que uma metade do

nosso planeta esteja sempre voltado para a Lua e, essa estará exercendo seu poder sobre as águas

ocasionando a maré alta, enquanto que na outra metade, tem-se a maré baixa. Como acontece a

movimentação da Terra e da Lua, a atração da Lua não fica restrita apenas a uma parte do nosso planeta, ou

seja, ao se mover, a atração da Lua faz a água subir e descer em diferentes partes do planeta, desta forma, a

maré pode estar alta em uma parte do planeta e baixa em outra.

As marés ocorrem todos os dias sendo que a dinâmica de avançar e recuar em relação ao litoral

acontece em intervalos de aproximadamente 6 horas. Normalmente, ocorrem 4 marés diárias: duas marés

altas e duas marés baixas; isso acontece pois ao mesmo tempo que a Lua faz a água avançar pelo litoral do

lado que está virada para ela, ela também recua a água do litoral do lado oposto do planeta.

A altura da maré alta e baixa corresponde ao nível de água em relação ao plano do zero hidrográfico

(nível de referência pela qual são determinadas as alturas das marés). Este nível de referência normalmente é

definido pelo nível mais baixo das marés baixas (média das marés baixas de sizígia4) registradas em um

determinado período de observação, e varia de um lugar para o outro. A altura das marés alta e baixa de

acordo com o nível do mar médio, variam.

MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS

Fonte: Maré baixa e maré alta3

45

Nas fases de Lua nova e cheia, a força gravitacional do Sol está na mesma direção da força

gravitacional da Lua, produzindo assim marés mais altas, chamadas de marés de sizígia; já nas fases de Lua

minguante e crescente, as forças gravitacionais do Sol estão em direções diferentes da força gravitacional da

Lua, o que ocasiona marés mais baixas, chamadas maré de quadratura.

O subir e descer das marés regula, de muitas maneiras, as atividades diárias das pessoas que vivem à

beira mar, como a escolha do melhor horário para a procura de mariscos e o melhor momento para atracar os

barcos. Desta forma, os trabalhadores da pesca e da navegação, guiam-se pelas previsões das marés para a

realização de suas atividades. As previsões de marés são feitas através dos resultados coletados da

observação de um medidor (marégrafo) analisadas juntamente com a reação dos níveis das águas em relação

a movimentação da Terra, Lua e o Sol; e as posições futuras da Terra, do Sol e da Lua que são conhecidas.

Para analisar o comportamento das movimentações oceânicas, colete dados referente à altura das

marés de um porto. Você pode escolher qualquer porto e a altura relacionada à maré baixa ou à maré alta.

Para tanto você deve registrar na Tabela 1 os dados correspondentes à 2 meses quaisquer.

Sugere-se como consulta o site de Previsão de Marés da Marinha

do Brasil - https://www.marinha.mil.br/chm/dados-do-segnav-publicacoes/tabuas-das-mares


Fonte: Zero hidrográfico5

Professor(a), um vídeo, desenvolvido pelo Departamento de Física da

Universidade do Estado de Santa Catarina, pode ser exibido para acompanhar

essa explicação do fenômeno das marés:

https://www.youtube.com/watch?v=bFKHFwc4-Qs.

Professor(a), se não houver internet a disposição na escola para a realização da pesquisa, sugere-se que

você faça a coleta de dados para um determinado porto de sua escolha e leve-os para que os estudantes

possam realizar a atividade em sala, ou então, que propicie um material de apoio para que os estudantes

consigam realizar a coleta de dados como atividade extraclasse. Caso a escola disponha de internet, o(a)

professor(a) pode propor que os estudantes se organizem de modo a analisar situações diferentes.

46

Porto: Porto de Itajaí

Localização: Itajaí/SC

Período (mês/ano): Agosto/2016 – Setembro/2016

( x ) maré alta ( ) maré baixa

Tabela 1: Tábuas de marés

Considerando que existe uma função que relaciona o tempo (em dias) e a altura da maré (m), como

você determinaria qual é a variável dependente e independente nessa situação? Qual seria o significado de

atribuir a cada par de valores da tabela um ponto com coordenadas (x, y)?


Dias Altura (m) Dias Altura (m)

1 1,1 32 1,1

2 1,1 33 1,2

3 1,2 34 1,2

4 1,1 35 1,1

5 1,1 36 1,1

6 1,1 37 1,0

7 1,0 38 0,9

8 0,9 39 0,8

9 0,9 40 0,8

10 0,8 41 0,7

11 0,8 42 0,8

12 0,8 43 0,9

13 0,8 44 1,0

14 0,9 45 1,1

15 1,0 46 1,2

16 1,1 47 1,2

17 1,2 48 1,2

18 1,2 49 1,2

19 1,2 50 1,2

20 1,2 51 1,1

21 1,1 52 1,0

22 1,0 53 0,9

23 0,9 54 0,8

24 0,8 55 0,8

25 0,8 56 0,8

26 0,8 57 0,9

27 0,8 58 1,0

28 0,9 59 1,0

29 1,0 60 1,1

30 1,1 61 1,1

31 1,1 62 --

47

A variável dependente corresponde a altura da maré, dado que é possível verificar que existe uma relação

entre as alturas e o tempo, e dentro de um determinado período essa altura volta a se repetir; a variável

independente corresponde ao tempo (em dias). Atribuir a cada par de valores da tabela um ponto em

coordenadas (x, y) significa que as grandezas envolvidas na situação analisada podem ser relacionadas de

modo que uma grandeza é dada em função da outra.

Para facilitar a análise dos dados, determine o valor da média aritmética das alturas das marés e de cada

altura subtraía esse valor médio. Esses valores deverão ser considerados para determinar os pontos que

devem ser usados para representar a situação.


Professor(a), para esta atividade você pode propor que os estudantes façam o cálculo da média utilizando o

computador (Apêndice 3), ou então que calculem a média de forma manual. O mesmo pode ser proposto

para a atividade em que se faz necessário subtrair a média de cada uma das alturas (Apêndice 4). A

finalidade dessa operação está em deslocar o gráfico sobre o eixo das abscissas e desta forma, não inserir a

constante d na lei de formação.

x y

1 0,1

2 0,1

3 0,2

4 0,1

5 0,1

6 0,1

7 0,0

8 – 0,1

9 – 0,1

10 – 0,2

11 – 0,2

12 – 0,2

13 – 0,2

14 – 0,1

15 0,0

16 0,1

17 0,2

18 0,2

19 0,2

20 0,2

21 0,1

22 0

23 – 0,1

24 – 0,2

x y

25 – 0,2

26 – 0,2

27 – 0,2

28 – 0,1

29 0,0

30 0,1

31 0,1

32 0,1

33 0,2

34 0,2

35 0,1

36 0,1

37 0,0

38 – 0,1

39 – 0,2

40 – 0,2

41 – 0,3

42 – 0,2

43 – 0,1

44 0,0

45 0,1

46 0,2

47 0,2

48 0,2

x y

49 0,2

50 0,2

51 0,1

52 0,0

53 – 0,1

54 – 0,2

55 – 0,2

56 – 0,2

57 – 0,1

58 0,0

59 0,0

60 0,1

61 0,1

48

Represente os pontos, obtidos a partir da tabela de valores, utilizando o software GeoGebra (conforme

Apêndice 5). Qual o tipo de função poderia representar essa situação?

Digite a função no campo de entrada do GeoGebra. Quais aspectos da função (período, amplitude e

deslocamento) precisam ser alterados para melhor ajustar os pontos sobre a curva?

Analisando a disposição dos pontos e comparando com a curva do gráfico da função cosseno percebe-se a

necessidade de alterações na amplitude e período da função.

Para que essas alterações ocorram quais constantes precisariam ser incluídos na função? Faça uma previsão

desses valores, justificando sua resposta, e escreva como seria a função.


Professor(a), os estudantes podem escolher ou a função seno ou a cosseno, visto que a diferença entre as

duas, trata-se de um deslocamento horizontal. Desta forma, dependendo da situação, escolhendo ou uma

função ou outra, pode ou não ser necessário a inserção da constante c responsável pelo deslocamento

horizontal da função.

49

Para que essas alterações sejam realizadas é preciso incluir os parâmetros correspondentes a amplitude e ao

período da função cosseno, desta forma, a nova função terá a seguinte característica:

𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ cos(𝑏 ∙ 𝑥)

Amplitude (imagem da função): no gráfico a disposição dos pontos ocupa um intervalo de −0,3, 0,2 no

eixo y.

0,2 − (−0,3) = 0,2 + 0,3 = 0,5

Logo a amplitude do gráfico é modificada, e o valor do parâmetro a é definido por:

𝑎 =0,5

2→ 𝑎 = 0,25

Desta forma, a constante a na função 𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ cos(𝑏 ∙ 𝑥) é 0,25. Assim:

𝑔 𝑥 = 0,25 ∙ cos(𝑏 ∙ 𝑥)

Período: É possível verificar pela disposição dos pontos no gráfico que a curva referente à altura da maré no

período analisado volta a se repetir dentro de 17 dias. Sabendo que a função cosseno tem período 2𝜋,

substitui-se estes valores na fórmula do período:

𝑝 =𝑝𝑡𝑏

→ 𝑝 =2𝜋

17

Desta forma, a constante b na função é2𝜋

17.

Logo a nova função é:

𝑔 𝑥 = 0,25 ∙ cos2𝜋

17∙ 𝑥

Digite a função, que você acredita que represente a situação, na sua forma genérica com as constantes que

você estimou a partir dos cálculos (conforme Apêndice 6) e utilize a ferramenta controle deslizante para um

melhor ajuste se necessário.

MOMENTO 02 – ONDAS DE MARÉS 50

A partir dos controles deslizantes, os estudantes podem modificar os valores dos parâmetros a e b de forma a

melhor ajustar os pontos sobre a curva, se houver necessidade. Nesta situação, com o parâmetro a definido

para 0,25, verifica-se que alterando o valor para 0,3, a curva da função melhor se ajusta aos dados coletados.

Assim a nova função que descreve o comportamento das marés altas do Porto de Itajaí é:

𝑔 𝑥 = 0,3 ∙ cos2𝜋

17∙ 𝑥

Caso a função escolhida fosse a função seno, pode-se verificar a necessidade da inserção da constante c na

lei de formação de modo a melhor ajustar a curva sobre os pontos coletados.

A estimativa do valor do valor da constante c pode ser realizada diretamente por meio da ferramenta

controle deslizante no GeoGebra.


Assim lei de formação de uma função seno para a situação seria 𝑔 𝑥 = 0,3 ∙ sen2𝜋

17∙ 𝑥 + 1,6

Utilizando a lei de formação construída, e lembrando da modificação realizada na altura da maré para a

obtenção dos pontos, determine a previsão da maré para 3 e 6 meses posteriores. Especifique qual seria o

ponto correspondente no gráfico e qual a data correspondente. Insira no GeoGebra as informações na forma

de ponto coordenado para validação do valor obtido.

Previsão para 3 meses:

Os dados analisados correspondem aos meses de Agosto e Setembro de 2016, desta forma, a data

correspondente aos 3 meses é 31 de Dezembro de 2016.

Agosto/2016 – 31 dias (1 – 31)

Setembro/2016 – 30 dias (32 – 61)

Outubro/2016 – 31 dias (62 – 92)

Novembro/2016 – 30 dias (93 – 122)

Dezembro/2016 – 31 dias (123 – 153)

Assim, o valor de x é 153.

Substituindo na lei da função construída:

𝑔 𝑥 = 0,3 ∙ cos2𝜋

17∙ 153

𝑔(𝑥) ≅ 0,1

Nesta situação, os estudantes devem relembrar que foi subtraído de cada altura a média de alturas

correspondentes aos dois meses analisados, desta forma, deve ser somado 1 unidade ao resultado obtido a

partir da lei da função, logo a altura correspondente ao dia 153 (31 de dezembro de 2016) é 1,1 m.

Nesta situação, o ponto correspondente no gráfico seria C154 (153, 0,1).


Previsão para 6 meses:

Conforme já especificado, os dados analisados correspondem aos meses de Agosto e Setembro de 2016,

desta forma, a data correspondente aos 6 meses é 31 de março de 2017.

Dando continuidade a contagem dos dias, tem-se:

Agosto/2016 – 31 dias (1 – 31)

Setembro/2016 – 30 dias (32 – 61)

Outubro/2016 – 31 dias (62 – 92)

Novembro/2016 – 30 dias (93 – 122)

Dezembro/2016 – 31 dias (123 – 153)

Janeiro/2017 – 31 dias (154 – 184)

Fevereiro/2017 – 28 dias (185 – 212)

Março/2017 – 31 dias (213 – 243)

Desta forma, o valor de x é 243.

Substituindo na lei de formação construída:

𝑔 𝑥 = 0,3 ∙ cos2𝜋

17∙ 243

𝑔 𝑥 = 0

Assim como na atividade anterior, os estudantes devem relembrar que foi subtraído de cada altura a média

de alturas correspondentes aos dois meses analisados, desta forma, deve ser somado 1 unidade ao resultado

obtido a partir da lei da função, logo a altura correspondente ao dia 243 (31 de março de 2017) é 1,0 m.

Nesta situação, o ponto correspondente no gráfico seria C244 (243, 0).


O movimento de rotação da Terra dá origem aos dias e às noites, e tem como referência o nascer e o

pôr do Sol. O termo “dia” tem dois significados: o primeiro deles refere-se ao período de 24 horas e, o

segundo, corresponde ao período que há incidência de luz solar. Desta forma, um dia de acordo com o

segundo significado, dura a quantidade de horas que o sol estiver aparecendo no céu e, é variável de região

para região. Para o período que não existe a luz solar, dá-se o nome de noite.

A duração do dia (aqui entendido como o período em que há incidência de luz solar) é alterada

durante as várias estações do ano em razão da inclinação do eixo da Terra e seu movimento de translação. Os

homens e todos os animais do planeta percebem o dia e a noite e alteram o seu comportamento de acordo

com a presença ou ausência da luz solar.

A Terra leva um dia inteiro, ou seja, 24 horas, para fazer uma volta completa em torno de seu eixo.

Este período de rotação é tradicionalmente medido a partir da meia noite à meia noite. Desta forma, sempre

metade de sua superfície é iluminada pelo Sol, sendo que nestas regiões o Sol é visível e, portanto, dia. Na

outra metade, na qual o Sol não está presente, é noite. Assim, a duração do dia e da noite deveria ser em

média 12 horas, no entanto, devido a questões relacionadas as estações do ano, inclinação do eixo da Terra, a

duração do dia e da noite variam de acordo com a época do ano e com a localização no planeta. Conforme a

Terra vai girando em torno de seu eixo imaginário, a luz solar vai atingindo diferentes regiões do planeta

produzindo assim, a sucessão dos dias e noites.

Apenas em duas ocasiões do ano o dia e a noite possuem a mesma duração: equinócio da primavera

(transição do inverno para a primavera) e equinócio do outono (transição do verão para o outono). Ao longo

do ano, dias e noites têm duração maior ou menor do que 12 horas, sendo o dia com maior duração chamado

de solstício de verão, e o com menor duração, solstício de inverno.

MOMENTO 02 – DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE

Fonte: Dia e Noite6

Professor(a), um vídeo, produzido pela equipe do Cassiopeia Project – traduzido

e adaptado pela Casa das Ciências – pode ser exibido para acompanhar essa

explicação do fenômeno dos dias e noites:

https://www.youtube.com/watch?v=iWnCUorriI8

54

Para analisar a duração do dia ou a duração da noite, colete dados referente ao nascer e pôr do sol ou

da lua. Você pode escolher qualquer município do Brasil. Para tanto você deve registrar na Tabela 1 os dados

correspondentes à 1 ano qualquer com um intervalo de 10 dias.

Sugere-se como consulta o site de Weather - https://weather.com/

Cidade: Blumenau/SC

Período (mês/ano): Outubro/2017 – Outubro/2018

( x ) duração do dia ( ) duração da noite

Tabela 1: Hora do nascer e pôr do sol

MOMENTO 02– DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE

Dia do ano Dia (n) Hora do nascer do sol Hora do pôr do sol

08/out 1 5:45 18:18

18/out 11 5:35 19:24

28/out 21 5:26 19:30

07/nov 31 5:19 19:37

17/nov 41 5:15 19:44

27/nov 51 5:12 19:52

07/dez 61 5:12 19:59

17/dez 71 5:15 20:05

27/dez 81 5:20 20:10

01/jan 91 5:24 20:11

11/jan 101 5:31 20:13

21/jan 111 5:39 20:11

31/jan 121 5:47 20:08

10/fev 131 5:55 20:02

20/fev 141 6:02 18:54

02/mar 151 6:08 18:44

12/mar 161 6:14 18:34

22/mar 171 6:19 18:23

01/abr 181 6:24 18:12

11/abr 191 6:29 18:01

21/abr 201 6:34 17:52

01/mai 211 6:39 17:43

11/mai 221 6:45 17:36

21/mai 231 6:50 17:31

31/mai 241 6:55 17:28

10/jun 251 6:59 17:28


você faça a coleta de dados para uma determinada cidade de sua escolha e leve-os para que os estudantes




55

Sabendo que a duração do dia é dada pela diferença entre o horário do pôr do sol e o horário do nascer sol,

calcule a duração do dia (em horas) para o período escolhido (Apêndice 7).

Tabela 2: Duração do dia

20/jun 261 7:02 17:29

30/jun 271 7:04 17:32

10/jul 281 7:03 17:36

20/jul 291 7:00 17:41

30/jul 301 6:56 17:46

09/ago 311 6:49 17:51

19/ago 321 6:40 17:56

29/ago 331 6:31 18:00

08/set 341 6:20 18:04

18/set 351 6:08 18:09

28/set 361 5:57 18:13

08/out 371 5:46 18:18

Dia do ano Dia (n)Hora do nascer

do sol

Hora do pôr do

sol

Duração do dia

(h/min)

Duração do dia

(horas)

08/out 1 5:45 18:18 12:33 12,55

18/out 11 5:35 19:24 13:49 13,82

28/out 21 5:26 19:30 14:04 14,07

07/nov 31 5:19 19:37 14:18 14,30

17/nov 41 5:15 19:44 14:29 14,48

27/nov 51 5:12 19:52 14:40 14,67

07/dez 61 5:12 19:59 14:47 14,78

17/dez 71 5:15 20:05 14:50 14,83

27/dez 81 5:20 20:10 14:50 14,83

01/jan 91 5:24 20:11 14:47 14,78

11/jan 101 5:31 20:13 14:42 14,70

21/jan 111 5:39 20:11 14:32 14,53

31/jan 121 5:47 20:08 14:21 14,35

10/fev 131 5:55 20:02 14:07 14,12

20/fev 141 6:02 18:54 12:52 12,87

02/mar 151 6:08 18:44 12:36 12,60

12/mar 161 6:14 18:34 12:20 12,33

22/mar 171 6:19 18:23 12:04 12,07

01/abr 181 6:24 18:12 11:48 11,80

11/abr 191 6:29 18:01 11:32 11,53

21/abr 201 6:34 17:52 11:18 11,30

01/mai 211 6:39 17:43 11:04 11,07

11/mai 221 6:45 17:36 10:51 10,85

21/mai 231 6:50 17:31 10:41 10,68

31/mai 241 6:55 17:28 10:33 10,55

10/jun 251 6:59 17:28 10:29 10,48

20/jun 261 7:02 17:29 10:27 10,45

30/jun 271 7:04 17:32 10:28 10,47

MOMENTO 02 – DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE 56

Considerando que existe uma função que relaciona o tempo (em dias) e a duração do dia, como você

determinaria qual é a variável dependente e independente nessa situação? Qual seria o significado de atribuir

a cada par de valores da tabela um ponto com coordenadas (x, y)?

A variável dependente corresponde a duração do dia (em horas), dado que é possível verificar que existe

uma relação entre a duração do dia (em horas) e o tempo (em dia) e que dentro de um determinado período

de tempo essa duração do dia volta a se repetir; a variável independente corresponde ao tempo (em dia).

Atribuir a cada par de valores da tabela um ponto em coordenadas (x, y) significa que as grandezas

envolvidas na situação analisada podem ser relacionadas de modo que uma grandeza é dada em função da

outra.

Determine os pontos que devem ser usados para representar a situação em um gráfico cartesiano.

10/jul 281 7:03 17:36 10:33 10,55

20/jul 291 7:00 17:41 10:41 10,68

30/jul 301 6:56 17:46 10:50 10,83

09/ago 311 6:49 17:51 11:02 11,03

19/ago 321 6:40 17:56 11:16 11,27

29/ago 331 6:31 18:00 11:29 11,48

08/set 341 6:20 18:04 11:44 11,73

18/set 351 6:08 18:09 12:01 12,02

28/set 361 5:57 18:13 12:16 12,27

08/out 371 5:46 18:18 12:32 12,53


x y

1 12,55

11 13,82

21 14,07

31 14,30

41 14,48

51 14,67

61 14,78

71 14,83

81 14,83

91 14,78

101 14,70

111 14,53

121 14,35

131 14,12

141 12,87

151 12,60

161 12,33

171 12,07

181 11,80

x y

191 11,53

201 11,30

211 11,07

221 10,85

231 10,68

241 10,55

251 10,48

261 10,45

271 10,47

281 10,55

291 10,68

301 10,83

311 11,03

321 11,27

331 11,48

341 11,73

351 12,02

361 12,27

371 12,53

57

Represente os pontos, obtidos a partir da tabela de valores, no software GeoGebra (conforme Apêndice 5).

Qual o tipo de função que poderia representar essa situação?

Digite a função no campo de entrada do GeoGebra. Quais aspectos da função (período, amplitude e

deslocamento) precisam ser alterados para melhor ajustar os pontos sobre a curva?

Analisando a disposição dos pontos e comparando com a curva do gráfico da função cosseno percebe-se a

necessidade de alterações na amplitude, período e deslocamento vertical da função.


Professor(a), os estudantes podem escolher ou a função seno ou a cosseno, visto que a diferença entre as

duas, trata-se de um deslocamento horizontal. Desta forma, dependendo da situação, escolhendo ou uma

função ou outra, pode ou não ser necessário a inserção da constante c responsável pelo deslocamento

horizontal da função.

58

Para que essas alterações ocorram quais parâmetros precisariam ser incluídos na função? Faça uma previsão


Para que essas alterações sejam realizadas é preciso ser incluir as constantes correspondentes a amplitude, ao

período e ao deslocamento vertical da função cosseno, desta forma, a nova função terá a seguinte

característica:

𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ cos 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑑

Amplitude (imagem da função): no gráfico a disposição dos pontos ocupa um intervalo de 10,45 − 14,83

no eixo y:

14,83 − 10,45 = 4,38


𝑎 =4,38

2→ 𝑎 ≅ 2,2

Desta forma a constante a na função 𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ cos 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑑 é 2,2. Assim:

𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ cos 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑑

Período: É possível verificar pela disposição dos pontos no gráfico que a curva referente a duração dos dias

no período analisado volta a se repetir dentro do período de um ano, ou seja, 365 dias. Sabendo que a função

cosseno tem período 2𝜋, substitui-se estes valores na fórmula do período:

𝑝 =𝑝𝑡𝑏

→ 𝑝 =2𝜋

365


365.

Logo a nova função é:

𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ cos2𝜋

365∙ 𝑥 + 𝑑

Deslocamento vertical: É possível calcular o deslocamento vertical a partir do cálculo da média da duração

dos dias:

474,27

38≅ 12,5

Desta forma, a constante d é 12,5.

Assim a nova função que descreve essa situação é: 𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ cos2𝜋

365∙ 𝑥 + 12,5.





Inserindo a constante c na lei de formação, consegue-se um melhor ajuste da lei para a situação analisada:

Assim a lei de formação de uma função cosseno que descreve a situação é:

𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ cos2𝜋

365∙ 𝑥 − 1,3 + 12,5.

MOMENTO 02– DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE 60

Ajuste de uma função seno para a situação:

Para o ajuste de uma função seno que descreve a situação, o valor da constante c é modificado de – 1,3 para

0,3. Assim, a lei de formação seno é 𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜋

365∙ 𝑥 + 0,3 + 12,5.

Utilizando a lei de formação construída determine a duração do dia (em horas) em que se iniciam as 4

estações do ano para o ano cujos dados foram coletados.

Outono: 20/03

Inverno: 21/06

Primavera: 22/09

Verão: 21/12

Para determinar o valor de x para cada uma dessas datas, faz-se necessário interpolar as mesmas na Tabela

de coleta de dados a fim de verificar qual o valor de x.



Dia do

ano

Dia (n) Hora do nascer

do sol

Hora do pôr do

sol

Duração do

dia

08/out 1 5:45 18:18 12,55

18/out 11 5:35 19:24 13,82

28/out 21 5:26 19:30 14,07

07/nov 31 5:19 19:37 14,30

17/nov 41 5:15 19:44 14,48

27/nov 51 5:12 19:52 14,67

07/dez 61 5:12 19:59 14,78

17/dez 71 5:15 20:05 14,83

21/dez 75

27/dez 81 5:20 20:10 14,83

01/jan 91 5:24 20:11 14,78

11/jan 101 5:31 20:13 14,70

21/jan 111 5:39 20:11 14,53

31/jan 121 5:47 20:08 14,35

10/fev 131 5:55 20:02 14,12

20/fev 141 6:02 18:54 12,87

02/mar 151 6:08 18:44 12,60

12/mar 161 6:14 18:34 12,33

20/mar 170

22/mar 171 6:19 18:23 12,07

01/abr 181 6:24 18:12 11,80

11/abr 191 6:29 18:01 11,53

21/abr 201 6:34 17:52 11,30

01/mai 211 6:39 17:43 11,07

11/mai 221 6:45 17:36 10,85

21/mai 231 6:50 17:31 10,68

31/mai 241 6:55 17:28 10,55

10/jun 251 6:59 17:28 10,48

20/jun 261 7:02 17:29 10,45

21/jun 262

30/jun 271 7:04 17:32 10,47

10/jul 281 7:03 17:36 10,55

20/jul 291 7:00 17:41 10,68

30/jul 301 6:56 17:46 10,83

09/ago 311 6:49 17:51 11,03

19/ago 321 6:40 17:56 11,27

29/ago 331 6:31 18:00 11,48

08/set 341 6:20 18:04 11,73

18/set 351 6:08 18:09 12,02

22/set 355

28/set 361 5:57 18:13 12,27

08/out 371 5:46 18:18 12,53

62

Duração do dia em que se inicia o Outono (20/03): 𝑥 = 170

𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ cos2𝜋

365∙ 170 − 1,3 + 12,5

𝑔 𝑥 = 12,38

Duração dia em que se inicia o Inverno (21/06): 𝑥 = 262

𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ cos2𝜋

365∙ 262 − 1,3 + 12,5

𝑔 𝑥 = 10,31

Duração do dia em que se inicia a Primavera (22/09): 𝑥 = 355

𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ cos2𝜋

365∙ 355 − 1,3 + 12,5

𝑔 𝑥 = 12,72

Duração do dia em que se inicia o Verão (21/12): 𝑥 = 75

𝑔 𝑥 = 2,2 ∙ cos2𝜋

365∙ 75 − 1,3 + 12,5

𝑔 𝑥 = 14,7


Professor(a), esses valores também podem ser determinamos utilizando o próprio software GeoGebra. Para

calcular estes valores utilizando a mesma construção realizada no software GeoGebra, basta digitar no

campo de entrada o comando da função com o valor de x. Exemplo: valor da função para quando x = 75,

digite g(75) e pressione Enter.

63

A temperatura do ar é um parâmetro meteorológico de fundamental importância, refere-se a energia

que está contida no ambiente. No período de um dia, a energia que está à disposição do ambiente oscila entre

dois valores, gerando uma temperatura mínima e uma máxima. Além de uma variação diária, a temperatura

do ar varia também ao longo do ano de acordo com a posição da Terra à radiação solar.

Em diferentes partes do mundo a temperatura do ar está sujeita a grandes extremos, pontos muito

quentes e pontos muito frios, nos quais torna-se quase que impossível a vida humana, animal e vegetal.

Através da temperatura do ar pode-se determinar qual a condição de vida para uma determinada região,

assim como também qual a produtividade do solo para esta mesma região.

A temperatura do ar é a característica do clima sentida de forma direta. Em determinada época do ano

tem-se temperaturas muito elevadas em certas regiões do planeta, ou seja, as fortes ondas de calor, enquanto

que em outras regiões, tem-se temperaturas muito baixas, desta forma, uma intensa onda de frio. E ainda,

existem as épocas do ano em que predominam as temperaturas mais amenas, isto é, nem muito frio nem

muito quente, porém agradável.

Os seres vivos que habitam o nosso planeta adaptam-se a energia do ambiente em que vivem, sendo

que a variação da energia opera em um processo ininterrupto de estímulos aos processos fisiológicos

(funções mecânicas, físicas e bioquímicas) vitais destes seres vivos. Desta forma, percebe-se que a

temperatura do ar tem uma finalidade importante no desenvolvimento dos seres vivos (humanos, animais e

plantas).

Para analisar a temperatura do ar, colete dados referente a temperatura a cada 3 horas de uma cidade

de sua preferência. Registre na Tabela 1 os dados correspondentes a 2 dias.

Sugere-se como consulta o site de Weather - https://weather.com/

MOMENTO 02– TEMPERATURA DO AR 64

Cidade: Presidente Getúlio/SC

Período (dia/mês/ano): 4, 5 e 6 de dezembro de 2017.

Tabela 1: Temperatura do ar

Considerando que existe uma função que relaciona o tempo (em horas) e a temperatura do ar (em graus),

como você determinaria qual é a variável dependente e independente nessa situação? Qual seria o

significado de atribuir a cada par de valores da tabela um ponto com coordenadas (x, y)?

A variável dependente corresponde a temperatura do ar, dado que é possível verificar que existe uma relação

entre a temperatura do ar e do tempo, e dentro de um determinado período de horas essa temperatura volta a

se repetir; a variável independente corresponde ao tempo (em horas). Atribuir a cada par de valores da tabela

um ponto em coordenadas (x, y) significa que as grandezas envolvidas na situação analisada podem ser

relacionadas de modo que uma grandeza é dada em função da outra.


MOMENTO 02 – TEMPERATURA DO AR

Hora dos dados Hora Temperatura

Segunda

10:00 10 26

13:00 13 30

16:00 16 27

19:00 19 24

22:00 22 22

Terça

01:00 25 21

04:00 28 21

07:00 31 20

10:00 34 23

13:00 37 27

16:00 40 27

19:00 43 25

22:00 46 21

Quarta

01:00 49 21

04:00 52 20

07:00 55 20


você faça a coleta de dados para uma determinada cidade de sua escolha e leve-os para que os estudantes




65

Represente os pontos, obtidos a partir da tabela de valores, no software GeoGebra (conforme Apêndice 5).

Qual o tipo de função que poderia representar essa situação?

Digite a função, que você acredita que represente a situação, no campo de entrada. Quais aspectos da função

(período, imagem, domínio) precisam ser alterados para melhor ajustar os pontos sobre a curva?


x y

10 26

13 30

16 27

19 24

22 22

25 21

28 21

31 20

34 23

37 27

40 27

43 25

46 21

49 21

52 20

55 20

66

Analisando a disposição dos pontos e comparando com a curva do gráfico da função seno percebe-se a

necessidade de alterações na amplitude, período e deslocamento vertical da função.

Para que essas alterações ocorram quais parâmetros precisariam ser incluídos na função? Faça uma previsão


Para que essas alterações sejam realizadas é preciso ser incluídos as constantes correspondentes a amplitude,

ao período, e ao deslocamento vertical da função, desta forma, a nova função terá a seguinte característica:

𝑓 𝑥 = a ∙ sen b ∙ 𝑥 + 𝑑

Amplitude (imagem da função): no gráfico a disposição dos pontos ocupa um intervalo de 20, 30 no eixo

y.

30 − 20 = 10


𝑎 =10

2→ 𝑎 = 5

Desta forma a constante a na função 𝑓 𝑥 = 𝑎 ∙ sen 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑑 é 5. Assim: 𝑓 𝑥 = 5 ∙ sen 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑑

Período: É possível verificar pela disposição dos pontos no gráfico que a curva volta a se repetir dentro de

24 horas. Sabendo que a função seno tem período 2𝜋, substitui-se estes valores na fórmula do período:

𝑝 =𝑝𝑡𝑏

→ 𝑝 =2𝜋

24


24. Assim, 𝑓 𝑥 = 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛

2𝜋

24∙ 𝑥 + 𝑑

Deslocamento vertical: É possível calcular o deslocamento vertical a partir do cálculo da média da duração

das noites:

375

16= 23,43

Desta forma, a constante d 23,43, ou seja, a curva precisa ser deslocada aproximadamente 23,4 unidades

para cima no eixo y.

Assim a função que descreve essa situação é 𝑓 𝑥 = 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜋

24∙ 𝑥 + 23,4.





Verifica-se a necessidade da inclusão da constante c na lei de formação como forma de garantir um melhor

ajuste da curva da função sobre os pontos. O valor da constante c pode ser determinado diretamente no

GeoGebra.

Para esta situação, houve a necessidade da inclusão da constante c e percebeu-se que, a constante d poderia

ser melhor ajustada através do controle deslizante. Assim a lei de formação que descreve a situação é

𝑓 𝑥 = 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜋

24∙ 𝑥 − 2,4 + 24


Ajuste de uma função cosseno para a situação:

Para o ajuste de uma função cosseno que descreve a situação, o valor da constante c é modificado de –2,4

para 1,7. Assim, a lei de formação seno é 𝑔 𝑥 = 5 ∙ cos2𝜋

24∙ 𝑥 + 1,7 + 24.

Utilizando a lei de formação construída, determine a temperatura do ar para as 12h do dia seguinte aos dias

analisados especificando que dia é este.

Para determinar o valor de x, faz-se necessário interpolar este horário na Tabela de coleta de dados. Com

base nos dados coletados para a atividade inicial, acrescenta-se a tabela a sequência de horários até chegar as

12h do dia seguinte (12h de quinta-feira), lembrando do intervalo de 3 horas estabelecido no início da

atividade.

O valor de x para as 12 horas do dia seguinte (quinta-feira) é 84.

𝑓 𝑥 = 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜋

24∙ 84 − 2,4 + 24

𝑓 𝑥 ≅ 27,4

Desta forma, a temperatura do ar para as 12h do dia 07/12 é de aproximadamente 27,4 °C.


Caro(a) professor(a)

As atividades que são apresentadas a seguir, referem-se ao Momento 03 deste ciclo de atividades.

No Momento 03, denominado de Analisando situações, o período, amplitude da curva, domínio e

conjunto-imagem são determinados tanto a partir da lei de formação, quanto do gráfico da função, o que

possibilita verificar a compreensão dos conceitos e procedimentos construídos nas atividades anteriores. O

que se pretende como novo procedimento é que os estudantes consigam dar significado aos parâmetros no

contexto de uma situação, bem como que associem a medida de um ângulo também à variável dependente.

As atividades propostas obedecem a seguinte ordem:

Ritmo oscilatório dos braços;

Voo dos gafanhotos.

70

Atualmente é possível verificar um grande número de pessoas que praticam exercícios aeróbicos,

dentre eles os principais são andar, correr, nadar, pedalar e dançar. É muito frequente encontrar pessoas

caminhando, correndo ou então pedalando pelas ruas da cidade, assim como academias que oferecem aos

seus clientes atividades de dança e natação.

Em atividades como caminhada, corrida, natação e pedal é possível verificar o movimento oscilatório

dos braços durante a sua realização. Uma pessoa participante do método de corridas de Cooper, método este

que consiste em uma corrida de 2,4 quilômetros em 12 minutos, balança cada um de seus braços enquanto

corre, sempre no mesmo ritmo, segundo a função: 𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋

9∙ 𝑠𝑒𝑛

8𝜋

3∙ 𝑡 −

3

4, no qual y corresponde

ao ângulo compreendido entre a posição do braço e o eixo vertical e t corresponde ao tempo medido em

segundos. Na Figura abaixo são apresentadas duas posições do braço de um corredor em seu movimento

cíclico.

Durante uma corrida, o braço do corredor oscila para frente e para trás em torno do ponto 0,

conforme exemplificado na Figura acima. A posição do braço em relação ao eixo é estimada através

do ângulo y, compreendido entre o braço e o eixo vertical.

Considerando a função que determina o movimento oscilatório dos braços de um corredor do

método Cooper, responda:

MOMENTO 03 – RITMO OSCILATÓRIO DOS BRAÇOS

Fonte: (AGUIAR, XAVIER e RODRIGUES, 1988)7

71

1. Qual o período da função trigonométrica?

Antes calcular qual o período da função trigonométrica 𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋

9∙ 𝑠𝑒𝑛

8𝜋

3∙ 𝑡 −

3

4, pode-se

desenvolver a multiplicação que está dentro dos parênteses8𝜋

3∙ 𝑡 −

3

4=

8𝜋𝑡

3−

24𝜋

12=

8𝜋𝑡

3− 2𝜋 .

Assim a constante b da função 𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋

9∙ 𝑠𝑒𝑛

8𝜋

3∙ 𝑡 −

3

4corresponde a

8𝜋

3. Substituindo o valor da

constante b na fórmula 𝑝 =𝑝𝑡

𝑏que determina o período de uma função trigonométrica, tem-se:

𝑝 =𝑝𝑡𝑏

=2𝜋

8𝜋3

=6𝜋

8𝜋=3

4

O ciclo de oscilação dos braços deste corredor volta a se repetir a cada3

4segundos, ou seja, 0,75 segundos.

2. Qual a amplitude da oscilação dos braços do corredor, praticante do Método de Cooper?

Comparando a função 𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋

9∙ 𝑠𝑒𝑛

8𝜋

3∙ 𝑡 −

3

4com a função genérica 𝑓 𝑥 = a ∙

𝑠𝑒𝑛 b𝑥 + c + 𝑑 e sabendo que a constante responsável pela amplitude é a constante a, tem-se que a

amplitude da oscilação dos braços deste corredor praticante do Método de Cooper é𝜋

9radianos, ou seja, 20°.

3. Considerando um corredor praticante do Método de Cooper de corrida, determine o ângulo compreendido

entre a posição do braço e o eixo vertical após 15 e 50 segundos de corrida.

Para determinar o ângulo entre a posição do braço e o eixo vertical após 15 e 50 segundos de corrida, faz-se

necessário substituir na lei da função 𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋

9∙ 𝑠𝑒𝑛

8𝜋

3∙ 𝑡 −

3

4os respectivos valores para a

variável t.

MOMENTO 03– RITMO OSCILATÓRIO DOS BRAÇOS

Professor(a), esse cálculo pode ser realizado no próprio software GeoGebra. Para calcular estes valores

utilizando a mesma construção realizada no software GeoGebra, basta digitar no campo de entrada o

comando da função com o valor de x. Exemplo: valor da função para quando x = 15, digite f(15) e

pressione Enter.

72

Para 𝑡 = 15:

𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋

9∙ 𝑠𝑒𝑛

8𝜋 ∙ 15

3− 2𝜋

𝑦 = 0

Para 𝑡 = 50:

𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋

9∙ 𝑠𝑒𝑛

8𝜋 ∙ 50

3− 2𝜋

𝑦 = −0,3

4. Construa o gráfico da função 𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋

9∙ 𝑠𝑒𝑛

8𝜋

3∙ 𝑡 −

3

4no software GeoGebra e determine o

domínio e o conjunto-imagem da função.

Domínio da função: 𝐷 𝑓 = ℝ+

Conjunto-imagem: O conjunto-imagem pode ser determinado a partir da constante a:𝜋

9≅ 0,35, logo a

𝐼𝑚 𝑓 = −0,35, 0,35 .

MOMENTO 03– RITMO OSCILATÓRIO DOS BRAÇOS

Professor(a), para uma melhor visualização do gráfico altere a dimensão dos eixos para: eixo x: –3 a 10; e

eixo y: –0,5 a 0,5.

73

Desde a Antiguidade os homens preocuparam-se em descobrir por que os pássaros e insetos

conseguem voar e eles não. No começo, os homens tentaram imitar o voo dos pássaros construindo uma

estrutura chamada de asas mecânicas e com elas os homens lançavam-se do alto de morros e penhascos, no

entanto, os resultados sempre foram desastrosos. Somente a partir da década de 40 que os homens

conseguiram imitar o voo dos pássaros através da Asa Delta. Com o Asa Delta os homens conseguem planar

no ar, assim como subir para níveis mais altos da atmosfera sem o auxílio de um mecanismo propulsor.

Uma experiência realizada pelo zoologista T. Weis-Fogh permitiu descrever a forma precisa do voo

de um gafanhoto. Pode-se dizer que o voo de insetos e pequenos pássaros se assemelha em alguns aspectos

com o voo dos aviões. Os aviões alçam voo e obtém o empuxo para frente através da ação conjunta dos

motores e das asas fixas, enquanto que os insetos e os pequenos pássaros combinam essa função apenas com

suas asas.

Quando as asas são batidas para baixo os insetos e pássaros são impulsionados para a frente assim

como também são impulsionados a levantar o voo. Enquanto que a batida de asas para cima é responsável

por não cancelar o impulso de ascensão (de subida) obtido com a batida das asas para baixo. Os gafanhotos

possuem asas dianteiras (pequenas) e posteriores (grandes), sendo que o movimento completo é realizado

em 60 milissegundos, ou seja, os gafanhotos realizam 16,6666... ciclos por segundo, isto é, suas asas são

movimentadas para cima e para baixo 16,6666 vezes em um segundo!

MOMENTO 03 – VOO DOS GAFANHOTOS

Fonte: Gafanhoto8


74

Na Figura são apresentadas duas curvas, sendo a curva de maior amplitude de oscilação referente as

asas posteriores, e a curva em linha tracejada referente as asas dianteiras. É possível perceber que as asas

oscilam em torno da reta horizontal 𝑦 = 90°. Dado que a curva está um tanto longe de ser simétrica em

relação ao eixo y, uma função do tipo normal não garante uma aproximação, desta forma, faz-se necessário

uma função que faça uma deformação para garantir a simetria necessária.

Assim, a função que determina o ângulo das asas dos gafanhotos é:

𝑓 𝑡 = 72 − 49,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛100𝜋

3𝑡 − 0,027 + 13,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛²

100𝜋

3𝑡 − 0,027 , sendo t o tempo (em

segundos) e f(t) o ângulo de abertura entre as asas (em graus).

Conhecendo a função que determina o ângulo de abertura entre as asas dos gafanhotos, faça a

construção do gráfico da função no software GeoGebra.

A partir do gráfico, determine:

1. Qual o domínio da função f(t)?

O domínio da função f(t) são os números reais positivos, visto que a variável t corresponde ao tempo e não

existe tempo negativo. 𝐷 𝑓 = ℝ+.

MOMENTO 03– VOO DOS GAFANHOTOS

Professor(a), para uma melhor visualização do gráfico altere a dimensão dos eixos para: eixo x: –0,02 a

0,28; e eixo y: –5 a 140.

75

2. Qual a imagem da função f(t)? Qual o significado dos valores obtidos?

Para determinar a imagem da função, os estudantes podem fazer a ampliação do gráfico do GeoGebra a fim

de verificar com maior precisão qual o intervalo de pontos em relação ao eixo y ocupado pela curva. 𝐼𝑚 =

36, 135 . Este intervalo corresponde a oscilação do ângulo de abertura das asas dos gafanhotos.

3. Qual o período da função f(t)? Qual o significado do valor obtido?

Lembrando que para determinar o período de uma função trigonométrica a partir do esboço de sua curva,

deve-se observar o instante que a curva a função volta a se repetir a partir do momento que atingir seu ponto

de máximo e de mínimo. Desta forma, observando o esboço da curva no gráfico, o período da função é 0,06

segundos. Esse é o tempo que o gafanhoto leva para repetir o movimento de batida das asas.

4. Utilizando a função que determina o ângulo das asas dos gafanhotos determine o ângulo formado nos

instantes: 0,027, 0,06, 0,087, e em seguida, insira esses valores na forma de ponto coordenado no gráfico da

função.

Para 𝑡 = 0,027

𝑓 0,027 = 72 − 49,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛100𝜋

30,027 − 0,027 + 13,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛²

100𝜋

30,027 − 0,027

𝑓 0,027 = 72

Ponto coordenado 𝐴(0,027, 72)

Para 𝑡 = 0,060

𝑓 0,060 = 72 − 49,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛100𝜋

30,060 − 0,027 + 13,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛²

100𝜋

30,060 − 0,027

𝑓 0,060 = 88,05

Ponto coordenado 𝐴(0,060, 88,05)

Para 𝑡 = 0,087

𝑓 0,027 = 72 − 49,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛100𝜋

30,087 − 0,027 + 13,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛²

100𝜋

30,087 − 0,027

𝑓 0,027 = 72

Ponto coordenado 𝐴(0,087, 72)


Professor(a), esse cálculo pode ser realizado no próprio software GeoGebra, basta digitar no campo de

entrada o comando da função com o valor de x.

76

Inserindo os pontos no GeoGebra, tem-se:

MOMENTO 03– VOO DOS GAFANHOTOS 77

APÊNDICE 1

Acesse a “Janela de Visualização” (clicando com o botão direito do mouse sobre a tela) e altere as

dimensões do eixo x de −2𝜋 até 2𝜋 e a distância para 𝜋 2.

Dimensões do eixo: Digite no campo x Mín: –2pi e no x Máx: 2pi.

Distância: Clique na seta e selecione 𝜋 2.

Clique sobre a curva com o botão direito e clique na opção “Propriedades”:

Na janela Propriedades, clique na aba “Cor” e altere a cor para azul, em seguida clique na aba

“Estilo” e altere o estilo da curva para tracejado.

APÊNDICE 2

78

Digite no campo de entrada a função 𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 + 𝑑, conforme exemplificado

abaixo, e pressione Enter;

Será solicitado a construção de controles deslizantes, clique em criar.

Cálculo da média no Excel:

1. Abra o Excel;

2. Digite os dados coletados em uma planilha do Excel:

3. Digite em uma célula o comando “= 𝑚é𝑑𝑖𝑎(“;

4. Selecione a coluna com todos os valores que você deseja calcular a média;

5. Feche o parêntese;

6. Pressione Enter;

7. A média será exibida nesta mesma célula.

APÊNDICE 3

79

Cálculo da média no GeoGebra:

Primeiro método

1. No GeoGebra clique na aba “Exibir” e em seguida na opção “Planilha”;

2. Copie os dados referentes aos dias e a altura para esta planilha;

3. Selecione todos os valores da coluna y e clique em “Lista”;

4. Na janela Lista, clique em “Criar”;

5. A lista de pontos ficará visível na Janela de Álgebra;

6. No campo de entrada, digite “= 𝑚é𝑑𝑖𝑎” e selecione “Média(<Lista dos Dados Brutos>)”;

7. No lugar de <Lista dos Dados Brutos> digite o comando da lista;

7.1. O comando da lista pode ser obtido clicando com o botão direito sobre a lista; opção

“Propriedades”; aba “Básico”; Campo “Nome”;

8. Pressione Enter;

9. A média será exibida na Janela de Álgebra.

80

Segundo método


2. Copiei os dados referentes aos dias e a altura para esta planilha;

3. Clique na célula em que você deseja exibir a média;

4. Clique em “Exibir campo de entrada” (fx);

5. No campo de entrada digite “média” e selecione a opção “Média(<Lista dos Dados Brutos>);

6. Digite o intervalo de campos onde encontram-se os valores que você deseja calcular a média na forma

“primeira célula: última célula”;

7.

Pressione Enter, a média será exibida na célula escolhida no início.

Subtração da média no Excel:

1. Na mesma planilha em que você calculou a média, crie uma terceira coluna chamada “Nova altura (m)”;

2. Selecione toda a coluna e altere a formatação para “Número” e em uma célula de outra coluna qualquer

digite o valor correspondente a média já calculada;

APÊNDICE 4

81

3. Na célula correspondente ao primeiro dia (C2) digite “= 𝑠𝑜𝑚𝑎(𝐵2 − $𝐷$4)” e pressione Enter (a célula

D4 corresponde a célula com o valor da média, desta forma, na fórmula deve ser digitada o nome da célula

em que você digitou o valor da média usando o cifrão ($) para fixar o valor da média);

4. Selecione a célula em que está o resultado da soma realizada (C2) e posicione o cursor no canto inferior

direito de modo que apareça um sinal de +;

5. Clique e arraste até a última linha que possui valores referentes à altura da maré;

6. O resultado de cada uma das subtrações será exibido nesta coluna.

Subtração da média no GeoGebra:

1. Na mesma planilha que você calculou a média, crie uma coluna para a nova altura que será determinada

através da subtração da altura coletada pela média das alturas;

2. No campo de entrada da planilha (fx) digite a primeira subtração a ser realizada, utilizando cifrões ($) para

fixar a célula da média;

3. Pressione Enter;

4. Selecione a célula em que está o resultado da soma realizada e posicione o cursor no canto inferior direito

de modo que apareça um sinal de +;

82


6. As novas alturas serão exibidas nesta coluna.

Inserir pontos no software GeoGebra de forma manual

1. Abra o software GeoGebra;

2. No campo de entrada, digite o ponto que deseja inserir da forma A=(1, 0.1);

3. Pressione Enter;

4. Repita o processo para os demais pontos.

OBS.: Para uma melhor visualização dos pontos na Janela de Visualização, clique com o botão

direito na Janela de Visualização e selecione a opção “Janela de Visualização”, na Janela “Preferências”, aba

“Básico” altere as dimensões dos eixos x e y de acordo com o intervalo dos dados coletados.

Inserir pontos no software GeoGebra a partir de uma planilha


2. Copiei os dados referentes as coordenadas (x, y) dos pontos para a planilha (caso já tenham sidos digitados

no Excel) ou então digite-os na planilha do GeoGebra;

3. Na coluna C, na célula correspondente ao primeiro ponto (C2) digite o sinal de = e abra parêntese, em

seguida selecione a célula da coordenada x separando-a com uma vírgula e selecione a célula com a

coordenada y;

4. Pressione Enter para que o ponto seja exibido nesta célula;

5. Selecione a célula com o ponto construído (C2) e posicione o cursor no canto inferior direito de modo que

apareça um sinal de +;

6. Clique e arraste até a última linha que possui as coordenadas dos pontos;

7. Os pontos devem ser exibidos na Janela de Visualização.

APÊNDICE 5

83

OBS.: Caso os pontos não estejam aparecendo na Janela de Visualização, selecione a coluna com os pontos e

clique com o botão direito e selecione a opção “Exibir Objeto”;

Inserir funções no GeoGebra e formatar “controle deslizante”

1. Abra o arquivo do GeoGebra no qual estão os pontos coletados;

2. No campo de entrada, digite a função sob sua forma genérica que melhor descreve a situação (OBS.:

digite apenas as constantes que são necessárias para a situação que está sendo analisada, e para inserir o 𝜋

digite Alt+p ), em seguida pressione Enter;

3. Abrirá uma janela, clique em “Criar Controles Deslizantes”;

4. Clique com o botão direito do mouse sobre o controle deslizante e arreste-o para um local de sua

preferência;

5. Clique com o botão direito do mouse sobre o controle deslizante, clique na opção “Propriedades”;

6. Na aba “Básico” defina um intervalo para este controle (este intervalo pode ser definido tomando como

base a estimativa já calculada anteriormente);

7. No campo “Incremento” defina de quanto em quanto você quer os valores do controle deslizante (OBS.:

Valores decimais devem ser separados por ponto);

8. Repita este processo para os demais controles deslizantes criados.

APÊNDICE 6

84

Cálculos envolvendo horas de forma manual

Nas operações de soma e subtração de horários (hora, minuto e segundo), deve-se somar/subtrair

segundos de segundos, minutos de minutos e horas de horas, sendo que em alguns casos faz-se necessário

fazer transformações de horas em minutos e minutos em segundos para que seja possível realizar o cálculo.

Veja o exemplo:

Vamos subtrair 06h24 de 20h11, ou seja, 20: 11 − 06: 24

Veja que não é possível subtrair 24 minutos de 11 minutos, desta forma, faz-se necessário subtrair 1

hora das 20h e somar essa 1 hora, transformada em minutos, ou seja, 60 minutos, aos 11 minutos, e desta

forma tem-se:

Feita está transformação, é possível subtrair os 24 minutos de 71 minutos, assim como as 6 horas de

19 horas:

Para transformar este resultado em horas, deve-se dividir a quantidade de minutos por 60 (47 ÷ 60 =

0,78) e acrescentar a hora inicial, desta forma, 13h47 expressa na forma de horas é 13,78h.

Cálculos envolvendo horas no Excel

• Ao realizar esta subtração no Excel o resultado já será exibido no formato de horas.

1. Crie uma coluna para a Duração do dia (em horas);

2. Selecione a coluna e veja se a formatação é “Geral”, caso contrário selecione esta opção;

APÊNDICE 7 85

3. Na célula correspondente ao primeiro dia (E2) digite “= 𝐷2 − 𝐶2 ∗ 1440/60” e pressione Enter;

4. Selecione a célula (E2) onde aparecerá o resultado do cálculo realizado e posicione o cursor no canto

inferior direito de modo que apareça um sinal de +;

5. Arraste o sinal de + até a última linha com dados.

86

Resolução de Problemas e o uso do software GeoGebra:

um caminho para o ensino das funções trigonométricas

Juliana Meneghelli

Profª Orientadora: Janaína Poffo Possamai

CADERNO DO ESTUDANTE

87

Olá colega estudante do 2º ano do Ensino Médio!!!!

Sou o Sr. Trigonométrico, mas podem me chamar de “Sr. Trigo”. E vocês, quem são?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Estarei com você durante a realização das atividades deste caderno.

Então, você já sabe o que vamos estudar aqui? Não?

Então vou dar uma dica para você!

Este caderno irá abordar um conteúdo matemático que pode ser relacionado com situações

periódicas/cíclicas do mundo real!

E aí, já imagina qual conteúdo matemático pode estar relacionado a estas situações?

Ainda não?

Então vamos adiante que eu vou apresentar para você!!!

88

Caro estudante

Neste caderno você irá estudar um conteúdo muito importante da área da Trigonometria!

No decorrer do percurso escolar você já estudou alguns dos conteúdos desta área. Lembra de alguns

deles?

Você deve estar se perguntando: O que estuda a Trigonometria? Para que serve o estudo desta área?

Em quais situações do cotidianas e/ou do mundo real os conceitos trigonométricos são estudados?

Pois bem, posso responder algumas coisas para você!

Atualmente a Trigonometria constitui-se como uma área de grande relevância na Matemática devido as

suas aplicações em diversas situações do mundo real, desde as mais simples situações do dia a dia, como por

exemplo, o cálculo de distâncias e alturas inacessíveis; bem como em situações que representam fenômenos

periódicos e que podem ser descritos por uma função trigonométrica.

Outrossim, a Trigonometria também possui aplicações de natureza complexa, como na Ciência, na

Medicina, na Física, na Eletricidade, na Música, na Arquitetura, na Informática, entre outras.

Assim sendo, pode-se dizer que o estudo da Trigonometria compreende um dos caminhos para que o

homem entenda e interprete a natureza.

Então, neste caderno apresento à você conceitos referentes às funções trigonométricas, bem como

algumas de suas aplicações em situações do mundo real.

E aí, preparado para embarcar

nesta aventura?

Bons estudos colega!!!!

89

Você sabia que diversos fenômenos do mundo são de natureza periódica?

Ou seja, existem movimentos que voltam a se repetir em determinado intervalo de tempo,

estabelecendo um padrão, fazendo com que em algum momento o movimento volte a se repetir a partir do

ponto inicial, sendo que o intervalo de tempo que o movimento leva para completar um ciclo completo, ou

seja, voltar ao seu ponto de início, é denominado de período.

Vejamos alguns exemplos de movimentos cíclico:

• A Terra leva, aproximadamente, 365 dias e 6 horas para dar uma volta completa ao redor do sol.

• Num relógio de pêndulo, o movimento de repetição do pêndulo depende do comprimento da haste.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Fonte: Só Geografia 1

Fonte: Kukos 2


Agora é com você! Cite

alguns movimentos que

você acredita ser de

natureza cíclica.

Para conhecer um pouco mais

sobre o que é um movimento

cíclico você pode assistir o

vídeo “Movimentos Cíclicos”

disponível em

https://www.youtube.com/watch

?v=pVrWtvQs51s&feature=yout

u.be

90

Você lembra do que já estudou sobre funções?

Escreva o que entende por:

Domínio de uma função: ____________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Imagem de uma função: ____________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Período de uma função: ____________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Utilizando o software GeoGebra vamos analisar esses aspectos para algumas funções.

PARTE 1 - FUNÇÃO SENO

1. Digite no Campo de Entrada a função 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙).


Salve a construção como “Arquivo 1_[nome dos estudantes]”.

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_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


Altere a janela de visualização de modo que as dimensões do eixo

x sejam de −2𝜋 até 2𝜋 e a distância 𝜋 2 (conforme Apêndice 1)

Quando construímos gráficos que

relacionam duas variáveis, esses também

podem apresentar comportamentos

periódicos!

91

3. Compare o gráfico das funções 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) e 𝒉 𝒙 = −𝒔𝒆𝒏(𝒙). O que você pode concluir?

Salve construção como “Arquivo 2_[nome dos estudantes]”.

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________




comprimento é igual a x podemos determinar pela ordenada do ponto de parada no círculo o valor do

𝒔𝒆𝒏(𝒙).

Altere as configurações da função f(x) (Arquivo 1) de modo a alterar sua cor para azul e deixá-la

com linha tracejada. Construa a função 𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 ∙ 𝑥 + c + d (conforme Apêndice 2)

No primeiro quadrante, quando 𝟎 < 𝒙 <𝝅

𝟐; no segundo

quadrante, quando𝝅

𝟐< 𝒙 < 𝝅; no terceiro quadrante, quando

𝝅 < 𝒙 <𝟑𝝅


𝟑𝝅

𝟐< 𝒙 < 𝟐𝝅 ,

quais seriam os sinais da função? Como podemos observar essa

informação no gráfico construído?

Para auxiliar na

resolução desta

atividade, acesse o

aplicativo “Círculo

Trigonométrico”

disponível no link:

https://ggbm.at/ySFzC

wR9

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______________________________________________________________

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______________________________________________________________

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______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

92


determine, para este caso, o domínio, conjunto-imagem e o período da função 𝒈(𝒙).

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


com o gráfico.

4.2. Qual a alteração que a constante a promove no gráfico da função? Analise as alterações para valores, em

módulo, entre 0 e 1 e maiores que 1.

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função da 𝒈(𝒙).

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


com o gráfico.



–2

–0,5

0,2

0,4

0,5

1,5

2,0

4,0


–2

–0,5

0,2

0,4

0,5

2,0

4,0

93



_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________



_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


com o gráfico.



–2

–0,5

0,2

0,4

0,5

2,0

4,0


–2

–1

1

2

Você sabia que existe uma fórmula para

determinar o período da função trigonométrica?

Pesquise pela fórmula em livros didáticos e, em

seguida determine o período da função utilizando

a fórmula pesquisada.

94


_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________



_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


o gráfico.



–2

–1

1

2


–2

–1

1

2

Assim como para determinar o período da função, o

deslocamento horizontal da função também pode ser calculado

a partir de uma fórmula. Pesquise pela fórmula em livros

didáticos e, depois calcule o deslocamento horizontal da função

95

7.2. Qual a alteração provocada pela constante d, no gráfico da função?

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

PARTE 2 – FUNÇÃO COSSENO

1. Digite no Campo de Entrada a função 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙).



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_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


Inicialmente altere a janela de visualização de modo que as dimensões

do eixo x sejam de −2𝜋 até 2𝜋 e a distância 𝜋 2 (conforme Apêndice 1)

Até o momento analisamos algumas características

da função seno. Chegou o momento de analisar as

características da função cosseno! A função cosseno

é muito parecida com a função seno, no entanto, com

algumas características que diferenciam uma da

outra.

96



comprimento é igual a x podemos determinar pela abscissa do ponto de parada no círculo o valor do

𝒄𝒐𝒔(𝒙).

3. Compare o gráfico das funções 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙) e 𝒉 𝒙 = −𝒄𝒐𝒔(𝒙). O que você pode concluir?


_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


No primeiro quadrante, quando 𝟎 < 𝒙 <𝝅

𝟐; no segundo quadrante,

quando𝝅

𝟐< 𝒙 < 𝝅; no terceiro quadrante, quando 𝝅 < 𝒙 <

𝟑𝝅

𝟐; e

no quarto quadrante, quando𝟑𝝅

𝟐< 𝒙 < 𝟐𝝅, quais seriam os sinais

da função? Como podemos observar essa informação no gráfico

construído?

Para auxiliar na

resolução desta

atividade, acesse o

aplicativo “Círculo

Trigonométrico”

disponível no link:

https://ggbm.at/ySFzC

wR9

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

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______________________________________________________________

Altere as configurações da função f(x) (Arquivo 3) de modo a alterar sua cor para azul e deixá-la

com linha tracejada. Construa a função 𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑏 ∙ 𝑥 + c + d (conforme Apêndice 2)

97


determine, para este caso, o domínio, o conjunto imagem e o período da função 𝒈(𝒙).

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


com o gráfico.

4.2. Qual a alteração que a constante a promove no gráfico da função? Analise as alterações para valores,


_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


para este caso, o domínio, o conjunto-imagem e o período da função da 𝒈(𝒙).

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


com o gráfico.



–2

–0,5

0,2

0,4

0,5

1,5

2,0

4,0


–2

–0,5

0,2

0,4

0,5

2,0

4,0

98



_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________



_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________



–2

–0,5

0,2

0,4

0,5

2,0

4,0

Lembra da fórmula utilizada para o cálculo do

período da função seno? Será que para a função

cosseno também existe? Pesquise em livros

didáticos e, em seguida determine o período da

função cosseno utilizando a fórmula pesquisada.

Você percebeu alguma

diferença no período da função

cosseno com relação ao período

da função seno?

99


com o gráfico.


_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________



_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________



–2

–1

1

2


–2

–1

1

2

Lembra de como você determinou o deslocamento horizontal

da função seno? Pesquise em livros didáticos se para determinar

o deslocamento vertical da função cosseno o método é similar.

Em seguida, calcule o deslocamento horizontal da função

cosseno.

100


o gráfico.


_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________



–2

–1

1

2

E então colega estudante, percebeu alguma semelhança em

relação as características da função seno e cosseno?

Vamos fazer a comparação das duas funções para analisar suas

características?

Vamos lá!!!

101

PARTE 3 – COMPARANDO AS FUNÇÕES SENO E COSSENO

1. Digite no Campo de entrada as funções 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) e 𝒈 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙).


1.1 Analisando os gráficos das duas funções, como podemos identificar a curva referente à função seno e à

função cosseno? Qual a diferença entre elas?

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


Inicialmente altere a janela de visualização de modo que as dimensões do

eixo x sejam de −2𝜋 até 2𝜋 e a distância 𝜋 2 (conforme Apêndice 1)

Então, descobriu alguma diferença com

relação ao gráfico da função seno e cosseno?

E semelhanças?

Estamos chegando ao final desta primeira

etapa do nosso estudo, é chegado o momento

de generalizar algumas características

referentes às funções trigonométricas.

Vamos lá!

102

PARTE 4 – GENERALIZANDO

De modo geral as funções do tipo trigonométricas são escritas na forma:

𝑓 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑡𝑟𝑖𝑔 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 + 𝑑

Em que a, b, c e d são constantes (𝑎, 𝑏 ≠ 0) e “trig” indica uma das seis funções trigonométricas

(seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente).

As funções do tipo 𝑓 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑡𝑟𝑖𝑔 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 + 𝑑 têm características que podem ser relacionadas

com as funções trigonométricas e seus gráficos padrões (quando 𝑎 = 1, 𝑏 = 1, 𝑐 = 0, 𝑑 = 0). Com base na

observação das atividades anteriores, vamos generalizar as alterações provocadas pelas constantes.

1. Digite no campo de entrada as funções 𝒇 𝒙 = 𝒂 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒃 ∙ 𝒙 + 𝒄 + 𝒅 e 𝐠 𝒙 = 𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒃 ∙ 𝒙 + 𝒄 + 𝒅

e a partir dos controles deslizantes descreva as alterações que são provocadas por cada uma das

constantes na curva das funções.


1.1. Alteração provocada pela constante a: _____________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

1.2. Alteração provocada pela constante b: _____________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

1.3. Alteração provocada pela constante c:_____________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________



1.4. Alteração provocada pela constante d: _____________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Anotações

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________

E então, o que você concluiu quanto

aos parâmetros das funções

trigonométricas?

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

104

PARTE 5 – CONSTRUINDO GRÁFICOS

1. Analise as leis de formação abaixo, identifique qual a alteração provocada por cada uma das

constantes, faça a construção do gráfico e determine o domínio D(f), o conjunto-imagem Im(f) e o

período P para cada uma delas.

a) 𝒇 𝒙 = 𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟑

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Construção do gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥):

Pontos coordenados: ________________________________________________________________

Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥).


_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


x 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

Agora, que já conhecemos as características das

funções seno e cosseno, chegou o momento de

construirmos o gráfico de algumas funções

trigonométricas no software GeoGebra!

105

Construção do gráfico da função 𝑓 𝑥 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥):


Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função 𝑓 𝑥 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥).


_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Construção do gráfico da função 𝑓 𝑥 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3:


Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função 𝑓 𝑥 = 2 ∙

𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3.

ATIVIDADE 01 – MOVIMENTOS CÍCLICOS

x 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

x 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

106



_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

b) 𝒈 𝒙 = 𝟒 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝒙)

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Construção do gráfico da função 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥):


Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥).


−𝜋

−𝜋

2

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

5𝜋

2

3𝜋

E então, o que as constantes de valores

2 e 3 provocaram no gráfico da função

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)?

_________________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

107


_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Construção do gráfico da função 𝑔 𝑥 = 4 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥):

Pontos coordenados:_________________________________________________________________

Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função 𝑔 𝑥 = 4 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥).


_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒚 = 𝟒 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝒙)

−𝜋

−𝜋

2

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

5𝜋

2

3𝜋

E na função 𝑔 𝑥 = cos 𝑥 , qual a

alteração provocada pela constante 4?

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

108

c) 𝒉 𝒙 = −𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝟐

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Construção do gráfico da função ℎ 𝑥 = cos 𝑥 .


Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função ℎ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥).


_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Construção do gráfico da função ℎ 𝑥 = −cos 𝑥 .


Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função ℎ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥).



0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒚 = −𝐜𝐨𝐬(𝒙)

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

109



_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Construção do gráfico da função ℎ 𝑥 = −cos 𝑥 + 2.


Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função ℎ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2.


_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

x 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒚 = −𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒚 = −𝐜𝐨 𝐬 𝒙 + 𝟐

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

Qual a alteração provocada pela constante 2 na

função? E a constante –-1 provocou alguma

alteração no gráfico da função? Se sim, qual?

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

110

d) 𝒛 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Pontos coordenados: _______________________________________________________________

Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função 𝑧 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥).


_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


𝒙 2x 𝒛 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)

−𝜋

−𝜋

2

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

5𝜋

2

3𝜋

Nesta atividade temos o arco da função seno na forma

𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 = 0. Desta forma, o valor de x é

determinado a partir do arco 2𝑥.

111

e) 𝒒 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 −𝝅

𝟒.

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Pontos coordenados: _______________________________________________________________

Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função q(x) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 −𝜋

4.


_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


x 𝒙 −𝝅

𝟒 𝒒 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 −𝝅

𝟒

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

Nesta atividade temos o arco da função cosseno na forma

𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 ≠ 0. Desta forma, o valor de x é

determinado a partir do arco 𝑥 −𝜋

4.

Que alteração o arco 𝑥 −𝜋

4provocou no

gráfico da função quando comparado com o

gráfico da função 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)?

____________________________________________________________

____________________________________________________________

112

f) 𝒗 𝒙 = −𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝟏

Construção do gráfico da função 𝑣 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .


Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função 𝑣 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .


_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


x 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙)

−𝜋

−𝜋

2

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

5𝜋

2

3𝜋

Chegamos a nossa última construção!

Analise a lei de formação e escreva quais as

alterações que serão provocadas pelas

constantes –2 e –1 no gráfico da função.

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

113

Construção do gráfico da função 𝑣 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .


Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função 𝑣 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .


_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Construção do gráfico da função 𝑣 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1.


x 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒚 = −𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝒙)

−𝜋

−𝜋

2

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

5𝜋

2

3𝜋

x 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒚 = −𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒚 = −𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝟏

−𝜋

−𝜋

2

0

𝜋

2

𝜋

114



Insira os pontos coordenados no software GeoGebra, em seguida, insira a função

𝑣 𝑥 = −2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1.


_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

3𝜋

2

2𝜋

5𝜋

2

3𝜋

E então, você acertou quais seriam as alterações

provocadas pelas constantes –2 e –1 no gráfico da

função?

______________________________________

Então caro estudante, chegou o momento de

estudarmos algumas situações do mundo real

que podem ser descritas por meio de uma

função trigonométrica!!!

115


Anotações

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

116

Ao permanecer por um longo tempo na praia, você já deve ter observado que existe uma variação do

nível de água do mar sobre a faixa de areia (litoral). Em alguns momentos, a água recua deixando assim uma

maior faixa de areia e a impressão é de que o litoral ficou mais largo; já em outros momentos, a água avança

para a faixa de areia e a impressão é de que o litoral ficou um tanto mais estreito. Um dos principais

fenômenos responsáveis pela movimentação diária das águas dos mares e oceanos são as marés.

A maré é a oscilação vertical da superfície do mar sobre a Terra, ou seja, é a movimentação diária,

avanço e recuo, das águas oceânicas em relação ao litoral. O maior nível das águas do mar é chamado de

maré alta ou preamar e, o menor nível recebe o nome de maré baixa ou baixa-mar. Quando as águas

oceânicas avançam para o litoral diz-se que a maré é alta, quando recuam, diz-se que a maré é baixa.

As marés são provocadas pela atração gravitacional que a Lua exerce sobre o planeta Terra. A Lua dá

voltas em torno da Terra e, neste movimento a Terra é atraída pela Lua, assim como também a Lua é atraída

pela Terra pela força da gravidade. O Sol também exerce influência na movimentação das águas oceânicas,

no entanto a influência da Lua é muito mais forte por estar mais próxima da Terra. Outro fator que tem

influência nesta movimentação, é a rotação da Terra sobre o seu eixo, fazendo com que uma metade do

nosso planeta esteja sempre voltado para a Lua e, essa estará exercendo seu poder sobre as águas

ocasionando a maré alta, enquanto que na outra metade, tem-se a maré baixa. Como acontece a

movimentação da Terra e da Lua, a atração da Lua não fica restrita apenas a uma parte do nosso planeta, ou

seja, ao se mover, a atração da Lua faz a água subir e descer em diferentes partes do planeta, desta forma, a

maré pode estar alta em uma parte do planeta e baixa em outra.

As marés ocorrem todos os dias sendo que a dinâmica de avançar e recuar em relação ao litoral

acontece em intervalos de aproximadamente 6 horas. Normalmente, ocorrem 4 marés diárias: duas marés

altas e duas marés baixas; isso acontece pois ao mesmo tempo que a Lua faz a água avançar pelo litoral do

lado que está virada para ela, ela também recua a água do litoral do lado oposto do planeta.

A altura da maré alta e baixa corresponde ao nível de água em relação ao plano do zero hidrográfico

(nível de referência pela qual são determinadas as alturas das marés). Este nível de referência normalmente é

definido pelo nível mais baixo das marés baixas (média das marés baixas de sizígia4) registradas em um

determinado período de observação, e varia de um lugar para o outro. A altura das marés alta e baixa de

acordo com o nível do mar médio, variam.


Fonte: Maré baixa e maré alta3

117

Nas fases de Lua nova e cheia, a força gravitacional do Sol está na mesma direção da força

gravitacional da Lua, produzindo assim marés mais altas, chamadas de marés de sizígia; já nas fases de Lua

minguante e crescente, as forças gravitacionais do Sol estão em direções diferentes da força gravitacional da

Lua, o que ocasiona marés mais baixas, chamadas maré de quadratura.

As previsões de marés são feitas através dos resultados coletados da observação de um medidor

(marégrafo) analisadas juntamente com a reação dos níveis das águas em relação a movimentação da Terra,

Lua e o Sol; e as posições futuras da Terra, do Sol e da Lua que são conhecidas.


Fonte: Zero hidrográfico5

O subir e descer das marés regula, de muitas maneiras, as atividades diárias

das pessoas que vivem à beira mar, como a escolha do melhor horário para a

procura de mariscos e o melhor momento para atracar os barcos. Desta forma, os

trabalhadores da pesca e da navegação, guiam-se pelas previsões das marés para a

realização de suas atividades.

Para complementar

a explicação do

fenômeno das

marés assista o

vídeo desenvolvido

pelo Departamento

de Física da

Universidade do

Estado de Santa

Catarina disponível

em:

https://www.youtub

e.com/watch?v=bF

KHFwc4-Qs

Então colega estudante, vamos analisar o comportamento

das movimentações oceânicas!!!

Faça a coleta de dados referente à altura das marés de um

porto. Escolha um porto de sua preferência e a altura

relacionada ou à maré baixa ou à maré alta. Registre na

Tabela 1 os dados correspondentes à 2 meses quaisquer.

118

Para a coleta destas informações acesse o site de Previsão de Marés da Marinha do Brasil -

https://www.marinha.mil.br/chm/dados-do-segnav-publicacoes/tabuas-das-mares

Porto: _____________________________________________________

Localização: ________________________________________________

Período (mês/ano): ___________________________________________

( ) maré alta ( ) maré baixa

Tabela 1: Tábuas de marés


Dias Altura (m) Dias Altura (m)

1 32

2 33

3 34

4 35

5 36

6 37

7 38

8 39

9 40

10 41

11 42

12 43

13 44

14 45

15 46

16 47

17 48

18 49

19 50

20 51

21 52

22 53

23 54

24 55

25 56

26 57

27 58

28 59

29 60

30 61

31 62

119

Considerando que existe uma função que relaciona o tempo (em dias) e a altura da maré (m), como

você determinaria qual é a variável dependente e independente nessa situação? Qual seria o significado de

atribuir a cada par de valores da tabela um ponto com coordenadas (x, y)?

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Para facilitar a análise dos dados, determine o valor da média aritmética das alturas das marés

(conforme Apêndice 3) e de cada altura subtraía esse valor médio (conforme Apêndice 4). Esses valores

deverão ser considerados para determinar os pontos coordenados.


x y x y

1 32

2 33

3 34

4 35

5 36

6 37

7 38

8 39

9 40

10 41

11 42

12 43

13 44

14 45

15 46

16 47

17 48

18 49

19 50

20 51

21 52

22 53

23 54

24 55

25 56

26 57

27 58

28 59

29 60

30 61

31 62

Você lembra da variável

dependente e independente em

uma função? Se precisar,

pesquise pela informação em

livros didáticos para responder

o questionamento.

120

Agora que você já determinou quais são os pontos coordenados, represente-os no plano cartesiano

utilizando o software GeoGebra (conforme Apêndice 5).

Salve a construção como “Atividade_marés_[nome dos estudantes]”

Qual o tipo de função que poderia representar essa situação? Justifique sua resposta.

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Digite a função, que você acredita que represente a situação, no campo de entrada (no mesmo

arquivo onde estão marcados os pontos coletados). Quais aspectos da função (características) precisam ser

alterados para melhor ajustar os pontos sobre a curva?

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Para que essas alterações ocorram, quais constantes precisariam ser incluídos na função? Faça uma

previsão desses valores, justificando sua resposta, e escreva como seria a função.

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


Digite a função, que você acredita que represente a situação, na sua forma genérica com as constantes

que você estimou a partir dos cálculos (conforme Apêndice 6) e utilize a ferramenta controle deslizante para

um melhor ajuste se necessário.

As constantes estimadas garantem um bom ajuste da função sobre os dados coletados? Houve

necessidade de ajustes nas constantes? Se sim, qual a nova função que melhor representa a situação?

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Utilizando essa função, e lembrando da modificação realizada na altura da maré para a obtenção dos

pontos, determine a previsão da maré para 3 e 6 meses posteriores. Especifique qual seriam as coordenadas

do ponto no gráfico e a data correspondente.

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________



Anotações

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___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

E então, conseguiu construir uma função que se ajusta aos

dados que foram coletados? Quais os parâmetros inseridos

na função para garantir este ajuste?

Caso desejar, você pode consultar as alturas estimadas a

partir da fórmula no site em que foram coletadas as

informações iniciais.

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

123

O movimento de rotação da Terra dá origem aos dias e às noites, e tem como referência o nascer e o

pôr do Sol. O termo “dia” tem dois significados: o primeiro deles refere-se ao período de 24 horas e, o

segundo, corresponde ao período que há incidência de luz solar. Desta forma, um dia de acordo com o

segundo significado, dura a quantidade de horas que o sol estiver aparecendo no céu e, é variável de região

para região. Para o período que não existe a luz solar, dá-se o nome de noite.

A duração do dia (aqui entendido como o período em que há incidência de luz solar) é alterada

durante as várias estações do ano em razão da inclinação do eixo da Terra e seu movimento de translação. Os

homens e todos os animais do planeta percebem o dia e a noite e alteram o seu comportamento de acordo

com a presença ou ausência da luz solar.

A Terra leva um dia inteiro, ou seja, 24 horas, para fazer uma volta completa em torno de seu eixo.

Este período de rotação é tradicionalmente medido a partir da meia noite à meia noite. Desta forma, sempre

metade de sua superfície é iluminada pelo Sol, sendo que nestas regiões o Sol é visível e, portanto, dia. Na

outra metade, na qual o Sol não está presente, é noite.

ATIVIDADE 03 – DURAÇÃO DO DIA E DA NOITE

Fonte: Dia e Noite6

Você sabia que a duração do dia e da noite é

considerado um fenômeno periódico? E que em

determinados períodos do ano o dia tem

durações diferentes? Vamos entender melhor

como isso ocorre?

124

Assim, a duração do dia e da noite deveria ser em média 12 horas, no entanto, devido a questões

relacionadas as estações do ano, inclinação do eixo da Terra, a duração do dia e da noite variam de acordo

com a época do ano e com a localização no planeta. Conforme a Terra vai girando em torno de seu eixo

imaginário, a luz solar vai atingindo diferentes regiões do planeta produzindo assim, a sucessão dos dias e

noites.

Apenas em duas ocasiões do ano o dia e a noite possuem a mesma duração: equinócio da primavera

(transição do inverno para a primavera) e equinócio do outono (transição do verão para o outono). Ao longo

do ano, dias e noites têm duração maior ou menor do que 12 horas, sendo o dia com maior duração chamado

de solstício de verão, e o com menor duração, solstício de inverno.

Para a coleta destes dados, sugere-se como consulta o site de Weather - https://weather.com/

Município: ________________________________________________________

Período (mês/ano): __________________________________________________

( ) duração do dia ( ) duração da noite


Para complementar esta

explicação da duração do

dia e da noite, assista o

vídeo produzido pela

equipe do Cassiopeia

Project – traduzido

e adaptado pela Casa das

Ciências – disponível

em:

https://www.youtube.co

m/watch?v=iWnCUorriI

8

Então, vamos analisar este fenômeno

periódico! Para tanto, colete dados do

nascer e pôr do sol para um município

(do Brasil) de sua preferência. Registre

na Tabela 1 os dados correspondentes à 1

ano qualquer, obedecendo um intervalo

de 10 dias.

125

Tabela 1: Hora do nascer e pôr do sol


Dia do ano Dia (n) Hora do nascer do sol Hora do pôr do sol

1

11

21

31

41

51

61

71

81

91

101

111

121

131

141

151

161

171

181

191

201

211

221

231

241

251

261

271

281

291

301

311

321

331

341

351

361

371

Para determinar a

duração da noite

você também

deve coletar as

informações

referentes ao

nascer e pôr do

sol.

A duração da noite é calculada a partir

da duração do dia! Toma-se o dia com

24 horas e subtrai-se a duração do dia

(tempo, em horas, de luminosidade

solar).

126

Sabendo que a duração do dia é dada pela diferença entre o horário do pôr do sol e o horário do

nascer sol, calcule a duração do dia (em horas) para o período escolhido (Apêndice 7).

Tabela 2: Duração __________________________

Dia do

anoDia (n)

Hora do

nascer do sol

Hora do pôr

do sol

Duração do

dia (h/min)

Duração do

dia (horas)

Duração da noite

(em horas)

1

11

21

31

41

51

61

71

81

91

101

111

121

131

141

151

161

171

181

191

201

211

221

231

241

251

261

271

281

291

301

311

321

331

341

351

361

371


Considerando que existe uma função que relaciona o tempo (em dias) e a duração do dia, como você

determinaria qual é a variável dependente e independente nessa situação? Qual seria o significado de atribuir

a cada par de valores da tabela um ponto com coordenadas (x, y)?

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


Represente os pontos, obtidos a partir da tabela de valores, no software GeoGebra (conforme

Apêndice 5).

Salve a construção como “Atividade_Duração_Dia_Noite_[nome dos estudantes]”


x y x y

1 191

11 201

21 211

31 221

41 231

51 241

61 251

71 261

81 271

91 281

101 291

111 301

121 311

131 321

141 331

151 341

161 351

171 361

181 371

128

A partir da disposição dos pontos no gráfico, qual o tipo de função que poderia representar essa

situação? Justifique sua resposta.

_______________________________________________________________________________________

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_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Digite a função, que você acredita que represente a situação, no campo de entrada. Quais aspectos da

função (características) precisam ser alterados para melhor ajustar os pontos sobre a curva?

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


Atenção!

Caso a disposição dos pontos no gráfico apresente irregularidades -

“quebras” e o local para o qual você coletou os dados vigora o

horário de verão, analise se estas irregularidades correspondem ao

início/término do horário de verão.

Se sim, você pode determinar uma nova duração do dia para os dias

em que vigoram o horário de verão fazendo a subtração de

aproximadamente 1 hora (dependendo da região). Faça testes caso

desejar um melhor alinhamento dos pontos.

Caso desejar fazer esta alteração, ao final desta atividade encontra-

se uma nova tabela para a determinação dos novos valores (uma

tabela para a duração e outra para a determinação dos pontos).

O mesmo procedimento também é

válido para a duração da noite, caso o

gráfico venha a apresentar “quebras”.

A função também pode ser determinada

sem esta alteração. A alteração apenas

garante que os pontos obedeçam uma

curva contínua.

129

Para que essas alterações ocorram quais parâmetros precisariam ser incluídos na função? Faça uma


_______________________________________________________________________________________

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necessidade de ajustes nas constantes? Se sim, qual a nova função?

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Utilizando a função construída determine a duração do dia (em horas) em que se iniciam as 4

estações do ano para o período cujo dados foram coletados.

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_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


E então, conseguiu construir uma função que se ajusta aos



Dependendo o período analisado, você consegue verificar

se estes valores calculados a partir da função estão de

acordo com a previsão do site (o site fornece dados para 2

anos)

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

131

Tabela 3: Duração __________________________ sem horário de verão


Dia do

anoDia (n)

Hora do

nascer do sol

Hora do pôr

do sol

Duração do

dia (h/min)

Duração do

dia (horas)

Duração da noite

(em horas)

1

11

21

31

41

51

61

71

81

91

101

111

121

131

141

151

161

171

181

191

201

211

221

231

241

251

261

271

281

291

301

311

321

331

341

351

361

371

132

Novos pontos (sem o horário de verão)


x y x y

1 191

11 201

21 211

31 221

41 231

51 241

61 251

71 261

81 271

91 281

101 291

111 301

121 311

131 321

141 331

151 341

161 351

171 361

181 371

Anotações

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_____________________________________________________________________________

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_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

133

A temperatura do ar é um parâmetro meteorológico de fundamental importância, refere-se a energia

que está contida no ambiente. No período de um dia, a energia que está à disposição do ambiente oscila entre

dois valores, gerando uma temperatura mínima e uma máxima. Além de uma variação diária, a temperatura

do ar varia também ao longo do ano de acordo com a posição da Terra à radiação solar.

Em diferentes partes do mundo a temperatura do ar está sujeita a grandes extremos, pontos muito

quentes e pontos muito frios, nos quais torna-se quase que impossível a vida humana, animal e vegetal.

Através da temperatura do ar pode-se determinar qual a condição de vida para uma determinada região,

assim como também qual a produtividade do solo para esta mesma região.

A temperatura do ar é a característica do clima sentida de forma direta. Em determinada época do ano

tem-se temperaturas muito elevadas em certas regiões do planeta, ou seja, as fortes ondas de calor, enquanto

que em outras regiões, tem-se temperaturas muito baixas, desta forma, uma intensa onda de frio. E ainda,

existem as épocas do ano em que predominam as temperaturas mais amenas, isto é, nem muito frio nem

muito quente, porém agradável.


A temperatura do ar também é um fenômeno

periódico!

Você já parou pra pensar sobre isso? Já

percebeu esta periodicidade no decorrer dos

dias?

134

Os seres vivos que habitam o nosso planeta adaptam-se a energia do ambiente em que vivem, sendo

que a variação da energia opera em um processo ininterrupto de estímulos aos processos fisiológicos

(funções mecânicas, físicas e bioquímicas) vitais destes seres vivos. Desta forma, percebe-se que a

temperatura do ar tem uma finalidade importante no desenvolvimento dos seres vivos (humanos, animais e

plantas).

Para a coleta dos dados, sugere-se como consulta o site de Weather - https://weather.com/

Município:________________________________________________

Período (dia/mês/ano): ______________________________________

Tabela 1: Temperatura do ar


Dia Hora dos dados Hora Temperatura

Vamos analisar este fenômeno periódico! Para

tanto, colete dados referentes a temperatura do ar para

a cada 3 horas para um período de no mínimo 2 dias

de um município de sua preferência.

Registre estes dados na Tabela 1.

135

Considerando que existe uma função que relaciona o tempo (em horas) e a temperatura do ar (em

graus), como você determinaria qual é a variável dependente e independente nessa situação? Qual seria o

significado de atribuir a cada par de valores da tabela um ponto com coordenadas (x, y)?

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Represente os pontos, obtidos a partir da tabela de valores, no software GeoGebra (conforme

Apêndice 5).

Salve a construção como “Atividade_Temperatura_[nome dos estudantes]”

Qual o tipo de função que poderia representar essa situação? Justifique sua resposta.

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_______________________________________________________________________________________


x y

136

Digite a função, que você acredita que represente a situação, no campo de entrada. Quais aspectos da

função (características) precisam ser alterados para melhor ajustar os pontos sobre a curva?

_______________________________________________________________________________________

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_______________________________________________________________________________________

Para que essas alterações ocorram quais parâmetros precisariam ser incluídos na função? Faça uma


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necessidade de ajustes nas constantes? Se sim, qual a nova função?

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Utilizando a função construída determine a temperatura do ar para as 12h do dia seguinte aos dias

analisados e, especifique que dia é este.

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MOMENTO 02 – TEMPERATURA DO AR 138


Anotações

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Então, conseguiu construir uma função que se ajustasse aos



Você pode analisar se a função construída garante um bom

ajuste verificando se a temperatura calculada a partir da lei

da função é igual ou próxima a temperatura fornecida pelo

site para o dia analisado.

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

139

Atualmente é possível verificar um grande número de pessoas que praticam exercícios aeróbicos,

dentre eles os principais são andar, correr, nadar, pedalar e dançar. É muito frequente encontrar pessoas

caminhando, correndo ou então pedalando pelas ruas da cidade, assim como academias que oferecem aos

seus clientes atividades de dança e natação.

Em atividades como caminhada, corrida, natação e pedal é possível verificar o movimento oscilatório

dos braços durante a sua realização. Uma pessoa participante do método de corridas de Cooper, método este

que consiste em uma corrida de 2,4 quilômetros em 12 minutos, balança cada um de seus braços enquanto

corre, sempre no mesmo ritmo, segundo a função: 𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋

9∙ 𝑠𝑒𝑛

8𝜋

3∙ 𝑡 −

3

4, no qual y corresponde

ao ângulo compreendido entre a posição do braço e o eixo vertical e t corresponde ao tempo medido em

segundos. Na Figura abaixo são apresentadas duas posições do braço de um corredor em seu movimento

cíclico.



Você sabia que o ritmo oscilatório dos braços

é um fenômeno cíclico? Já reparou na

movimentação dos braços de uma pessoa que

está caminhado, correndo ou então nadando?

Os braços são movimentados de forma

cíclica!

140

Durante uma corrida, o braço do corredor oscila para frente e para trás em torno do ponto 0,

conforme exemplificado na Figura. A posição do braço em relação ao eixo é determinada através do ângulo

y, compreendido entre o braço e o eixo vertical.

Considerando a função que determina o movimento oscilatório dos braços de um corredor do método

Cooper, responda:

1. Qual o período da função trigonométrica?

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_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

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_______________________________________________________________________________________

2. Qual a amplitude da oscilação dos braços do corredor, praticante do Método de Cooper?

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

3. Considerando um corredor praticante do Método de Cooper de corrida, determine o ângulo compreendido

entre a posição do braço e o eixo vertical após 15 e 50 segundos de corrida.

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_______________________________________________________________________________________

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_______________________________________________________________________________________

MOMENTO 03 – RITMO OSCILATÓRIO DOS BRAÇOS141

4. Faça a construção do gráfico da função 𝑦 = 𝑓 𝑡 =𝜋

9∙ 𝑠𝑒𝑛

8𝜋

3∙ 𝑡 −

3

4no software GeoGebra e

determine o domínio e a imagem da função.

Salve a construção como “Atividade_Ritmo_Oscilatório_[nome dos estudantes]”

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________


Sugestão: Para uma melhor visualização do gráfico altere a dimensão dos

eixos para: eixo x: –3 a 10; e eixo y: –0,5 a 0,5.

Anotações

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____________________________________________________________________________

Observando a função que descreve o movimento

oscilatório dos braços de um corredor do Método

de Cooper, quais são as constantes que provocam

alterações no gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)?

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

142

Desde a Antiguidade os homens preocuparam-se em descobrir por que os pássaros e insetos

conseguem voar e eles não. No começo, os homens tentaram imitar o voo dos pássaros construindo uma

estrutura chamada de asas mecânicas e com elas os homens lançavam-se do alto de morros e penhascos, no

entanto, os resultados sempre foram desastrosos. Somente a partir da década de 40 que os homens

conseguiram imitar o voo dos pássaros através da Asa Delta. Com o Asa Delta os homens conseguem planar

no ar, assim como subir para níveis mais altos da atmosfera sem o auxílio de um mecanismo propulsor.

Uma experiência realizada pelo zoologista T. Weis-Fogh permitiu descrever a forma precisa do voo

de um gafanhoto. Pode-se dizer que o voo de insetos e pequenos pássaros se assemelha em alguns aspectos

com o voo dos aviões. Os aviões alçam voo e obtém o empuxo para frente através da ação conjunta dos

motores e das asas fixas, enquanto que os insetos e os pequenos pássaros combinam essa função apenas com

suas asas.


Fonte: Gafanhoto8

Então colega, chegamos a nossa última atividade deste

caderno. E o que vamos analisar aqui é o movimento das asas

de um gafanhoto!

Você já viu um gafanhoto voando? Observou o bater das asas

deste inseto? Pois bem, o movimento de bater as asas deste

inseto também é um movimento cíclico!

Acompanhe o texto abaixo para conhecer um pouco mais

sobre este movimento.

143

Quando as asas são batidas para baixo os insetos e pássaros são impulsionados para a frente assim

como também são impulsionados a levantar o voo. Enquanto que a batida de asas para cima é responsável

por não cancelar o impulso de ascensão (de subida) obtido com a batida das asas para baixo. Os gafanhotos

possuem asas dianteiras (pequenas) e posteriores (grandes), sendo que o movimento completo é realizado

em 60 milissegundos, ou seja, os gafanhotos realizam 16,6666... ciclos por segundo, isto é, suas asas são

movimentadas para cima e para baixo 16,6666 vezes em um segundo!

Na Figura acima são apresentadas duas curvas, sendo a curva de maior amplitude de oscilação

referente as asas posteriores, e a curva em linha tracejada referente as asas dianteiras. É possível perceber

que as asas oscilam em torno da reta horizontal 𝑦 = 90°. Dado que a curva está um tanto longe de ser

simétrica em relação ao eixo y, uma função do tipo normal não garante uma aproximação, desta forma, faz-

se necessário uma função que faça uma deformação para garantir a simetria necessária.

Assim, a função que determina o ângulo das asas dos gafanhotos é:

𝑓 𝑡 = 72 − 49,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛100𝜋

3𝑡 − 0,027 + 13,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛²

100𝜋

3𝑡 − 0,027 , onde t é o tempo (em

segundos) e f(t) o ângulo de abertura entre as asas (em graus).



Isso não é uma situação curiosa? Você por

acaso já imaginou que o bater de asas de um

inseto poderia ser um movimento cíclico?

Vamos analisar o gráfico desta função!

144

Agora que você já conhece a função que determina o ângulo das asas dos gafanhotos, faça a

construção do gráfico dessa função no software GeoGebra.

Salve a construção como “Atividade_Voo_Gafanhoto_[nome dos estudantes]”

A partir do gráfico, determine:

1. Qual o domínio da função f(t)?

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_______________________________________________________________________________________

2. Qual a imagem da função f(t)? Qual o significado dos valores obtidos?

_______________________________________________________________________________________

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3. Qual o período da função f(t)? Qual o significado do valor obtido?

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_______________________________________________________________________________________


Sugestão: Para uma melhor visualização do gráfico altere a dimensão dos

eixos para: eixo x: –0,02 a 0,28; e eixo y: –5 a 140.

Analisando esta função, quais as constantes que

provocam alterações no gráfico? Quais os valores

dessas constante?

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____________________________________________________________

____________________________________________________________

145

4. Utilizando a função que determina o ângulo das asas dos gafanhotos determine o ângulo formado nos

instantes: 0,027, 0,06, 0,087, e em seguida, insira esses valores na forma de ponto coordenado no gráfico da

função.

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MOMENTO 03 – VOO DOS GAFANHOTOS 146


Anotações

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Então colega estudante, chegamos ao final deste caderno

de atividades, no entanto, tenho mais uma pergunta para

fazer!

No início deste caderno, quando falei que iriamos estudar

situações do mundo real que podem ser descritas por

funções trigonométricas, você imaginou alguma situação

que viríamos a estudar? Passou pela sua cabeça que estas

situações que estudamos poderiam ser descritas por uma

função trigonométrica? Como você avaliaria a

importância do estudo das funções trigonométricas na

Educação Básica?

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

Bom, espero que tenham gostado desta

experiência!!! Até mais colega e, BONS

ESTUDOS!!!!

147

Os textos informativos foram construídos a partir da leitura das seguintes referências:

AGUIAR, Alberto Flávio Alves; XAVIER, Airton Fontenele Sampaio; RODRIGUES, José Euny Moreira.

Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas. São Paulo: Harbra, 1988.

Como são feitas as tabelas de marés. Disponível em: http://ultimosegundo.ig.com.br/ciencia/como-sao-

feitas-as-tabelas-de-mare/n1237770242841.html. Acessado em: 22 nov. 2017.

Conheça os locais mais quentes e mais frios do planeta. Disponível em: https://www.terra.com.br/vida-e-

estilo/turismo/conheca-os-locais-mais-quentes-e-mais-frios-do-

planeta,acf9392625237310VgnCLD100000bbcceb0aRCRD.html. Acessado em: 05 dez. 2017.

Correndo na frente. Disponível em: http://espacoevents.com.br/livro_correndo_na_frente.pdf. Acessado em:

10 dez. 2018.

Criador do método Cooper diz que só exercício físico não garante a saúde. Disponível em:

http://globoesporte.globo.com/eu-atleta/saude/noticia/2015/10/criador-do-metodo-cooper-diz-que-so-

exercicio-fisico-nao-garante-saude.html. Acessado em: 08 jan. 2018.

Dia e noite. Disponível em: http://www.portalsaofrancisco.com.br/astronomia/dia-e-noite. Acessado em: 30

nov. 2017.

História da Asa Delta. Disponível em: http://vertigens.com/artigos/historia-asa-delta. Acessado em: 12 jan.

2018.

Marés. Disponível em: http://brasilescola.uol.com.br/geografia/mares.htm. Acessado em 20 nov. 2017.

Marés. Disponível em: https://www.infoescola.com/oceanografia/mares/. Acessado em: 20 nov. 2017.

O horário de verão e o tempo. Disponível em: https://www.climatempo.com.br/noticia/2015/10/16/o-

horario-de-verao-e-o-tempo-8775. acessado em: 11 dez. 2017.

Passo a passo: como usar as tábuas de marés. Disponível em:

https://www.viajenaviagem.com/2013/04/como-usar-tabua-mares. Acessado em: 20 nov. 2017.

Quando o dia e a noite têm a mesma duração. Disponível em: https://super.abril.com.br/ciencia/quando-o-

dia-e-a-noite-tem-a-mesma-duracao/. Acessado em: 01 dez. 2017.

Tábuas de maré. Disponível em: http://www.tabuademares.com/mares. Acessado em: 20 nov. 2017.

Temperatura do ar. Disponível em: http://www.infoaviacao.com/2012/04/temperatura-do-ar.html. Acessado

em: 03 dez. 2017.

Temperatura do ar. Disponível em: https://content.meteoblue.com/pt/meteoscool/o-tempo/temperatura.

Acessado em: 03 dez. 2017.

Temperatura do ar e graus-dia. Disponível em: https://pt.scribd.com/document/361570960/7-

TEMPERATURA-DO-AR-pdf. Acessado em: 05 dez. 2017.

REFERÊNCIAS 148

APÊNDICE 1

Acesse a “Janela de Visualização” (clicando com o botão direito do mouse sobre a tela) e altere as

dimensões do eixo x de −2𝜋 até 2𝜋 e a distância para 𝜋 2.

Dimensões do eixo: Digite no campo x Mín: –2pi e no x Máx: 2pi.

Distância: Clique na seta e selecione 𝜋 2.

Clique sobre a curva com o botão direito e clique na opção “Propriedades”:

Na janela Propriedades, clique na aba “Cor” e altere a cor para azul, em seguida clique na aba

“Estilo” e altere o estilo da curva para tracejado.

APÊNDICE 2

149

Digite no campo de entrada a função 𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 + 𝑑, conforme exemplificado

abaixo, e pressione Enter;

Será solicitado a construção de controles deslizantes, clique em criar.

Cálculo da média no Excel:

1. Abra o Excel;

2. Digite os dados coletados em uma planilha do Excel:

3. Digite em uma célula o comando “= 𝑚é𝑑𝑖𝑎(“;

4. Selecione a coluna com todos os valores que você deseja calcular a média;

5. Feche o parêntese;

6. Pressione Enter;

7. A média será exibida nesta mesma célula.

APÊNDICE 3

150

Cálculo da média no GeoGebra:

Primeiro método


2. Copie os dados referentes aos dias e a altura para esta planilha;

3. Selecione todos os valores da coluna y e clique em “Lista”;

4. Na janela Lista, clique em “Criar”;

5. A lista de pontos ficará visível na Janela de Álgebra;

6. No campo de entrada, digite “= 𝑚é𝑑𝑖𝑎” e selecione “Média(<Lista dos Dados Brutos>)”;

7. No lugar de <Lista dos Dados Brutos> digite o comando da lista;

7.1. O comando da lista pode ser obtido clicando com o botão direito sobre a lista; opção

“Propriedades”; aba “Básico”; Campo “Nome”;

8. Pressione Enter;

9. A média será exibida na Janela de Álgebra.

151

Segundo método


2. Copiei os dados referentes aos dias e a altura para esta planilha;

3. Clique na célula em que você deseja exibir a média;

4. Clique em “Exibir campo de entrada” (fx);

5. No campo de entrada digite “média” e selecione a opção “Média(<Lista dos Dados Brutos>);

6. Digite o intervalo de campos onde encontram-se os valores que você deseja calcular a média na forma

“primeira célula: última célula”;

7.

Pressione Enter, a média será exibida na célula escolhida no início.

Subtração da média no Excel:

1. Na mesma planilha em que você calculou a média, crie uma terceira coluna chamada “Nova altura (m)”;

2. Selecione toda a coluna e altere a formatação para “Número” e em uma célula de outra coluna qualquer

digite o valor correspondente a média já calculada;

APÊNDICE 4

152

3. Na célula correspondente ao primeiro dia (C2) digite “= 𝑠𝑜𝑚𝑎(𝐵2 − $𝐷$4)” e pressione Enter (a célula

D4 corresponde a célula com o valor da média, desta forma, na fórmula deve ser digitada o nome da célula

em que você digitou o valor da média usando o cifrão ($) para fixar o valor da média);

4. Selecione a célula em que está o resultado da soma realizada (C2) e posicione o cursor no canto inferior

direito de modo que apareça um sinal de +;


6. O resultado de cada uma das subtrações será exibido nesta coluna.

Subtração da média no GeoGebra:

1. Na mesma planilha que você calculou a média, crie uma coluna para a nova altura que será determinada

através da subtração da altura coletada pela média das alturas;

2. No campo de entrada da planilha (fx) digite a primeira subtração a ser realizada, utilizando cifrões ($) para

fixar a célula da média;

3. Pressione Enter;

4. Selecione a célula em que está o resultado da soma realizada e posicione o cursor no canto inferior direito

de modo que apareça um sinal de +;

153


6. As novas alturas serão exibidas nesta coluna.

Inserir pontos no software GeoGebra de forma manual

1. Abra o software GeoGebra;

2. No campo de entrada, digite o ponto que deseja inserir da forma A=(1, 0.1);

3. Pressione Enter;

4. Repita o processo para os demais pontos.

OBS.: Para uma melhor visualização dos pontos na Janela de Visualização, clique com o botão

direito na Janela de Visualização e selecione a opção “Janela de Visualização”, na Janela “Preferências”, aba

“Básico” altere as dimensões dos eixos x e y de acordo com o intervalo dos dados coletados.

Inserir pontos no software GeoGebra a partir de uma planilha


2. Copiei os dados referentes as coordenadas (x, y) dos pontos para a planilha (caso já tenham sidos digitados

no Excel) ou então digite-os na planilha do GeoGebra;

3. Na coluna C, na célula correspondente ao primeiro ponto (C2) digite o sinal de = e abra parêntese, em

seguida selecione a célula da coordenada x separando-a com uma vírgula e selecione a célula com a

coordenada y;

4. Pressione Enter para que o ponto seja exibido nesta célula;

5. Selecione a célula com o ponto construído (C2) e posicione o cursor no canto inferior direito de modo que

apareça um sinal de +;

6. Clique e arraste até a última linha que possui as coordenadas dos pontos;

7. Os pontos devem ser exibidos na Janela de Visualização.

APÊNDICE 5

154

OBS.: Caso os pontos não estejam aparecendo na Janela de Visualização, selecione a coluna com os pontos e

clique com o botão direito e selecione a opção “Exibir Objeto”;

Inserir funções no GeoGebra e formatar “controle deslizante”

1. Abra o arquivo do GeoGebra no qual estão os pontos coletados;

2. No campo de entrada, digite a função sob sua forma genérica que melhor descreve a situação (OBS.:

digite apenas as constantes que são necessárias para a situação que está sendo analisada, e para inserir o 𝜋

digite Alt+p ), em seguida pressione Enter;

3. Abrirá uma janela, clique em “Criar Controles Deslizantes”;

4. Clique com o botão direito do mouse sobre o controle deslizante e arreste-o para um local de sua

preferência;

5. Clique com o botão direito do mouse sobre o controle deslizante, clique na opção “Propriedades”;

6. Na aba “Básico” defina um intervalo para este controle (este intervalo pode ser definido tomando como

base a estimativa já calculada anteriormente);

7. No campo “Incremento” defina de quanto em quanto você quer os valores do controle deslizante (OBS.:

Valores decimais devem ser separados por ponto);

8. Repita este processo para os demais controles deslizantes criados.

APÊNDICE 6

155

Cálculos envolvendo horas de forma manual

Nas operações de soma e subtração de horários (hora, minuto e segundo), deve-se somar/subtrair

segundos de segundos, minutos de minutos e horas de horas, sendo que em alguns casos faz-se necessário

fazer transformações de horas em minutos e minutos em segundos para que seja possível realizar o cálculo.

Veja o exemplo:

Vamos subtrair 06h24 de 20h11, ou seja, 20: 11 − 06: 24

Veja que não é possível subtrair 24 minutos de 11 minutos, desta forma, faz-se necessário subtrair 1

hora das 20h e somar essa 1 hora, transformada em minutos, ou seja, 60 minutos, aos 11 minutos, e desta

forma tem-se:

Feita está transformação, é possível subtrair os 24 minutos de 71 minutos, assim como as 6 horas de

19 horas:

Para transformar este resultado em horas, deve-se dividir a quantidade de minutos por 60 (47 ÷ 60 =

0,78) e acrescentar a hora inicial, desta forma, 13h47 expressa na forma de horas é 13,78h.

Cálculos envolvendo horas no Excel

• Ao realizar esta subtração no Excel o resultado já será exibido no formato de horas.

1. Crie uma coluna para a Duração do dia (em horas);

2. Selecione a coluna e veja se a formatação é “Geral”, caso contrário selecione esta opção;

APÊNDICE 7 156

3. Na célula correspondente ao primeiro dia (E2) digite “= 𝐷2 − 𝐶2 ∗ 1440/60” e pressione Enter;

4. Selecione a célula (E2) onde aparecerá o resultado do cálculo realizado e posicione o cursor no canto

inferior direito de modo que apareça um sinal de +;

5. Arraste o sinal de + até a última linha com dados.

157

REFERÊNCIAS

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