RESOLUÇÃO ENSINO MÉDIO

GRE Recife Sul

1) (Ufv) Considere a equação x² + y² - 6x + 4y + p =0. O maior valor inteiro “p” para que a equação anterior represente uma circunferência é:a) 13 b) 12 c) 14 d) 8 e) 10

Destacando o centro e o raio da circunferência C; ( x -a)² + ( y -b)² = R²Do Problema temos : C =x² +y² - 6x + 4y + p = 0 Completando os quadrados de C: ( x -3)² + ( y +2)² + p = 9 + 4( x -3)² + ( y +2)² = ( - p + 9 + 4 ) ²

R

Condição R ˃ 0

- p + 9 + 4 ˃ 0

- p + 13 ˃ 0

- P ˃ - 13

P ˂ 13 Logo o maior valor inteiro de p é p =12

2) (Ufrrj) Em um circo, no qual o picadeiro tem no plano cartesiano a forma de um círculo de equação igual a x² + y² - 12x - 16y ≤ 300 . O palhaço acidentou-se com o fogo do malabarista e saiu desesperadamente do centro do picadeiro, em linha reta, em direção a um poço com água localizado no ponto (24, 32). Calcule a distância d percorrida pelo palhaço, a partir do momento em que sai do picadeiro até o momento em que chega ao poço.a) 50m b) 40m c)30m d) 20m e)10m

Encontrando o centro c(a,b) da circunferência a partir da equação geral: Ax2 +By2 + Cx + Dy + Exy + F tem-se a=- C/2 b=- D/2

x² + y² - 12x - 16y ≤ 300 a=12/2 a = 6

b=16/2 b = 8 C( 6,8)

Em relação ao Raio, faz-se a complementação dos quadrados

(x – a)² + (y – b)² = r² (x – 6)² + (y – 8)² - 300 = r²

(x – 6)² + (y – 8)² - 300 = 36 + 64

(x – 6)² + (y – 8)² = 400 r² = 400 r = 20

r = 20

d = x - 20

dcp = x

C( 6,8)

p( 24,32)

d=distância percorrida pelo palhaçox=distância entre o Centro “c” e o ponto “p” que representa o poço r = raio da circunferência

x=distância entre o Centro “c” e o ponto “p” que representa o poço = dcp

dcp = ( xb – xa)² + (yb –ya)²

dcp = ( 24 – 6)² + (32 –8)²

dcp² = ( 18)² + (24)²

dcp² = 324 + 576

dcp² = 324 + 576 = 900

dcp = x = 30m

d = x - 20 d = 30 - 20

Logo : d = 10m

r = 20

d = x - 20

dcp = x

C( 6,8)

p( 24,32)

C( 6,8) p( 24,32)

3) (UFPB) Cumprindo outra promessa de campanha, a prefeita Maria decidiu construir na praça (figura abaixo) um banheiro público. O esgoto desse banheiro deve partir do centro C da circunferência x²-16x+y²+14y+109=0 e ser ligado a um ponto P no cano representado pela reta que passa pelos pontos A=(2,6) e B=(-4,-6). Para que a distância entre C e o cano AB seja mínima.o ponto P será igual a:a) (2, 2) b(3,2) c) ( -2, -2) d( -3,-2) e) ( 4,-2)

rs

p1( 2,6)

p2( -4,-6)

x²-16x+y²+14y+109=0

(x- 8)²+(y +7)²+109=0

(x- 8)²+(y +7)²+109= 64+ 49

(x- 8)²+(y +7)²= 4

(x- 8)²+(y +7)²= 2²

c(8,-7) e r= 2

c(8,-7)

Q(x,y )Intersecção r e s

Definindo a reta “r” através de p1 e p2 : p1( 2,6) ; p2(-4,-6)

m= -6 – 6 -4 - 2

m= 2 y – 6 = 2 (x – 2 ) r : 2 x – y + 2 =0

A menor distância ocorrerá quando a reta “s” que passa pelo centro da circunferência for perpendicular a “r”

Se a reta r é ┴ a reta s, temos : mr x ms = -1 Logo : 2 x ms = -1 ms = -1/2

Com o centro “C” ; c(8, -7) e ms = -1/2

s: y – (-7) = -1 ( x – 8) 2

s: 2y +14 = - x + 8)

s: x + 2y + 6 = 0)

O ponto P relativo a menor distância, será o ponto de intersecção entre a reta “s” e a reta r

r : 2 x – y + 2 =0s: x + 2y + 6 = 0

x (2) r : 4 x – 2y + 4 =0s: x + 2y + 6 = 0

5x + 0y + 10 = 0 x = - 2

Em s : -2 + 2y + 6 = 0

2y +4 = 0 y = - 2

p( - 2 , -2)

4). (Uel) Na figura a seguir têm-se a reta r, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, e as circunferências C1 � e C2, de mesmo raio, tangentes entre si e com centros sobre “r” ; . Se a equação de C1 é x²+y²=9, então o centro de C2 é o ponto de coordenadas : a) (1; √2) b) (3; 3) c) (3√2; 3√2) d) (3; 6) e) (7; 7)

6 y

C(0,0)

Bissetriz

p(x;y)

dcp² = ( x -0)² + ( x – 0)²

dcp = 6

Como x = y

6² = ( x)² + ( x)²

36 = 2 x²

x = 3√2 y = 3√2

3

3

5) Adaptada - (GRE –RCF SUL) O Professor João Gusmão da Escola de Referência Othon Paraíso , que vê matemática em tudo, no dia dos namorados, após várias tentativas, criou uma frase em forma de fórmula matemática com a seguinte declaração a sua esposa : Traduzindo esta expressão para uma linguagem cotidiana, o que realmente o professor João quis dizer a sua esposa representada pela variável “x” foi:

a) eu te amo b) amo – te c) te – amo d) a te amo e) xata e amo

= a²

a mo= x + te

x = amo – te

)2

(= a²

a( x + te) = a² mo

6) Em um terreno retangular de por foi construído um barracão de forma retangular para servir como depósito de uma firma. Esse depósito ocupa uma área de . Em torno do barracão foi deixado um recuo de x metros de cada lado pra ser gramado. Nessas condições, calcular a medida x do recuo. a) 5m b)10m c)15m d)20m e)25m

1000m²

lado a = 80 – 2x

50 –

2x

Área do depósito : a x b

a

b

Área do depósito = 1000m²

lado b = 50 – 2x

1000 = (80 – 2x) x (50 – 2x)

1000 = 4000 - 160x – 100x + 4x² 4x² - 260x + 3000 =0

x² - 65x + 750 =0÷ 4

Aplicando Bhaskara: ∆ = 65² - 4 .1 . 750 ∆ = 1225 √∆ = 35

x1, x2 = 65 ± 35 2 . 1

x1 = 50

x2 = 15Logo : resposta x = 15 metros

80 – 2x

7) Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios. Supondo-se que, no Sudeste, 14900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles telefone móvel celular? a)5.513 b)6.556 c)7.450 possuíam d)8.344 e)9.536

Total de Estudantes : 14.900

Percentual dos que possuiam celular = 56%

Número de estudante = 56% x 14.900

Número de estudante = 8.344

8) O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma brasileiro.É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo de futebol (com as medidas de 120m 90m ) para auxiliar a visualização de áreas consideradas extensas. Nesse caso, qual é o número de campos de futebol correspondente à área aproximada do pantanal ? a)1.400 b)14.000 c)140.000 d)1.400.000 e)14.000.000

8.514.877Brasil Total Área1,76% 150.355 Pantanal2,07% 176.496 Pampa9,92% 844.453 Caatinga

13,04%1.110.182 AtlânticaMata23,92%2.036.448Cerrado49,29%4.196.943Amazônia

Brasiltotal / área

)(kmaproximada

área

sbrasileiro iscontinenta

biomas

2

01 campo de futebol tem área 120 x 90 m²

01 campo de futebol tem área = 10.800 m²

Convertendo em km²

10.800m²

1 campo de futebol → 10,8 10 – 3km²

Logo x = 150.355 10,8 x 10–3

área aproximada : 14.000.000 campos de futebol

10.800(10 – 3km)² 10,8km²

x campos de futebol →150.355km²

x = 13.921.759

Utilizando uma regra de três simples:

9) O gráfico expõe alguns números da gripe A-H1N1. Entre as categorias que estão em processo de imunização, uma já está completamente imunizada, a dos trabalhadores da saúde. De acordo com o gráfico, entre as demais categorias, a que está mais exposta ao vírus da gripe A-H1N1 é a categoria de

a)indígenas b)gestantes. c)doentes crônicos. d)adultos entre 20 e 29 anos. e)crianças de 6 meses a 2 anos .

a)indígenas b)gestantes. c)doentes crônicos. d)adultos entre 20 e 29 anos. e)crianças de 6 meses a 2 anos.

Mais Exposta é quem Está MENOS IMUNIZADA

Categoria : Adultos entre 20 e 29 anos

9) O gráfico expõe alguns números da gripe A-H1N1. Entre as categorias que estão em processo de imunização, uma já está completamente imunizada, a dos trabalhadores da saúde. De acordo com o gráfico, entre as demais categorias, a que está mais exposta ao vírus da gripe A-H1N1 é a categoria de

a)indígenas b)gestantes. c)doentes crônicos. d)adultos entre 20 e 29 anos. e)crianças de 6 meses a 2 anos.

A categoria que está mais expostaé a categoria menos vacina recebeu

Pelo gráfico : serão os adultos entre 20 e 29 anos

10) O raio de uma circunferência centrada na origem dos eixos cartesianos e igual a 9. A equação desta circunferência é:a) x² + y² = 9. b) x² + y² = 18. c) x² + y² = 81 . d) x² + y² = 324 e) x² + y² = 729.

DESCRITORES

c(0,0)

r = 9

Equação : ( x-0)² + ( y – 0)² = 9²

Equação : x² + y² = 81

11) Uma circunferência tem centro no ponto C(4,5) e passa pelo ponto P(4,7). A equação cartesiana dessa circunferência éA) (x - 4)² + (y - 5)² = 4. B) (x - 5)² + (y - 4)² = 2. C) (x - 5)² + (y - 4)² = 4. D) (x - 4)² + (y - 5)² = 2 E) (x - 4)² + (y + 5)² = 2

C(4,5)

P(4,7).

distância de c até p = raio

ou seja : dcp = r

Dcp² = (4 – 4)² + ( 7 – 5 )²

dcp² = 2²

dcp = 2

Logo r = 2

Equação da Circunferência: (x – 4)² + ( y – 5)² = 4

12) A tabela abaixo mostra a distância (d) percorrida por Igor em função do tempo (x). a expressão que relaciona a distância d e o tempo(x) é: a) d = 40x b) d = 80x c) d = 400x d) d = 80 + 5x e) d = 400 +5x

d = f(x) 400= 5 K 800= 10 K 1200= 15 K 1600= 20 K

Variando d e x Vê-se aproporcionalidade k=8

Logo d = 80x

÷ ÷ ÷ ÷

13) Um atleta de salto com vara, ao sair do solo, descreve no ar uma curva que tem o formato de um arco de parábola Desenhada no plano cartesiano, essa curva é descrita pela função definida por: -x² + 4x Qual a altura máxima que o atleta atingiu nesse salto?

-x² + 4x

a= -1 b=4 c=0

Yv = -∆ 4a

Yv = -16 4(-1)

Se c=0 então ∆ = b²

∆ = 16

Yv = 4m

a) 2 m. b) 4 m. c) 6 m. d) 8 m. e) 10m

14) Em uma escola foi realizada uma pesquisa sobre a preferência de 400 alunos quanto ao gênero de filmes alugados nas locadoras da cidade. Os resultados dessa pesquisa estão representados no gráfico abaixo. Nesse grupo de 400 alunos, entre os que preferem comédia, 40 são mulheres. Quantos homens preferem comédia?A) 40. B) 80. C) 120. D) 160. E) 200

nº total de alunos = 400

Fração de alunos que assistem comédia = 30 % do total

Fração de alunos que assistem comédia = 30 % x 400

Fração de alunos que assistem comédia = 120

Se 40 são mulheres , então o número de homens é igual a 80

Número de Homens que assistem comédia = 80

15) Dada a expressão E = (x – 5)(x + 12), quais são os valores de x para que se tenha E = 0 ?A) x = 5 ou x = – 12. B) x = 5 ou x = 12. C) x = – 5 ou x = 12. D) x = – 5 ou x = – 12.

E = (x – 5)(x + 12)

Se E = 0; por decomposição de fatores :

x – 5 =0 ; x = 5

x + 12 =0 ; x = -12

x = 5 ; x = -12

16) Veja a equação abaixo. Quais são as raízes dessa equação?A) – 6 e 8. B) – 2 e – 4. C) 1 e 5. D) 2 e 4. E) -2 e 4.

E) -2 e 8

x² - 6x + 8 =0Aplicando Bhaskara: ∆ = (-6)² - 4 .1 . 8 ∆ =4

x1, x2 = -(-6) ± 2 2 . 1

x1 = 2

x2 = 4

√4 = 2

x1 = 2 x2 = 4

GRE Recife Sul

Obrigado a todos!

Um abraço!