AULA 28:

CIRCUNFERÊNCIA

EQUAÇÃO REDUZIDA:

(X – X0)2 + (Y – Y0)

2 = R2

C(X0,Y0)

X

Y

X0

Y0

P(x,y)R

EXERCÍCIOS DE CLASSE:

01- Determine o centro e o raio das circunferências:

a) (x + 8)2 + (y + 4)2 = 16 C( ) e R =

b) X2 + (y + 3)2 = 7 C( ) e R =

c) (x – 8)2 + y2 = 25 C( ) e R =

d) X2 + y2 = 6 C( ) e R =

Observação: Equação Geral

-8,-4 4

0,-3 7

8,0 5

0,0 6

Para se encontrar a equação geral da circunferência, basta

se desenvolver a equação reduzida.

02- Ache a equação geral da circunferência de centro C(4,-3) e raio R = 6.

Solução:

(x – 4)2 + (y + 3)2 = 36

x2 – 8x + 16

x2 + y2 – 8x + 6y – 11 = 0

+ y2 + 6y + 9 – 36 = 0

03- Determine as coordenadas do centro das circunferências:

a) x2 + y2 – 8y + 2x -3 = 0 C( )

b) x2 + y2 + 6y – 1 = 0 C( )

c) x2 + y2 – 5x – 2 = 0 C( )

d) 4x2 + 4y2 + 12x – 16y = 0

-1,4

0,-3

(4)

x2 + y2 + 3x – 4y = 0 C( )

04- Ache a equação geral da circunferência de centro C(x0,y0) e raio R.

Solução:

(x – x0)2 + (y – y0)

2 = R2

x2 – 2x x0 + x02

Colocando-se os termos constantes no final da

equação temos:

x2 + y2 – 2x0 x - 2y0 y + x02 + y0

2 – R2 = 0

(x02 + y0

2 – R2) representara o termo independente

da equação geral da circunferência.

Fazendo-se x02 + y0

2 – R2 = F ⇒

x2 + y2 – 2x0 x - 2y0 y + F = 0

+ y2 – 2y y0 + y02 – R2 = 0

F

Expressão do Raio:

x02 + y0

2 – F = R2 ⇒

Condição de Existência:

x02 + y0

2 – F > 0

Sabemos que x02 + y0

2 – R2 = F ⇒

05 – Determine o centro e o raio das circunferências:

a) x2 + y2 – 6x + 8y – 11 = 0

b) 3x2 + 3y2 – 6x + 12y – 1 = 0

Solução:

a) x2 + y2 – 6x + 8y – 11 = 0

xo = 3

b) 3x2 + 3y2 – 6x + 12y – 1 = 0

yo = -4 F = -11

xo = 1 yo = -2 F =

(3)

06- (Fuvest 2009) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem

centro no ponto A(-5,1) e é tangente à reta t de equação

4x – 3y – 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de interseção

da reta t com o eixo Ox.

Assim:

a) Determine as coordenadas do ponto P.

b) Escreva uma equação para a circunferência C.

c) Calcule a área do triângulo APQ.

Solução:

A(-5,1) t: 4x -3y -2 = 0

P Ponto de tangência da reta t com a circunferência.

Q Ponto de interseção da reta t com o eixo Ox.

t: 4x -3y -2 = 0

P/ y = 0 ⇒ 4x = 2 ⇒

A(-5,1)

P

R = dist A(-5,1) 4x – 3y – 2 = 0

R =

Solução:

Equação da Circunferência:

A(-5,1) R = 5

(x + 5)2 + (y – 1)2 = 25

x2 + 10x + 25 + y2 – 2y + 1 = 25

x2 + y2 + 10x – 2y + 1 = 0

Equação da reta r que passa pelo

centro A(-5,1) e é perpendicular à

reta t: 4x -3y -2 = 0 :

⇒ 4y – 4 = - 3x - 15

⇒ 3x + 4y + 11 = 0

Cálculo do ponto P:

4x – 3y = 2

3x + 4y = -11

(4)

(3)

16x – 12y = 8

9x + 12y = -33

25x = -25 ⇒ x = -1

y = -2

⇒ P(-1,-2)r

A(-5,1)

m =

Solução:

SAPQ ? A(-5,1) P(-1,-2)

07- (UFJF 2007) Considere a circunferência : x2 + y2 -4x – 6y – 3 = 0 e

a reta r: x + y = 0.

a) Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência

e é perpendicular à reta r.

b) Determine a equação da circunferência concêntrica à circunferência

e tangente à reta r.

Solução:

: x2 + y2 - 4x – 6y – 3 = 0 C(2,3)

r: x + y = 0

t: passa pelo centro e é

perpendicular a r .

tm = 1

(2,3)

mr = -1 ⇒ mt = 1

x – 2 = y - 3

x – y + 1 = 0

’: circunferência concêntrica a e

tangente a r.

C(2,3)

R

R = dist (2,3) r: x + y = 0

R =

’

C(2,3)

R =

(x – 2)2 + (y – 3)2 =

08 – (UNICAMP 2009) A circunferência de centro em (2,0) e

tangente ao eixo y é interceptada pela circunferência C, definida

pela equação x2 + y2 = 4, e pela semirreta que parte da origem e

faz ângulo de 30º com o eixo x, conforme a figura a seguir.

x

y

30º

P

C

a) Determine as coordenadas do ponto P.

b) Calcule a área da região sombreada.

Solução:

x

y

30º

P

C

o 2 A H

60º

1

2

C : x2 + y2 = 4 ⇒ O(0,0) R = 2

: A(2,0) R = 2

No APH :

(Cateto oposto a 30º)

(Cateto oposto a 60º)

AH = 1

PH =

⇒ P (3, )

Solução:

2

60º

60º A x

y

C

o

2

2

2

H

S

∆OMA = ∆OAN (Equiláteros)

ST ⇒ Região tracejada é um segmento circular.

M

N

ST = SSETOR – S∆OMN

Solução:

S =

S = Área sombreada pedida

SCÍRCULO – 2 . ST

2

60º

60º A x

y

C

o

2

2

2

H

S

M

N

09- (FGV 2008) Dada a equação x2 + y2 = 14x + 6y + 6, se p é o maior valor

possível de x, e q é o maior valor possível de y, então 3p + 4q é igual a:

a) 73 b) 76 c) 85 d) 89 e) 92

Solução:

x2 + y2 – 14x – 6y – 6 = 0

xo = 7 yo = 3

3p + 4q ?

3(15) + 4(11) = 45 + 44 = 89

10- (Fuvest 2008) A circunferência dada pela equação

x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos

pontos A e B, conforme a figura.

A

B C

N

M

O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o centro C da

circunferência. É correto afirmar que a área da região hachurada vale:

a) π – 2 b) π + 2 c) π + 4 d) π + 6 e) π + 8

Solução:

x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0

C(2,2)

A

B C

N

M

(2,2)45º

45º

45º

2

2

2

2

S = Área Pedida

S = S ABC + S2 setores de 45º

S =

S =

= 2

2

2