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Quadriláteros Notáveis / Principais Quadriláteros

3º – MATEMÁTICA – PROF. DIEGO

Questão 01 - (FGV )

No antigo Egito, quando o rio Nilo voltava ao seu leito normal após a cheia anual, os terrenos das margens eram

novamente remarcados. Cada terreno tinha a forma de um quadrilátero e o lavrador que o ocupava deveria pagar

um imposto que era proporcional à área do terreno. Para obter a área de um quadrilátero, os egípcios calculavam

o produto das médias aritméticas dos lados opostos, método que não é exato, a menos que o quadrilátero seja

um retângulo.

A figura abaixo mostra um terreno com a forma do quadrilátero ABCD, onde o ângulo de vértice A é reto e, numa

unidade adequada (u), os lados medem AB = 12, BC = 14, CD = 14 e DA = 16.

a) Calcule a área do quadrilátero ABCD.

Use as aproximações: 414,12 , 732,13 , 450,26 .

b) Determine a área do quadrilátero ABCD pelo método egípcio.

Questão 02 - (FGV )

A Espaço Inteligente Empreendimentos Imobiliários fez o lançamento de um edifício, com conjuntos comerciais a

R$ 1 800,00 o metro quadrado.

Um grupo de médicos comprou um conjunto comercial. Sua representação plana é dada abaixo.

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a) As medidas, em graus, dos ângulos da representação plana: , , e são diretamente proporcionais

aos números 10, 20, 15 e 15, respectivamente. Podemos afirmar que a representação plana dada é um

trapézio retângulo?

b) Os médicos pagaram R$ 777 600,00 pelo conjunto comercial. Em que escala foi feita a representação plana?

Uma escala, por exemplo 1:1 000, expressa que 1 centímetro na representação plana corresponde a 1 000

centímetros na realidade.

Questão 03 - (UFRRJ)

O retângulo abaixo de dimensões a e b está decomposto em quatro quadrados, como mostra a figura.

Calcule o valor da razão b/a.

Questão 04 - (UFMS)

Sobre os vértices opostos de um quadrado de lado medindo 26(2 + ) cm , foram colocados dois insetos que, de

imediato, começam a caminhar sobre os lados do quadrado, com a mesma velocidade, em direção a um mesmo

vértice, conforme ilustração abaixo.

Num dado momento, a distância percorrida por cada um desses insetos é igual à distância que os separa.

A B C D

2

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Determine, em centímetros, o quanto cada inseto caminhou até esse momento.

Questão 05 - (UNICAMP SP)

Um trapézio retangular é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um ângulo agudo e um

ângulo obtuso . Suponha que, em um tal trapézio, a medida de seja igual a cinco vezes a media de .

a) Calcule a medida de , em graus

b) Mostre que o ângulo formado pelas bissetrizes de e é reto.

Polígonos / Regulares, Nº de Diagonais e Relações Angulares

Questão 06 - (FGV )

Ao somar as medidas dos ângulos internos de um polígono convexo, Arquimedes encontrou 2018º. Fazendo uma

conferência dos seus cálculos, Arquimedes descobriu que havia esquecido de somar a medida de um dos ângulos.

a) Qual a medida, em graus, do ângulo que Arquimedes havia esquecido?

b) Quantos lados tinha o tal polígono?

Questão 07 - (UFSC)

Considere um hexágono eqüiângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos medem 20cm,

13cm, 15cm e 23cm, conforme figura abaixo. Calcule o perímetro do hexágono.

Questão 08 - (ITA SP)

Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de n – 1 ângulos (internos) do polígono é 2004°,

determine o número n de lados do polígono.

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Questão 09 - (UEG GO)

Na figura abaixo, o segmento AB corresponde ao lado de um hexágono regular inscrito, enquanto o segmento BC

corresponde ao lado de um quadrado também inscrito no círculo de raio 6 cm.

Determine a distância percorrida de A até C, passando por B.

Questão 10 - (UFMT)

Na figura ao lado, o triângulo ABC é eqüilátero; M, N e O são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC

e AC e, é um arco de circunferência com centro em O e raio . Sendo 6 a medida da área da região

sombreada na figura, determine o perímetro do triângulo ABC.

Questão 11 - (UnB DF)

Considere dois polígonos regulares convexos P e P’ com n e n + 1 lados, respectivamente. Sabendo-se que a

medida do ângulo interno do polígono P’ é 48o maior que a do ângulo externo (suplemento do ângulo interno

adjacente) do polígono P e que a soma dos ângulos internos de um polígono regular de n lados é (n – 2) X 180º,

calcule a soma dos números de lados desses dois polígonos.

OM

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Áreas de Superficies Planas / Círculos e suas Partes

Questão 12 - (UFG GO)

O limpador traseiro de um carro percorre um ângulo máximo de 135°, como ilustra a figura a seguir.

Sabendo-se que a haste do limpador mede 50 cm, dos quais 40 cm corresponde à palheta de borracha, determine

a área da região varrida por essa palheta.

Dado: 3,14

Questão 13 - (UFMG)

Um quadrado Q tem área igual à área de n quadrados de área unitária de 1 cm2, mais a área de um quadrado K .

Considerando essas informações, responda às questões abaixo em seus contextos.

1. Suponha que n = 19 e que a área do quadrado Q é de 100 cm2.

CALCULE a medida do lado do quadrado K.

2. Suponha que o lado do quadrado K mede 8 cm e que n = 57.

CALCULE a medida do lado do quadrado Q.

Questão 14 - (UFG GO)

O gráfico a seguir apresenta uma previsão, para os próximos dez anos, do volume de negócios, em milhões de

dólares, e o crescimento das áreas dinâmicas da biotecnologia médica.

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DIEGUEZ, Flávio. A guerra dos genes.

Revista Fórum. Ano 9, ago. 2010.

Neste gráfico, as áreas dos círculos são proporcionais ao respectivo volume de negócios, e a área do círculo

associado à Europa é proporcional a 1,75×109 dólares. Assim, sendo R o raio do círculo referente aos Estados

Unidos e o raio do círculo referente à Europa, calcule o valor do volume de negócios dos Estados Unidos

para os próximos dez anos.

Questão 15 - (UFF RJ)

Na figura abaixo, A e B são dois pontos da circunferência de centro em C, o segmento AC mede 2 cm e o arco de

círculo AB, que subtende o ângulo, mede 1 cm.

Calcule:

4

7R

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a) o perímetro do setor circular ACB de ângulo central ;

b) a medida do ângulo em radianos e em graus;

c) a área do setor circular ACB de ângulo central .

Questão 16 - (UFG GO)

O papiro de Rhind, escrito pelos egípcios no século XVIII a.C., apresenta 87 problemas de matemática e suas

soluções. No problema 50, calcula-se a área de um círculo da seguinte maneira: subtrai-se do diâmetro sua nona

parte e eleva-se esta diferença ao quadrado; o resultado, para os egípcios, era a área do círculo.

De acordo com essas informações,

a) expresse a área do círculo em função de seu raio R, segundo o método egípcio;

b) considerando um círculo de raio 9 cm, calcule a diferença aproximada entre a área obtida pelo método egípcio

e a área calculada pelo método correto.

Use = 3,14

Questão 17 - (UFRJ)

Uma pizzaria vende pizzas grandes e pequenas no tradicional formato circular. As grandes têm 40 cm de diâmetro

e custam R$ 18,00; as pequenas têm 20 cm de diâmetro e custam R$ 6,00. Todas têm a mesma espessura.

a) Lúcia e Raquel foram a essa pizzaria dispondo, cada uma, de R$ 10,00. Raquel propôs dividir uma pizza grande; Lúcia sugeriu que pedissem três pequenas.

Qual dessas opções permite que elas comam mais?

b) Manuel e Joaquim foram a essa pizzaria, com muita fome, e gastaram R$ 60,00 em 10 pizzas pequenas.

Determine de quantas outras formas eles poderiam, nessa pizzaria, gastar os mesmos R$ 60,00 em pizzas.

Questão 18 - (UFRRJ)

Na figura abaixo, o ponto 0 significa o centro de uma região circular de raio r = 5m. O arco BC é igual ao arco CD e

a medida do seguimento AB é 8m. O polígono ABCD representa uma piscina vista do alto. Determine a área da

região circular que está fora da piscina.

Considere: = 3,14

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GABARITO:

1) Gab:

a) No triângulo ABD, retângulo em A o teorema de

Pitágoras fornece BD = 20.

Sendo M o ponto médio de BD temos que MC é perpendicular a DB porque CD = CB. Assim, no triângulo

retângulo DMC calculamos

A área do quadrilátero ABCD é

b) Pelo método egípcio a área do quadrilátero ABCD é

2) Gab:

A banca responsável pela elaboração da prova de Matemática Aplicada cometeu um engano no enunciado dessa

questão: os dados apresentados são incompatíveis com o enunciado do problema.

Preocupados, em primeiro lugar, com ressalvar a responsabilidade dos candidatos que se submeteram a essa

prova, os membros da banca assumem a responsabilidade pelo erro cometido e decidem considerar corretas as

duas resoluções da referida questão.

8,945,2464961014MC 22

2u 19498962

8,920

2

1612S

2

e u 19513152

1412

2

1416S

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Essa decisão baseia-se no fato de que, embora a segunda resolução não seja a correta, seu enunciado, tal como

chegou ao candidato, pode, como ocorreu em alguns casos, induzi-lo a erro.

Julgam, assim, fazer justiça àqueles que prestaram a prova de Matemática Aplicada.

a)

1ª Resolução:

A soma das medidas dos quatro ângulos do quadrilátero ABCD é igual a 360º:

10k + 20k + 15k + 15 = 360º k = 6º

O ângulo  mede 10(6º) = 60º

No entanto, o triângulo ABB' é retângulo e isósceles.

Portanto: m(Â) = 45º

b) Não existe a representação plana sugerida pelos dados apresentados e a parte B não tem significado.

2ª Resolução:

a)

; ;

A representação plana é um trapézio retângulo.

b)

192k2 = 432 k2 = 2,25 k = 1,5

O lado de 20 cm, por exemplo, corresponde a 201,5 = 30 metros.

A representação plana foi feita na escala 1:150.

º660

º360

15

D

15

C

20

B

10

A

º60A º120B º90DC

77760018002

k16)k4k20(

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3) Gab:

b/a = 3/5

4) Gab: 52

5) Gab:

a) = 30°

b) = 90°

6) Gab:

a) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 1800(n – 2) e, portanto, sempre um

múltiplo de 180º.

Assim, como 2018 = 180 11 + 38, Arquimedes esqueceu de somar um ângulo cuja medida é 1800 – 380 =

1420.

b) A soma correta é, portanto, 20180 + 1420 = 21600 = 1800 12.

Logo, n – 2 = 12 n = 14, isto é, o polígono tinha 14 lados.

7) Gab: 99

8) Gab: n = 14

9) Gab:

10) Gab: 36

11) Gab: 11

12) Gab: 2826 cm2

cm223

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13) Gab:

1. LK = 9 cm

2. LQ = 11 cm

14) Gab:

O volume de negócios dos EUA será de 4 bilhões de dólares.

15) Gab:

a) 5 cm.

b) Em radianos = ; em graus = .

c) 1 cm2.

16) Gab:

a)

b) D = 1,66 cm2

17) Gab:

a) A sugestão de Raquel permite que elas comam mais, pois o volume de uma pizza grande é 400 h cm3 e o

volume de três pequenas é 300 h cm3, com indicando a espessura da pizza em centímetros. h

b) Eles também poderiam gastar os mesmos R$ 60,00 de três outras formas diferentes: uma grande e sete

pequenas; duas grandes e quatro pequenas ou três grandes e uma pequena.

18) Gab: 30,5m2

2

1

90

2E R

81

256A